Chuyên đề hàm số hay

1

Đạo hàm

VD 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 1,  ⁴1 ³ 

2 2 5

y x 3x x 2, y(x³2)(1x²)

3, ^{1 5 2 4 3 3 2} 4 5

2 3 2

y  x  x x  x  x 4,

4 3 2

4 3 2

x x x

y   x

5, y x⁵4x³2x3 x ; 6,

2 3

2 2

x b a

y c x b

a x

     (a b c, , là hằng số) VD 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1,  ^



2 1

1 3 y x

x 2,  ^{ }



2 3 3

1

x x

y x 3,  ^{ }

 

2 2

1 1 y x x

x x

4, y(2x3)(x⁵2 )x 5, y x(2x1)(3x2) 6, ^y



^{x 1}



^{1 1}

x

 

    

 

7, ^{2 1}

1 y x

x

 

 8, ³

2 5

y x

 9,

2 1

1 x x y

x

  



10,

2 2 4 5

2 1

x x

y x

 

  11, 2

1 1

y x

   x

 12,

2

5 3

1 y x

x x

 

  VD 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1, y(2x³ 3x² 6x1)² 2,

2 5

1

( 1)

y x x

  3, y(x² x 1) (³ x² x 1)² 4,

1 2

y x

x

 

  

  5, y 1 2 xx² 6,y x²  1 1x² ; 7, y x x x 8, ^y



^{x x21}



^{5 9, y(x2 x 1)4}

10,  ^



2 3

( 1) ( 1) y x

x 11, y(x2) x²3 12, y 



1 1 2 x



³

VD 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1, y2 sin 3 cos 5x x 2, ^{sin cos} sin cos

x x

y

x x

 

 3,

1 tan 32 1 tan 32 y x

x

 

 4, y (sinxcos )x ² 5, y tanxcotx ;

6,  2 ³ 1 ⁵

tan2 tan 2 tan 2

3 5

y x x x 7, ^ytan2_^{sin cos 2}



^{3 x}



^_

VD 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 1, sin

sin

x x

y x  x 2,

3 3

sin cos sin cos

x x

y x x

 

 3,

x x

x y x

2 cos 2

sin 2

2 cos 2

sin



  4, y4 sin cos 5 .sin 6x x x 5, ^{sin 2 cos 2}

sin 2 cos 2

x x

y x x

 

 6, ^{sin cos}

cos sin

x x x

y x x x

 



7, ycos⁴ xsin⁴ x 8, y(sinxcosx)³ 9, ysin³2xcos³2x

2

10, ^{ysin cos3}



^x



^{11, ysin2}_^cos2



^{cos 3x}



^_ ^{12, cot5 cos2 3 2}

2 y x

x

    

      . VD 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1, ^{y3 sin}



^4xcos4x

 

^{2 sin6xcos6x}



2,^ycos4x



^2cos2x3



^sin4x



^2sin2x3



3, ^{y3 sin}



^8xcos8x

 

^{4 cos6x2sin6x}



^{6sin4x 4,} 6 ⁴ 6 ⁴ 4

sin 3cos 1

sin cos 3cos 1

x x

y x x x

 

   

5, cos² cos^{2 2} cos^{2 2}

3 3

y x   x   x 6,

 

tan . 1 sin

4 2

sin

x x

y x

   

 

 



7, ^{sin sin 2 sin 3 sin 4} cos cos 2 cos3 cos 4

x x x x

y x x x x

  

    8, 2 2 2 2cos , 0 ;

y    x x 2. VD 8. Cho hàm số y xsinx chứng minh :

1, ^xy2



^{y' sin x}

 

^{x 2cosxy}



^{0 2, ' tan}

cos

y x x

x  .

VD 9. Cho các hàm số : f

 

x sin⁴ xcos⁴x , g

 

x sin⁶ xcos⁶ x . Chứng minh : ³f^'

 

x ²g^'

 

x ⁰ VD 10. 1, Cho hàm số y x 1x² . Chứng minh : 2 1x².y' y .

2, Cho hàm số ycot 2x. Chứng minh : y' 2 y²  2 0 . VD 11. Giải phương trình y'0biết :

1, ysin 2x2 cosx 2, y cos² xsinx 3, y 3sin 2x4 cos 2x10x VD 12. Cho hàm số : ^{f x}

 

^{x3/ 3 2 x2mx5 . Tìm} mđể :

1, ^f

 

^{x   0 x 2, f}

 

^{x 0 , x}



^{0; }



^;

3, ^f

 

^{x 0 , x}

 

^{0; 2 4, f}

 

^{x 0 ,  x}



^{; 2}



VD 13. Cho hàm số :

 

^{3 2}



⁴



^{5 1}

3 2

m m

f x  x  x  m x m . Tìm mđể :

1, ^f

 

^{x 0 , x ; 2, f}

 

^{x 0} có hai nghiệm cùng dấu.

VD 14. Cho hàm số ^{1 3}



^{2 1}



^{2 4}

y3x  m x mx . Tìm m để :

1, y'0 có hai nghiệm phân biệt 2, y'0 , x 3, ^{y'0 , x}



^{1 ; 2}



^{4, y'0 , x 0 .}

VD 15. Cho hàm số ^{1 3}



¹



^{2 3}

y 3mx  m x mx . Xác định mđể :

1, y'0 , x . 2, y'0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm 3, y'0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x₁²  x₂² 3 ^.

BµI: PH¦¥NG TR×NH TIÕP TUYÕN

3

1, Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị

 

^{C :y f x}

 

tại M x



0 ; y0



, có phương trình là :

  

0 0



0

' .

y  f x xx y ( 1 ) .

2, Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị

 

^{C :y f x}

 

có hệ số góc là k thì ta gọi M0



x0 ;y0



là tiếp điểm  f '

 

x0 k (1)

 Giải phương trình (1) tìm x₀ suy ra y0  f x

 

0

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y k x



x0



 y0

 Chú ý :

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .

 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng 1 . 3, Biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y



1; 1



VD 1. Cho đường cong

 

^{C :y f x}

 

^x33x2. Viết phương trình tiếp tuyến của

 

^C

1, Tại điểm M0



1 ;2



2, Tại điểm thuộc

 

^C và có hoành độ x₀ 1 3, Tại giao điểm của

 

^C với trục hoành . 4, Biết tiếp tuyến đi qua điểm^A



^{ 1 ; 4}



VD 2.Cho đường cong

 

^{: 3 1}

1 C y x

x

 



1, Viết PTTT của

 

^C biết tiếp tuyến song song với

 

^{d :x4y21 0 .}

2, Viết PTTT của

 

^C biết tiếp tuyến vuông góc với

 

^{ : 2x2y 9 0.}

VD 3. 1, Cho hàm số ^{yx33x29x5}

 

^C . Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

2, Cho hàm số ^{y  x3 3x2 9x5}

 

^C . Tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

VD 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ²

 

¹

2 3

y x x

 

 biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

VD 5.Cho

 

^C là đồ thị của hàm số y 6xx² . CMR tiếp tuyến tại một điểm bất kì của

 

^{C cắt trục}

tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .

VD 6.Cho hàm số

 

^{C :yx32x3} . Viết phương trình tiếp với

 

^{C :}

1, Tại điểm có hoành độ x₀2 2, Biết tiếp tuyến song song với: x  y 9 0 ; VD 7.Cho hàm số : ^{3 1}

 

1

y x C

x

 

 .

1, Viết PTTT của

 

^C tại điểm ^M



^{ 1 ; 1}



^. 2, Viết PTTT của

 

^C tại giao của

 

^C với Ox 3, Viết PTTT của

 

^C tại giao của

 

^C với Oy. 4, Viết PTTT của

 

^{C bết TT //}

 

^{d : 4x  y 1 0.}

5, Viết PTTT của

 

^C biết tiếp tuyến vuông góc với

 

^{ : 4x  y 8 0}

VD 9.Cho hàm số ^y ¹ ^{x x2}

 

^C .Tìm phương trình tiếp tuyến với

 

^{C :}

1, Tại điểm có hoành độ ₀ ¹

x  2 2, Song song với:

 

^{d :x2y0.}

VD 10.Cho hàm số ^{yx33mx2}



^m1



^x1

 

¹ . Tìm các giá trị của mđể tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x 1 đi qua điểm ^A

 

^{1 ; 2 .}

VD 11.Cho hàm số ^{3 1}

 

¹

1 y x

x

 

 . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của

4 đồ thị của hàm số (1) tại điểm ^M



^{2 ; 5}



^.

VD 12.Cho hàm số ^{y 3x34}

 

^C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

^C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

 

^{d : 3y  x 6 0 góc 300 .}

VD 13.Cho hàm số ^{2 1}

 

1

y x C

x

 

 . Gọi ^I



^{1 ; 2}



. Tìm điểm ^M

 

^C sao cho tiếp tuyến của

 

^{C tại}

M vuông góc với đường thẳng IM . VD 14. Cho hàm số ²

 

 1



y x C

x . Tìm điểm ^{M }

 

^C , biết tiếp tuyến của

 

^C tại M cắt hai trục tọa độ tại A B, và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4. (Khối D - 2007) VD 15. Cho hàm số :

 

1

y x C

 x

 . Viết phương trình tiếp tuyến

 

^{ của}

 

^{C sao cho}

 

^{ và hai}

đường

 

d1 :x1 ;

 

d2 :y1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

VD 16.Cho hàm số

2 1 2



  x

y x . Viết PTTT với đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.

VD 17. Cho hàm số ^{3 2} 1 y x

x

 

 (C). Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với y4x10. VD 18.Cho hàm số ( )

1 2

3 C

x y x



  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).

VD 19. Cho hàm số yx³3x1 (C). Viết PTTT của (C) biết hệ số góc bằng 9 (TN THPT 2013) VD 20.Cho hàm số ¹

1 y x

x

 

 (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).

VD 21. Cho hàm số y x³3x2 (C)

1, Viết PTTT (C) tại điểm ^M

 

^{2;4 .} 2, Viết PTTT (C) tại điểm có hoành độ ¹ x2 . 3, Viết PTTT của (C) tại các điểm có tung độ y0 .

VD 22. Cho hàm số y = - 2x³+ 3x²- 1 (C)

1, Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với

 

^{: 2 2015}

d y 3x 2, Viết phương trình đường thẳng đi qua 1;¹

M 4

 

  và tiếp xúc với đồ thị (C).

VD 23 Cho hàm số yx⁴ 2x² (C)

1, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x2 . 2, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y8 .

3,Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .

5

Bài: Hàm số đồng biến, NGHịCH BIếN

Bài toỏn: Xột sự biến thiờn của hàm số y = f(x).

P²: Ta cần thực hiện cỏc bước sau:

B1: Tỡm miền xỏc định của hàm số.

B2: Tớnh đạo hàm f ‟(x), rồi giải phương trỡnh f „(x) = 0.

B3: Lập bảng biến thiờn của hàm số.

B4: Kết luận.

VD 1. Tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1, y = 3x² – 8x³ 2, y = x³ – 6x² + 9x 3, 1 ^{3 2}

2 1

y3x  x  4, yx³x²8x1 5, y = x²(4 – x²) 6, y = x⁴ + 8x² + 1 7,yx³6x²17x4 8, ^{1 4 3} 5

y2x x  x 9, ^{3 4 5} 8 yx 5x  VD 2. Lập bảng biến thiờn và tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1, ^{3 2}

7 y x

x

 

 2,

2 2

2 x x

y x

  

 3, ₂ ²

1 y x

x x

 

 

4, ₂ ¹

4 3

y x x

  5,

2

2 1

1 y x

x x

 

  6,

2 1

3 y x

x

 



7, y x²2x5 8,yx x²4 9,y x 2x x ² Bài toỏn: Xỏc định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trờn khoảng D.

B1: Tỡm miền xỏc định của hàm số.

B2: Tớnh đạo hàm f‟(x).

B3: Lập luận cho cỏc trường hợp

 f ‟(x)  0 với min '(x) 0

x D

x D f

     .

 f ‟(x)  0 với max '(x) 0

x D

x D f

    

VD 3. Tỡm m sau cho hàm số:

1, y = x³ – 3(m – 1)x² + 3m(m-2)x + 1 ĐB / R. 2, y = mx³ – (2m – 1)x² + (m – 2)x ĐB / R.

3, y = x³ + 3x² + (m + 1)x + 4m NB/

 

^{1;1 . 4, y = (m2 + 5m)x3 + 6mx2} + 6x đơn điệu / R.

5, y = ¹ 3 m

x³ + mx² + (3m – 2)x ĐB / R. 6, y = -¹

3x³ + (m – 1)x² + (m + 3)x ĐB /(0; 3) 7, y = x³ – 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 ĐB /(2; +).

8, y = x³ – (m+1)x² – (2m² – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến khi x2. 9, y = x³ – 3mx² + m – 6 đồng biến trong khoảng (-; 0).

VD 4. Tỡm m sau cho hàm số:

1, y = (2m + 3)sin²x + (2 – m)x ĐB / R. 2, y = 2x + mcosx, tăng trờn R.

3, y = x + msinx, đồng biến trờn R.

4, y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến trờn R.

VD 5. Tỡm m sau cho hàm số:

1, ²

3 y mx

x m

 

  luụn nghịch biến. 2,

2 2( 1) 2

1

x m

y x

  

  ĐB/ (0; +).

3,

2 2 3

2 1

x x m

y x

  

  NB/ ( ¹; )

2  4,

2 2 3 1

x x m

y x

 

  ĐB / (3; +).

6

Bµi: cùc trÞ cña Hµm sè

VD 1. Tìm cực trị của hàm số

1, ^{1 3 2} 3 ⁴

3 3

y x x  x . 2, ^{1 3 2} 3 ⁴

3 3

y x x  x . 3, y2x³9x²12x3 4,y 5x³3x²4x5 5,y3x⁴4x³24x²48x3 6, 3 ⁹

y x 2

   x

 ; VD 2. Tìm cực trị của hàm số

1, ₂

4 y x

 x

 ; 2,yx 3x 3, ^{y x x}



^2



VD 3. Tìm a, b, c để hàm số yx³ax²bx c đạt cực tiểu tại x1, ^y

 

^{1  3} và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

VD 4. Cho hàm số y  x³ 3x²4. Với giá trị nào của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của hàm số tiếp xúc với đường tròn (C) :



xm

 

² y m 1



² 5

VD 5. Cho hàm số y = ¹

3x³ + ( m – 1 )x² + (2m – 2 )x (1). Tìm m để hàm số (1) có hai cực trị . VD 6. Tìm m để hàm số ^y



^m2



^{x33x2mx5} có cực đại, cực tiểu.

VD 7. Cho hàm số y = x³ + ( 1 – 2m )x² + 3x + 1 – m (1). Tìm m để hàm số ( 1) không có cực trị.

VD 8. Cho hàm số: ^y



^m2



^x3mx2. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.

VD 9. Cho hàm số: ^{1 3 2}



^{2 1}



¹

y3x mx  m  m x . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1.

VD 10. Cho hàm số y = ¹

3x³ + mx² + (m² – 4 )x +2 (1) . Tìm m để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = 1 VD 11. Cho hàm số yx³ 3x²3x2

1, Tìm cực trị của hàm số. 2, Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

VD 12. Cho hàm số ^{yx36x23}



^m2



^{x m 6}. Xác định m sao cho:

1, Hàm số có cực trị. 2, Hàm số có hai cực trị cùng dấu.

VD 13. Tìm m để hàm số ^{1 3}



¹



^{2 3}



²



¹

3 3

y mx  m x  m x đạt cực đại, cực tiểu tại x_1, x₂ thoả

1 2 2 1

x  x 

VD 14. Tìm m để hàm số

3 2

3 2

x x

y  mxđạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m.

VD 15. Cho hàm số: ^{y f x}

 

^2x33



^m1



^x26



^m2



^x1 (1). Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  3x 4

VD 16. Cho hàm số:

2 3 5

2

x x

y x

 

  . Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

VD 17. Cho hàm số:

x2 mx m

y x m

 

 



m0



. Tìm m để có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu . Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

7 VD 19. Tìm m để hàm số y = ¹

3x³ - ( m + 1 )x² + (m² + 2 )x + 1 – m đạt cực trị tại x₁ , x₂ thỏa x₁² + x₂² = 10 .

VD 20. Tìm m để y = x³ – 3mx² – 2 (2m+3)x + 1 đạt cực trị tại x₁ , x₂ thỏa _{1 2}

1 2

1 1

3 0

x x

x x

 

    

 

VD 21. Cho hàm số y = ²

3 x³ – mx² – 2 (3m² – 1 )x + ²

3 ( 1 ) Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x₁, x₂ thỏa x₁x₂ + 2(x₁ + x₂ ) = 1 VD 22. Cho hàm số y = 2x³ – ( 9m + 3 )x² + 12m(m+1)x – m³

Tìm m để hàm số ( 1) đạt cực trị tại x₁, x₂ thỏa x₁ – x₂ = 4.

VD 24. Cho hàm số y = x³ – (2m – 1 )x² + (2 – m )x + 2 (1). Tìm các giá trị của m để hàm số ( 1 ) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( 1) có hoành độ dương .

VD 25. Tìm m để

1, Đồ thị hàm số y = x³ – (2m + 1 )x² + (m² – 3m + 2 )x + 4 có cực đại, cực tiểu và điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục tung.

2, Đồ thị hàm số y2x³3x²6mx m có hai điểm cực trị ở cùng một phía đối với trục hoành VD 26. Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 3m³ (1). Tìm m để (Cm) có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.

VD 27. Cho hàm số y = -x³ + 3x² + 3(m² – 1 )x – 3m² – 1 ( 1). Tìm m để hàm số ( 1 ) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( 1 ) cách đều gốc tọa độ O.

VD 28. Cho hàm số y = 2x³ – 3(2m + 1)x² + 6m(m+1)x + 1 (1 ). Tìm m để hàm số ( 1 ) có cực trị . Khi đó chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó không đổi.

VD 29. Cho hàm số yx³3mx²3(m²1)x m ³m (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

VD 30. Cho hàm số y = ^{1 3 5 2} 4 4

3x 2mx  mx (1). Tìm m để hàm số ( 1 ) có cực trị tại x₁, x₂ thỏa

biểu thức ₂ ^{2 22} ₂¹

1 2

5 12

5 12

x mx m

A m

x mx m m

 

 

  đạt giá trị nhỏ nhất.

VD 33. Tìm m để hàm sốy2x³3(m1)x²6mxm³ có cực đại , cực tiểu : y_CĐ – y_CT 8

VD 34. Cho hàm số ^{2 3 ( 1) 2}



^{2 4 3}



y 3x  m x  m  x x . Với giá trị nào của m để hàm số có cực đại cực tiểu x x₁, ₂ Tìm GTLN A = x x_{1 2}2(x₁x₂)

VD 36. Cho hàm số ^{3 3 2}

yx 2mx m . Tìm m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của dồ thị hàm số nằm về hai phía của d x: 2y0

VD 37. Tìm m để yx³2(m1)x²(m²4m1)x2(m²1)có cực trị tại x x₁, ₂sao:



1 2



1 2

1 1 1

2 x x x  x  

8

VD 39. Cho hàm số : yx³3(m1)x² 9x m . Tỡm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại cỏc điểm cú hoành độ x x₁; ₂: x₁x₂ 2

VD 40. Cho hàm số yx³ (1 2 )m x² (2 m x)  m 2. Tỡm m để đồ thị hàm số cú điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ của cực tiểu nhỏ hơn 1

VD 41. [ĐHB11] Cho hàm số ^yx42



^m1



^{x2m. Tỡm m} để đồ thị hàm số cú ba điểm cực trị A, B, C sao cho OABC; trong đú A thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị cũn lại.

VD 42. [ĐHA12] Tỡm m để đồ thị hàm số ^yx42



^m1



^x2m2 cú ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giỏc vuụng.

VD 43. Cho hàm số yx⁴ – 2mx²2m m ⁴ (m là tham số). Tỡm m để đồ thị hàm số cú cực đại và cực tiểu lập thành một tam giỏc đều.

VD 46. Tỡm m để đồ thị hàm số yx⁴2mx² m 1.cú 3 điểm cực trị tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 1

VD 47. Cho hàm số yx⁴2mx² m 1. Tỡm m để đồ thị hàm số cú 3 điểm cực trị tạo thành một tam giỏc cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 1

Bài: ứng dụng của đạo hàm

Phần 1: Giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất.

1, ĐN: Cho hàm số xỏc định trờn D

+Nếu ^{( ) ,}

: ( )

o o

f x M x D

x D f x M

  

  

 thỡ max ( )

x D f x M

 

9 +Nếu ^{( ) ,}

: ( )

o o

f x m x D

x D f x m

  

  

 thì min ( )

x D f x m

 

2, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là +∞). Hãy tìm

( ; )

max ( )

a b f x và

( ; )

min ( )

a b f x (nếu chúng tồn tại).

Cách giải. Lập bảng biến thiên.

Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Hãy tìm

[ ; ]

max ( )

a b f x và

[ ; ]

min ( )

a b f x . Cách giải

1, ì các đi tới h n ₁, x₂, …., _n của ( t n đo n a;b].

2, ính (a , ( ₁), f(x₂ , …, ( _n), f(b).

3,



^{ }

   

1 2 ^{ }



[ ; ]

max ( ) max , , ,...,

a b f x  f a f x f x f b ;



^{ }

   

1 2 ^{ }



[ ; ]

min ( ) min , , ,...,

a b f x  f a f x f x f b

3, B I T P ÁP D NG

VD 1. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

1,^{y f x}

 

^{2x36x21} trên đoạn



^1;1



^{2, y f x}

 

^{ 2x44x23} trên đoạn

 

^{0; 2}

3,

 

^{1 3 2 2 1}

y f x  3x x  x trên đoạn



^1;0



VD 2. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

1,

 

^{1 3 2}

y f x 3x x trên đoạn

 

^{1;3 2,}

 

^{1 4 2 1}

2 2

y f x   x x  trên đoạn

 

^{0; 2}

3,^{y f x}

 

^{2x33x212x1} trên đoạn 2;⁵ 2

 

 

  4,^{y f x}

 

^{x33x25} trên đoạn



^{1; 4}



5,^{y f x}

 

^{x48x216} trên đoạn



^1;3



^{6,y f x}

 

^{x4x21} trên đoạn 0;¹ 2

 

 

  VD 3. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

1,

 

^{2 1}

1 y f x x

x

  

 trên đoạn

 

^{2; 4 2,}

 

^{2 1}

2 y f x x

x

  

 trên đoạn ¹;1 2

 

 

 

3,

 

^{1 4}

y f x x 2

    x

 trên đoạn



^{1; 2}



^4,

 

^{2 2 3}

2

x x

y f x

x

 

 

 trên đoạn

 

^0;3

VD 4. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

1, y x 4x² 2, ^{y x2  x 1 x2 x 1,x }

 

^1;1

3,^y



^x6



^x24 trên đoạn

 

^{0;3 4,}

5, 2

1 1 y x

x

 

 trên đoạn



^{1; 2}



^{6,y }



^{3 x}



^x21 trên đoạn

 

^{0; 2}

VD 5. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

1,^{y f x}

 

^{sin 2xx} trên đoạn ; 2 2

 

 

  2,^{y f x}

 

^{ x 2 cosx} trên đoạn 0;

2

 

 

 

10 3,^{y f x}

 

^{2sinxsin 2x} trên đoạn 0;³

2

 

 

  4,^{y f x}

 

^{ 2 cos 2x4s inx trên 0;}

2

 

 

  5,^{y f x}

 

^{2sin3xcos2x4sinx1 6,}

 

^{s inx}

2 cos y f x

  x

 trên đoạn

 

^0;

VD 6. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

1,y x 1 3 x (x1)(3x) 2, ³ 3 ² 2

 

1 1 1

0

y x x x x

x x x

      

3,^{y 1x2 3}



^1x2



^{2 4, 4} 2^{3 2}

4 8 8 5

2 2

x x x x

y x x

   

  

5,

4 2 2

2 2

2 1 1 1 3

1 1 1

x x