Ứng dụng bất đẳng thức Minkowski trong giải toán phương trình và bất đẳng thức

(1)

Bất đẳng thức Minkowski: Cho hai dãy số thực (a₁, a₂, ..., a_n) và (b₁, b₂, ..., b_n) thì ta luôn có a₁²+b₁² + a²₂+b²₂ +....+ a_n²+b_n²

2 2

1 2 n 1 2 n

(a a ... a ) (b b ... b ) .

≥ + + + + + + +

Nếu b₁, b₂, ..., b_n khác 0 thì đẳng thức xảy ra khi ¹= ² = = ⁿ

1 2 n

a a a

b b .... b . Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng hình học nhờ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Dưới đây là một số ứng dụng của bất đẳng thức trên.

1. Sử dụng bất đẳng thức Minkowski để giải phương trình

Bài toán 1. Giải phương trình

2 2

x +12x 61+ + x ư14x 113+ = 338. (1) Lời giải. ĐKXĐ

⎧ + + ≥ ⎧ + + ≥

⎪ ⇔⎪

⎨ ⎨

ư + ≥ ư + ≥

⎪ ⎪

⎩ ⎩

2 2

x 12x 61 0 (x 6) 25 0

x 14x 113 0 (x 7) 64 0.

Do đó phương trình xác định với mọi số thực x.

Phương trình đã cho tương đương với + ²+ ² + ư ²+ ² =

(x 6) 5 (7 x) 8 338.

áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta được VT(1) = (x 6)+ ²+5² + (7 x)ư ²+8 ²

≥ (x 6 7 x)+ + ư ²+ +(5 8)² = 338= VP(1).

Đẳng thức xảy ra khi (x 6).8 5(7 x) + = ư

⇔ = ưx 1.

Do đó x= ư1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài toán 2. Giải phương trình

ư + + ư +

= ư +

2 2

2

8x 16x 10 2x 4x 4

7 x 2x. (1) Lời giải. ĐKXĐ

⎧ ư + ≥ ⎧ ư + ≥

⎪ ⎪

⎪ ư + ≥ ⇔⎪ ư + ≥

⎨ ⎨

⎪ ⎪

ư + ≥ ư ≤

⎪ ⎪

⎩ ⎩

2 2

8x 16x 10 0 8(x 1) 2 0

2x 4x 4 0 2(x 1) 2 0

7 x 2x 0 (x 1) 8

⇔ ư1 2 2 x 1 2 2. ≤ ≤ +

Phương trình (1) tương đương với

ư + ư + ư +

= ư ư

2 2 2 2

2

(2x 1) (3 2x) (2 x) x 8 (x 1) . (2)

áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta được

2 2 2 2

2 2

(2x 1) (3 2x) (2 x) x (2x 1 2 x) (3 2x x)

2x 4x 10 2(x 1) 8 8. (3)

ư + ư + ư +

≥ ư + ư + ư +

= ư + = ư + ≥

Từ (2) và (3) ta có

ư ư ≥ ⇔ ư ư ≥

⇔ ư ≤

2 2

2

8 (x 1) 8 8 (x 1) 8

(x 1) 0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

ư =

⎧⎨

ư = ư ư

⎩

x 1 0

(2x 1)x (3 2x)(2 x)

2 2

x 1 x 1

2x x 2x 7x 6

⎧⎪ =

⇔⎨ ⇔ =

ư = ư +

⎪⎩

(Thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Minkowski

HTTPS://THUVIENTOAN.NET/

(2)

2. Sử dụng bất đẳng thức Minkowski để giải hệ phương trình

Bài toán 3. Giải hệ phương trình

⎧ + + =

⎪⎨

⎪ ư + + ư + =

⎩

2 2

x xy y 12

x x 1 y y 1 2 3.

Lời giải. áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có

ư + + ư +

2 2

x x 1 y y 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ư ⎟⎠ +⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ + ⎜⎝ ư ⎟⎠ +⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

2 2

x 3 y 3

1 x 1 y

2 2 2 2

⎛ ⎞

≥ ⎜⎝ ư + ư ⎟⎠ +⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

2 2

x y 3x 3y

1 1

2 2 2 2

= x²+xy y+ ² = 12 2 3. =

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.

Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) = (2 ; 2).

Bài toán 4. Giải hệ phương trình

⎧ + + + =

⎪⎪⎨

⎪ ư ư =

⎪⎩

2 2

1 1 5 2

x y

x y 2

x y 2 2.

Lời giải. ĐKXĐ x 2; y 2. ≥ ≥

Ta có + = + +1 x 1 3x ≥ x 1 + 3.2=5

x 2 . .

x 4 x 4 4 x 4 2

Tương tự + ≥1 5

y .

y 2

áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có

⎛ ⎞

+ + + ≥ ⎜⎝ + ⎟⎠ +⎜⎝ + ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠ =

2 2

1 1 1 1

x y x y

x y

5 5 5 2

2 2 2 .

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.

Thay vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) = (2 ; 2).

3. Sử dụng bất đẳng thức Minkowski để chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực dương.

Chứng minh rằng

ư + + ư + ≥ + +

2 2 2 2 2 2

x xy y y yz z z zx x .

Lời giải. áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có x²ưxy y+ ² + y²ưyz z+ ²

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ +⎜⎝ ư ⎟⎠ + ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ +⎜⎝ ư ⎟⎠

2 2 2 2

3 x 3 z

x y z y

2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≥ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ +⎜⎝ ư ⎟⎠

= + +

2 2

3 3 x z

x z

2 2 2 2

z zx x .

Bài toán 6. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng

+ + + + + ≥

2 2 2 2 2 2

b 2a c 2b a 2c

ab bc ca 3.

Lời giải. Từ giả thiết ta suy ra 1+ + =1 1 a b c 1.

2 2 2 2 2 2

2 2

b 2a c 2b a 2c

ab bc ca

1 2 1 2 1 2

a b b c c a

1 1 2 2 1 2

a b b c c a

1 1 1 2 2 2

a b c a b c

1 1 1

3 a b c

3.1 3.

+ + + + +

= + + + + +

⎛ ⎞

≥ ⎜⎝ + ⎟⎠ +⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ + +

⎛ ⎞

≥ ⎜⎝ + + ⎟⎠ +⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + + ⎟⎠

= =

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3.

Bài toán 7. Cho x, y, z là các số thực dương và x y z 1. Chứng minh rằng + + ≤

= ²+ 1₂ + ²+ 1₂ + ²+ 1₂ ≥

P x y z 82.

x y z

(3)

Lời giải. áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có

= + + + + +

⎛ ⎞

≥ + + +⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

2 2 2

2 2

1 1 1

P x y z

x y z

1 1 1

(x y z) . (1)

x y z

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM -GM ta có

⎛ ⎞

+ + +⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

2

2 1 1 1

(x y z)

x y z

⎛ ⎞

= + + +⎜ + + ⎟ − + +

⎝ ⎠

2

2 1 1 1 2

81(x y z) 80(x y z)

x y z

⎛ ⎞

≥ + + ⎜ + + ⎟ −

⎝ ⎠

2

2 1 1 1

2 81.(x y z) . 80.1

x y z

⎛ ⎞

= + + ⎜ + + ⎟−

⎝ ⎠

≥ − =

1 1 1

2.9(x y z) 80

x y z

2.9.9 80 82.

Thay vào (1) ta đ−ợc

= ²+ 1₂ + ²+ 1₂ + ²+ 1₂ ≥

P x y z 82.

x y z

Đẳng thức xảy ra khi = = = 1

x y z .

3

4. Sử dụng bất đẳng thức Minkowski để tìm cực trị của một biểu thức đại số

Bài toán 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 9x= ²−6x 2 3 4x+ + ²+4x 2. + Lời giải. áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có P 2 9x= ²−6x 2 3 4x+ + ²+4x 2 +

= (2 6x)− ²+2² + (6x 3)+ ²+3²

≥ (2 6x 6x 3)− + + ²+ +(2 3)² =5 2.

Đẳng thức xảy ra khi 2 6x 2 6x 3 3 x 0.

− = ⇔ = +

Vậy P_min=5 2 khi x = 0.

Bài toán 9. Cho a, b, c là các số thực bất kì.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

P= a + −(1 b) + b + −(1 c) + c + −(1 a) . Lời giải. áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có

= + − + + − + + −

≥ + + + − − −

2 2 2 2 2 2

2 2

P a (1 b) b (1 c) c (1 a)

(a b c) (3 a b c) . Mặt khác ta có

+ + + − − −

= + + − + + +

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + + − ⎟⎠ + ≥

2 2

(a b c) (3 a b c) 2(a b c) 6(a b c) 9

3 9 9

2 a b c .

2 2 2

Đẳng thức xảy ra khi = = = 1

a b c .

2 Vậy _min= 3 2

P 2 khi = = = 1

a b c .

2

Bài toán 10. Cho a, b là các số thực thỏa

mãn + + = 25

(a 2)(b 2)

4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F= 1 a+ ⁴ + 1 b .+ ⁴

Lời giải. Theo giả thiết ta có

+ + = 25⇔ + + = 9

(a 2)(b 2) ab 2a 2b

4 4.

Ta lại có

2 2

a b 1 1

ab; 2a 2a; 2b 2b.

2 2 2

+ ≥ + ≥ + ≥

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có

+ + + + ≥ + + =

⇒ + ≥ ⇒ + ≥

2 2

a b 9

2a 2b 1 ab 2a 2b

2 4

5a 5b 5 1

a b .

2 2 4 2

= + + + = + + +

≥ + + + ≥ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

F 1 a 1 b 1 (a ) 1 (b )

1 17

(1 1) (a b ) 4 .

2 2

Đẳng thức xảy ra khi = = 1

a b .

2 Vậy _min 17

F = 2 khi = = 1

a b .

2