73 bài toán cực trị hàm số hợp trong các đề thi thử THPT môn Toán - TOANMATH.com

(1)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n

“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”

Ngày đã r ng, bình minh đang t nh gi c!

“Khi nào em c m th y mu n phê phán và chê bai m t ai đó, hãy nh r ng không ph i ai trên th# gi i này c$ng có nh%ng

thu&n l(i trong cu c s ng mà em có đư(c."

73

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ HỢP

TRONG CÁC THI TH 20-21

Họ và Tên học sinh: ………...

Trường:………. Lớp: ……….

(2)

h tt p s: //l u ye n th it ra cn gh ie m .v n h ttp s:/ /w ww .fa ce bo ok .co m /v iet go ld

Câu 1: (Câu 31 - Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f x

( )

thỏa mãn f′

( )

x =x²

(

1−x

)

,∀ ∈x ℝ. Hỏi hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

² có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Ⓐ. 3. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 0. Ⓓ. 1.

Lời giải Chọn D

Xét hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

² ^.

Tập xác định: D=ℝ.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 4 2 5 2

5 2

' ' 2 . ' 2 . 1 2 1

0

' 0 2 1 0 1

1

y f x x f x x x x x x

x

y x x x

x

 

=  = = − = −

 =

= ⇔ − = ⇔ =

 = −

 Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 2: (Câu 18 - THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn y= f x( ). Hàm số y= f '( )x có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực đại của hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁺¹

)

^là

Ⓐ. 2. Ⓑ. 1. Ⓒ. 4. Ⓓ. 3. Lời giải

Chọn B

Ta có: y' 2 . '(= x f x²+1).

(

²

)

2²

0

' 0 1 1

0 0

1 ' 1 0 2

3 2

y

x x x

x x

f x

x x

 =

 =  

⇔ ⇔ ⇔ =

 

= + =

+ = 

= = −

 + 

.

(3)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n

Ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x₀ khi đạo hàm của hàm số đó đổi dấu dương (+) sang âm (-) khi đi qua điểm x₀.

Vậy hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁺¹

)

có 1 cực đại.

Câu 3: (Câu 4 - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số ^{f x}

( )

^{có đạo}

hàm trên ℝ và có dấu của ^f^′

( )

^x ^{như sau}

Hàm số y= f

(

2−x

)

có bao nhiêu điểm cực trị?

Ⓐ. 1. Ⓑ. 4 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 2.

Lời giải Chọn C

Cách 1

Ta có y= f

(

2−x

)

⇒ y′= −f′

(

2−x

)

.

Ta có

( )

2 1 3

2 1 1

0 2 0

2 2 0

2 3 1.

x x

y f x

x x

− = − =

 

 − =  =

 

′= ⇔ ′ − = ⇔ ⇔

 − =  =

 − =  = −

 

Mặt khác

( )

2 1 3

0 2 0

2 2 3 1 0

1 2 1 1 3

0 2 0 1 2 2 0 1

2 3 1.

x x

y f x

x x

y f x x x

x x

 ′< ⇔ ′ − > ⇔ − < − ⇔ >

  < − < − < <



− < − < < <

 

  

 ′> ⇔ ′ − < ⇔ < − < ⇔ < <

  

  − >  < −



Ta có bảng xét dấu của ^y^′^{= −}^f^′

(

²⁻^x

)

Từ bảng xét dấu của ^y^′^{= −}^f^′

(

²⁻^x

)

ta thấy hàm số ^y⁼ ^f

(

²⁻^x

)

có 3 điểm cực trị.

Cách 2

Số điểm cực trị của hàm số ^f

(

²⁻^x

)

bằng số điểm cực trị của hàm số ^{f x}

( )

^.

Từ bảng xét dấu của ^f^′

( )

^x ta thấy hàm số ^{f x}

( )

^có³ điểm cực trị.

Câu 4: (Câu 44 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số ( )f x bậc 4 có bảng biến thiên như sau:

(4)

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

( )

⁼^x⁴^_^{f x}

(

⁺¹

)

^_²^là

Ⓐ. 11. Ⓑ. 9. Ⓒ. 7. Ⓓ. 5.

Lời giải Chọn B

Ta chọn hàm bậc bốn y= f x( ) 5= x⁴−10x²+3 có bảng biến thiên như đề cho.

Ta có ^{g x}^{'( ) 4}⁼ ^x³^_^{f x}

(

⁺¹

)

^_²⁺^x⁴^.2.^{f x}

(

⁺¹

) (

^f^' ^x^{+ =}¹

)

⁰

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

3

2 . 1 . 2 1 ' 1 0

0 (1)

1 0 (2)

2 1 ' 1 0 (3)

x f x f x xf x

x f x

f x xf x

 

⇔ +  + + + =

 =

⇔ + =

 + + + =



+ Phương trình (1) có nghiệm bội x=0.

+ Từ bảng biến thiên của hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

, ta có phương trình ^{f x}

( )

⁼⁰ có 4 nghiệm phân biệt 1

x≠ ⇒Phương trình (2): ^{f x}

(

^{+ =}¹

)

⁰ có 4 nghiệm phân biệt x≠0. + Giải (3): Đặt x+ = ⇒ = −1 t x t 1, phương trình (3) trở thành:

( ) ( ) ( ) (

⁴ ²

) ( ) (

³

)

4 3 2

2 1 . ' 0 2 5 10 3 1 20 20 0

30 20 40 20 6 0 (3')

f t t f t t t t t t

t t t t

+ − = ⇔ − + + − − =

⇔ − − + + =

Bấm MTCT thấy phương trình (3’) có 4 nghiệm phân biệt t≠1.

⇒Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt x≠0.

Ngoài ra, nghiệm của phương trình (2) không phải là nghiệm của phương trình (3) vì những giá trị x thỏa mãn ^{f x}

(

^{+ =}¹

)

⁰ không thỏa mãn phương trình (3).

Do đó phương trình ^g^'

( )

^x ⁼⁰ có 9 nghiệm phân biệt nên hàm số ^{g x}

( )

⁼^x⁴^_^{f x}

(

⁺¹

)

^_²^{có 9}

điểm cực trị.

Câu 5: (Câu 44) (MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số bậc 4 có bảng biến thiên như hình vẽ

( )

⁼^x⁴^_^{f x}

(

⁻¹

)

^_²^là

(5)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n

Ⓐ. 7. Ⓑ. 5. Ⓒ. 9. Ⓓ. 11. Lời giải

Chọn C

Cách 1. Từ giả thiết đề bài đã cho ta thấy rằng hàm số ^{f x}

( )

^{có dạng} ^{f x}

( )

⁼^ax⁴⁺^bx²⁺^c^.

Sử dụng giả thiết ta được

( )

⁴ ⁴ ⁸ ² ³ ^'

(

¹

)

¹⁶

(

¹

)

³ ¹⁶

(

¹

)

¹⁶

(

¹

)(

²

)

f x = x − x + ⇒ f x− = x− − x− = x x− x− Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

3 2 4

0 4 1 2 . 1 . 1 0

0

1 0

2 1 . 1 0 *

g x x f x x f x f x

x f x

f x x f x

′ = ⇔  −  + − ′ − =

 =

⇔ − =

 − + ′ − =



Xét phương trình

( )

^*

(

¹

)

^.

(

¹

)

2 f x x f′ x

⇔ − = − − , ta có ^.

(

¹

)

⁸ ²

(

¹

)(

²

)

2

x f′ x x x x

− − = − − − .

Biểu diễn hai hàm số ^{f x}

(

⁻¹

)

^và ^.

(

¹

)

2 x f′ x

− − trên cùng một đồ thị đồ thị ta có

Như vậy phương trình

( )

^* có 4 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình

( ) ( )

( )

2

6 1

3 2

1 2 5

1 0

1 4

1 2 3

4 x x

f x x

x

 = ± +

 − = 

 

− = ⇔ ⇔ =

 − = 

  =



.

Thay 4 nghiệm này vào phương trình

( )

^* thì ta thấy rằng các nghiệm của phương trình này không phải là nghiệm của phương trình

( )

^* ^.

Vậy hàm số đã cho có tất cả 9 điểm cực trị.

Cách 2.

(6)

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy rằng phương trình ^{f x}

(

^{− =}¹

)

⁰ có 4 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra phương trình^{g x}

( )

⁼^x⁴^_^{f x}

(

⁻¹

)

^_²⁼⁰ có tất cả 5 nghiệm bội chẵn, khi đó đồ thị hàm số

( )

g x sẽ có dạng như sau

Như vậy hàm ^{g x}

( )

Câu 6: (Câu 38 - SGD Cần Thơ - Mã đề 102 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn ^y⁼ ^{f x}

( )

^và

có đồ thị ^f^′

( )

^x ^{như sau:}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁻¹

)

^là

Ⓐ. 1. Ⓑ. 3. Ⓒ. 2. Ⓓ. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{g x}^′

( )

⁼^{2 .}^{x f}^′

(

^x²⁻¹

)

Xét

( ) (

²

)

²

0 0 0

0 1 0 1 2 3

x x x

g x f x x x

 =  =  =

′ = ⇔ ′ − = ⇔ − = ⇔ = ±

( )

² ^4.

( )

³ ⁰

g′ = f′ >

Ta có bảng xét dấu ^g^′

( )

^x ^:

x −∞ − 3 0 3 +∞

( )

g′ x − 0 + 0 − 0 +

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3 điểm.

(7)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n

Câu 7: (Câu 41 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Biết hàm số ^{f x}

( )

có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số ^y⁼ ^f²^_^{f x}

( )

^_

Ⓐ. 3. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 1.

Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 . . ;

0 1

0 0 2 .

0 3 y f f x f f x f x

f x

y f f x

f f x

′=   ′  ′

 ′ =

′= ⇔ ′ =

  =

  

 Giải

( )

^{1 :}

( )

⁰ ⁰

2 f x x

x

 =

′ = ⇔  =

Giải

( )

^{2 :}

( ) ( ) ( )

( )

1

2 1

0 0

0 2

2

x kep

f f x f x x x

f x x x x

=

= 

 

′ = ⇔ = ⇔ = > = >

Giải

( )

³ ^:

( ) ( )

( )

1

(

1

)

0 0

2 f x

f f x

f x x x

=

= ⇔ 

  

   = >

( )

1

3 2

0 2 x kep x x x x x

=



⇔ = >

 = >



Vậy phương trình y′ =0 có nghiệm x=0 (bội 5), x=2, x=x₁ (kép), x=x₂, x= x₃ Phương trình (1) có 4 nghiệm làm đổi dấu y′nên hàm số đã cho có hai điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

Câu 8: (Câu 47 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ba ^y⁼ ^{f x}

( )

có đồ thị như hình vẽ bên

(8)

h tt p s: //l u ye n th it ra cn gh ie m .v n h ttp s:/ /w ww .fa ce bo ok .co m /v iet go ld

Số nghiệm thực của phương trình ^f

(

^x³⁻³^x

)

⁼²^là

Ⓐ. 9. Ⓑ. 10. Ⓒ. 8. Ⓓ. 6. Lời giải

Chọn C

Đặt t = x³−3x

(

^t^≥⁰

)

( ) ( ) ( ( ) )

( )

3

2 0

3 2 2 0 2

2

t a a

f x x f t t b b

t c c

= − < <



− = ⇔ = ⇔ = < <

 = >



Ta có đồ thị hàm số y= x³−3x (là phần nằm phía trên trục hoành trong hình vẽ dưới đây)

(9)

Dựa vào đồ thị của hàm số y= x³−3x ta có

Với t=a ta có x³−3x =a phương trình vô nghiệm

Với t=b ta có x³−3x =b phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt Với t=c ta có x³−3x =cphương trình có 2 nghiệm thực phân biệt Vậy số nghiệm thực của phương trình ^f

(

^x³⁻³^x

)

⁼²^là⁸^.

Câu 9: (Câu 38 - SGD Sơn La - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

có đạo hàm

( ) (

¹

) (

² ²

)

f′ x = x− x− . Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^f

(

^x²⁺²^x⁺⁵

)

^là

Ⓐ. 3. Ⓑ. 0. Ⓒ. 1. Ⓓ. 2 .

Ta có: ^f

( )

^x ⁰

(

^x ¹

) (

² ^x ²

)

⁰ ^x ¹₂

x

 =

′ = ⇔ − − = ⇔  = ^.

( )

2

(

²

)

1 2 5

2 5

g x x f x x

x x

′ = + ′ + +

+ + .

( )

2

(

²

)

0 1 2 5 0

2 5

g x x f x x

x x

′ = ⇔ + ′ + + =

+ +

(

²

)

²₂

( )

₂

1

2 5 1

2 5 0

2 5 2 2 1 0 1

x

x x VN

f x x

x x x x x

 = −

  + + =

⇔  ′ + + = ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ = − .

Bảng xét dấu ^{g x}^′

( )

^:

Suy ra: Chọn C

Câu 10: (Câu 39 - THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

^{. Biết}

hàm số ^y⁼ ^f ^'

( )

^x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số

( ) ( )

2021^{f x} 2020^{f x}

y= + là

(10)

Ⓐ. 2. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 4. Lời giải

Chọn C

Ta có ^y^'⁼ ^f ^'

( )

^x ^.2021^{f x}^{( )}^{.ln 2021}⁺ ^f^'

( )

^x ^.2020^{f x}^{( )}^{.ln 2020.}

( )

^{( )} ^{( )}

' . 2021^{f x}.ln 2021 2020^{f x}.ln 2020 .

f x  

=  + 

Do ^{( )} ^{( )}

( )

¹2

3

2021^{f x}.ln 2021 2020^{f x}.ln 2020 0, ' 0 ' 0 .

x a

x y f x x b

x c

 =

+ > ∀ ⇒ = ⇔ = ⇔ =

 =



Vậy hàm số y=2021^{f x}^{( )}+2020^{f x}^{( )} có ba điểm cực trị.

Câu 11: (Câu 24 - Chuyên Vinh- Nghệ An – Lần 1 – Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y= f x

( )

có đạo hàm trên ℝvà có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số ^y⁼ ^f

(

^{1 2}⁻ ^x

)

đạt cực tiểu tại

Ⓐ. 1

x= −2. Ⓑ. 1

x=2. Ⓒ. x=1. Ⓓ. x=0 Lời giải

(11)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n

Chọn B

( ) ( ) ( )

1 2 1 1

2 1 2 0 2 1 2 0 1 2 0 1

1 2 2 21

2 x x

g x f x f x x x

x

 =

− = −

 

 

′ = − ′ − = ⇔⇒ − ′ − = ⇔ − = ⇔ =

 − = 

  = −

 Ta có bảng biến thiên

Ta xét dấu bằng cách thay số Với ^x= ⇒² ^g^′

( )

² = −²^f^′

( )

− <³ ⁰

Với 3 3 2 1 0

4 4 2

x= ⇒g′  = − f′− >

   

Với 1 1 1

2 0

4 4 2

x= ⇒g′  = − f′  <

   

Với^x^{= − ⇒}¹ ^g^′

( )

^{− = −}¹ ²^f^′

( )

³ ^>⁰

Vậy hàm số y= f

(

^{1 2}− x

)

đạt cực tiểu tại 1 x= 2.

Câu 12: (Câu 24 - Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y= f x

( )

có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số ^y⁼ ^f

( )

³^x ^là

Ⓐ. y= −3 Ⓑ. 2

x=3 . Ⓒ. x=2. Ⓓ. 2

x= −3. Lời giải

Chọn B Ta có:

3

( )

3 y′= f′ x

Từ BBT của hàm số y= f x

( )

ta có:

(12)

y′ =0⇔ f′

( )

³x =⁰ 3 1

3 2

x x

 = −

⇔

 =



1 3 2 3 x x

 = −

⇔ 

 =



y′ >0 ³ ¹

3 2

x x

 <−

⇔

 >



1 3 2 3 x x

 < −

⇔ 

 >



y′ <0⇔ − <1 3x<2 ¹ ²

3 x 3

⇔ − < <

Do đó, điểm cực tiểu của hàm số là 2 x= 3.

Câu 13: (Câu 47 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y= f x

( )

^,

có đạo hàm ^f^′

( ) (

^x ⁼ ^x⁺¹

) (

² ^x⁻^{3 .}

)

Tìm số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^f

(

^x²⁺²^x⁺⁶

)

Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 5. Lời giải

Chọn C

Ta có

( )

⁰ ^{1 0} ¹

3 0 3

x x

f x

x x

+ = = −

 

′ = ⇔ − = ⇔ = . Bảng xét dấu

Xét hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^f

(

^x²⁺²^x⁺⁶

)

^có

( )

2

(

²

)

1 2 6

2 6

g x x f x x

x x

′ = + ′ + +

+ +

( ) (

²

)

²

1 0 1

0 2 6 0 2 6 3

x x

g x f x x x x

 + =  = −

′ = ⇔ ′ + + = ⇔  + + =

2

1 1

2 3 0 3

1 x x

x x x

x

 = −

 = − 

⇔ + − = ⇔ = = − Bảng xét dấu

Từ bảng biến thiên. Ta thấy hàm số g x

( )

Câu 14: (Câu 45 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y= f x

( )

có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị hàm số y= f′

( )

x như hình dưới đây:

(13)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n

Hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁺^x

)

có bao nhiêu điểm cực đại?

Ⓐ. 1. Ⓑ. 0. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . Lời giải

Chọn D

Bảng xét dấu của ^f^′

( )

^x ^:

Đặt ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁺^x

)

^{, ta có}^{g x}^′

( ) (

⁼ ²^x⁺¹

)

^f^′

(

^x²⁺^x

)

^,

( )

²₂

2

1

2 1 0 2

1 1 5

0 1 2

1 17 4

2 x x

x x

g x x

x x

x x x

 =− + = 

 

 + = −  − ±

′ = ⇔ + = ⇔ =

− ±

 + = 

 =



Đặt 1 17 1 5 1 5 1 17

, , ,

2 2 2 2

a − − b − − c − + d − +

= = = = ; Ta có bảng xét dấu của ^{g x}^′

( )

Từ bảng xét dấu của ^{g x}^′

( )

ta có hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁺^x

)

có 2 điểm cực đại.

Câu 15: (Câu 13 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ba ^y⁼ ^{f x}

( )

có đồ thị như hình vẽ:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số ^y⁼ ^f

( (

^x⁻¹

)

²⁺^m

)

Tổng các phần tử của S là:

Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 8 . Ⓓ. 10 . Lời giải

(14)

Chọn A

Ta có ^y^{' 2}⁼

(

^x⁻¹

)

^f^'

( (

^x⁻¹

)

²⁺^m

)

^.

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2

2 2

1 1

1

' 0 1 1 1 1 1

' 1 0

1 3 1 3 2

x x

x

y x m x m

f x m

x m x m

 =  =

 =  

= ⇔ ⇔ − + = − ⇔ − = − −

− + =

  

  − + =  − = −

.

+) Nếu − − = ⇔1 m 0 m= −1 khi đó phương trình

( )

² ^⇔

(

^x⁻¹

)

² ⁼⁴ có hai nghiệm phân biệt khác 1 nên m= −1 thỏa mãn.

+) Nếu 3− = ⇔m 0 m=3 khi đó phương trình

( )

¹ ^⇔

(

^x⁻¹

)

² ^{= −}⁴ vô nghiệm. Do đó, m=3 không thỏa mãn.

+) Để hàm số ^y⁼ ^f

( (

^x⁻¹

)

²⁺^m

)

có 3 điểm cực trị thì phương

( )

¹ có hai nghiệm phân biệt và

( )

² vô nghiệm; hoặc

( )

¹ vô nghiệm và

( )

² có hai nghiệm phân biệt.

1 0 1

3 0 3

1 3

1 0 1

3 0 3

m m

m

m m

 − − >  < −

 

 − <  >

 

⇔− − <− > ⇔ <> − ⇔ − < <

.

Vậy ^{− ≤}¹ ^m^{< }³ ^m^∈^ℤ^{→ ∈ −}^m

{

^{1;0;1; 2}

}

^{. Chọn}^A^.

Câu 16: (Câu 45 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số

( )

y= f x (với ^{f x}

( )

là đa thức bậc 5). Đồ thị hàm y = f ^'

( )

x hình vẽ sau

Hỏi hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Ⓐ. 1. Ⓑ. 3. Ⓒ. 2 . Ⓓ. 0. Lời giải

Chọn B

Ta có: ^y^'⁼

(

²^x⁻²

)

^f^'

(

^x²⁻²^x

)

(15)

( ) ( ) ( )

2 2

2

1

2 2 0 0

2 2 0 2 0 2

' 0 2 2 ' 2 0

' 2 0 2 1 1 2

2 3 3

1 x

x x

x x x x

y x f x x

f x x x x x

x x x

x

 =

− =  =

 

− =  

  − = =

= ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔  = ±

 − =  =

 

 = −

.

Dựa vào đồ thị ta suy ra ' 0y = có đúng 5 nghiệm bội lẻ là: x= −1;x=0;x=1;x=2;x=3 nên hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

Từ giả thiết đồ thị hàm số y= f^'

( )

x và hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

có 5 điểm cực trị suy ra hàm số

(

² ²

)

y= f x − x có 3 điểm cực tiểu

Câu 17: (Câu 44 - Chuyên Quốc Học Huế - Huế - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

có đạo hàm ^f^′

( )

^x ⁼ ^x²

(

^x⁺²

)(

^x⁻³

)

. Điểm cực đại của hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

^là

Ⓐ. x=0. Ⓑ. x= −1. Ⓒ. x=3. Ⓓ. x=1. Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết :

( )

0

0 2

3

 =

′ = ⇔ = −

 = x

f x x

x

(trong đó x=0 là nghiệm kép).

Ta có ^{g x}^′

( ) (

⁼ ²^x⁻²

)

^{f x}^′

(

²⁻²^x

)

^{, có}

( ) (

²

)

²²

2

2 2 0

2 2 0 2 0

0 2 0 2 2( )

2 3

 − =

− = 

  − =

′ = ⇔ ′ − = ⇔ − = −

 − =

 x

x x x

g x f x x x x vn

x x

 = =



⇔ =

 = −

 =

 1

0 2 1 3 x x x x x

(trong đó x=0 và x=2 là nghiệm kép).

Bảng biến thiên của hàm số g x( )

Dựa vào BBT, hàm số g x( ) đạt cực đại tại x=1.

(16)

h tt p s: //l u ye n th it ra cn gh ie m .v n h ttp s:/ /w ww .fa ce bo ok .co m /v iet go ld

Câu 18: (Câu 48 - Chuyên Thái Bình - Thái Bình - Lần 4 - Năm 2020 - 2021 ) Cho hàm số ^{f x}

( )

^,

bảng biến thiên của hàm số ^f^′

( )

^x ^{như sau:}

Số điểm cực trị của hàm số ^y⁼ ^f

(

³^x²⁻⁶^x⁺²

)

^là:

Ⓐ. 3 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 9 . Lời giải

Chọn C

Ta có: ^y^′⁼

(

⁶^x⁻⁶

)

^f^′

(

³^x²⁻⁶^x⁺²

)

( ) (

²

) (

²

) ( )

0 6 6 3 6 2 0 1

3 6 2 0 1

x

y x f x x

f x x

 =

′= ⇔ − ′ − + = ⇔  ′ − + =

BBT:

( )

( ) ( )

2

1 2

2 0

2

3 0

2

4 0

3 6 2 ; 1 :

3 6 2 1;0 2

1 3 6 2 0;1 2

3 6 2 1; 2

x x a vn

x x a n

 − + = ∈ −∞ −

 − + = ∈ −

⇔ 

− + = ∈

 − + = ∈ +∞



Vì phưưng trình

y ′ = 0

có 7 nghiưm đưn phân biưt nên hàm sư ^y⁼ ^f

(

³^x²⁻⁶^x⁺²

)

^có⁷

cưc trư.

Câu 19: (Câu 50 - THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ba ^y⁼ ^{f x}

( )

có đồ thị như hình vẽ.

f'(x)

+∞

0 +∞

x ∞ 1 1 +∞

3 1

2

(17)

Số điểm cực tiểu của hàm số ^y⁼ ^f

(

⁻^x²⁺^x

)

^bằng

Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2.

Từ đồ thị ta có hàm số bậc ba ^y⁼ ^{f x}

( )

có hai điểm cực trị x= −2;x=0 Đặt u= − +x² x. Ta có 1

' 2 1 0

u = − x+ = ⇔ =x 2 Bảng biến thiên của hàm số ^y⁼ ^f

(

⁻^x²⁺^x

)

Câu 20: Vậy hàm số ^y⁼ ^f

(

⁻^x²⁺^x

)

có 3 điểm cực tiểu.(Câu 46 - THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số ^y⁼^{f x}

( )

có bảng biến thiên như hình dưới

Số điểm cực trị của hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻⁴^x⁺¹

)

^là

Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . Lời giải

Chọn B

Xét hàm số:^y⁼^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁻⁴^x⁺¹

)

( ) ( ) (

² ¹

)

' ' 2 4 ' 4

y =g x = x− f x − x+

(18)

( ) (

²

)

2 4 0

0 ' 4 1 0

' x

g x f

x x



− +

= =

⇔ −



=



2 2

1

2 4 0

4 1

4 1 3

x x

 x

⇔ − + = −

− + =

=



−



2 2

4 2

0 2

0

4 2

x x

x

x x



⇔ − + =

 =



=

− −

2 2

2 6

2 x x x x

x



 = +

⇔ = −

 = +



=

 = − Suy ra ^{g x}^'

( )

bị đổi dấu 5 lần, nên hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻⁴^x⁺¹

)

Câu 21: (Câu 18 - THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số

( )

f x

. Bảng biến thiên của hàm số

^f^′

( )

^x

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số

^y⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

) là

Ⓐ.

⁷

. Ⓑ.

9

. Ⓒ.

3

. Ⓓ.

6

.

Lời giải Chọn A

Có

^y^′⁼

(

²^x⁻²

)

^f^′

(

^x²⁻²^x

) .

Xét phương trình (

²

) (

²

)

2 2 0 1

0 2 0 2 0

x x

y f x x f x x

− = =

 

′ = ⇔ ′ − = ⇔ ′ − =

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

^f^′

( )

^x

, ta có

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 1 1

2 1 0 2

2 0

2 0 1 3

2 1 4

x x a a

x x b b

f x x

x x c c

x x d d

 − = < −

 − = − < <

′ − = ⇔ − = < <

 − = >



Xét hàm số

^{g x}

( )

⁼^x²⁻²^x

, có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

^{g x}

( )

⁼^x²⁻²^x

, suy ra:

+ Phương trình (1) vô nghiệm.

(19)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n + Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

x x₁, ₂

khác 1.

+ Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

x x₃, ₄

khác các nghiệm:

x x₁, ,1₂

. + Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt

x x₅, ₆

khác các nghiệm:

x x x x₁, , , ,1₂ ₃ ₄

. Vậy phương trình

y′ =0

có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.

Câu 22: (Câu 27 - THPT Đội Cấn - Vĩnh Phúc - Lần 01 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hình vẽ bên?

Số điểm cực trị của hàm sốg x( )= f x( ³−3 )x là

Ⓐ. 7. Ⓑ. 9. Ⓒ. 11. Ⓓ. 5. Lời giải

Chọn B

Ta có ² ³ ₃1

'( ) (3 3) '( 3 ) 0

'( 3 ) 0

g x x f x x x

f x x

 = ±

= − − = ⇔  − =

Dựa vào đồ thị ta có

3

3 3

3

3 ( 2 )

'( 3 ) 0 3 ( 2 0) (*)

3 (0 2)

x x t t

f x x x x u u

x x v v

 − = − >

− = ⇔ − = − < <

 − = < <



Xét h x( )= − ⇒x³ 3x h x'( ) 3= x²− = ⇔ = ±3 0 x 1 ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta được (*) có 7 nghiệm phân biệt khác ±1nên '( ) 0g x = có 9 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số g x( )= f x( ³−3 )x có 9 cực trị.

Câu 23: (Câu 37 - THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

. Đồ thị của hàm số ^y⁼ ^f^′

( )

^x như hình bên.

(20)

Hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^f

( )

^x ⁺²⁰²¹ có bao nhiêu điểm cực trị?

Ⓐ. 5. Ⓑ. 7. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2. Lời giải

Chọn A

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị của ^y⁼ ^f^′

( )

^x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm).

Suy ra hàm số ^{f x}

( )

có 2 điểm cực trị dương.

Suy ra hàm số ^f

( )

^x ^có⁵ điểm cực trị.

Suy ra hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^f

( )

^x ⁺²⁰²¹^có⁵ điểm cực trị (vì tịnh tiến đồ thị lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).

Câu 24: (Câu 36 - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn

( )

y= f x có đồ thị

( )

C1 và hàm số ^y⁼ ^f^′

( )

^x có đồ thị

( )

C2 như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số ^{g x}

( )

_{= }^f ^^{e .}⁻^x ^{f x}

( )

^_ trên khoảng

(

^−∞^;3

)

^là

Ⓐ. 9. _Ⓑ. 6. _Ⓒ. 7. _Ⓓ. 8.

Lời giải Chọn D

Ta có ^{g x}^′

( )

⁼^{e .}⁻^x ^^f^′

( )

^x ⁻ ^{f x}

( )

^^.^f^′

(

^e⁻^x⁻ ^{f x}

( ) )

.

(21)

ht tps :// ww w.f ace boo k.c om /vie tgo ld h ttp s:/ /lu ye n th itr ac n gh ie m .v n

Xét

( ) ( ) ( )

( ( ) )

( ) ( )

( ( ) )

0 0

e .^x 0 e .^x 0

f x f x f x f x

g x f ⁻ f x f ⁻ f x

′ − = ′ =

 

′ = ⇔ ⇔

= =

 

 

.

( ) ( ) ( )

0 0

e . 2 2e

0

e . 0

e . 2 2e

x x

x

x x

x a x a

x x

x b x b

f x f x

− −

−

= =

 

 =  =

 

 =  =

 

⇔ = − ⇔ =

 =  =

 

 =  =

 Từ đồ thị ta suy ra được:

Phương trình f x

( )

= −2e^x có nghiệm đơn.

Phương trình f x

( )

=0 có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn

(

x=0

)

. Phương tridnh ^{f x}

( )

⁼^2e^x có 1 nghiệm đơn.

Vậy ^{g x}^′

( )

⁼⁰ có 8 nghiệm đơn nên hàm số ^{g x}

( )

Câu 25: (Câu 45 - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu của ^f^′

( )

^x ^{như sau}

Hỏi hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Chọn B

Ta có ^{g x}^′

( ) (

⁼ ²^x⁻²

)

^f^′

(

^x²⁻²^x

)

^.

Suy ra

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

1

2 2 0 2 3

0 2 2 2 0

2 0 2 2

2 1

x

x x x

g x x f x x

f x x x x

x x

 =

− = 

  − =

′ = ⇔ − ′ − = ⇔ ′ − = ⇔ − = −

 − =



1 3 1

1 2

x x x x

 =

 =

⇔ = −

 = ±



.

(22)

Xét ^{g x}^′

( )

^≥⁰^⇔

(

²^x⁻²

)

^f^′

(

^x²⁻²^x

)

^≥⁰

( )

2

2 2 0

2 0

2 2 0

2 0

x

f x x

x

f x x

 − ≥

 ′ − ≥

⇔ 

 − ≤

 ′ − ≤



2

2 2

1

2 2 3

1

2 3

2 2

x

x x

x

x x

 ≥

− ≤ − ≤

 ≤

⇔   − ≥

  − ≤ −

 



2 2

1

2 2 0

2 3 0

1

2 3 0

2 2 0

x

x x

x

x x

 ≥

 − + ≥



 − − ≤

⇔

 ≤

 − − ≥



 − + ≤

 



1

1 3

1 x

x x

 ≥

 − ≤ ≤



⇔  ≤

 ≥

 

  ≤ −



1 3

1 x x

 ≤ ≤

⇔  ≤ − ^.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

có 1 điểm cực tiểu.

Cách khác:

Từ BBT hàm ^{f x}

(

² ⁻²^x

)

được mô tả ở dưới ta suy ra hàm có 1 điểm cực tiểu.

Câu 26: (Câu 45 - THPT Phụ Dực - Thái Bình - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số

( )

³ ²

y= f x =ax +bx +cx d+ với

a≠ 0

có đồ thị hàm số như hình bên. Điểm cực đại của đồ thị hàm số ^y⁼ ^f

(

²⁻^x

)

⁺³^là

(23)

Ⓐ.

(

^0;5

)

^. Ⓑ.

(

^{0; 2}

)

^. Ⓒ.

(

^{5; 6}⁻

)

^. Ⓓ.

( )

^5;3 ^.

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

( )

⁰ ²

2 f x x

x

 =

′ = ⇔  = − ^và

( )

⁰ ²

2 f x x

x

< −

′ < ⇔  > ^.

Ta có ^y^′^{= −}^f^′

(

²⁻^x

)

^{. Cho}^y ⁰ ²₂ ^x ₂² ^x ⁰₄

x x

− = − =

 

′ = ⇔ − = ⇔ = ^.

Giả sử ^y ⁰ ^f

(

² ^x

)

⁰ ^f

(

² ^x

)

⁰ ²₂ ^x ²₂ ^x ₀⁴

x x

− < >

 

′> ⇔ − ′ − > ⇔ ′ − < ⇔ − > ⇔ < ^. Do đó ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số ^y⁼ ^f

(

²⁻^x

)

⁺³ đặt cực tại tại

x = 0

khi ^y

( )

⁰ ⁼ ^f

( )

² ^{+ = + =}^{3 2 3 5}^.

Vậy tọa độ điểm cực đại là

(

^0;5

)

^.

Câu 27: (Câu 46 - THPT Tam Dương - Vĩnh Phúc - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình dưới:

Số điểm cực trị của hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻⁴^x⁺¹

)

^là:

Chọn B

Ta có ^g

( )

^x ⁼ ^{f x}

(

²⁻⁴^x⁺¹

)

^.

6 2

-2 2

-2 y

x O

(24)

h tt p s: //l u ye n th it ra cn gh ie m .v n h ttp s:/ /w ww .fa ce bo ok .co m /v iet go ld

( ) (

^x² ⁴ ¹

) (

^.^f ^x² ⁴ ¹

)

²

(

^x ^{2 .}

)

^f

(

^x² ⁴ ¹

)

g x′ x x x

⇒ = − + ′ ′ − + = − ′ − + .

Ta có

( ) ( ) (

²

)

²

2 3

2

2 2

2

2 2 . 4 0 4 2

0 2

4 2

6

1 1

6 2 1

1

x x x

x f

g x x x

x x

x

x x

x

′



 =

 = −

 = 

 

− ′ − =

+

= ⇔ + + = −

=

⇔ − ⇔ = +

 −  = −

 

 = +

.

Ta có bảng xét dấu của ^{g x}^′

( )

^.

Dựavào bảng biến thiên ta thấy hàm số ^g

( )

^x ⁼ ^{f x}

(

²⁻⁴^x⁺¹

)

Câu 28: (Câu 47 - THPT Yên Hòa - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên R. Biết hàm số y= f x′( ) có đồ thị như hình vẽ.

Sô điểm cực trị của hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻³

)

^là

Chọn D

Đặt ^{g x}^{( )}⁼ ^{f x}

(

²⁻³

)

^{ta có}^{g x}^′^{( ) 2 .}⁼ ^{x f}^′

(

^x²⁻³

)

^.

Từ đồ thị của y= f x′( ) ta có ²

2

2 0 0

( ) 0 3 1 2

3 2 1

x x

g x x x

x x

 =  =

 

′ = ⇔ − = ⇔ = ±

 − = −  = ±



.

Cũng từ đồ thị ta thấy x= ±2 là nghiệm kép của phương trình, nên ta có x=0,x= ±1 là các nghiệm đơn của g x′( ) 0= . Vậy hàm số ^y⁼^{g x}^{( )}⁼ ^{f x}

(

²⁻³

)

có tất cả là 3 cực trị.

Câu 29: (Câu 46 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số ^{f x}

( )

, bảng biến thiên của hàm số ^{f x}^′

( )

như sau

(25)

Số điểm cực trị của hàm số ^y ⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

^là

Chọn C Cách 1

Từ bảng biến thiên ta có phương trình ^f^′

( )

^x ⁼⁰ có các nghiệm tương ứng là

( )

, ; 1

, 1;0

,c 0;1 , 1;

x a a x b b x c x d d

= ∈ −∞ −



= ∈ −

 = ∈

 = ∈ +∞

 .

(

²⁻²^x

)

^⇒ ^y^′⁼²

(

^x⁻¹

)

^f^′

(

^x²⁻²^x

)

^.

Giải phương trình

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

2

2 2

1

2 1

0 2 1 2 0 1 0 2 2

2 0

2 3

2 4

x

x x a

x

y x f x x x x b

f x x

x x c

x x d

 =

− =

− = 

 

′= ⇔ − ′ − = ⇔ ′ − = ⇔  −− ==

 − =



.

Xét hàm số ^{h x}

( )

⁼^x²⁻²^x^{ta có}^{h x}

( )

⁼^x²⁻²^x^{= − +}¹

(

^x⁻¹

)

²^{≥ − ∀ ∈}^1, ^x ℝ do đó Phương trình ^x²⁻²^x⁼^{a a}^,

(

^{< −}¹

)

vô nghiệm.

Phương trình ^x²⁻²^{x b}⁼ ^{, 1}

(

− < <^b ⁰

)

có hai nghiệm phân biệt

x x

₁

;

₂ không trùng với nghiệm của phương trình

( )

¹ ^.

Phương trình ^x²⁻²^{x c}⁼ ^{, 0}

(

^{< <}^c ¹

)

x x

₃

;

₄ không trùng với nghiệm của phương trình

( )

¹ và phương trình

( )

² .

Phương trình ^x²⁻²^{x d d}⁼ ^,

(

^>¹

)

x x

₅

;

₆ không trùng với nghiệm của phương trình

( )

¹ và phương trình

( )

² và phương trình

( )

³ ^.

Vậy phương trình y′ =0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

^có⁷ điểm cực trị.

Cách 2

(26)

h tt p s: //l u ye n th it ra cn gh ie m .v n h ttp s:/ /w ww .fa ce bo ok .co m /v iet go ld

Từ bảng biến thiên ta có phương trình ^f^′

( )

^x ⁼⁰ có các nghiệm tương ứng là

( )

, ; 1

, 1;0

,c 0;1 , 1;

x a a x b b x c x d d

= ∈ −∞ −



= ∈ −

 = ∈

 = ∈ +∞

 Xét hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

^⇒ ^y^′⁼²

(

^x⁻¹

)

^f^′

(

^x²⁻²^x

)

^.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

2

2 2

1

2 1

0 2 1 2 0 1 0 2 2

2 0

2 3

2 4

x

x x a

x

y x f x x x x b

f x x

x x c

x x d

 =

− =

− = 

 

′= ⇔ − ′ − = ⇔ ′ − = ⇔  −− ==

 − =



.

Vẽ đồ thị hàm số ^{h x}

( )

⁼^x²⁻²^x

Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình

( )

¹ vô nghiệm. Các phương trình

( ) ( ) ( )

^{2 ; 3 ; 4} ^mỗi

phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.

Vậy phương trình y′ =0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²⁻²^x

)

^có⁷ điểm cực trị.

Câu 30: (Câu 48 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số ^{f x}

( )

, bảng biến thiên của hàm số ^f ^'

( )

^x như sau:

Số điểm cực trị của hàm số ^y ⁼ ^{f x}

(

²⁺²^x

)

^là

Chọn D

(

²⁺²^x

)

^trên

ℝ

^.

Ta có ^y^'⁼

(

²^x⁺²

)

^f^'

(

^x²⁺²^x

)

^.

+∞ +∞

1 3

∞ 1 1 + ∞

f'(x)

x 0

2

(27)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm ^{f x}^'

( )

ta được

( ) ( )