Phân dạng, bài tập mẫu và phương pháp giải Đại số Tổ hợp – Nguyễn Vũ Minh, Lê Thị Phượng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

PHÂN LOẠI DẠNG và PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chuyên đề

TỐN 11

Biên Hịa, Ngày 15 tháng 08 năm 2017

ĐẠI SỐ TỔ HỢP

(2)

VẤN ĐỀ 01 : QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN

1.Quy tắc nh}n : Một công việc A được chia thành nhiều giai đoạn (gắn liền nhau) thì số cách chọn công việc A là tích các giai đoạn

2.Quy tắc cộng : Một công việc A được chia thành nhiều trường hợp thì số cách chọn công việc A là tổng các trường hợp (qui tắc cộng ít gặp hơn qui tắc nhân)

BÀI TẬP

B|i 1 : Có 3 mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) và 4 loại dây (da, nhựa, kim loại, vải). Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 cái đồng hồ

☻Giải :

...

B|i 2 : Bạn A có 5 quần tây và 6 áo sơ mi. Hỏi bạn A có bao nhiêu cách mặc đồng phục đến trường ?

☻Giải :

...

B|i 3 : Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 ,8, 9 có thể lập bao nhiêu :

a/ Số có 4 chữ số b/ Số có 4 chữ số đôi một khác nhau

c/ Số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau d/ Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

☻Giải :

...

PHẦN 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP

(3)

...

B|i 4 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 có thể lập bao nhiêu :

a/ Số có 4 chữ số khác nhau b/ Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau

c/ Số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau d/ Số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 e/ Số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bằng 12

f/ Số có 6 chữ số khác nhau và tận cùng bằng 120

g/ chia hết cho 10 h/ nằm trong khoảng 200 – 600

☻Giải :

...

Gi{o viên cần file word phục vụ giảng dạy

vui lòng inbox facebook / zalo qua sđt

0914.449.230

(4)

...

B|i 5 : Một người vào Nhà Hàng Kaiserin, Biên Hòa để ăn trưa thực đơn gồm một món ăn chính trong 7 món, một loại trái cây tráng miệng từ các loại nho – dưa hấu – cam – lê và một loại nước uống từ 5 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa ăn.

☻Giải :

...

B|i 6 : Từ các chữ số 0,1,5,6,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000 ? (ĐS : 72 )

☻Giải :

...

B|i 9 : có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau sao cho

a/ đó là số lẻ b/ đó là số chẵn

☻Giải :

...

(5)

...

B|i 10 : Một lớp có 45 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban điều hành lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập và 1 thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

☻Giải :

...

B|i tập mẫu tham khảo 01 : Cho tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn, gồm 3 chữ số khác nhau đôi một, được lập từ các chữ số của tập

♥Hướng dẫn giải :

Gọi số cần tìm có dạng: abc; Điều kiện a0, c là số chẵn Trường hợp 1: c0 có một cách chọn

a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn

Theo qui tắc nhân có 1.6.5 = 30 số

Trường hợp 2: c là số chẵn khác 0, c có 3 cách chọn 2, 4, 6 a có 5 cách chọn ( a 0, a c )

b có 5 cách chọn

Theo qui tắc nhân có: 3.5.5 = 75 số Vậy có tất cả 30 + 75 = 105 số

B|i tập mẫu tham khảo 02 : Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp các số



0;1;3; 4;5;7



Gọi số cần tìm dạng:abc ( c là số chẵn)

(6)

TH2: c4

Theo quy tắc nhân có 4.4 16 (số) cho trường hợp 2 Vậy có: 20 16 36(số) thỏa đề

Chú ý : Khi chia thành nhiều trường hợp thì sau cùng ta cộng các TH lại với nhau

B|i tập mẫu tham khảo 03 : Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9?.

Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau là:

abcd

 

, , ,  0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ,

(  0 ;    )

a b c d

a a b c d

TH1:

d 

0; ^d^



^2;4;6;8



dcó 4 cách chọn a có 8 cách chọn, b có 7 cách chọn c có 6 cách chọn.

Vậy có: 4.8.76  1344 số TH2:

d 

0;

d có 1 cách chọn a có 9 cách chọn, b có 8 cách chọn ccó 7 cách chọn.

Vậy có: 1.9.8.7  504 số Vậy có 1848số thỏa YCBT

B|i tập mẫu tham khảo 04 : Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 gồm 3 chữ số khác nhau?

♥Hướng dẫn giải : Gọi số đó lànabc, n chia hết cho 5 có nghĩa là tận cùng là 0 hoặc 5 TH1: c0

(7)

Chọn a: 9 cách Chọn b: 8 cách TH2: c5

Chọn c:1 cách Chọn a: 8 cách Chọn b: 8 cách

Vậy có 72 64 136  cách chọn

B|i tập mẫu tham khảo 05 : Từ các chữ số 0,1, 4,5, 7,9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chữ số hàng đơn vị không bé hơn 4.

Gọi số cần tìm có dạng: abcd (a,b,c,d A; a0) Chữ số hàng đơn vị không bé hơn 4 nghĩa là d4 chọn d có 4 cách (từ các số 4, 5, 7, 9)

chọn a có 5 cách chọn b có 6 cách chọn c có 6 cách

Theo qui tắc nhân ta có: 4.5.6.6 = 720 số cần tìm

B|i tập mẫu tham khảo 06 : Một lớp học có 19 học sinh nam, 11 học sinh nữ (tất cả đều hát rất hay).

Vậy lớp học đó có bao nhiêu cách chọn 1 đôi song ca ( 1nam, 1 nữ) để dự thi văn nghệ của trường.

♥Hướng dẫn giải : Có hai giai đoạn sau :

Giai đoạn 1: Chọn 1 sinh nam, có 19 cách chọn.

Giai đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ, có 11 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 19.11 209 cách chọn một đôi song ca gồm một nam và một nữ.

B|i tập mẫu tham khảo 07 : Một trường trung học phổ thông có 26 học sinh giỏi khối 12, có 43 học sinh giỏi khối 11, có 59 học sinh giỏi khối 10. Vậy nhà trường có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh giỏi đủ 3 khối để đi dự trại hè.

(8)

Có ba giai đoạn sau, để chọn được một đội có 3 người có đầy đủ cả ba khối:

Giai đoạn 1: Chọn 1 bạn học sinh giỏi khối 12, có 26 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có 26.43.5965962 cách chọn một nhóm ba bạn có đầy đủ 3 khối.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

C}u 01 : Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số?

A.256 . B.120 . C.24 . D.16 .

C}u 02 : Cho 6 chữ số 2,3, 4,5, 6, 7số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó:

A. 36. B. 18. C. 256. D. 108.

C}u 03 : Cho các số 1,5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau:

A.12. B. 24. C. 64. D. 256.

C}u 04 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6,8 với điều các chữ số đó không lặp lại:

A. 60. B. 40. C. 48. D. 10.

C}u 05 : Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn:

A. 25. B. 75. C. 100. D. 15.

C}u 06 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:

A. 900. B. 901. C. 899. D. 999.

C}u 07 : Cho các chữ số0,1, 2,3, 4,5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau:

A.160 . B.156 . C.752 . D.240

(9)

A.60 . B.80 . C.240 . D.600 . C}u 09 : Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:

A.3260 . B.3168 . C.9000 . D.12070

C}u 10 : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có

3 con đường, không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D.

A.6 . B.12 . C.18 . D.36 .

C}u 11 : Từ các số 1,3,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:

A.6 . B.8 . C.12 . D.27 .

C}u 12 : Cho các số 1, 2, 4,5, 7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho:

A.120 . B.256 . C.24 . D.36 .

C}u 13 : Từ các số 1, 2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:

A.15 . B.20 . C.72 . D. 36

C}u 14 : Một công việc A có 3 phương án thực hiện. Biết phương án 1 có 4 cách, phương án 2 có 5 cách và phương án 3 có 6 cách, hỏi có bao nhiêu cách thực hiện công việc A?

A. 120. B. 36. C. 15. D. 48.

C}u 15 : Một sản phẩm A được hoàn thiện sau khi thực hiện xong 3 công đoạn thực hiên. Biết công đoạn 1 có 4 cách, công đoạn 2 có 5 cách và công đoạn 3 có 6 cách, hỏi có bao nhiêu cách thực hiện công việc A?

A. 120. B. 36. C. 15. D. 48.

C}u 16 : Một CLB Teens có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra từ CLB Teens một bạn bất kì?

A. 8. B. 6. C. 14. D. 48.

C}u 17 : Một CLB Teens có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra từ CLB Teens một

(10)

cặp song ca nam nữ để tham dự Hội thi?

A. 8. B. 6. C. 14. D. 48.

C}u 18 : Có 10 chiếc áo và 8 chiếc quần trong tủ bạn Nam. Bạn Nam có bao nhiêu cách chọn ra từ tủ đó một chiếc áo hoặc một chiếc quần bất kì?

A. 8. B. 10. C. 18. D. 80.

C}u 19 : Có 10 chiếc áo và 8 chiếc quần trong tủ bạn Nam. Bạn Nam có bao nhiêu cách chọn ra từ tủ đó một bộ áo quần để đi dự tiệc?

A. 8. B. 10. C. 18. D. 80.

C}u 20 : Trên kệ sách có 6 sách Trắc nghiệm Toán, có 5 sách Trắc nghiệm Sinh và 4 sách Trắc nghiệm Sử. Bạn Long có bao nhiêu cách chọn ra từ kệ sách đó một cuốn sách bất kì?

A. 30. B. 20. C. 15. D. 120.

C}u 21 : Trên kệ sách có 6 sách Trắc nghiệm Toán, có 5 sách Trắc nghiệm Sinh và 4 sách Trắc nghiệm Sử. Bạn Hiền có bao nhiêu cách chọn ra từ kệ sách đó hai cuốn gồm Trắc nghiệm Toán và Trắc nghiệm Sinh?

A. 11. B. 30. C. 24. D. 15.

C}u 22 : Trên kệ sách có 6 sách Trắc nghiệm Toán, có 5 sách Trắc nghiệm Sinh và 4 sách Trắc nghiệm Sử. Bạn Hiền có bao nhiêu cách chọn ra từ kệ sách đó hai cuốn khác thể loại?

A. 120. B. 30. C. 74. D. 15.

C}u 23 : Có 4 con đường đi từ thành phố A đến thành phố B và có 5 con đường đi từ thành phố B đến thành phố C (như sơ đồ hình bên). Hỏi anh Dinh có bao nhiêu cách để đi từ thành phố A đến thành phố C mà chỉ đi qua thành phố B đúng một lần.

A. 9. B. 20. C. 15. D. 24. ^(e)

(d) (c) (b) (a)

(4) (3) (2) (1)

B C A

Có 4 con đường đi từ thành phố A đến thành phố B và có 5 con đường đi từ thành phố B đến thành phố C (như sơ đồ hình bên). Hỏi chú Thông có bao nhiêu cách để đi từ thành phố A đến thành phố C rồi về lại A sao cho khi đi và về thì chỉ qua B đúng một lần.

A. 9. B. 20. C. 240. D. 400. ^(e)

(d) (c) (b) (a)

(4) (3) (2) (1)

B C A

BÀI TẬP VỀ NHÀ

(11)

B|i 01 :

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có hai chữ số khác nhau được lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ĐS : 13 số.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số ĐS : 900.

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. ĐS : 648.

B|i 02 : Trên giá sách có 14 quyển gồm 5 sách Toán, 6 sách Văn và 3 quyển Anh. Chọn 2 quyển sách khác thể loại, hỏi có bao nhiêu cách. ĐS : 63.

B|i 03 : Từ tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.

ĐS : 1344.

B|i 04 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số khác nhau và phải có mặt số 5. ĐS : 1560.

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHÉP ĐẾM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A D B C B A B D C B

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D C A C A C D C D C

21 22 23 24

B C B D

VẤN ĐỀ 02 : HOÁN VỊ Định nghĩa :

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<.<..<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

☻Kí hiệu :

P

_n

  n ! 1.2.3.4.5... n

₍n!: đọc là n ...)

☻Qui ước : 1! = 0! = 1

☻Công thức : n! = (n-1)!.n Chú ý :

B|i 05 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt và phải có mặt số 0 và 1. ĐS : 42000 B|i 06 : Từ các số 1, 2, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số 3 chữ số khác nhau và 278. ĐS : 20.

B|i 07 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. ĐS : 952.

B|i 08 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau. ĐS : 13776.

(12)

+ Hoán vị theo 1 đường thẳng (bàn thẳng) là hoán vị thẳng, có P_n n! cách + Hoán vị theo 1 đường tròn (bàn tròn) là 1 hóan vị tròn, có P_n_₁(n1)!cách

B|i tập mẫu tham khảo 01 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người ngồi vào 1 bàn gồm 4 ghế

Sắp xếp 4 người ngồi vào 1 bàn gồm 4 ghế là một hoán vị của 4 phần tử nên ta có :

4 4! 1.2.3.4

P    24 c{ch chọn

B|i tập mẫu tham khảo 02 : có 6 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào bì

Ta giữ cố định 6 bì thư . Mỗi hoán vị của 6 tem thư là một cách dán tem vào bì thư Vậy có P6 = 6! = 720 c{ch d{n tem v|o bì thư

B|i tập mẫu tham khảo 03 : Nhóm gồm 12 học sinh trong đó có 5 nữ và 7 nam. Hỏi cáo bao nhiêu cách xếp 12 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 5 học sinh nữ phải đứng liền nhau.

em 5 học sinh nữ đứng liền nhau như một khối thống nhất X + với 7 nam còn lại ta có 8! cách hoán đổi vị trí cho nhau.

+Ứng với mỗi cách đổi chổ như vậy ta lại có 5! cách đổi chổ 5 nữ trong khối thống nhất với nhau.

Vậy số cách chọn thỏa YCBT là : 5! . 8! = 4838400 c{ch

B|i tập mẫu tham khảo 04 : Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. ếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách, nếu :

a/ Nam và nữ được xếp tùy ý. b/ Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế.

a/ Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế một cách tùy ý là một hoán vị của 10 người. Vậy có 10! 3628800 cách xếp.

b/ Chọn 1 dãy để xếp nam ngồi vào có 2 cách; xếp 5 nam vào dãy ghế đã chọn có 5! cách ; xếp 5 nữ

(13)

B|i tập mẫu tham khảo 05 : Một trường trung học phổ thông X có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu:

a/ Các học sinh được xếp bất kì.

b/ Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau.

a/ Mỗi cách sắp xếp 15 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 15 phần tử. Vậy có 15!cách xếp 15 học sinh thành một hàng ngang.

b/ Ta chia làm các bước sau

Bước 1: ếp các khối có 3! cách xếp.

Bước 2: ếp các bạn trong khối 12 có 4! cách.

Theo quy tắc nhân có 3!.4!.5!.6! 12441600 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.

BÀI TẬP

B|i 1 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:

a/ không điều kiện gì thêm b/ bạn C luôn ngồi ở giữa. c/ A và E luôn ngồi hai đầu ghế

☻Giải :

...

B|i 2 : Sau buổi lễ tổng kết năm học 2015-2016 của trường THPT Lê Thị Hồng Gấm (147 , Pasteur, Phường 6, Quận 3, Hồ Chí Minh), một nhóm gồm 8 học sinh của lớp 12C có mời 4 giáo viên dạy bốn môn thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc Gia mà các em đã chọn để ôn tập và xét kết quả vào Cao Đẳng và Đại Học chụp ảnh làm kỉ niệm. Biết rằng 4 giáo viên và 8 em học sinh xếp thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho

(14)

b/ Giáo viên luôn đứng giữa hàng để cân đối.

☻Giải :

...

B|i 3 : Một bàn đại biểu gồm 7 ghế cho các thành viên tham dự Kỳ họp lần 2 Hội đồng cố vấn kinh doanh APEC (ABAC) đã khai mạc chiều 3/4/2013 tại Trung tâm hội nghị quốc tế Marina Bay Sands ở Singapore được đánh số thứ tự. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 7 người ngồi vào bàn đại biểu trên sao cho Amin Subeki, Giám đốc điều hành ABAC luôn ngồi chính giữa ?

☻Giải :

...

B|i 4 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn nam và 5 bạn nữ thành:

a/ một hàng ngang

b/ một hàng ngang sao cho 4 nam luôn đứng cạnh nhau c/ một hàng ngang sao cho 5 nữ luôn đứng cạnh nhau

d/ một hàng ngang sao cho 5 nữ luôn đứng cạnh nhau và 4 nam luôn đứng cạnh nhau

☻Giải :

...

(15)

...

B|i 5 : ếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài, có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a/ 6 học sinh ngồi bất kỳ. b/ A và F luôn ngồi ở hai đầu ghế.

c/ A và F luôn luôn ngồi cạnh nhau. d/ A, B, C luôn luôn ngồi cạnh nhau.

e/ A, B, C, D luôn luôn ngồi cạnh nhau. f/ A và F luôn luôn ngồi cạnh nhau.

☻Giải :

...

B|i 6 : ếp 5 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật Lý và 4 quyển sách Hóa Học lên 1 kệ. Tính xác suất các quyển sách cùng loại đứng cạnh nhau

☻Giải :

...

(16)

VẤN ĐỀ 03 : TỔ HỢP – CHỈNH HỢP

1/ Chỉnh hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó (1 k n) sau đó sắp xếp có thứ tự ta được 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử

Kí hiệu : !

( )!

k n

A n

 n k

 ⁽¹^{ }^k ⁿ⁾

VD : có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn lấy ra từ 6 bóng đèn cho trước

Giải : ta chọn 4 bóng từ 6 bóng sau đó sắp xếp có thứ tự nên số cách chọn là 1 chỉnh hợp chập 4 của 6 : ₆⁴ 6! 6!

3.4.5.6 ...

(6 4)! 2!

A    



Ta cần lưu ý cách chia giai thừa : ⁽ ^)! ( 1).( 2).( 3)...( )

!

n k n n n n k

n

     

VD : ^7! 4.5.6.7

3! ^9! 7.8.9

6! 8!

7!8

. <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

VD : Trường THPT A có 10 em học sinh ưu tú, cần chọn ra 5 em để xếp thành một hang ngang chào đón các đại biểu đến thăm trường. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 em thành một hang ngang thỏa yêu cầu ở trên

. <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

2/ Tổ hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó (0 k n) sau đó sắp xếp không cần thứ tự ta được 1 tổ hợp chập k của n phần tử

Kí hiệu : !

!.( )!

k n

C n

k n k

  ⁽⁰^{ }^k ⁿ⁾

(17)

Công thức bổ sung : C_n⁰ C_nⁿ 1 , C_n^k C_n^{n k}^ , C_n^k C_n^k^¹ C_n^k_^₁¹ (côngthức Pascal) VD: Một giỏ bông gồm 4 hồng và 5 lan. Chọn ra 4 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

a/ 4 bông bất kì (không phân biệt thứ tự) b/ 4 bông trong đó có 1 hồng và 3 lan Giải :

...

BÀI TẬP

B|i 1 : Lớp học có 25 học sinh trong đó có 11 nam. Chọn ra 5 bạn đi trực nhật, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu :

a/ 5 bạn không phân biệt nam nữ b/ 3 nam và 2 nữ

d/ 1 nam và 4 nữ e/ có nhiều nhất 2 nữ

f/ An và Bình không được tham gia f/ có ít nhất 1 nam

☻Giải :

...

(18)

B|i 2 (b|i to{n hay gặp) : Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo : a/ Ngũ giác lồi b/ Đa giác lồi n cạnh

☻Giải :

...

B|i 3 : Có một hộp đựng 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Có bao nhiêu cách lấy để có 1 bóng bị hỏng ? (ĐS : 112)

☻Giải :

...

B|i 4 : Trong mặt phẳng có n điểm và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu cách lập một tam giác

☻Giải :

...

B|i 5 : Từ 1 tập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ công tác gồm 4 người thoả điều kiện, trong mỗi trường hợp sau:

a/ Không có điều kiện gì thêm. b/ Tổ chỉ gồm 4 nam c/ Tổ phải gồm 2 nam và 2 nữ.

☻Giải :

(19)

...

B|i 6 : Có 8 bi xanh ,5 bi đỏ, 3 vàng .Có bao nhiêu cách chọn từ đó 4 viên bi nếu a/ Có đúng 2 bi xanh b/ Số bi xanh bằng số bi đỏ

☻Giải :

...

B|i 7 : Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen ,3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ba viên bi, có bao nhiêu cách lấy sao cho :

a/ Lấy được 3 viên đỏ b/ Lấy cả ba viên bi không đỏ

c/ Lấy được 1 bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ

☻Giải :

...

B|i 8 : Có 40 quả táo, trong đó có 5 quả bị sâu. Có bao nhiêu cách chọn 5 quả táo mà trong đó có ít nhất một quả sâu?

☻Giải :

...

(20)

B|i 9 (ĐH Thái Nguyên – 1997) : Một lớp 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Thầy chọn ra 3 học sinh đi tham gia tố chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách :

a/ Chọn ra 3 học sinh trong lớp b/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữ c/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam d/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nữ

☻Giải :

...

B|i 10 (ĐH Đà Nẵng – 1997) : Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy 1 nhóm 5 người trong đó có 2 nữ.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

☻Giải :

...

B|i 11 : Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.

☻Giải :

...

(21)

...

B|i 12 (ĐH Dân Lập Đông Đô – 1999 ) : Trong một mp cho 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ?

☻Giải :

...

B|i 13 : Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên :

a/ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau b/ số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

c/ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau d/ số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 e/ Số có 6 chữ số và không bắt đầu bằng 345. f/ Số có 8 chữ số và bắt đầu bằng 4512.

☻Giải :

...

B|i 14 : Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho

a/ Có đúng hai nam b/ Có ít nhất hai nam và ít nhất một nữ c/ Có ít nhất 1 nam

☻Giải :

...

(22)

B|i 15 : Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ?

☻Giải :

...

B|i 16 : Có 2 giáo viên toán và 10 giáo viên sử. Hỏi có bao nhiêu cách lặp một ban công tác gồm 8 người mà trong đó phải có ít nhất 1 giáo viên toán.

☻Giải :

...

B|i 17 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có 14 nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 học sinh trong đó có :

a/ Số nam và nữ bằng nhau (ĐS : 1365) b/ Ít nhất 1 nữ (ĐS : 3844) c/ Ít nhất 1 nam

☻Giải :

...

B|i 18 (ĐH Quốc gia TP.HCM – 2000 ) : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ người ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông

a/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông nếu chỉ có đúng 1 bông hồng

(23)

b/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ

☻Giải :

...

B|i 19: Một hộp đựng 8 viên bi xanh và 7 viên bi vàng . a/ Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ

b/ Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có 2 xanh và 4 bi vàng

c/ Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ trong đó có ít nhất 1 bi xanh

☻Giải :

...

B|i 20: Một hộp đựng 5 viên bi xanh 6 bi đỏ,4 bi vàng

a/ Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có 2 xanh nhiều nhất 2 vàng và phải có đủ ba màu b/ Có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ ba màu

☻Giải :

...

(24)

B|i 21 : Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra 1 tốp ca gồm 5 em, trong đó có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

☻Giải :

...

B|i 22 : Một toán học sinh gồm 4 trai, 3 gái. Chọn ra 3 em trong đó có ít nhất 1 trai, 1 gái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

☻Giải :

...

B|i 23 : Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu phải có ít nhất 1 nam.

☻Giải :

...

B|i 24 : Có 6 bì thư và 6 con tem thư. Người ta lấy ra 3 con tem và 3 bì thư, mỗi tem thư chỉ dán vào một bì thư duy nhất. hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy (ĐS : 2400)

☻Giải :

...

B|i 25 : Một đội văn nghệ của nhà Nhà Thiếu nhi tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu gồm 30 học sinh, trong đó có 15 nam – 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 người đi hát tốp ca giao lưu giữa các nhà văn

(25)

hóa sao cho

a/ Có đúng 2 nữ trong 6 người đó b/ Có ít nhất 2 nữ (ĐS : 5413695)

☻Giải :

...

B|i 26 (học sinh tự l|m) : Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam – 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người đi lưu diễn Liên hoan Búp Sen Hồng lần thứ 20 tại Cà Mau năm 2014 sao cho

a/ Có đúng 2 nam trong 5 người đó (ĐS : 5400) b/ Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ (ĐS : 12900)

☻Giải :

...

B|i tập mẫu tham khảo 01 : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa hồng gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn.

a/ 1 bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ.

b/ 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

a/ Chọn 1 bó hoa gồm 7 bông, trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ, 6 bông hồng còn lại chọn trong 8 bông (gồm vàng và trắng) . Số cách chọn thỏa YCBT là : C C¹₄. ₈⁶ 112 cách.

(26)

b/ Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng, có

3 3 1

5. 4. 3

C C C cách.

Trường hợp 2: Chọn 4 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ , có C C₅⁴. ₄³ cách.

Trường hợp 3: Chọn 3 bông hồng vàng và 4 bông hồng đỏ , có C C5³. 4⁴ cách.

Theo quy tắc cộng có : C C C₅³. ₄³. ₃¹+C C₅⁴. ₄³+C C₅³. ₄⁴ cách chọn thỏa YBCT

B|i tập mẫu tham khảo 02 : Môt lớp có 20 học sinh trong đó có 14 nam, 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội gồm 4 học sinh trong đó có.

a/ Số nam và nữ bằng nhau. b/ ít nhất 1 nữ.

a/ Bước 1: Chọn 2 nam trong 14 nam, có C14² cách.

Bước 2: Chọn 2 nữ trong 6 nữ,có C₆² cách.

Vậy số cách chọn nhóm có 2 nam, 2 nữ là C C₁₄². ₆² 1365 cách.

b/ C{ch 1: Ta có các trường hợp khả hữu

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ, 3 nam có 6.C₁₄³ 2184 cách Trường hợp 2: Chọn 2 nữ, 2 nam có C C14². 6² 1365cách Trường hợp 3: Chọn 3 nữ,1 nam có C₆³.14280 cách Trường hợp 4: Chọn 4 nữ thì có C₆⁴ 15 cách

Vậy số cách chọn cần tìm là:2184 1365 280 15   3844 cách.

C{ch 2: Sử dụng phần bù:

Bước 1: Chọn 4 bạn bất kỳ trong 20 bạn, có C₂₀⁴ cách.

Bước 2: Chọn 4 bạn đều nam (☻: phủ định lại của câu nói có ít nhất 1 nữ là không có nữ nào hết – chỉ toàn nam) có C14⁴ cách.

Suy ra chọn 4 bạn có ít nhất 1 nữ: C₂₀⁴ C₁₄⁴ 3844cách chọn

B|i tập mẫu tham khảo 03 : Từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

(27)

PA1: Chọn số tự nhiên abcde (a b c d e, , , , khác nhau) có A₈⁵ 6720 cách.

PA2: Chọn số tự nhiên 236de (2,3, 6, ,d e khác nhau) có A₅² 20 cách.

Vậy có A₈⁵A₅² 6700 số tự nhiên thỏa yêu cầu đề bài.

B|i tập mẫu tham khảo 04 : Cho tập hợp E 



0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7



. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau của E?

♥Hướng dẫn giải : abcde là số tự nhiên chẵn ^{ }^e



^{0, 2, 4, 6}



0

e : có A₇⁴ cách chọn abcd có A₇⁴số Nếu e0 thì ^e^



^{2, 4, 6}



^{: có}³ cách chọn e. có 6cách chọn a (vì a0, ae)

có A₆³ cách chọn bcd

Vậy có 3.6.A₆³ số trong trường hợp này Vậy có A₇⁴ + 3.6.

A

₆³3000 số

B|i tập mẫu tham khảo 05 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2?

♥Hướng dẫn giải : Gọi số cần tìm là abcd TH1: d 0

Số cách chọn cho vị trí dlà 1 Số cách chọn cho vị trí alà 6 Số cách chọn bc là A₅² 20

có 120số TH2: d 0

Số cách chọn cho vị trí d là 3 Số cách chọn cho vị trí a là 5

(28)

Số cách chọn bc là A₅² 20

có 300 số. Vậy có 420số thỏa yêu cầu bài toán.

B|i tập mẫu tham khảo 06 : Một nhóm học sinh có 7em nam và 3em nữ.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4em để trực học đường,yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất 2em nam.Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

♥Hướng dẫn giải : TH1: 2nam-2nữ Số cách chọn: C C₇² ₃² TH2: 3nam-1nữ Số cách chọn: C C₇³ ₃¹ TH3: 4nam Số cách chọn: C₇⁴

Vậy số cách chọn cần tìm là: C C₇² ₃²C C₇³ ₃¹C₇⁴ 203

B|i tập mẫu tham khảo 07 : Có 11 viên bi trong đó có 7 viên bi đen và 4 viên bi trắng. Chọn ra 3viên bi.

a/ Có bao nhiêu cách lấy 3 viên bi tùy ý?

b/ Có bao nhiêu cách lấy 4 viên bi, trong đó có ít nhất 2bi trắng?

a/ Chọn 3viên bi tùy ý (không phân biệt thứ tự) trong 11 viên bi có C₁₁³ cách chọn.

b/ Trường hợp 1: chọn 2bi trắng và2bi đen có:C C4². 7²cách.

Trường hợp 2: chọn 3bi trắng và 1bi đen có:C C₄³. ¹₇cách.

Trường hợp 2: chọn 4bi trắng có 1 cách.

Số cách chọn thỏa YCBT là : C C₄². ₇²+ C C₄³. ¹₇ + 1

B|i tập mẫu tham khảo 08 : Tập hợp E



1, 2,5, 7,8



. Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số khác nhau lấy từ E sao cho :

a/ Số tạo thành là số chẵn ? b/ Số tạo thành là một số không có chữ số 5 ?

(29)

c/ Số tạo thành là một số nhỏ hơn 278 ?

a/ Gọi xabc là số cần tìm. Ta có :

 c có 2 cách chọn ;

 ab có A₄² cách chọn.

Vậy có tất cả là 2.A₄² số thỏa yêu cầu bài toán.

b/ Mỗi số thỏa yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập ba của các số sau : 1; 2;7;8 nên số các số lập được là A₄³ số.

c/ Gọi xabc là số cần tìm. Ta có :

 a1 : bc có A₄² cách chọn  lập được A₄² số .

 a2 : nếu b7 thì c có 2 cách chọn  lập được 2 số ;

nếu b7 thì b có hai cách chọn và c có 3 cách chọn  lập được 2.3 số . Vậy ta lập được A₄² 2 2.320 số thỏa yêu cầu bài toán.

B|i tập mẫu tham khảo 09 : Lớp 11B có 30học sinh, trong đó có 14nam và 16 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn để dự hội trại truyền thống sao cho 4bạn được chọn có cả nam và nữ?

TH1: Chọn 1 nữ và 3 nam có C C16¹ . 14³ cách TH2: Chọn 2 nữ và 2 nam có C C₁₆². ₁₄² cách TH3: Chọn 3 nữ và 1 nam có C C₁₆³. ₁₄¹ cách

Vậy có C C16¹. 14³ +C C16². 14² +C C16³. 14¹ =24 584 cách thỏa ycbt.

BÀI TẬP VN

B|i 01 : Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra 5 học sinh lập thành một đoàn đại biểu tham gia tổ chức lễ khai giảng năm học mới 2015 – 2016. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh

a/ trong đó có không quá 3 nữ b/ có 3 nam và 2 nữ c/ có ít nhất 1 nam

(30)

d/ trong đó anh A và chị B không thể cùng tham gia vào đoàn đại biểu (ĐS : C⁵₄₀C³₃₈) e/ trong đó anh và chị Y có thể cùng tham gia hoặc cùng không tham gia (ĐS : C⁵₃₈C³₃₈)

B|i 02 : Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam, cần chọn ra 6 em trong số đó để đi dự buổi tuyên truyền phòng chống HIV/AIDS của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 (ĐS : 462)

B|i 03 : Cho tập hợp gồm 10 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng khác nhau mà các đầu mút thuộc vào tập hợp các điểm đã cho. (ĐS : 45)

B|i 04 : Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Cần lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà vật lý và toán học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn (HD : chia 3 TH – ĐS : 90)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHÉP ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP C}u 01 : Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm ?

A.12. B. 66. C. 132. D. 144.

C}u 02 : Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25. B. 26. C. 31. D. 32.

C}u 03 : Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An:

A. 990. B. 495. C. 220. D. 165.

C}u 04 : Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh:

A. 4!. B. 15!. C. 1365. D. 32760.

C}u 05 : Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 200. B. 150. C. 160. D. 180.

C}u 06 : Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:

A. C7³. B. A7³. C. ^7!

3!. D. 7.

C}u 07 : Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là:

(31)

A.121. B.66 . C.132 . D.54. C}u 08 : Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?

A.188. B. 360. C. 312. D. 600.

C}u 09 : Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A.10!. B. 725760. C. 9!. D. 9! 2! .

C}u 10 : Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

A. 4⁴ B. 24 C. 1 D. 42

C}u 11 : Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

A. 12 B. 6 C. 4 D. 24

C}u 12 : Cho A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 21 B. 120 C. 2520 D.78125

C}u 13 : Cho B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Từ tập B có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập B?

A. 720 B. 46656 C. 2160 D. 360

C}u 14 : Cho 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

A. 120 B. 1 C. 3125 D. 600

C}u 15 : Cho A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số?

A. 3888 B. 360 C. 15 D. 120

C}u 16 : Cho A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 120 B. 7203 C. 1080 D. 45

C}u 17 : Cho A = 1, 2, 3, 4, 5 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau?

A. 20 B. 10 C. 12 D. 15

C}u 18 : Cho A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi

(32)

A. 2160 B. 2520 C. 21 D. 5040 C}u 19 : Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 2520 B. 900 C. 1080 D. 21

C}u 20 : Cho A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 1440 B. 2520 C. 1260 D. 3360

C}u 21 : Cho A 1, 2, 3, 4, 5 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?

A. 60 B. 10 C. 12 D. 20

C}u 22 : Cho A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau?

A. 120 B. 210 C. 35 D. 60

C}u 23 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

A. 210 B. 105 C.168 D.84

C}u 24 : Cho A 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?

A. 60 B. 36 C. 120 D. 20

C}u 25 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. 9⁴ B. 9.8.7.6 C.9.9.8.7 D. 10.9.8.7

C}u 26 : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường để đi, từ thành phố B đến thành phố C có 4 con đường để đi, không có con đường nào đi thẳng từ A đến C. Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ A đến C, phải qua B ?

A. 7 B.12 C. 16 D. KQ khác.

C}u 27 : Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong lớp?

A. 9880 B. 59280 C. 2300 D. 455

(33)

cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

A. 5250 B. 4500 C. 2625 D. 1500

C}u 29 : Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trog đó có ít nhất 1 học sinh nam?

A. 2625 B. 9425 C. 4500 D. 2300

C}u 30 : Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trog đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

A. 2625 B.455 C.2300 D.3080

C}u 31 : Ban chấp hành liên chi đoàn khối 11 có 3 nam, 2 nữ. Cần thành lập một ban kiểm tra gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách thành lập ban kiểm tra là:

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

C}u 32 : Một nhóm học sinh có 4 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn trong đó có đúng một bạn là nữ?

A. 8 B. 18 C. 28 D. 38

C}u 33 : Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có 3 bạn nam và 2 bạn nữ?

A. 462 B. 2400 C. 200 D. 20

C}u 34 : Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?

A. 455 B.7 C. 462 D. 456

C}u 35 : Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ?

A. 665280 B. 924 C.7 D. 942

C}u 36 : Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó có 2 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng?

A. 350 B. 16800 C. 924 D. 665280

(34)

sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh?

A. 16800 B. 924 C. 917 D. 665280

C}u 38 : Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

A. 784 B.1820 C. 70 D. 42

C}u 39 : Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280 B.400 C.40 D.1160

C}u 40 : Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh?

A. 3003 B.252 C.1200 D.14400

C}u 41 : Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh?

A. 1050 B.1260 C.105 D.1200

C}u 42 : Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 4 viên bi bất kỳ?

A. 1365 B. 32760 C. 210 D. 1200

C}u 43 : Có 4 nam và 4 nữ xếp thành một hàng. Số cách sắp xếp để nam nữ đứng xen kẽ là:

A. 40320 B. 96 C. 1152 D. 256

C}u 44 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ ?

A. 2520 B. KQ khác C. 35 D. 21.

C}u 45 : Có 4 con đường đi từ thành phố A đến thành phố B và có 5 con đường đi từ thành phố B đến thành phố C (như sơ đồ hình bên). Hỏi ông Phương có bao nhiêu cách để đi từ thành phố A đến thành phố C rồi về lại A mà không có con đường nào được đi quá một lần và khi đi và về thì chỉ qua B đúng một lần.

A. 9. B. 20.

(e) (d) (c) (b) (a)

(4) (3) (2) (1)

B C A

(35)

C}u 46 : Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?

A. 96. B. 120.

C. 54. D. 72.

C}u 47 : Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 10?

A. 360. B. 15.

C. 10. D. 60.

C}u 48 : Có bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau mà trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?

A. 1400. B. 4536.

C. 5040. D. 2520.

C}u 49 : Có bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số khác nhau mà các chữ số của nó đều nhỏ hơn 6 ? A. 27 216.

B. 600.

C. 720.

D. 120.

C}u 50 : Cho E



5; 6;7; 8; 9



. Hỏi có thể thành lập từ E bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau sao cho mỗi số chia hết cho 3.

A. 60. B. 18.

C. 12. D. 24.

C}u 51 : Có bao nhiêu số gồm năm chữ số khác nhau mà tổng các chữ số là một số lẻ?

A. 45000. B. 50 000.

C. 4 999. D. 625.

C}u 52 : Cho E



0; 1; 2; 3; 4; 5



. Hỏi có thể thành lập từ E bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và nhỏ hơn 10 000?

A. 360. B. 1296.

(36)

C}u 53 : Cho tập X



0, 1, 2, 4, 5, 9 .



Hỏi từ tập X có thể lập được bao nhiêu số chẳn và có 3 chữ số đôi một khác nhau?

A. 60. B. 48.

C. 52. D. 75.

C}u 54 : Cho E



0;1; 2; 3; 4; 5; 6



. Hỏi có thể thành lập từ E bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau sao cho mỗi số chia hết cho 5.

A. 65. B. 84.

C. 72. D. 64.

C}u 55 : Cho tập X



0, 1, 2, 4, 5, 9 .



Hỏi từ tập X có thể lập được bao nhiêu số lẻ và có 3 chữ số đôi một khác nhau?

A. 125. B. 36.

C. 60. D. 48.

ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B B D C A A D A B B

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A C D C A C C A B C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C A C A C B A C B D

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C B C A B A C A B C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

B A C A C C D A B D

51 52 53 54 55

A B C A D

(37)

Bài tập mẫu tham khảo 01 : Giải phương trình : A_n³ 20C_nⁿ^¹.

♥Hướng dẫn giải : Điều kiện : n3,n . Phương trình A_n³ 20C_nⁿ^¹



ⁿⁿ^!^{3 !}



²⁰⁽ⁿ ^1)!.



ⁿⁿ^! ⁽ⁿ ^{1) !}

 

ⁿⁿ^!^{3 !}



²⁰⁽ⁿ ⁿ^1)!1!^!

   

     



⁽ⁿⁿ^^1)!^{3 !}



²⁰

 



(n 2)(n 1) 20

     6

3 n n

 

  

 . 6

 n . Vậy n6

Bài tập mẫu tham khảo 02 : Giải phương trình A_n³C_n² 14n

♥Hướng dẫn giải : Điều kiện : ⁿ ³

n

 

  ; phương trình A_n³C_n² 14n



ⁿⁿ^!^{3 !}



^2!



ⁿⁿ^!^{2 !}



¹⁴ⁿ

  

 

...

2n2 5n 25 0

    5

5 hay

n n 3

    . So với điều kiện ta nhận n5; Vậy n5. Bài tập mẫu tham khảo 03 : Giải phương trình: A_x³_₁C_x^x^² 9x

♥Hướng dẫn giải : Điều kiện : ^x ³ x

 

  ;

Phương trình A³_x_₁C_x^x^² 9x ( 1)! ! ( 1)

9 ( 1) ( 1) 9

x x x x

x x x x x

 

       

 

Những chú ý khi giải phương trình ! Đó là :

Phép chia giai thừa :

Để ý chổ này :

(38)

2 7

2 21 0 3 ( ) ( )

x x x n hayx 2 l

        Vậy n3

Bài tập mẫu tham khảo 04 : Tìm nNsao cho: A_n²3C¹_n_₁45.

♥Hướng dẫn giải : Điều kiện : n2,n ; Khi đó A_n²3C¹_n_₁45 ! ( 1)!

3 45

( 2)! 1!( 2)!

n n

   

 

( 1)( 2)! ( 1)( 2)!

3 45

( 2)! ( 2)!

n n n n n

n n

   

  

  ^^{n n}⁽ ^{ }^{1) 3(}ⁿ^{ }¹⁾ ⁴⁵

2 2 48 0

n n

   

6 ( ) 8 ( )

n n

n l

 

    Vậy n6.

Bài 01 : Giải phương trình : A_n³ 20n

☻Giải :

...

Bài 02 : Giải phương trình :C⁰n2C¹n4C²n 97

☻Giải :

...

Bài 03 : Giải phương trình : ¹x ²x ³x

C C C 7x

   2

☻Giải :

...

Bài 04 : Giải phương trình : C⁴ C⁵ 3C⁶

(39)

☻Giải :

...

Bài 05 : Giải phương trình : P_n_₃720A P_n⁵. _n_₅

☻Giải :

...

Bài 06 : Giải bất phương trình A_n²_₂C_n²  101

☻Giải :

...

Bài 07 : Cho một đa giác đều n đỉnh, n  N và n  3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.

☻Giải :

...

Bài tập VN :

Bài 01 : a/ Giải phương trình : A_n³C_nⁿ^² 14n b/ Giải phương trình : A_x³5A_x² 21x Bài 02 : Giải phương trình : 2A_n²50 A2²_n

Bài 03 : C¹_n6C_n²6C_n³ 9n²14n

Bài 04 : Giải bất phương trình : a/ Cn⁶ Cn⁴ b/ 2² ² ³

1 6

x x x 10

A A  C 

(40)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 01 : Cho biết C_nⁿ^k 28. Giá trị của n và k lần lượt là:

A. 8 và 4. B. 8 và 2. C. 8 và 3. D. Không thể tìm được.

Câu 02 : Nếu A_x² 110 thì:

A. x10. B. x11. C. x11hay x10. D. x0. Câu 03 : Số 5!P₄ bằng:

A. 5. B. 12. C. 24. D. 96.

Câu 04 : Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là:

A.121. B. 66. C. 132. D. 54.

Câu 05 : Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:

A.11. B. 10. C. 9. D. 8.

Câu 06 : Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A.11. B. 12. C. 33. D. 66.

Câu 07 : Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.

Câu 08 : Có tất cả 120 cách chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh. Số n là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. ^{n n}



^¹



ⁿ^²



^⁷²⁰^. ^B. ^{n n}



^¹



ⁿ^²



^⁷²⁰^.

C. ^{n n}



^¹



ⁿ^²



^¹²⁰^. ^D. ^{n n}



^¹



ⁿ^²



^¹²⁰^.

Câu 09 : Trong các câu sau câu nào sai?

A. C₁₄³ C₁₄¹¹. B. C₁₀³ C₁₀⁴ C₁₁⁴. C. C₄⁰C¹₄C₄²C₄³C₄⁴ 16. D. C₁₀⁴ C₁₁⁴ C₁₁⁵ . Câu 10 : Nếu C_n³3A_n² 390 thì n bằng:

A. 12 B. 11 C.10 D. 9

Câu 11 : Nghệm của phương trình 3A_x²A₂