MỤC LỤC

(1)

(2)

MỤC LỤC

DẠNG 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN………1

DẠNG 2: MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN……….8

DẠNG 3: GÓC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI MẶT PHẲNG...21

DẠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN...29

DẠNG 5: GÓC, KHOẢNG CÁCH, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỚI ĐƯỜNG THẲNG……….44

DẠNG 6: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN...58

DẠNG 7: MIN, MAX TRONG HH OXYZ...69

7.1. MIN, MAX VỚI MẶT PHẲNG...71

7.2 MIN, MAX VỚI ĐƯỜNG THẲNG...76

7.3 MIN, MAX VỚI MẶT CẦU...83

DẠNG 8: TỌA ĐỘ HÓA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN...91

(3)

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG

1. Véc tơ trong không gian

* Định nghĩa

Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.

2. Vecto đồng phẳng

* Định nghĩa: Ba vecto a b c, ,

  

khác 0

gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Chú ý:

n vecto khác 0

gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Các giá của các vecto đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau.

* Điều kiện để 3 vecto khác 0



đồng phẳng Định lý 1:

, , a b c

  

đồng phẳng  m n, : ambnc

* Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng

Định lý 2: Cho 3 vecto e e e  ₁, ₂, ₃

không đồng phẳng. Bất kì một vecto a

nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực



x x x1, 2, 3



duy nhất

1 1 2 2 3 3

ax e x e x e

   

Chú ý: Cho vecto a b c, ,

  

khác 0 : 1. a b c, ,

  

đồng phẳng nếu có ba số thực , ,m n p không đồng thời bằng 0 sao cho: manbpc0

  

2. a b c, ,

  

không đồng phẳng nếu từ manb pc0mn p0

  

3. Tọa độ của vecto

Trong không gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng



^Oxy



tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục Ox,Oy Oz, lần lượt là



^{1; 0; 0 ,}

 

^{0;1; 0 ,}

 

^{0;0;1 .}



i j k

  

a) a



a a a1; 2; 3



aa i1a j2a k3

b) M x



M^,yM^,zM



OMx iMyMjz kM c) Cho A x



A^,yA^,zA



^,B x



B^,yB^,zB



ta có:



B A^; B A^; B A



AB x x y y z z



và AB



xBxA



²



yByA



²



zBzA



²^.

d) M là trung điểm AB thì ; ;

2 2 2

B A B A B A

x x y y z z

M    

 

 

e) Cho a 



a a a1; 2; 3



và b



b b b1; 2; 3



ta có:

D3

D1

D2

a b

c

Δ1

Δ2

Δ3

P

(4)

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 

  

 



 



1 1; 2 2; 3 3



a b   a b a b a b



1 2 3



. ; ;

k a  ka ka ka

 

^{1 1} ^{2 2} ^{3 3}

. . cos ;

a b  a b  a b  a b a b a b

2 2 2

1 2 3

a  a a a

 

₂ ^{1 1}₂ ₂^{2 2} ₂ ^{3 3} ₂ ₂

1 2 3 1 2 3

cos cos ;

. a b a b a b a b

a a a b b b

 

 

   

 

 (với a 0,  b0

) a

và b

vuông góc:  a b . 0a b_{1 1}a b_{2 2} a b_{3 3} 0 a

và b

cùng phương:

1 1

2 2

3 3

:

a kb k R a kb a kb a kb

 

     

 



 

4. Tích có hướng và ứng dụng Tích có hướng của a



a a a1; 2; 3



và b



b b b1; 2; 3



là:

 

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

, a a ;a a ;a a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

      

 

 

 

a. Tính chất:

, , ,

a b a a b b

   

   

     

 

, . sin ,

a b a b a b

  

 

     

a và b

cùng phương: a b,   0

  

, , a b c  

đồng phẳng a b c, . 0

  

b. Các ứng dụng tích có hướng Diện tích tam giác: 1

2 ,

SABC  AB AC

 

Thể tích tứ diện 1

, .

ABCD 6

V  AB AC AD

  

Thể tích khối hộp: VABCD A B C D_{. ' ' '} _'  AB AD, .AA'

  

5. Một số kiến thức khác

a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số ^{k MA}



^^^{k MB}^



thì ta có:

; ;

1 1 1

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

  

  

   với k1

b) G là trọng tâm tam giác ; ;

3 3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

ABC x   y   z  

   

G là trọng tâm tứ diện ABCDGA GB GC      GD0

(5)

B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. A B C, , thẳng hàng  AB AC,

cùng phương AB AC, 0

   . Dạng 2. A B C, , là ba đỉnh tam giác  A B C, , không thẳng hàng  AB AC,

 

không cùng phương

, 0

AB AC

 

 

 

   .

Dạng 3. G x



G^;yG^;zG



là trọng tâm tam giác ABCthì:

; ;

3 3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x   y   z  

  

Dạng 4. Cho ABCcó các chân E F, của các đường phân giác trong và ngoài của gócAcủa ABC trênBC. Ta có: AB.

EB EC

 AC

 

, AB.

FB FC

 AC

 

Dạng 5. ¹ ,

ABC 2

S_  AB AC

 

 diện tích của hình bình hành ABCDlà: S_ABCD  AB AC, 

 

Dạng 6. Đường cao AH củaABC: ¹ .

ABC 2

S_  AH BC 

2.S _ABC AB AC,

AH BC BC



 

 

 

 

Dạng 7. TìmDsao cho ABCD là hình bình hành: Từ t/c hbh có 4 cặp vecto bằng nhau ABDC

 

hoặc  ADBC... 

tọa độD.

Dạng 8. Chứng minh ABCD là một tứ diện AB AC AD; ;

  

không đồng phẳngAB AC AD, . 0

  

. Dạng 9. G x



G^;yG^;zG



là trọng tâm tứ diện ABCD thì:

; ;

4 4 4

A B C D A B C D A B C D

G G G

x x x x y y y y z z z z

x    y    z   

  

Dạng 10. Thể tích khối tứ diệnABCD: ¹ , .

ABCD 6

V  AB AC AD

 

  

Dạng 11. Đường cao AH của tứ diệnABCD: ¹ . ³

3 ^BCD _BCD

V S AH AH V

 _  S



Dạng 12. Thể tích hình hộp: VABCD A B C D_{. ' ' '} _' AB AD AA, . '

  

.

Dạng 13. Hình chiếu của điểm A x



A^;yA^;zA



lên các mặt phẳng tọa độ và các trục:

Xem lại mục 1, công thức 17, 18.

Dạng 14. Tìm điểm đối xứng với điểm qua các mặt phẳng tọa độ, các trục và gốc tọa độ:

(Thiếu tọa độ nào thì đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ nào thì để nguyên tọa độ đó)



^OXY



^:A x1



_A;y_A;z_A





^OXZ



^:A2



x_A;y_A;z_A

 

^OYZ



^:A3



x_A;y_A;z_A





^OX



^:A4



x_A;y_A;z_A





^OY



^:A5



x_A;y_A;z_A

 

^OZ



^:A6



x_A;y_A;z_A



Qua gốc O: A7



x_A;y_A;z_A



Câu 1: Cho bốn điểm ^S



^{1, 2, 3 ;}



^A



^{2, 2, 3 ;}



^B



^{1, 3, 3 ;}



^C



^{1, 2, 4 .}



^Gọi^{M N P}^{, ,} lần lượt là trung điểm của ,

BC CA và AB. Khi đó SMNP là:

A. Hình chóp. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Tam diện vuông Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^A



^{2; 0; 2 ,}^

 

^B ^{3; 1; 4 ,}^{ }



^C



^^{2; 2; 0}



. Điểm D trong mặt phẳng

(Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là:



A A A



A x ; y ; z

(6)

A. ^D



^{0; 3; 1}^{ }



^B.^D



^{0; 2; 1}^



^C.^D



^{0;1; 1}^



^D.^D



^{0; 3; 1}^



Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1; 2; 0}



^,^B



^{3; 4;1}



^,^D



^^{1; 3; 2}



^{. Tìm tọa}

độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB, CD và có góc C bằng 45 . A. ^C



^{5; 9; 5}



^. ^B.^C



^{1; 5; 3}



^. C. ^C



^^3;1;1



^. ^D.^C



^{3; 7; 4}



^.

Câu 4: Cho ba điểm ^A



^{3;1; 0 ,}



^B



^{0; 1; 0 ,}^



^C



^{0; 0; 6}^



. Nếu tam giác A B C   thỏa mãn hệ thức 0

A A B B C C 

   

thì có tọa độ trọng tâm là:

A.



^{1; 0; 2 .}^



^B.



^{2; 3; 0 .}^



^C.



^{3; 2; 0 .}^



^D.



^{3; 2;1 .}^



Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^M



^{3; 0; 0 ,}



^{N m n}



^{, , 0 ,}



^P



^{0; 0;}^p



^{. Biết}

 ⁰

13, 60

MN  MON  , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức Am2n²p² bằng

A. 29. B. 27. C. 28. D. 30.

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD. biết ^A



^^{2; 2; 6 ,}



^B



^^{3;1; 8 ,}



^C



^^{1; 0; 7 ,}



^D



^{1; 2; 3}



^{. Gọi}^H là trung điểm của CD, ^SH ^



^ABCD



. Để khối chóp S ABCD. có thể tích bằng 27

2 (đvtt) thì có hai điểm

1, 2

S S thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S S_{1 2}

A. ^I



^{0; 1; 3}^{ }



^. ^B.^I



^{1; 0; 3}



^C.^I



^{0;1; 3}



^. ^D.^I



^^{1; 0; 3 .}^



Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B(3; 0;8), D( 5; 4; 0)  . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB 

bằng:

A. 5 10. B. 6 10. C. 10 6. D. 10 5.



^{4; 2; 0 ,}



^B



^{2; 4; 0 ,}



^C



^{2; 2;1}



. Biết điểm



^{; ;}



H a b c là trực tâm của tam giác ABC. Tính S   a b 3c.

A. S  6. B. S  2. C. S 6. D. S 2.

Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm ^{A a}



^{; 0; 0 ,}



^B



^{1; ; 0 ,}^b



^C



^{1; 0;}^c



^với^{a b c}^{, ,} ^là

các số thực thay đổi sao cho ^H



^{3; 2;1}



là trực tâm của tam giác ABC. Tính S  a b c. A. S 2. B. S19. C. S11. D. S 9.



^{4; 0; 0 ,}



^{B a b}



^{; ; 0 ,}



^C



^{0; 0;}^c



^với



^{a b c}^{, ,} ^⁰



thỏa mãn độ dài đoạn AB2 10, góc AOB45 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 8 . Tính tổng T   a b c.

A. T 2. B. T 10. C. T12. D. T14.

Câu 11: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian Oxyz cho các điểm ^A



^5;1;5



^,^B



^{4 ; 3; 2}



^,^C



^^{3; 2 ;1}^



^{. Điểm}^{I a b c}



^{; ;}



là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính a2b c ?

A. 1. B. 3 . C. 6 . D. 9.

Câu 12: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có ^A



^{3 ; 1;1}^



, hai đỉnh B C, thuộc trục Oz và AA 1 (C không

(7)

trùng với O). Biết véctơ ^u^



^{a b}^{; ; 2}



^với^{a b}^, ^^ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng A C . Tính T a²b².

A. T 5. B. T 16. C. T 4. D. T 9.

Câu 13: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, ; có tọa độ ba đỉnh A



^{1; 2;1 ,}



B



2; 0; 1 , 



C



6;1; 0



. Biết hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh ^{D a b c}



^{; ;}



, tìm mệnh đề đúng?

A. a b c  6 . B. a b c  5. C. a b c  8. D. a b c  7. Câu 14: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân

ABCD có các đáy lần lượt là AB CD, . Biết ^A



^{3;1; 2}^



^,^B



^^{1; 3; 2}



^,^C



^^{6; 3; 6}



^và^{D a b c}



^{; ;}



với a b c; ; . Tính T   a b c.

A. T  3. B. T 1. C. T 3. D. T  1.

Câu 15: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm



^{0 ; 1; 2}



A  , ^B



^{2 ; 3; 0}^



^,^C



^^{2 ;1;1}



^,^D



^{0 ; 1; 3}^



^{. Gọi}

 

^L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA MB. MC MD. 1

   

. Biết rằng

 

^L là một đường tròn, tính bán kính đường tròn đó?

A. 5

r 2 . B. 11

r 2 . C. 3

r  2 . D. 7

r 2 .

Câu 16: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Trong không gian Oxyz, cho các điểm ^A



^{0; 4 2 ; 0}



^,



^{0; 0; 4 2}



B , điểm ^C^



^Oxy



và tam giác OAC vuông tại C, hình chiếu vuông góc của O trên BC là điểm H . Khi đó điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng

A. 2 2 . B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 17: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC với ^A



^{2 ; 0 ; 3}^



^;^B



^^{1; 2 ; 4}^



^;^C



^{2 ; 1; 2}^



. Biết điểm ^{E a b c}



^{; ;}



^{là điểm}

để biểu thức P   EA EB EC

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T   a b c

A. T 3. B. T 1. C. T 0. D. T  1.

Câu 18: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm



^{1; 3; 4}



A  , ^B



^{9; 7; 2}^



. Tìm trên trục Ox toạ độ điểm M sao cho MA² MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. ^M



^{5; 0; 0}



^. ^B.^M



^^{2; 0; 0}



^. ^C.^M



^{4; 0; 0}



^. ^D.^M



^{9; 0; 0}



^.

Câu 19: (THPT Nghèn Lần1) Trong không gian Oxyz , cho các điểm ^A



^{1;1; 2 ;}



^B



^{0; 1; 3}^ ^



. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng



^Oxz



, giá trị nhỏ nhất của OM2MA3MB

bằng?

(8)

A. 1. B. ³

2 . C. ¹

2 . D. ¹

4 .

Câu 20: (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ^A



^{2; 4; 1}^



, ^B



^{1; 4; 1}^



^,^C



^{2; 4; 3}



^,^D



^{2; 2; 1}^



^{, biết}^{M x y z}



^{; ;}



^để^MA² ^^MB²^^MC²^^MD² đạt giá trị nhỏ nhất thì x yz bằng

A. 6. B. 21

4 . C. 8. D. 9.

Câu 21: (Nguyễn Khuyến)Trong không gian Oxyz, cho OA i j3k

, ^B



^{2; 2;1}



. Tìm tọa độ điểm

M

thuộc trục tung sao cho MA²MB² nhỏ nhất.

A. ^M



^{0; 2;0}^



^. ^B. ^{0; ;0}³

M 2 

 

 ^. ^C.^M



^{0; 3;0}^



^. ^D.^M



^{0; 4;0}^



^.

Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^1;1;1



^,^B



^^{2;1; 0}



^,^C



^{2; 3;1}^



^.Điểm



^{; ;}



S a b c sao cho SA²2SB²3SC² đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T   a b c

A. 1

T  2. B. T 1. C. 1 T 3

 . D. 5

T 6

 .

Câu 23: (Ngô Quyền Hà Nội) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A



2 ; 2 ; 0 ,t t



B



0; 0;t



với t0.

Cho điểm P di động thỏa mãn OP AP OP BP     .  . AP BP. 3

. Biết rằng có giá trị a

tb với a b, nguyên dương và a

b tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất là 3. Tính giá trị Q2a b ?

A. 5. B. 13 . C. 11. D. 9.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B m( ; 0; 0), D(0; ;0)m , A(0; 0; )n với m n, 0 và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC. Khi đó thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 245

108. B. 9

4. C. 64

27 . D. 75

32.

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{3; 2; 4 ,}^



^B



^^{1; 4; 4}^



^{và điểm}^C



^{0; ;}^{a b}



thỏa mãn tam giác ABC cân tại C và có diện tích nhỏ nhất. Tính S2a3b. A. ⁶²

S 25. B. ⁷³

S 25. C. ²³⁹

S 10 . D. ²⁹ S 5 .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm ^A



^{2; 2; 0 ,}



^B



^{2; 0; 2}^



^{và điểm}^{M a b c}



^{, ,}



với a b c, , là các số thực thay đổi thỏa mãn a2b c  1 0. Biết MAMB và góc ^AMB có số đo lớn nhất. Tính S  a 2b3c.

A. ¹⁶

S 11. B. ¹⁵

S 11. C. ¹

S 11. D. ¹ S 11.

Câu 27: Trong không gian Oxyzcho ba điểm M



^{2;3; 1 , N}

 

1;1;1 , P 1; m 1; 2

 





. Tìm giá trị nhỏ nhất của số đo góc MNP.

(9)

A. arccos ⁶

85. B. arcsin ⁶

85 C. arccos²

9 D. arcsin²

9 Câu 28: (ĐH Vinh Lần 1) Trong không gian , cho và hai điểm ,

. Giả sử , là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng sao cho cùng hướng với và . Giá trị lớn nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: (Lý Nhân Tông) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ^{A a}



^{; 0; 0 ,}



^B



^{0; ; 0 ,}^b



^C



^{0; 0;}^c



A, B, C với a b c, , 0 sao cho OAOBOCABBCCA1 2. Giá trị lớn nhất của VO.ABC bằng

A. 1

108. B. 1

486. C. 1

54. D. 1

162.

Câu 30: (Đoàn Thượng) Trong không gian Oxyz, cho ^A



^{1; 1;2}^



^, ^B



^^2;0;3



^, ^C



^{0;1; 2}^



^{. Gọi}



^{; ;}



M a b c là điểm thuộc mặt phẳng



^Oxy



^sao ^cho ^biểu ^thức

. 2 . 3 .

S MA MB  MB MC  MC MA 

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T 12a12bc có giá trị là A. T 3. B. T  3. C. T1. D. T 1.

Oxyz ^a^^



^{1; 1; 0}^



^A



^^4;7;3



^B



^{4; 4;5}



M N



^Oxy



^MN^{} ^a^

5 2

MN  AM BN

17 77 7 23 82 5

(10)

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A - LÝ THUYẾT CHUNG

1. Định nghĩa

Trong không gian Oxyz phương trình dạng AxBy Cz D0 với A²B²C² 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng

 

^P ^:^Ax^^{By Cz}^ ^^D^⁰^với^A²^^B²^^C² ^⁰ có vec tơ pháp tuyến là



^{; ;}



^.

n  A B C

Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm M0



x y z0; 0; 0



và nhận vecto ⁿ^ ^



^{A B C}^{; ;}



^,ⁿ^ ^⁰^ làm vecto pháp tuyến dạng

 

P :A x



x0



B y



y0



C z



z0



0.

Nếu

 

^P có cặp vecto a 



a a a1; 2; 3



;b



b b b1; ;2 3



không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trên

 

^P ^. Thì vecto pháp tuyến của

 

^P được xác định na b, 

  

. 2. Các trường hợp riêng của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp

 

^ ^:^Ax^^{By Cz}^ ^^D^^0,^với^A²^^B²^^C²^^0.^{Khi đó:}

0

D khi và chỉ khi

 

^ đi qua gốc tọa độ.

0, 0, 0, 0

A B C D khi và chỉ khi

 

^ song song trục Ox.

0, 0, 0, 0

A B C D khi và chỉ khi

 

^ song song mặt phẳng



^Ox^y



^.

, , , 0.

A B C D Đặt D, D, D.

a b c

A B C

      Khi đó:

 

^: ^x ^y ^c ¹

ab z 



3. Phương trình mặt chắn cắt các trục tọa độ tại các điểm ^{A a}



^{; 0;0 ,}



^B



^{0; ;0 ,}^b



^C



^{0; 0;}^c



^:

1 , 0

x y z

ab c  abc

4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:



^Oyz



^:^x^^0;



^Oxz



^:^y^^0;



^Oxy



^:^z^^0.

5. Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):

Giả sử

   

^ ^ ^^' ^^d trong đó: ( ) : AxBy Cz D0 và ( ') : A x' B y C z'  ' D'0. Pt mp chứa d có dạng: ^{m Ax}



^^{By Cz}^ ^^D



^^{n A x}



^' ^^{B y C z}^' ^ ^' ^^D^'



^⁰^(với^m²^ⁿ² ^⁰⁾^.

6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho

 

^ ^:^Ax^^{By Cz}^ ^^D^⁰^và

 

^^{' :}^{A x}^' ^^{B y}^' ^^{C z}^' ^^D^'^⁰

 

^ ^cắt

 

^^'

' '

AB A B BC B C CB C B

 

 

 



 

^ ^//

 

^^'

' '

' ' ' '

' '

AB A B

BC B C va AD A D CB C B

 

  

 



 

^ ^

 

^^'

' '

AB A B BC B C CB C B AD A D

 

 

 

 



Đặt biệt:

   

 ' n n 1. 2 0 A A. 'B B. 'C C. '0

 

(11)

7. Khoảng cách từ M0



x y z0; 0; 0



đến ( ) : Ax By Cz D   0



^,

  

^Ax⁰ ₂^By⁰ ₂^Cz⁰₂ ^D

d M

A B C

  



 



Chú ý:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0 . 8. Góc giữa hai mặt phẳng

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng



⁰⁰ ^^^⁹⁰⁰



 

^P ^:^Ax^^{By Cz}^ ^^D^⁰^và

 

^Q ^:^{A x}^' ^^{B y C z}^' ^ ^' ^^D^'^⁰

 

^. ₂ ₂^{. '} ₂^{. '} ₂ ^{. '}₂ ₂

cos = cos ,

. . ' ' '

P Q P Q

P Q

n n A A B B C C

n n

n n A B C A B C

  

 

   

 

Góc giữa ( ) , ()bằng hoặc bù với góc giữa hai vtpt .

 .  )( n₁n₂ 

 

( ) AA'BB'CC' 0

1. Các hệ quả hay dùng:

Mặt phẳng

 

^ ^//

 

^ ^thì

 

^ có một vtpt là n n

  với n

 là vtpt của mặt phẳng

 

^ ^.

Mặt phẳng

 

^ vuông góc với đường thẳng d thì

 

^ có một vtpt là n u_d

 với u_d

là vtcp của đường thẳng d.

Mặt phẳng

 

^P vuông góc với mặt phẳng

 

^Q n_{ }P n_{ }Q

Mặt phẳng

 

^P chứa hoặc song song với đường thằng d n_{ }_P u_d Hai điểm A B, nằm trong một mặt phẳng

 

^P ABn_{ }p

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG

Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.

Dạng 1. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có vtpt

(): hay AxBy Cz D0 với D 



Ax0By0Cz0



. Dạng 2. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có cặp vtcp a b ,

Khi đó một vtpt của () là n a b, 

  



Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) . Dạng 3. Mặt phẳng ( ) qua 3 điểm không thẳng hàngA B C , ,

Cặp vtcp:  AB AC,

Mặt phẳng ( ) đi qua A (hoặc B hoặcC ) và có vtpt nAB AC, 

  

Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng( ) . Dạng 4. Mặt phẳng trung trực đoạnAB

Tìm tọa độ M là trung điểm của đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm) Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n AB

Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 5. Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặcAB) Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt là vtcp của đường thẳng d

(hoặc n AB

 

)

1 2

n n ,







0 0

0  ( ),( )  90



0 0 0



M x ; y ; z ⁿ^^



^{A; B;C}





0

 

0

 

0



0

A xx B yy C zz 



0 0 0



M x ; y ; z

(12)

Dạng 6. Mặt phẳng ( ) qua M và song song ( ) : AxBy Cz D0 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt ⁿ^{ } ^ⁿ ^



^{A B C}^{; ;}



Dạng 7. Mặt phẳng

 

^ ^{đi qua}^M , song song với d và vuông góc với

 

^

 

^ có một vtpt là n u n_d, _{ }

  



 với u_d

là vtcp của đường thẳng d và n_{ }

 là vtpt của

 

^ ^.

Dạng 8. Mặt phẳng ( ) chứa M và đường thẳng d không đi qua M Lấy điểm M0



x y z0; 0; 0

  

 d

Tính MM₀

. Xác định vtcp u_d

của đường thẳng d Tính n MM u₀, _d

  



Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc M₀) và có vtpt n





Dạng 9. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( ) , ( ) : Xác định các vtpt của ( ) và ( )

Một vtpt của ( ) là n u n, _{ }

  

 



Dạng 10. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d d₁, ₂ : Xác định các vtcp a b ,

của các đường thẳng d d₁, ₂ Một vtpt của ( ) là n a b, 

  



Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) . Dạng 11. Mặt phẳng ( ) qua M N và vuông góc , ( ) :

Tính MN



Tính n MN n, 

  

 

Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc N ) và có vtpt n



Dạng 12. Mặt phẳng

 

^ chứa đường thẳng d và vuông góc với

 

^

 

^ có một vtpt là n u n_d, 

 





 với u_d

là vtcp của d Lấy điểm M0



x y z0; 0; 0



d M0



x y z0; 0; 0



( ) Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 13. Mặt phẳng ( ) chứa

 

d và song song

 

^d^/ ^(với^{( ), ( ')}^d d chéo nhau) Lấy điểm M0



x y z0; 0; 0



d M0



x y z0; 0; 0



( )

Xác định vtcp u u _d; _d_'

của đường thẳng d và đường thẳng d' Mặt phẳng ( ) đi qua M₀ và có vtpt n u u_d, _d_'

  



Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) . Dạng 14. Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song  ₁_, ₂

Chọn điểm M1



x y z1; 1; 1



 1 và M2



x y z2; 2; 2



 2

n n _, _

(13)

Tìm vtcp u₁ của đường thẳng ₁ hoặc vtcp u₂ của đường thẳng ₂ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là _n_ ^_{u M M}₁_, ₁ ₂^

 

  

hoặc n_ u M M₂, ₁ ₂

  

Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 15. Mặt phẳng ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d d₁, ₂: Xác định các vtcp a b,

  của các đường thẳng d d₁, ₂ Một vtpt của ( ) là n a b, 

  



Lấy một điểm M thuộc d₁ hoặc d₂ M( )

Dạng 16. Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng

 

^d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi:

Giả sử ( ) có phương trình:

Lấy 2 điểm A B, ( )d A B, ( ) (ta được hai phương trình (1), (2)) Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình (3)

Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

Dạng 17. Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu

 

S tại điểm H :

Giả sử mặt cầu

 

^S ^{có tâm}^I và bán kính R. Vì H là tiếp điểm H( ) Một vtpt của ( ) là

Dạng 18. Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( )P TH1: ( ) ( )P d_:

- Tìm M N, là hai điểm chung của ( ), ( ) P

- Chọn một điểm I( ) . Tìm I’ đối xứng Iqua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I M N’, , .

TH2: ( ) / /( ) P

- Chọn một điểm I( ) . Tìm I’ đối xứng I qua ( )P - Viết phương trình mp ( ') qua I’ và song song với ( )P . CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Dạng 1. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( ) Cách 1:

- H là hình chiếu của điểm M trên

 

^P ^

- Giải hệ tìm được H. Cách 2:

- Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với ( ) : ta có a _d n



- Khi đó: H d ( )  tọa độ H là nghiệm của hpt:

 

^d ^và^{( )}^

Dạng 2. Tìm điểm M’ đối xứng M qua ( )

Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )

H là trung điểm của MM^/(dùng công thức trung điểm)  tọa độ H . Dạng 3. Viết phương trình mp ( ')P đối xứng mp ( )P qua mp

 

^Q

TH1: ( )Q _

 

^P ^^d

0

AxByCz+D



^A²^^B²^^C²^⁰



d M( ,( )) k

n IH

 

MH n cuøng phöông H P

, ( )



 

 

(14)

- Lấy hai điểm bất kỳ



^{A B}^,



^^{( )}^P ^^{( )}^Q ^(hay^{A B}^, ^^d⁾

- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M^/đối xứng với M qua ( )Q . - Mặt phẳng ( ')P là mặt phẳng đi qua d và M'.

TH2: ( )Q / /

 

^P

- Lấy điểmM( )P (M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M^/đối xứng với M qua ( )Q . - Mặt phẳng ( ')P là mặt phẳng đi qua M' và song song ( )P .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ 0

2 2 2 0

 

    

 y

x y z Oxyz cho điểm ^M



^1;0;0



^và^N



^{0;0; 1}^



^{, mặt}

phẳng

 

^P ^{qua điểm}^{M N}^, và tạo với mặt phẳng

 

^Q ^:^x^ ^y^⁴^⁰ một góc bằng 45^O. Phương trình mặt phẳng

 

^P ^là

A. 0

2 2 2 0

 

    

 y

x y z ^. ^B.

0

2 2 2 0

 

    

 y

x y z ^.

C. 2 2 2 0

2 2 2 0

   



    



x y z

x y z ^. ^D.

2 2 2 0

2 2 2 0.

  



   



x z x z

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho

 

^P ^:^x^⁴^y^²^z^{ }⁶ ⁰^,

 

^Q ^:^x^²^y^⁴^z^{ }⁶ ⁰^{. Lập}

phương trình mặt phẳng

 

^ chứa giao tuyến của

   

^P ^, ^Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho hình chóp O ABC. là hình chóp đều.

A. x   y z 6 0. B. x   y z 6 0. C. x   y z 6 0. D. x   y z 3 0. Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:

, và mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng .

A.

B.

C.

D.

Câu 4: Cho tứ giác ABCD có ^A



^{0;1; 1 ;}^



^B



^{1;1; 2 ;}



^C



^{1; 1; 0 ;}^



^D



^{0;0;1 .}



Viết phương trình của mặt phẳng

 

^P ^qua^{A B}^, và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

A. 15x4y5z 1 0. B. 15x4y5z 1 0. C. 15x4y5z 1 0. D. 15x4y5z 1 0 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ 0

2 2 2 0

y

x y z

 

    



Oxyz cho điểm ^M



^1;0;0



^và^N



^{0; 0; 1}^



^{, mặt}

phẳng

 

^P ^{qua điểm}^{M N}^, và tạo với mặt phẳng

 

^Q ^: ^x^{  }^y ⁴ ⁰ một góc bằng 45^O. Phương trình mặt phẳng

 

^P ^là

1

2 1 1

: 1 2 3

x y z

  

 ²^: ²

1 2 x t

y t

z t

 

   

  



2 2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5 0

( )  ₁, ₂

2 365 5



5 3 4 0; 5 3 10 0

x y z  x y z 

5 3 10 0

x y z 

5 3 3 511 0; 5 3 3 511 0

x y z   x y z  

5 3 4 0

x y z 

(15)

A. 0

2 2 2 0

y

x y z

 

    



. B. 0

2 2 2 0

y

x y z

 

    



.

C. 2 2 2 0

2 2 2 0

x y z x y z

   



    



. D. 2 2 2 0

2 2 2 0.

x z x z

  



   



Câu 6: Cho tứ giác ABCD có ^A



^{0;1; 1 ;}^



^B



^{1;1; 2 ;}



^C



^{1; 1; 0 ;}^



^D



^{0;0;1 .}



Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

 

^Q song song với mặt phẳng



^BCD



và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng 1

27.

A. 3x3z 4 0. B. y  z 1 0. C. y  z 4 0. D. 4x3z 4 0

Câu 7: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

 

^P cắt hai trục y Oy' và z Oz' tại ^A



^{0, 1, 0 ,}^



<