MÔN: TOÁN

(1)

N H Ó M T O Á N V D – V D C

.

ĐỀ THI THPT QG NĂM 2020

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút

(Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 06 trang)

Họ và tên: ………

SBD:………

Câu 1. Cho cấp số cộng

 

un có u₄ 12 và u₁₄ 18. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho.

A. d 4. B. d  2. C. d  3. D. d 3. Câu 2. Số cách chọn đồng thời ra 3 người từ một nhóm có 12 người là

A. A₁₂³. B. C₁₂³. C.

4

. D. P₃.

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn



^^1;5



và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên

 

^1;5 . Giá trị của M m bằng

A. 6 . B. 5. C. 1. D. 3 . Câu 4. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     tính góc giữa AB và mặt phẳng



^{BDD B}^{ }



A. 30⁰ B. 90⁰ C. 45⁰ D. 60⁰

Câu 5. Thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước 3;4;5 là

A. 30 B. 60 C. 10 D. 20

Câu 6. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y ², 2x²2x

A. 1

S3 B. 4

S3 C. S3 D. S4 Câu 7. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

A. y  x³ 3x²1. B. y x ³3x1. C. y x ³3x1. D. y  x³ 3x²1.

(2)

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 x t

d y t

z t

 

  

  



. Đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. ^E



^1;1;2



^. ^B.^F



^0;1;2



. C. ^H



^1;2;0



^. ^D.^K



^{1; 1;1}^



^.

Câu 9. Cho hàm số y f x( ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên. Đường thẳng y 2020 cắt đồ thị hàm số y f x( ) cắt tại bao nhiêu điểm?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 0.

Câu 10. Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^{   }^{x z} ^{3 0}. Một véc-tơ pháp tuyến của (P) là A. n1



0;1; 2 .



B. n2



1; 2;3 .



C. ⁿ^³^



^{2;0; 1 .}^



^D.

 

4 2;0;3 . n 

Câu 11. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm ^M



^{2; 2;1}^



trên mặt phẳng



^Oyz



có tọa độ là

A.



^{2;0;1 .}



^B.



^{2; 2;0}^



. C.



^{0; 2;1}^



^. ^D.



^{0;0;1 .}



Câu 12. Giả sử ( )F x là một nguyên hàm của hàm số 1

( ) 3 1

f x  x

 trên khoảng 1

; .

3

  

 

  Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. F x( ) ln( 3   x 1) C. B. ( ) 1ln(3 1) . F x 3 x C

C. 1

( ) ln( 3 1) .

F x 3   x C D. F x( ) ln 3 x 1 C. Câu 13. Tập xác định của hàm số f x

 





9x²25



^²log 22



x1



là

A. \ 5 3

 

 

 

 ^. ^B.^^¹₂^;^^. C. 5 3;

 

 

 . D. 1 5

; \

2 3

     

 

   . Câu 14. Cho số phức z 3 2i. Tìm số phức w iz z  .

A. w 5 5i. B. w  5 5i. C. w  5 5i. D. w 5 5i.

Câu 15. Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình z²6z34 0 . Gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn z₁, z₂ trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

A. 10 . B. 2 . C. 2 5. D. 4 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^ ^z^³



² ^⁵^{. Tâm của}

 

^S ^{có tọa}

độ là

 1 

0 

 0 1  y' x

y



0

  0



3 3

 1

(3)

A.



^^{1; 2; 3}^



^. ^B.



^{1; 2;3 .}



^C.



^{  }^{1; 2; 3}



^. ^D.



^{1; 2; 3}^



^.

Câu 17. Phần ảo của số phức liên hợp của số phức z 4i 7 là

A. 4. B. 7. C. 7. D. 4.

Câu 18. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60, diện tích xung quanh bằng 6a². Tính thể tích của khối nón đã cho.

A.

3 3 2 4 V _ a

. B.

3 2

4 V _a

. C. V 3a³. D. V a³.

Câu 19. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Câu 20. Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là A.

3 2. 6

a B.

3 2. 3

a C. a³. D.

3 2. 2 a

Câu 21. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm ^A



^{1; 2;1}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^{y z}^{  }^{1 0} có phương trình là

A. 1 2 1

1 2 1

x  y  z . B. 2 2

2 4 2

x  y  z

 .

C. 1 2 1

1 2 1

x  y  z

 . D. 2 2

1 2 1

x  y  z

 .

Câu 22. Cho hình nón có đường sinh l5, bán kính đáy r3.

A. S_tp 15. B. S_tp 24 . C. S_tp 20 . D. S_tp22 . Câu 23. Phương trình 5^x² 1 0 có tập nghiệm là

A. ^S^{ }

 

² ^. ^B.^S^

 

³ . C. ^S^

 

² ^. ^D.^S^

 

⁰ ^.

Câu 24. Hàm số 1 ³ ²

3 1

y3x x  x đạt cực tiểu tại điểm

A. x 3. B. x1. C. x3. D. x 1. Câu 25. Hàm số y x ⁴2x²1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây

A.



^;0



. B.



 ^1;



. C.



 ^{; 1}



. D.



^0;



. Câu 26. Gọi tập nghiệm của bất phương trình log0,2log2



x1



0 là

 

^{a b}^; ^{. Tính}^{a b}^ ^.

A. a b 4. B. a b 6. C. a b 5. D. a b 3.

Câu 27. Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2 .a Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

A. 8a². B. 2a². C. 16a². D. 4a². Câu 28. Cho ,a b là các số thực dương và a1, a b thỏa mãn log_ab2. Khi đó log_a

b

ab bằng A. 3

2. B. 6. C. 3

2. D. 0.

  40

0



1 x

f'(x)

 

0 0

 2



(4)

Câu 29. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên ^{\ 0}

 

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến như sau :

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình ^{f x}

 

^^m có ba nghiệm thực phân biệt . A. ^m^

 

^1;3 ^. ^B.^m^



^{1;3 .}



^C.^m^

 

^1;3 ^. ^D.^m



^1;3



.

Câu 30. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 2 1 y x

x

 

 là :

A. y 2. B. y3. C. x 2. D. x 1.

Câu 31. Cho ¹

 

³

 

1 1

2; 5

f x dx f x dx



  

 

. Tính ³

 

1

2f x dx.





A. 12. B. 14. C. 14. D. 6. Câu 32. Biết ¹¹

 

1

18.

f x dx





 ^Tính ²



²



0

2 3 1

 





   

I x f x dx.

A. I 10. B. I5. C. I7. D. I8.

Câu 33. Cho số phức z  2 3i. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm sau đây?

A. ^M



^^2;3



^. ^B.^M

 

^2;3 ^. ^C.^M



^{3; 2}^



^. ^D.^M



^{2; 3}^



^.

Câu 34. Tập nghiệm S của bất phương trình

1

4^x^25.2^x 2 0 là A. ^S^{ }

 

^1;1 ^. ^B.^S^{ }



^1;1



^.

C. ^S^{ }



^1;1



^. ^D.^S    



^{; 1}

 

^1;



. Câu 35. Xét số phức z thỏa mãnz 2 4i  z 2 .i Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. 4. B. 2 2. C. 10. D. 8.

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^{y z}^{  }^{7 0} và mặt cầu

 

^{S x}^: ²^^y²^^z²^²^x^⁴^z^^{10 0}^ ^{. Gọi}

 

^Q là mặt phẳng song song với mặt phẳng

 

^P ^{và cắt}

mặt cầu

 

^S theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6. Hỏi

 

^Q đi qua điểm nào trong số các điểm sau?

A.



 ^{2; 1;5}



. B.



^{4; 1; 2} 



. C.



^6;0;1



. D.



^{3;1; 4}



. Câu 37. Thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng a 2 là

A.

3

6

a _. _B. 2 ³ 3

 a

. C.

2 3

6

 a

. D.

3

a _.

Câu 38. Với a là số thực dương khác 1 tùy ý, 2

log_a a3 bằng

(5)

A. 3

2. B. 6. C. 2

3. D. 5.

Câu 39. Số lượng của loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

   

^{0 .3}^t

s t s , trong đó ^s

 

⁰ là số lượng vi khuẩn lúc ban đầu, ^{s t}

 

là số lượng vi khuẩn X có sau t phút. Biết rằng sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn X là 20 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn X là 540 nghìn con?

A. 12 phút. B. 6 phút. C. 81 phút. D. 9 phút.

Câu 40. Cho hàm số f x( ) có đồ thị y f x'( ) như hình dưới đây. Trên



^^4;3



^{hàm số}

( ) 2 ( ) (1 )2

g x  f x  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào trong các điểm sau đây?

A. x₀  4. B. x₀ 1. C. x₀ 3. D. x₀  3.

Câu 41. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng



^ABC



là điểm H trên cạnh AB sao cho HA2HB. Góc giữa SC và mặt phẳng



^ABC



^bằng^60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. A. 42

8

a . B. 42

3

a . C. 6

8

a . D. 6

7 a .

Câu 42. Cho hình chóp S ABC. có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng



^ABC



^là ^điểm ^H ^nằm ^trong ^tam ^giác ^ABC ^sao ^cho

AHB150 ;⁰ BHC120 ;⁰ CHA90⁰. Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp

. ; . ; .

S HAB S HBC S HCA là 124

3 . Tính thể tích khối chóp S ABC. .

A. _. 9

2.

S ABC

V  B. _. 4

3.

S ABC

V  C. V_{S ABC}_. 4. D. V_{S ABC}_. 4.

Câu 43. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bới các mặt phẳng



^SAB



^,



^SBC



^,



^SCD

 

^, ^SDA



với mặt đáy lần lượt là 90 , 60 , 60 , 60 .⁰ ⁰ ⁰ ⁰ Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S,AB a và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp

. .

S ABCD

y

3 1 O

2

3 2

3 5

x

4

(6)

A. ³ ³

4

V  a . B. V a³ 3. C. 2 ³ 3 9 V  a .

D. ³ 3

9 . V  a .

Câu 44. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa mãn ⁴



²



0

tan .x f cos x dx 2





 ^và ²



^ln²



₂

ln

e

f x

x x dx



^.

Tính ²

 

1 4

2 f x

x dx



^.

A. 4. B. 1. C. 0 . D. 8 .

Câu 45. Cho các số thực , ,a b c không âm thỏa mãn 2^a4^b8^c 4. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 2b3 .c Giá trị của biểu thức 2^M log⁴m bằng A. 11

6 . B. 91

27. C. 64

27. D. 4

3.

Câu 46. Cho hàm số ^{y x}^ ³^³^mx²^³



^m²^¹



^{x m}^ ³^với^m là tham số. Gọi

 

^C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực tiểu của đồ thị

 

^C luôn nằm trên một đường thẳng

d cố định. Tìm hệ số góc k của đường thẳng d.

A. 1

k 3. B. k3. C. 1

k3. D. k 3. Câu 47. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn 9 0; 2

 

 

  của phương trình ^{f f}

 

^cos^x

 

^²^là

A. 10. B. 8. C. 7. D. 9.

Câu 48. Cho các số thực a, b thỏa mãn log 2020 22



 b²



2b²log2



a²b²1009



a²

Giá trị lớn nhất của biểu thức P a ³a b² 2ab²2b³1 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A D

B

C S

 

h x

(7)

A.

 

^{0;1 .} ^B.

 

^{1; 2 .} ^C.

 

^{2;3 .} ^D.

 

^3;4 ^.

Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn



^^10;10



để hàm số

3 2

1 ( 1). .( 2). 7

y3x  m x m m x đồng biến khoảng

 

^4;9 ^?

A. 15. B. 13. C. 14. D. 12.

Câu 50. Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm. Biết rằng mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.

A. 436₁₀

4 . B. 463₁₀

4 . C. 436₄

10 . D. 463₄

10 .

(8)

.

ĐỀ THI THPT QG NĂM 2020

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút

(Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 06 trang) BẢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D B C A B B C B B C C C D C A D D C D A B B A B D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C D A A A D C A C B A B A B B A B D D C D D C A A

Câu 1. Cho cấp số cộng

 

un có u₄ 12 và u₁₄ 18. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho.

A. d 4. B. d  2. C. d  3. D. d 3. Lời giải

Chọn D

Ta có ⁴ ¹ ¹

14 1

3 12 21

13 18 3

u u d u

u u d d

     

 

     

 . Chọn D.

Câu 2. Số cách chọn đồng thời ra 3 người từ một nhóm có 12 người là

A. A₁₂³. B. C₁₂³. C.

4

. D. P₃.

Lời giải Chọn B

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

 



^^1;5



và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên

 

^1;5 . Giá trị của M m bằng

A. 6 . B. 5. C. 1. D. 3 . Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị của hàm số ^{f x}

 



^^1;5



^{ta có:}^M ^3;^m  ² ^{M m} ¹. Câu 4. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     tính góc giữa AB và mặt phẳng



^{BDD B}^{ }



A.

30⁰

B.

90⁰

C.

45⁰

D.

60⁰

Lời giải

Chọn A

(9)

Do :

AC BD ( )

AC BDD B AC BB

     

  



nên

AB

có hình chiếu lên mặt phẳng 

^{BDD B}^{ }

 là

OB

do đó góc giữa

^AB

và mặt phẳng 

^{BDD B}^{ }

 chính là góc giữa

^AB

và

OB

là góc

AB O

Ta có

¹ ¹

2 2

AO AC AB

do đó góc

AB O

bằng

30⁰

.

Câu 5. Thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước 3;4;5 là

A.

30

B.

60

C.

10

D.

20

Lời giải

Chọn B

3.4.5 60 V  

.

Câu 6. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y ², 2x²2x

A.

¹

S3

B.

⁴

S3

C.

S3

D.

S4 Lời giải

Chọn B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

2 2 0

2 2

2 x x x x

x

 

    

Diện tích :

2

2 2

0

( (2 2 )) 4

S 



x  x  x dx3

.

Câu 7. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

A. y  x³ 3x²1. B. y x ³3x1. C. y x ³3x1. D. y  x³ 3x²1. Lời giải

Chọn C

(10)

N H Ó M T O Á N V D – V D C Từ đồ thị đã cho, ta có:

lim

x

y

  

suy ra loại A, D

Đồ thị cắt trục tung

Oy

tại điểm có tung độ dương, suy ra loại B

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 x t

d y t

z t

 

  

  



. Đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. ^E



^1;1;2

 . B

. ^F



^0;1;2

 .

C. ^H



^1;2;0

 .

D. ^K



^{1; 1;1}^

 .

Thay tọa độ các điểm

E F H K, , ,

vào phương trình đường thẳng

d

ta thấy điểm



^0;1;2



F

có tọa độ thỏa mãn vì

0

1 1 0

2 2

t

t t

t

 

    

  



là nghiệm duy nhất.

Câu 9. Cho hàm số y f x( ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên. Đường thẳng y 2020 cắt đồ thị hàm số y f x( ) cắt tại bao nhiêu điểm?

 1 

0 

 0 1  y' x

y



0

  0



3 3

 1

A. ⁴

. B

. ²

.

C. ¹

.

D. ⁰

. Lời giải

Chọn B

Từ BBT của đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng

y 2020 1

nên cắt đồ thị của hàm số

y f x( )

tại hai điểm phân biệt.

Câu 10. Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^{   }^{x z} ^{3 0}. Một véc-tơ pháp tuyến của (P) là A. n1



0;1; 2 .



B. n2 



1; 2;3 .



C. ⁿ^³^



^{2;0; 1 .}^



^D.n4 



2;0;3 .



Lời giải

Chọn C

Ta có mặt phẳng (P) có dạng  

P ax by cz d^:    ⁰

Từ đây ta suy ra

ⁿ^_{ }_P ^{ }



^2;0;1

 

^ ^{2;0; 1}^

 .

Câu 11. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm ^M



^{2; 2;1}^



trên mặt phẳng



^Oyz



có tọa độ là

A. 

^2;0;1

 . B. 

^{2; 2;0}

 . C. 

^{0; 2;1}^

 . D. 

^0;0;1

 .

Lời giải

(11)

N H Ó M T O Á N V D – V D C Chọn C

Ta có hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng 

^Oyz

 là điểm

^N



^{0; 2;1}^

 .

Câu 12. Giả sử ( )F x là một nguyên hàm của hàm số 1

( ) 3 1

f x  x

 trên khoảng 1

; .

3

  

 

  ^{Mệnh đề}

nào sau đây đúng?

A.

F x( ) ln( 3   x 1) C.

B.

( ) ¹ln(3 1) . F x 3 x C

C.

( ) ¹ln( 3 1) .

F x 3   x C

D.

F x( ) ln 3 x 1 C.

Lời giải

Chọn C

Ta có

¹ ¹ ¹



³ ¹



¹^{ln 3} ¹

3 1dx 3 3 1d x 3 x

x  x   

 

 

Mà

^; ¹ ³ ^{1 0} ³ ¹



³ ¹



x   3 x   x   x

 

¹^ln



³ ¹



F x 3 x

   

.

Câu 13. Tập xác định của hàm số f x

 





9x²25



^²log 22



x1



là

A.

\ ⁵

3

 

 

 



. B.

¹; 2

 

 

 

. C.

⁵; 3

 

 

 

. D.

¹; \ ⁵

2 3

     

 

   

. Lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

²

5

9 25 0 3

2 1 0 1

2

  

   

   

   



x x

Vậy tập xác định là

¹; \ ⁵

2 3

   

      

D

.

Câu 14. Cho số phức z 3 2i. Tìm số phức w iz z  .

A.

w 5 5i

. B.

w  5 5i

. C.

w  5 5i

. D.

w 5 5i

. Lời giải

Chọn C

Ta có

w iz z i   (3 2 ) (3 2 ) i   i   5 5i

.

Câu 15. Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình z²6z34 0 . Gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn z₁, z₂ trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

A.

10

. B.

2

. C.

2 5

. D.

4

.

Lời giải

Chọn A

(12)

2 3 5 (3;5)

6 34 0 (0; 10) 10

3 5 (3; 5)

  

            



z i M

z z MN MN

z i N

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^ ^z^³



² ^⁵^{. Tâm của}

 

^S ^{có tọa}

độ là

A.



^^{1; 2; 3}^



^. ^B.



^{1; 2;3 .}



^C.



^{  }^{1; 2; 3}



^. ^D.



^{1; 2; 3}^



^.

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu   

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^ ^z^³



²^⁵

có tâm là

^I



^{1;2; 3}^

 .

Câu 17. Phần ảo của số phức liên hợp của số phức z 4i 7 là

A.

4

. B.

7

. C.

7

. D.

4

.

Lời giải Chọn D

Ta có

z     4i 7 z 7 4i

nên phần ảo bằng

4

.

Câu 18. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60, diện tích xung quanh bằng 6a². Tính thể tích của khối nón đã cho.

A.

³ ³ ²

4 V _ a

. B.

³ ²

4 V _a

. C.

V 3a³

. D.

V a³

. Lời giải

Chọn C

Hình nón có góc ở đỉnh bằng

60

nên thiết diện qua trục

SAB

là tam giác đều, do đó

2 2

l SB  OB r

.

Mà

S_xq rl2r²6a² r a 3

. Đường cao  

² ³ _{3 3}

2

h SO  r r  a

Vậy thể tích khối nón

^V ^¹₃^^{r h}² ^¹₃^^.

 

â ^{3 .3}² â^³â³^

.

Câu 19. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

1.

B.

3.

C.

2.

D.

4.

  40

0



1 x

f'(x)

 

0 0



2



(13)

N H Ó M T O Á N V D – V D C Hàm số đạt cực trị tại bốn điểm

x 1,x0,x2,x4

Câu 20. Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

A.

³ ².

6

a

B.

³ ².

3

a

C.

a³.

D.

³ ².

2 a

Lời giải Chọn A

Giả sử hình chóp tứ giác đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có tất cả các cạnh bằng 𝑎.

Ta có

¹ ²

2 2

AO AC a

,

² ² ²

2 SO SA AO  a

.

Thể tích khối chóp

_. ¹ . ¹ ². ² ³ ²

3 3 2 6

S ABCD ABCD

a a

V  S SO a 

.

Câu 21. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm ^A



^{1; 2;1}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^{y z}^{  }^{1 0} có phương trình là

A.

¹ ² ¹

1 2 1

x  y  z

. B.

² ²

2 4 2

x  y  z



.

C.

¹ ² ¹

1 2 1

x  y  z



. D.

² ²

1 2 1

x  y  z



.

Đường thẳng 𝑑 có một véc-tơ chỉ phương

u



1; 2;1

 .

Phương trình

: ¹ ² ¹

1 2 1

x y z

d     



.

Xét đáp án B, ta có đường thẳng

² ²

2 4 2

x  y  z



đi qua điểm

^B



^{2;0; 2}

 và có một véc- tơ chỉ phương

^u^^



^{1; 2;1}^

 . Ta nhận thấy

B d

nên B là đáp án đúng.

Câu 22. Cho hình nón có đường sinh l5, bán kính đáy r3.

A. S_tp 15. B. S_tp 24 . C. S_tp20 . D. S_tp22 . Lời giải

Chọn B

Ta có:

S_tp rlr² 159 24 .

Câu 23. Phương trình 5^x² 1 0 có tập nghiệm là

(14)

A. ^S 

 

²

.

B. ^S

 

³

.

C. ^S

 

²

.

D. ^S

 

⁰

.

Ta có:

5^x^²  1 0 5^x^²      1 x 2 0 x 2.

Câu 24. Hàm số 1 ³ ²

3 1

y3x x  x đạt cực tiểu tại điểm

A. ^x^{ }³

.

B. ^x^¹

.

C. ^x^³

.

D. ^x^{ }¹

. Lời giải

Chọn B

Ta có :

' ² 2 3; ' 0 ² 2 3 0 ¹

3

y x x y x x x

x

 

           

Mà

y" 2 x2.

Thay

x1

vào

y"y" 4 0 

. Nên

x1

là cực tiểu.

Câu 25. Hàm số y x ⁴2x²1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây A.



^^;0



^. ^B.



^{ }^1;



^. ^C.



^{ }^{; 1}



^. ^D.



^0;^



^.

Ta có y x ⁴2x²1 y 4x³4x  y 0 4x³4x  0 x 0. Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^0;



Câu 26. Gọi tập nghiệm của bất phương trình log0,2log2



x1



0 là

 

^{a b}^; ^{. Tính}^{a b}^ ^.

A. a b 4. B. a b 6. C. a b 5. D. a b 3. Lời giải

Chọn C

Ta có

   

     

0,2 2 2

0 2

2

1 0 1

log log 1 0 log 1 0 1 1 2

log 1 1 1 2

log 1 0, 2

x x

x x x x

x x x

    

   

        

    

          

2 2 3

3

x x

x

 

     .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S^

 

^2;3 ^{ }^a ^2;^b^³^nên^{a b}^{ }⁵^.

Câu 27. Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2 .a Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

A. 8a². B. 2a². C. 16a². D. 4a².

(15)

Vì thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên h2R2a R a. Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: S_xq 2Rh2 . .2 a a4a².

Câu 28. Cho ,a b là các số thực dương và a1, a b thỏa mãn log_ab2. Khi đó log_a

b

ab bằng A. 3

2. B. 6. C. 3

2. D. 0.

Ta có: log ^log

 

¹2



^{1 log}



¹2



^{1 2}



3

1 log 1 2 2

log

a a a

b a

a

ab b

ab a b

b

 

    

 

  

 

.

Câu 29. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên _^{\ 0}

 

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến như sau :

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình ^{f x}

 

^^m có ba nghiệm thực phân biệt . A. ^m^

 

^1;3 ^. ^B.^m^



^{1;3 .}



^C.^m^

 

^1;3 ^. ^D.^m^



^1;3



^.

Lời giải

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Phương trình

^{f x}

 

^^m

luôn có một nghiệm trên đoạn 

^^;0

 .

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình

^{f x}

 

^^m

có hai nghiệm trên đoạn



^0;^

 .

 

^1;3

 m

.

Câu 30. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 2 1 y x

x

 

 là : h

R

O O'

(16)

A. ^y^{ }²

.

B. ^y^³

.

C. ^x^{ }²

.

D. ^x^{ }¹

.

3 2

lim 3 2 lim 2

1 1 1

x x

x

 

    

 

.

Do đó phương trình đường tiệm cận ngang cần tìm là

y 2

.

Câu 31. Cho ¹

 

³

 

1 1

2; 5

f x dx f x dx



  

 

^{. Tính}³

 

1

2f x dx.





A. 12. B. 14. C. 14. D. 6.

Lời giải

Chọn D

Ta có

³

 

¹

 

³

   

1 1 1

2 2 2 2 5 6

 

 

      

 



^{f x dx}



^{f x dx}



^{f x dx}

.

Câu 32. Biết ¹¹

 

1

18.

f x dx





 ^Tính ²



²



0

2 3 1

 





   

I x f x dx.

A.

I 10

. B.

I5

. C.

I7

. D.

I8

. Lời giải

Chọn C Ta có

   

2 2 2

2 2

0 0 0

11 11

1 1

2 3 1 2 . 3 1

1 1

4 4 4 .18 7

6 6 6

 

 

        

      

  

 

I x f x dx I xdx x f x dx

f t dt f x dx

(với

t 3x ²1

)

Câu 33. Cho số phức z  2 3i. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm sau đây?

A.

^M



^^2;3

 . B.

^M

 

^2;3

. C.

^M



^{3; 2}^

 . D.

^M



^{2; 3}^

 .

Điểm biểu diễn số phức

z  2 3i

là điểm

^M



^^2;3

 .

Câu 34. Tập nghiệm S của bất phương trình 4^x^¹²5.2^x 2 0 là

A.

^S^{ }

 

^1;1

. B.

^S^{ }



^1;1

 .

C.

^S^{ }



^1;1

 . D.

^S    



^{; 1}

 

^1;

 . Lời giải

Chọn C Ta có:

1

4^x^25.2^x  2 0 ² 1

2.2 5.2 2 0 2 2 1 1

2

x x x x

          

.

(17)

N H Ó M T O Á N V D – V D C Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

^S^{ }



^1;1

 .

Câu 35. Xét số phức z thỏa mãnz 2 4i  z 2 .i Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. 4. B. 2 2 . C. 10. D. 8.

Gọi ^{z a bi}^{ } ^,



^{a b}^, ^_



^.

Ta có z 2 4i  z 2i

     

  

²



² ²

 

²

2 4 2

4 0 4

a b i a b i

a b a b

a b

b a

      

   

  

Lại có z  a²b²  a²



4a



²  2a²8a16 2



a2



² 8 2 2 Vậy z_min 2 2 khi a2.

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{P x}^: ²^{y z}  ^{7 0} và mặt cầu

 

^{S x}^: ²^^y²^^z²^²^x^⁴^z^^{10 0}^ ^{. Gọi}

 

^P ^{và cắt}

mặt cầu

 

^S theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6. Hỏi

 

^Q đi qua điểm nào trong số các điểm sau?

A.



^{ }^{2; 1;5}



^. ^B.



^{4; 1; 2}^{ }



^. ^C.



^6;0;1



^. ^D.



^^{3;1; 4}



^.

Vì

 

^P nên phương trình mặt phẳng

 

^Q ^{có dạng}

^x^²^{y z D}^{  }⁰



^D^⁷



^.

Ta có chu vi đường tròn giao tuyến là 2r6  r 3. Mặt cầu

 

^S ^{có tâm}^I



^{1;0; 2}^



và bán kính R 15. Suy ra ^{d I Q}



^,

  

^ ^R²^^r² ^ ^{15 9}^{ } ⁶^.

(18)

Do đó

 

²

2 2

1 2.0 2 7 ( )

6 1 6

1 2 1 5( )

D D ktm

D D tm

             ^.

Suy ra phương trình mặt phẳng

 

^Q ^làx2y z  5 0. Xét điểm ^A



^{ }^{2; 1;5}



^.

Ta có ^{ }^{2 2. 1}

 

^{   }^{5 5 0}^(đúng).

Vậy

 

^Q đi qua điểm ^A



^{ }^{2; 1;5}



^.

Câu 37. Thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng a 2 là

A.

³

6

a

. B.

² ³ 3

 a

. C.

² ³

6

 a

. D.

³

3

a

. Lời giải

Chọn B

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương có có cạnh bằng

a 2

là

² 2 Ra

Thể tích của khối cầu là

⁴ ³ ^{4 2} ³ ² ³ ²

3 3 8 3

a a

V  R    Câu 38. Với a là số thực dương khác 1 tùy ý, 2

log_a a3 bằng

A.

³

2

. B.

6

. C.

²

3

. D.

5

.

2

3 3

log^a a  2

Câu 39. Số lượng của loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

   

^{0 .3}^t

s t s , trong đó ^s

 

⁰ là số lượng vi khuẩn lúc ban đầu, ^{s t}

 

là số lượng vi khuẩn X có sau t phút. Biết rằng sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn X là 20 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn X là 540 nghìn con?

A. 12 phút. B. 6 phút. C. 81 phút. D. 9 phút.

Ta có số lượng vi khuẩn lúc ban đầu

   

3

20 20

0 3^t 3 27

s s t   nghìn con.

Gọi ^{s t}

 

là số lượng vi khuẩn X là 540 nghìn con.

Ta có

 

⁵⁴⁰ ³

3 729 log 729 6

0 20 27

t s t

s t

      .

Vậy sau 6 phút số lượng vi khuẩn X là 540 nghìn con.

Câu 40. Cho hàm số f x( ) có đồ thị y f x'( ) như hình dưới đây. Trên



^^4;3



^{hàm số}

( ) 2 ( ) (1 )2

g x  f x  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào trong các điểm sau đây?

(19)

A. x₀  4. B. x₀ 1. C. x₀ 3. D. x₀  3. Lời giải

Chọn B

Ta có g x( ) 2 ( ) (1 f x  x)² suy ra g x( ) 2 ( ) 2(1 f x  x) 2



f x( ) (1 x)



. Xét y f x( ) có đồ thị như hình vẽ, y 1 x là đường thẳng đi qua các điểm

(3; 2), ( 1;2);( 4;5)   .

Đồ thị hàm số y f x( ) cắt đường thẳng y 1 x tại các điểm x 4, x 1, x3.

Lập bảng biến thiên của g x( ) f x( ) (1 x) trong đoạn



^^4;3



^{ta có}

Từ bảng biến thiên, hàm số g x( ) 2 ( ) (1 f x  x)² đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x₀  1.

Câu 41. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng



^ABC



^{là điểm}^H trên cạnh AB sao cho HA2HB. Góc giữa SC và mặt phẳng



^ABC



bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

A.

⁴²

8

a

. B.

⁴²

3

a

. C.

⁶

8

a

. D.

⁶

7 a

. Lời giải

Chọn A

y

3 1 O

2

3 2

3 5

x

4

(20)

Vì

^SH ^



^ABC

 nên góc giữa

SC

và 

^ABC

 là

^SCH^ ^{ }⁶⁰

.

Từ

A

kẻ đường thẳng

Ax

song song với

BC

. Từ

H

kẻ

HK Ax

tại

K

, kẻ

HI SK

tại

I

.

Khi đó

^BC^//



^SAx

 nên

^{d BC SA}



^,



^^{d BC SAx}



^,

  

^^{d B SAx}



^,

  

^₂³^{d H SAx}



^,

  

^₂³^HI

.

Xét tam giác

SHK

vuông tại

H

có

2 2 7 21

tan 60 2 cos 60 tan 60 3

3 3

SHHC   BC BH  BC BH       

.

 

2 2 3 3

3 , 3 2 3

a a

HK d A BC   

. Do đó

2 2

42 12

SH HK a

HI SH HK

  



.

Vậy 

^,



³ ⁴² ⁴²

2 12 8

a a

d BC SA   

.

Câu 42. Cho hình chóp S ABC. có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng



^ABC



^là ^điểm ^H ^nằm ^trong ^tam ^giác ^ABC ^sao ^cho

AHB150 ;⁰ BHC120 ;⁰ CHA90⁰. Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp

. ; . ; .

S HAB S HBC S HCA là 124

3 . Tính thể tích khối chóp S ABC. .

A.

_. ⁹.

S ABC 2

V 

B.

_. ⁴.

S ABC 3

V 

C.

V_{S ABC}_. 4.

D.

V_{S ABC}_. 4.

Lời giải

Chọn B

(21)

Gọi

R R R₁, ,₂ ₃

là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S HAB S HBC S HCA. , . , .

. Gọi

r r r₁, ,₂ ₃

là bán kính đường tròn ngoại tiếp

HAB HBC HCA, ,

.

Tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp 

1² 2² 3²



4 124

R R R 3

    

2 2 2

1 2 3

31

4 4 4 3

h h h

r r r

     

        

     

2 2 2

3 2 2 2 2 31

4h 2sin 90  2sin120  2sin150  3

       

4 h 3

 

.

Do đó thể tích khối chóp

¹ ^{1 4 3 4} ⁴

3 ^ABC 3 4 3 3

V  S   h  

.

Câu 43. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bới các mặt phẳng



^SAB



^,



^SBC



^,



^SCD

 

^, ^SDA



với mặt đáy lần lượt là 90 , 60 , 60 , 60 .⁰ ⁰ ⁰ ⁰ Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S,AB a và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp

. .

S ABCD

A. ³ ³

4

V  a . B. V a³ 3. C. 2 ³ 3 9

V  a . D. ³ 3

9 . V  a . Lời giải

Chọn D

Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB, khi đó ^SH ^



^ABCD



^.

A D

B

C S

(22)

Lần lượt vẽ HI HJ HK, , vuông góc với BC CD DA, , tại , ,I J K.

Khi đó ^



^SBC

 

^; ^ABCD







^{ }^{SI IH}^;



^SIH , ^



^SCD

 

^, ^ABCD







^{ }^{SJ JH}^,



^SJH và

   

^SDA ^, ^ABCD ^



^{ }^{SK KH}^,



^^SKH

 

    SIH SJH SKH 60^o. Ta có AB BC CD DA   9aBC CD DA  9a AB 8a. Thể tích khối chóp S ABCD. là _. 1

. .

S ABCD 3 ABCD

V  SH S .

Lại có 1 1 1

. . .

2 2 2

ABCD HBC HCD HAD

S S S S  HI BC HJ CD HK DA.

Mặt khác _o

tan 60 2 3 2 3 2 3

SH AB a a

HIHJ HK    .

Do đó ¹^. ^.

 

¹^. ^.8

2 2 3 2 2 3

ABCD

a a

S  BC CD DA   a.

Vậy 1 2 ² 3 ² 3

3 2. . 3 9

ABCD

a a a

V   .

Câu 44. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa mãn ⁴



²



0

tan .x f cos x dx 2





 ^và ²



^ln²



₂

ln

e

f x

x x dx



^.

Tính ²

 

1 4

2 f x

x dx



^.

A. 4. B. 1. C. 0 . D. 8 .

Xét ¹ ⁴



²



0

tan . cos 2

I x f x dx







 ^.

Đặt

2 2

2sin cos 2 tan .cos tan

cos 2

0 1; 1

4 2

dt x xdx x xdx dt xdx

t x t

x t x  t

       

  

      



.

H

K

I J

D

C B

A S

(23)

Suy ra ¹²

 

¹

 

¹

 

1

1 1

1

2 2

2 4

2 2

f t f t f t

I dt dt dt

t t t

 







 



 ^.

Xét ²



²



2

ln 2

ln

e

f x

I dx

x x





 ^.

Đặt

2 2

2

2ln 1 1

ln ln 2 ln 2 ln

1; 4

x dt

dt dx xdx dx

t x x x x t x x

x e t x e t

    

  

      



.

Suy ra ⁴

 

⁴

 

2

1 1

2 4

2

f t f t

I dt dt

t t





 



 ^.

Xét ²

 

1 4

2 f x

I dx





x ^{. Đặt}

2 1

2

2 1 1; 2 4

4 2

x dt

dt dx dx dx

x x t

t x

x t x t

    

  

      



.

Suy ra ⁴

 

¹

 

⁴

 

1 1 1

2 2

4 4 8

f t f t f t

I dt dt dt

t t t













   ^.

Câu 45. Cho các số thực , ,a b c không âm thỏa mãn 2^a4^b8^c 4. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 2b3 .c Giá trị của biểu thức 2^M log⁴m bằng A.

11

6 . B.

91

27 . C.

64

27 . D.

4 3 . Lời giải

Chọn C

+ Đặt: x2 ,^a y4 ,^b z8^c. Khi đó , ,x y z1; x y z  4 và ta có:

2 4 8 2 2 2 2

 

2 3 log 2log 3log log log log log

S a  b c x y z x y z xyz . + Ta có:

3 64

3 27

x y z xyz    

  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4

x y z  3.

Suy ra 2

 

2 2

64 64

log log log

27 27

xyz  M  .

+ Không mất tính tổng quát ta giả sử: 4

1 1

x     y z z 3. Khi đó:



^x^¹



^y^{  }¹



⁰ ^{xy x y}^{    }^{1 0} ^{xy x y}     ^{1 3} ^z ^xyz  ^z² ³^z Xét ^{f z}

 

^{  }^z² ³^z

với

^1;⁴

z  3

   .

Ta có:

 

² ^{3 0,} ^1;⁴

f z        z z  3

suy

^{f z}

 

^ ^f

 

¹ ^{ }² ^xyz^²

Suy ra log2

 

xyz log 2 12   m 1

+ Từ đó: ₄ 64

2 log

27

M  m .

 

h x

(24)

Câu 46. Cho hàm số ^{y x}^ ³^³^mx²^³



^m²^¹



^{x m}^ ³^với^m là tham số. Gọi

 

^C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực tiểu của đồ thị

 

^C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Tìm hệ số góc k

của đường thẳng d.

A. 1

k 3. B. k3. C. 1

k3. D. k 3. Lời giải

Chọn D

Ta có: ³ ² ⁶ ³ ² ^{3 0} ² ² ² ¹

 

² ¹ ¹

1

y x mx m x mx m x m x m

x m

  

                 . Bảng xét dấu y:

Suy ra điểm cực tiểu của hàm số: x_CT  m 1. Ta có:

   

³

   

3 3 2 3 2 1 3 3 1 1 3 1 _CT 3 _CT 1

yx  mx  m  x m  x m  x y m   m  y   x 

 điểm cực tiểu của đồ thị

 

^C luôn nằm trên một đường thẳng d: y  3x 1