PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)

(1)

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian: 90 phút (5/6/2018) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010-0506-2018-0100-0001 (Nộp lại đề này)

PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)

(Chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6)

2019

4 17 i

i 



Câu 1 Cho số phức z = + e . Khi đó, phần thực và phần ảo của là: 3+5i z A) Rez4e³cos5 , Imze³sin5

B) Rez4e³cos5 , Imze³sin5

C) Rez4e³cos5 , Imz2e³sin5 D) Rez4e³cos5 , Imz2e³sin5

Câu 2 Với điều kiện  và , xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt phẳng phức): ,

 b a,

ib a

2 0

2b 

a

z_o  z a ib e ⁵^πⁱ

2

1(  ) ^ z a ib e ⁵^πⁱ

6

3 (  ) ^

πi

e ib a

z ⁵

4

2 (  ) ^ z a ib e ⁵^πⁱ

8

4 (  ) ^

, , , ,

. Khẳng định nào sau đây sai?

i

e π

ib a

z₅ (  ) ^²

A) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄cĩ biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một hình ngũ giác đều.

B) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄cĩ biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một ngơi sao năm cánh đều.

C) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄,z₅cĩ biểu diễn hình học cùng thuộc một đường trịn tâm là gốc tọa độ O(0,0). D) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄,z₅ cĩ biểu diễn hình học tương ứng với sáu đỉnh một lục giác đều.

Câu 3 Ảnh của đường trịn x² y² 1 qua phép biến hình w = z

6=uiv là A) Đường trịn u² v² 1. C) Đường trịn u²v² 36. B) Đường trịn u² v² 6. D) Đường thẳng u²v²  6.

Câu 4 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u(x,y)16xy6y9 và . Khẳng định nào sau đây đúng?

1 6 8 8 ) ,

(x y  y² x²  x v

A) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp.

B) u, v là các hàm điều hịa liên hợp.

C) u điều hịa, v khơng điều hịa.

D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai?

A) Nếu a là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) và , f z A (với0 A) thì a là cực điểm cấp m của hàm f(z).

 ( )

lim f z

a

z z a ^m

a

z  

 ( ) ( )

lim

B) z3i là cực điểm cấp 2 của hàm ₂ ) 3 ) (

( ⁶ ²

i z z e

f ^iz ^z

 ^ ^

C)





 



4 2

)2

3 (

2 6

i z

i dz z eiz z

= 2πi(ie^³6) D) ,3]

) 3 [ ( Re ) 2

3

( ²

2 3

2

2 6 2

6 i

i z s e i π i dz

z

eiz z iz z

z  













Câu 6 Cho phương trình vi phân: y'5y = u(t2π)e^³⁽^t^²^π⁾ (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 6.

Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)

 Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY5Y = 3

2





p

e ^π^p +6 (2)

 Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y=

) 5 )(

3 (

2





p p

e ^π^p + 5 6



p (3)

(2)

 Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = 

 





 





5 1 3 1 2

1 ₂

p

e ^π^p p +

5 6

 p

 Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y =

 

⁽ ² ⁾

2

1 ₃₍ ₂ ₎ ₅₍ ₂

π t u e

e^ ^t^ ^π  ^ ^t^ ^π  +6e^⁵^t

A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai.

B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai.

Câu 7 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

) 4 ) 5 ((

4 5₂

0 5



 



 







^tê û^ch ûdu _p _p^p

0

( ) ( )

t F p

f u du

p

 

 







A) L B) L

1 1  ⁰





Tp pt f t dt

e

^T

e

^{( )}

C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì F(p) = L f(t) = D)Nếu và f(t+3) = f(t) thì L f(t) =







 

π t π khi

π t khi t t

f 0 2 3

2 0

4 ) sin

( pt tdt

p

π

e

³ ^sin⁴

1

1 ^2π



0 ^

  Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai?

i

ez ² 1

 ez ²i

1





^

₀ !( 2) 1

n n z i n

A) Khai triển Laurent của quanh điểm bất thường cơ lập z_o 2i là =

i

ez

i z z

f ²

1

)3

2 ( )

(   ^

B) Khai triển Laurent của hàm quanh điểm bất thường cơ lập z_o 2i là

= ) (z

f



^

 



0 3

) 2 (

! ) 1 2 (

n n z i n

i

z



^

₀ !( 2 ) ³

1

n n z i n

=

] 2 , ) 2 [(

Re 2 )

2

( ²

1 3 3

3

2 1

3e dz πi s z i e i

i

z ^z ⁱ

i z

i

z   

 ^











^ ^





 4

3

2 1

)3

2 (

i z

i

z dz

e i

z 4! 12

2 1 πi i

π 

D) C)

Câu 9

Cho mạch điện RL như hình vẽ thỏa phương trình vi phân dt

t

Ldi( )+R i(t) ⁽¹⁾ E(t) với i(0) = 0 vàR,L là các hằng số dương.

Trường hợp và cần giải phương trình vi phân để tìm ta làm như sau:

0 )

(t E const 

E _o

) (t i

Đặt I = I(p) = L



(it)



 _^ _^ dt

t di( )

L =L



i ('t)



= pI-i(0) = pI Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1) ta được: LpI +RI =

p

E_o (2)

Giải (2) tìm I và phân tích thành phân thức đơn giản ta được: I =

















L

p R

1 p 1 R

E_o (3)















  ^^L^t

R

o 1 e

R

 

I  E L-1

Biến đổi Laplace ngược hai vế của (3) ta được: i(t) =

A)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai.

B)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai.

Câu 10

(3)

t Ldi( )

R i(t) ⁽¹⁾ E(t)

+ với i(0) = 0 vàR,L là các hằng số dương.

Trường hợp với và cần giải

phương trình vi phân để tìm ta làm như sau:

t E t

E( ) _osin6 E_o const0 )

t ( i Đặt I = I(p) = L



(it)



^ _^ _^

dt t di( )

L =L



i ('t)



36 6

2  p

E_o (2) Giải (2) tìm I ta được: I =

) )(

36 (

6

2

L p R L p

E_o



 (3)

Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: I =















 



L

p R

C p

B Ap L E_o

36 6

2 (4),với à

các hằng số bất định mà chúng ta chưa tìm.

C B A, , l

) (t

i 













   ^^L^t

R

Ce t B t L A

E_o

6 sin 6

 

 cos

-1 I L

Biến đổi Laplace ngược hai vế của (4) ta được: =

A)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng.

B)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. D)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai.

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân y(t)= 1 ^t _y _u _cos₃₍_t _u₎_du

0 ) (

10





e²^t

Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân , điều kiện x(0)= y(0) = 0















e t

y y x

y x

7 2

' 3 6 '

Câu 13 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân với điều kiện và t

e y

y

y''8 '12 6 ^^t sin5 y(0)0 y'(0)0

Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hịa theo thời gian t. Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này.

) (t y Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.

CHUẨN ĐẦU RA

Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)

Từ câu 1 đến câu 8 G1: 1.1, 1.2

G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

Câu 9 đến câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống.

G1: 1.1, 1.2

G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

Ngày 1 tháng 6 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán

(4)

(5)

(6)

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM

BỘ MÔN TOÁN

THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Mã đề: 0010-0506-2018-0100-0001 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2

ĐIỂM

Họ, tên sinh viên: ...

Mã số sinh viên:...

Số báo danh (STT):... Phòng thi: …...

Thời gian : 90 phút (5/6/2018)

Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải.

Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm .

BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Trả lời

BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN

(7)

PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)

Câu 1 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

) 4 ) 5 ((

4 5₂

0 5



 



 







0

( ) ( )

t F p

f u du

p

 

 







A) L B) L

1 1  ⁰





Tp pt f t dt

e

^T

e

^{( )}

C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì F(p) = L f(t) = D)Nếu và f(t+3) = f(t) thì L f(t) =







 

π t π khi

π t khi t t

f 0 2 3

2 0

4 ) sin

( pt tdt

p

π

e

³ ^sin⁴

1

1 ^2π



0 ^

i

ez ² 1

 ez ²i

1





^

₀ !( 2) 1

n n z i n

i

ez

i z z

f ²

1

)3

2 ( )

(   ^

= ) (z

f



^

 



0 3

) 2 (

! ) 1 2 (

n n z i n

i

z



^

₀ !( 2 ) ³

1

n n z i n

=

] 2 , ) 2 [(

Re 2 )

2

( ²

1 3 3

3

2 1

3e dz πi s z i e i

i

z ^z ⁱ

i z

i

z   

 ^











^ ^





 4

3

2 1

)3

2 (

i z

i

z dz

e i

z 4! 12

2 1 πi i

π 

D) C)

2019

4 17 i

i 



 b a,

ib a

2 0

2b 

a

2

1(  ) ^ z a ib e ⁵^πⁱ

6

3 (  ) ^

πi

e ib a

z ⁵

4

2 (  ) ^ z a ib e ⁵^πⁱ

8

4 (  ) ^

, , , ,

i

e π

ib a

z₅ (  ) ^²

A) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄cĩ biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một hình ngũ giác đều.

B) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄cĩ biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một ngơi sao năm cánh đều.

C) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄,z₅cĩ biểu diễn hình học cùng thuộc một đường trịn tâm là gốc tọa độ O(0,0). D) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄,z₅ cĩ biểu diễn hình học tương ứng với sáu đỉnh một lục giác đều.

6=uiv là A) Đường trịn u² v² 1. C) Đường trịn u²v² 36. B) Đường trịn u² v² 6. D) Đường thẳng u²v²  6.

(8)

1 6 8 8 ) ,

(x y  y² x²  x v

 ( )

lim f z

a

z z a ^m

a

z  

 ( ) ( )

lim

( ⁶ ²

i z z e

f ^iz ^z

 ^ ^

C)





 



4 2

)2

3 (

2 6

i z

i dz z eiz z

= 2πi(ie^³6) D) ,3]

) 3 [ ( Re ) 2

3

( ²

2 3

2

2 6 2

6 i

i z s e i π i dz

z

eiz z iz z

z  













2





p

e ^π^p +6 (2)

) 5 )(

3 (

2





p p

e ^π^p + 5 6



p (3)

 Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = 



 





 





5 1 3 1 2

1 ₂

p

e ^π^p p +

5 6

 p

 

⁽ ² ⁾

2

1 ₃₍ ₂ ₎ ₅₍ ₂

π t u e

e^ ^t^ ^π  ^ ^t^ ^π  +6e^⁵^t

Câu 9

t

0 )

E _o

) (t i

Đặt I = I(p) = L



(it)



 _^ _^ dt

t di( )

L =L



i ('t)



p

E_o (2)

















L

p R

1 p 1 R

E_o (3)















  ^^L^t

R

o 1 e

R

 

I  E L-1

A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. C)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai.

B)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. D) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai.

Câu 10

(9)

t Ldi( )

R i(t) ⁽¹⁾ E(t)

t E t



(it)



^ _^ _^

dt t di( )

L =L



i ('t)



36 6

2  p

) )(

36 (

6

2

L p R L p

E_o



 (3)















 



L

p R

C p

B Ap L E_o

36 6

2 (4),với à

C B A, , l

) (t

i 













   ^^L^t

R

Ce t B t L A

E_o

6 sin 6

 

 cos

-1 I L

0 ) (

10





e²^t















e t

y y x

y x

7 2

' 3 6 '

e y

y

y''8 '12 6 ^^t sin5 y(0)0 y'(0)0

CHUẨN ĐẦU RA

Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)

Từ câu 1 đến câu 8 G1: 1.1, 1.2

G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

G1: 1.1, 1.2

G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

(10)

(11)

(12)

BỘ MÔN TOÁN

ĐIỂM

Thời gian : 90 phút (5/6/2018)

Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm .

Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Trả lời

BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN

(13)

1 6 8 8 ) ,

(x y  y² x²  x v

 ( )

lim f z

a

z z a ^m

a

z  

 ( ) ( )

lim

( ⁶ ²

i z z e

f ^iz ^z

 ^ ^

C)





 



4 2

)2

3 (

2 6

i z

i dz z eiz z

= 2πi(ie^³6) D) ,3]

) 3 [ ( Re ) 2

3

( ²

2 3

2

2 6 2

6 i

i z s e i π i dz

z

eiz z iz z

z  













2





p

e ^π^p +6 (2)

) 5 )(

3 (

2





p p

e ^π^p + 5 6



p (3)

 Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = 



 





 





5 1 3 1 2

1 2

p

e ^π^p p +

5 6

 p

 

⁽ ² ⁾

2

1 e^3(^t^2^π) e^5(^t^2^π u t π +6e^⁵^t

Câu 4 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

) 4 ) 5 ((

4 5₂

0 5



 



 







0

( ) ( )

t F p

f u du

p

 

 







A) L B) L

1

1  ⁰





Tp pt f t dt

e

^T

e

^{( )}

C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì F(p) = L f(t) = D)Nếu và f(t+3) = f(t) thì L f(t) =







 

π t π khi

π t khi t t

f 0 2 3

2 0

4 ) sin

( pt tdt

p

π

e

³ ^sin⁴

1

1 ^2π



0 ^

i

ez ² 1

 ez ²i

1





^

₀ !( 2) 1

n n z i n

(14)

i

ez

i z z

f ²

1

)3

2 ( )

(   ^

= ) (z

f



^

 



0 3

) 2 (

! ) 1 2 (

n n z i n

i

z



^

₀ !( 2 ) ³

1

n n z i n

=











 4

3

2 1

)3

2 (

i z

i

z dz

e i

z 4! 12

2 1 πi i

π 

] 2 , ) 2 [(

Re 2 )

2

( ²

1 3 3

3

2 1

3e dz πi s z i e i

i

z ^z ⁱ

i z

i

z   

 ^







 D)

C)

2019

4 17 i

i 



 b a,

ib a

2 0

2b 

a

2

1(  ) ^ z a ib e ⁵^πⁱ

6

3 (  ) ^

πi

e ib a

z ⁵

4

2 (  ) ^ z a ib e ⁵^πⁱ

8

4 (  ) ^

, , , ,

i

e π

ib a

z₅ (  ) ^²

A) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄cĩ biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một ngơi sao năm cánh đều.

B) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄,z₅cĩ biểu diễn hình học cùng thuộc một đường trịn tâm là gốc tọa độ O(0,0). C) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄cĩ biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một hình ngũ giác đều.

D) z_o,z₁,z₂,z₃,z₄,z₅ cĩ biểu diễn hình học tương ứng với sáu đỉnh một lục giác đều.

6=uiv là A) Đường trịn u² v² 1. C) Đường trịn u²v² 36. B) Đường trịn u² v² 6. D) Đường thẳng u²v²  6. Câu 9

t

0 )

E _o

) (t i

Đặt I = I(p) = _L



(it)



 _^ _^ dt

t di( )

L =_L



i ('t)



p

E_o (2)

















L

p R

1 p 1 R

E_o (3)















  ^^L^t

R

o 1 e

R

 

I  E L-1

A) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. C) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai.

B)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai.

Câu 10

(15)

t Ldi( )

R i(t) ⁽¹⁾ E(t)

t E t



(it)



^ _^ _^

dt t di( )

L =L



i ('t)



36 6

2  p

) )(

36 (

6

2

L p R L p

E_o



 (3)















 



L

p R

C p

B Ap L E_o

36 6

2 (4),với à

C B A, , l

) (t

i 













   ^^L^t

R

Ce t B t L A

E_o

6 sin 6

 

 cos

-1 I L

0 ) (

10





e²^t















e t

y y x

y x

7 2

' 3 6 '

e y

y

y''8 '12 6 ^^t sin5 y(0)0 y'(0)0

CHUẨN ĐẦU RA

Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)

Từ câu 1 đến câu 8 G1: 1.1, 1.2

G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

G1: 1.1, 1.2

G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

(16)

(17)

(18)

BỘ MÔN TOÁN

ĐIỂM

Thời gian : 90 phút (5/6/2018)

Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm .

Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Trả lời

BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN

(19)

(Chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai?

 ( )

lim f z

a

z z a ^m

a

z  

 ( ) ( )

lim

( ⁶ ²

i z z e

f ^iz ^z

 ^ ^

C)





 



4 2

)2

3 (

2 6

i z

i dz z eiz z

= 2πi(ie^³6) D) ,3]

) 3 [ ( Re ) 2

3

( ²

2 3

2

2 6 2

6 i

i z s e i π i dz

z

eiz z iz z

z  













Câu 2 Ảnh của đường trịn x² y² 1 qua phép biến hình w =

z

6=uiv là A) Đường trịn u² v² 1. C) Đường trịn u²v² 36. B) Đường trịn u² v² 6. D) Đường thẳng u²v²  6. Câu 3 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

) 4 ) 5 ((

4 5₂

0 5



 



 







0

( ) ( )

t F p

f u du

p

 

 







A) L B) L

1 1  ⁰





Tp pt f t dt

e

^T

e

^{( )}