Mở đầu hình học giải tích không gian Oxyz - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TỦ SÁCH LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

MỞ ĐẦU

OXYZ Lý thuyết cơ bản và áp dụng TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Lời giới thiệu

Chủ đề hình học giải tích không gian Oxyz tuy không phải là khó nhưng cũng không hẳn là dễ với những bạn học sinh mới bắt đầu chủ đề này. Ebook nhỏ này nhằm mang tới cho bạn đọc cái nhìn khái quát và cơ bản nhất về vấn đề chủ đề này thông qua các lý thuyết cơ bản và ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết sẽ phần nào giúp các bạn dễ tiếp cận hơn. Nội dung Ebook không quá đè nặng những bài toán khó và lắt léo tuy nhiên vẫn sẽ có những bài toán đủ để khiến bạn đau đầu và tốn khá nhiều công sức để giải quyết nó. Bên cạnh đó thì phần trình bày và hình vẽ cũng được đầu tư nhiều công sức với mong muốn bạn đọc có thể hiểu, tưởng tượng và suy luận ra những hướng đi mà lời giải đã giải quyết các bài toán trong đó. Kì thi THPT Quốc Gia ngày một tới gần, đây có lẽ là lúc thích hợp nhất để các bạn cùng nhìn lại và ôn tập những kiến thức đã qua và đồng thời cung cấp thêm cho mình một số kinh nghiệm để giải quyết các bài toán hay xuất hiện trong các đề thi, tập thể tác giả mong rằng cuốn sách này sẽ giúp ích cho các bạn một phần nào đó trong quá trình ôn luyện.

Nội dung ebook được tham khảo từ rất nhiều nguồn, các bạn xem ở cuối của tài liệu này. Dù đã cố gắng để biên soạn tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, mọi ý kiến phản hồi vui lòng gửi về địa chỉ

Tạp chí và tư liệu toán học

Link liên kết. https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/

Mục lục

Chương 1. Mở đầu hình học tọa độ không gian 1 Chương 2. Lý thuyết về phương trình đường thẳng 32 Chương 3. Các bài toán về phương trình mặt phẳng 107 Chương 4. Các bài toán về phương trình mặt cầu 171 Chương 5. Các bài toán cực trị trong hình học không gian Oxyz 261 Chương 6. Phương pháp tọa độ hóa hình cổ điển 352

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Tóm tắt nội dung

Trong chương này chúng ta sẽ đi tìm hiểu các khái niệm và công thức cơ bản, qua đó tìm hiểu các dạng toán liên quan tới những công thức này nhằm giúp các bạn học sinh nắm vững lý thuyết cơ bản để đi sâu hơn vào các dạng bài tập khó hơn.

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM.

I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i j k, , là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox Oy Oz, , . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý. i² = j² =k² =1 và i j. =i k. =k j. =0.

II. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ.

1. Định nghĩa.

Ta có vecto ^{u =}

(

^{x y z; ;}

)

^{ =u xi+y j+zk .}

2. Tính chất.

Cho a=

(

a a a1; 2; 3

)

,b=

(

b b b1; 2; 3

)

,k

• a =b

(

a1b a1; 2b2;a3b3

)

Chương

1 Mở đầu hình học tọa độ không gian

O j k

i

y z

x

• ka =

(

ka ka1; 2;ka3

)

•

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 =

=   =

 =

• ⁰⁼

(

^{0; 0; 0 ,}

)

^{i =}

(

^{1; 0; 0 ,}

)

^{j =}

(

^{0;1; 0 ,}

)

^{k =}

(

^{0; 0;1}

)

• a cùng phương ^{b b}

(

^0

)

^{a=kb k}

(

^

)

^{12 12 1 2 3}

(

^{1 2 3}

)

1 2 3

3 3

, , , 0

a kb

a a a

a kb b b b

b b b

a kb

 =

  =  = = 

 =

• a b. =a b₁. ₁+a b₂. ₂+a b₃. ₃

• a⊥b  a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3} =0

• a² =a₁²+a₂²+a₃²

• a = a₁²+a₂²+a₂²

•

( )

₂ ^{1 1}_{2 2}^{2 2} ₂ ^{3 3}_{2 2}

1 2 3 1 2 3

cos , .

. .

a b a b a b a b a b

a b a a a b b b

+ +

= =

+ + + + (với a b, 0).

III. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM.

Cho 2 điểmA x

(

A^;yA^;zA

) (

^,B xB^;yB^;zB

)

khi đó thì

• AB=

(

xB−xA

) (

²+ yB −yA

) (

²+ zB−zA

)

²

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB ; ;

2 2 2

A B A B A B

x x y y z z

M + + + 

 

 

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ; ;

3 3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G + + + + + + 

 

 

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

; ;

4 4 4

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G + + + + + + + + + 

 

 

IV. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Định nghĩa

Trong không gian Oxyzcho hai vectơ a=( ;a a a_{1 2}; ₃), b=( ;b b b_{1 2}; ₃). Tích có hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là a b, , được xác định bởi

( )

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

, a a ; a a ; a a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

  =  = − − −

 

 

Chú ý. Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

2. Tính chất

• a b, ⊥ a a b; ,  ⊥b

• a b, = −b a, 

• i j,  = k;j k, =i;k i, = j

• ^_^{a b,  =}_ ^{a b. .sin}

( )

^{a b,}

• a b, cùng phương a b, = 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng).

3. Ứng dụng của tích có hướng

• Điều kiện đồng phẳng của 3 vecto a b, và c a b c, . =0

• Diện tích hình bình hành ABCD S_ABCD = AB AD, 

• Diện tích tam giác ABC 1 2 ,

S_ABC = AB AC

• Thể tích khối hộp ABCDA B C D   VABCD A B C D_{. ' ' ' '} = AB AD AA, . 

• Thể tích tứ diện ABCD 1

, .

ABCD 6

V = AB AC AD . Chú ý.

• Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

• Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

• a⊥ b a b. =0.

• a b, cùng phương a b, =0.

• a b c, , đồng phẳng a b c, . =0.

B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1. Tìm tọa độ của vecto, của điểm

Định nghĩa a=a i1. +a j2. +a k3.  =a

(

a1;a a2; 3

)

, ^{OM =x i. +y j. +z k. M x y z}

(

^{; ;}

)

Tính chất Cho a=

(

a a a1; 2; 3

)

;b =

(

b b b1; 2; 3

)

. Ta có

• a =b

(

a1b a1; 2b a2; 3b3

)

• ka=

(

ka ka ka1; 2; 3

)

•

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 =

=  =

 =

• AB=

(

xB−xA^;yB −yA^;zB −zA

)

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA.

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ thỏa mãn a= − + −i j 3 ,k ^b=

(

^{3; 0;1 ,}

)

2 3 ,

c= i + j ^{d =}

(

^{5; 2; 3−}

)

^.

a) Tìm tọa độ của các vectơ a+b, 3a−2c. b) Tìm tọa độ các vectơ a+ −b c;3a−2c+3d c) Phân tích vectơ d theo 3 vectơ a;b ;c

Lời giải a) Ta có

• ^{a= −}

(

^{1;1; 3 ,−}

)

^b=

(

^{3; 0;1}

)

^{ + =a b}

(

^{2;1; 2−}

)

^.

• ^{3a= −}

(

^{3;3; 9 , 2−}

)

^{c =}

(

^{4; 6; 0}

)

^{3a−2c = − − −}

(

^{7; 3; 9}

)

^.

b) Ta có

• ^a= −

(

^{1;1; 3 ,}−

)

^b =

(

^{3; 0;1 ,}

)

^c=

(

^{2;3; 0}

)

 + − =^{a b c}

(

^{0; 2; 2}− −

)

.

• ^{3a= −}

(

^{3;3; 9 , 2−}

)

^{c =}

(

^{4; 6; 0}

)

^{,3d =}

(

^{15; 6; 9−}

)

^{3a−2c+3d =}

(

^{8;3; 18−}

)

^.

c) Giả sử d =ma+nb+pc

5 3 2

2 3

3 3

m n p

m p

m n

= − + +



 = +

− = − +



19 24 1

, ,

11 11 11

m n p

 = = = .

Vậy 19 24 1

11 11 11

d = a+ b+ c Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm ^A

(

^{1; 3;1−}

)

^;B

(

^2;5;1

)

và vectơ

3 2 5

OC= − +i j+ k .

a) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA;BE vàOA=2BE. c) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3AB+2AM =3CM.

Lời giải a) Gọi ^{D x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có BC= − −}

(

^{5; 3; 4 ,}

)

^{AC= −}

(

^{4;5; 4}

)

^.

Mà 5 3

4 5

−  −

− ^{BC AC,} không cùng phương.

(

^{1; 3; 1}

)

AD= x− y+ z− ABCD là hình bình hành

1 5 4

3 3 6

1 4 5

x x

AD BC y y

z z

− = − = −

 

 

 =  + = −  = −

 − =  =

 

. Vậy

(

^{− −4; 6;5}

)

^.

b) Gọi ^{E x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có OA=}

(

^{1; 3;1 ,−}

)

^OB=

(

^2;5;1

)

Mà 1 3

2 5

 − OA OB, không cùng phương.

Ta có ^EB=

(

^{2−x; 5−y; 1−z}

)

.Từ đề cho ta suy ra

1 4 2

2 3 10 2

1 2 2 x

OA EB y

z

 = −

=  − = −

 = −



3 13 1

, ,

2 2 2

x y z

 = = =

Vậy ^{3 13 1}; ; 2 2 2

E 

 

 . c) Gọi ^{M x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có}

• ^AB=

(

^{1;8; 0}

)

^3AB=

(

^{3; 24; 0}

)

• ^{AM =}

(

^{x−1;y+3;z−1}

)

^{2AM =}

(

^{2x−2; 2y+6; 2z−2}

)

• ^CM =

(

^x+^3;y−^2;z−⁵

)

^3CM =

(

^3x+^9;3y−^6;3z−¹⁵

)

3AB+2AM =3CM

3 2 2 3 9

24 2 6 3 6

0 2 2 3 15

x x

y y

z z

+ − = +



 + + = −

 + − = −



8 36 13 x y z

 = −

 =

 = Vậy ^M

(

^−8;36;13

)

^.

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết ^A

(

^{1; 0;1 ,}

) (

^{2;1; 2 ,}

)

B ^D

(

^{1; 1;1 ,−}

)

' 4;5; 5 .C

(

−

)

Xác định các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Lời giải Gọi ^{C x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có AB=}

(

^1;1;1

)

^;DC=

(

^{x−1;y+1;z−1}

)

^.

Tứ giác ABCD là hình bình hànhAB=DC

( )

1 1 2

1 1 0 2; 0; 2 .

1 1 2

x x

y y C

z z

− = =

 

 

 + =  = 

 − =  =

 

Gọi ^{D x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có D C}  =

(

⁴−^x;5− − −^{y; 5 z}

)

; ^DC=

(

^1;1;1

)

. Tứ giác DCC D  là hình bình hànhD C =DC

4 1

5 1

5 1

x y z

 − =

 − =

− − =



( )

3

4 3; 4; 6 . 6

x

y D

z

 =

 

 =  −

 = −

 Gọi ^{A x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có A D '=}

(

^{3−x; 4− − −y; 6 z}

)

^{; AD=}

(

^{0; 1; 0−}

)

^.

Tứ giác ADD A  là hình bình hành A D = AD

( )

3 0 3

4 1 5 3;5; 6 .

6 0 6

x x

y y A

z z

− = =

 

  

 − = −  =  −

− − =  = −

 

Gọi ^{B x y z}

(

^{; ;}

)

^{. Ta có A B}  =

(

^x−^3;y−^5;z+⁶

)

; ^{D C}  =

(

^1;1;1

)

.

Tứ giác A B C D    là hình bình hànhA B =D C 

( )

3 1 4

5 1 6 4; 6; 5 .

6 1 5

x x

y y B

z z

− = =

 

  

 − =  =  −

 + =  = −

 

Dạng 2. Tích phân vô hướng của 2 vecto và tứng dụng Cho a=

(

a1;a a2; 3

)

;b =

(

b b b1; 2; 3

)

. Ta có

• a b. =a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3}

• a = a₁²+a₂²+a₃²

• a⊥b a b. = 0 a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3} =0

•

( )

₂ ^{1 1}₂ ^{2 2}_{2 2} ^{3 3}_{2 2}

1 2 3 1 2 3

cos , a b. a b a b a b

a b

a b a a a b b b

+ +

= =

+ + + +

• AB=

(

xB −xA

) (

²+ yB−yA

) (

²+ zB−zA

)

²

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA.

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ ^a=

(

^{1; 2;1 ,}

)

^{b =}

(

^{3; 1; 2 ,−}

) (

^{4; 1; 3 ,}

)

c= − − ^d =

(

^{3; 3; 5 ,}− −

)

^{u =}

(

^{1; ; 2 ,m}

) (

^m

)

^.

a) Tính ^{a b b a. , .}

(

^+2c

)

^{, a+2b .}

b) So sánh ^{a b c.}

( )

^{. và}

( )

^{a b c. . .}

c) Tính các góc

( ) (

^{a b, , a+b a,3 −2c}

)

^.

d) Tìm m để ^u⊥

(

^b+d

)

^.

e) Tìm m để

(

^{u a,}

)

^=60.

Lời giải a) Tính ^{a b b a. , .}

(

^+2c

)

^{, a+2b .}

(

^{1; 2;1 ,}

)

a= ^{b =}

(

^{3; 1; 2−}

)

^{a b. =1.3 2.+}

( )

^{− +1 1.2=3.}

(

^{4; 1; 3}

)

²

(

^{8; 2; 6}

)

c = − −  c= − − ^{ +a 2c =}

(

^{9; 0; 5−}

)

( ) ( ) ( )

. 2 3.9 1 .0 2. 5 17

b a+ c = + − + − = .

( )

2b = 6; 2; 4− ^{ +a 2b =}

(

^{7; 0;5}

)

^{ +a 2b = 72+ + =02 52 74.}

b) So sánh ^{a b c.}

( )

^{. và}

( )

^{a b c. . .}

( ) ( ) ( )

. 3.4 1 . 1 2. 3 7

b c= + − − + − = ^{a b c.}

( )

^{. =}

(

^{7;14; 7}

)

( )

. 1.3 2. 1 1.2 3

a b= + − + =

( )

^{a b c. . =}

(

^{12; 3; 9− −}

)

Vậy ^{a b c.}

( ) ( )

^{.  a b c. .}

c) Tính các góc

( ) (

^{a b, , a+b a,3 −2c}

)

^.

(

^{1; 2;1 ,}

)

a= ^{b =}

(

^{3; 1; 2−}

) ( ) ( )

( )

²

2 2 2 2 2

1.3 2. 1 1.2 3

cos ,

1 2 1 . 3 1 2 2 21

a b + − +

 = =

+ + + − + ^

( )

^{a b, 70 54 }

(

^4;1;3

)

a+ =b , ^{3a−2c = −}

(

^5;8;9

)

^cos

(

^{a+b, 3a−2c}

) ( )

( )

²

2 2 2 2 2

4. 5 1.8 3.9

4 1 3 . 5 8 9

− + +

= + + − + +

= 15 ^

(

^{a+b a,3 −2c}

)

^{76 57 '}

d) Tìm m để ^u⊥

(

^b+d

)

^.

(

^{6; 4; 3}

)

b+ =d − − , ^{u =}

(

^{1; ; 2m}

)

^.

( )

^.

( )

⁰

u ⊥ b+d u b+d =  −6 4m− = 6 0 m=0. e) Tìm m để

(

^{u a,}

)

^=60.

(

^,

)

^{60 cos}

(

^,

)

¹

u a = ^  u a = 2

2

2 3 1

6. 5 2 m

m

 + =

+

6m2 30 4m 6

 + = +

( )

²

2

4 6 0

6 30 4 6

m

m m

 + 

  + = + ²

3 2

10 48 6 0

m

m m

  −

 

 + + =



12 129 m − +5

 = .

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a và b sao cho

( )

^{a b, =120, a =2,}

3

b = . Tính a+b và a−2b .

Lời giải

Ta có ^{a+b2 =}

(

^a+b

)

^{2 = a2+ b2+2a b. .cos}

( )

^{a b; = + +4 9 2.2.3.}⁻¹₂^⁼⁷

  Vậy a+ =b 7

Ta có ^{a−2b2 =}

(

^a−2b

)

^{2 = a2+4b2−4 a b. .cos}

( )

^{a b;} 4 36 4.2.3. ¹ 52 2

 

= + − − = Vậy a−2b =2 13.

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm ^A

(

^{2; 1;1 ,−}

)

^B

(

^{3;5; 2 ,}

)

^C

(

^{8; 4;3 ,}

) (

^{2; 2 1; 3}

)

D − m+ − . a) Tính AB BC AC, , .

b) Chứng minh tam giác ABC là là tam giác vuông.

c) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho MA=MB. d) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A.

e) Tính số đo góc A của tam giác ABC.

Lời giải a) Tính AB BC AC, , .

(

^{1; 6;1}

)

^{12 62 12 38}

AB= AB= + + =

(

^{5; 1;1}

)

⁵²

( )

^{1 2 12 3 3}

BC= − BC= + − + =

(

^{6;5; 2}

)

⁶²

( )

^{5 2 22 65}

AC=  AC= + + =

b) Chứng minh tam giác ABC là là tam giác vuông.

( )

. 1.5 6. 1 1.1 0

AB BC= + − + =  AB⊥BC  ABC vuông tại B. c) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho MA=MB. Ta có ^{MOxM x}

(

^{; 0; 0}

)

MA=MB ^

(

^2−x

) ( )

^{2+ −12+ =12}

(

^3−x

)

^{2+ +52 22}

2 2

4 6 6 38

x x x x

 − + = − +  =x 16. Vậy ^M

(

^{16; 0; 0}

)

^.

d) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A.

(

^{1; 6;1 ,}

) (

^{4; 2 2; 4}

)

AB= AD= − m+ −

ABD vuông tại A  AB AD. =0  − +4 12m+12− =4 0 1 m 3

 = − . e) Tính số đo góc A của tam giác ABC.

(

^{1; 6;1 ,}

) (

^{6;5; 2}

)

AB= AC = , ^cosA=cos

(

^{AB AC,}

)

^. 1.6 6.5 1.2

. 38. 65

AB AC AB AC

+ +

= = A 40 8^ . Chú ý Vì ABD vuông tại B nên có thể dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông

tan 3 3

38 A BC

= AB = A 40 8^  Dạng 3. Vận dụng công thức trung điểm và trọng tâm

M là trung điểm AB  ; ;

2 2 2

A B A B A B

x x y y z z

M + + + 

 

 

G là trọng tâm ABC  ; ;

3 3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G + + + + + + 

 

 

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có^A

(

^{1;3; 2 ,}

)

^B

(

^{3; 5; 6−}

)

^{, C}

(

^2;1;3

)

a) Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB.

b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox. c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C.

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho FA FB+ +FC nhỏ nhất.

e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung.

Lời giải a) Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB.

Ta có điểm M là trung điểm của cạnh AB 1 3 3 5 2 6

; ;

2 2 2

M + − + 

   hay ^M

(

^{2; 1; 4−}

)

^.

b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox. G là trọng của tam giác ABC 1 3 2 3 5 1 2 6 3

; ;

3 3 3

G + + − + + + 

   hay 2; ^{1 11};

G −3 3 . Hình chiếu của của G lên trục Ox là ^H

(

^{2; 0; 0}

)

^.

c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C.

Gọi ^{N x y z}

(

^{; ;}

)

^{, ta có N} đối xứng với điểm A qua điểm C C là trung điểm của AN

1 3 2

2 ,1 ,3

2 2 2

x y z

+ + +

 = = =  =x 3,y= −1,z=4. Vậy ^N

(

^{3;−1; 4}

)

^.

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng

(

^Oxz

)

^{sao cho FA FB+ +FC} nhỏ nhất.

3 3

FA FB+ +FC = FG = FG.

Do đó FA FB+ +FC nhỏ nhất FG nhỏ nhất F là hình chiếu của G lên ^{mp Oxz}

( )

^.

Vậy 11

2; 0;

F 3 

 

 .

e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung.

Hình chiếu của B lên trục Oy là ^H

(

^{0; 5; 0−}

)

^.

B đối xứng với điểm B qua trục tung  H là trung điểm của đoạn BB ^B'

(

^{− − −3; 5; 6}

)

^.

Dạng 4. Chứng minh 2 vecto cùng phương, không cùng phương

Chú ý a cùng phương b  ^{ k :a=kb}

(

^{b 0}

)

^{ 1 2 3}

(

^{1 2 3}

)

1 2 3

, , 0

a a a

b b b

b =b = b 

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ ^a=

(

^{3; 2;5 ,}

)

^b=

(

^{3m+2;3; 6−n}

)

^{. Tìm}

,

m n để a b, cùng phương.

Lời giải Ta có ^a=

(

^{3; 2;5 ,}

)

^{b =}

(

^{3m+2;3; 6−n}

)

Ta thấy rằng a b, cùng phương khi 3 2 3 6

3 2 5

m+ = = −n 5 3

6, 2

m n

 = = − . Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm ^A

(

^{1; 2;3 ,}

)

^B

(

^{2;1;1 ,}

)

^C

(

^{0; 2; 4}

)

^.

a) Chứng minh A B C, , là 3 đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ điểm ^{Mmp Oyz}

( )

sao cho 3 điểm A B M, , thẳng hàng.

Lời giải a) Ta có ^AB=

(

^{1; 1; 2 ,− −}

)

^{AC= −}

(

^{1; 0;1}

)

^.

Ta có 1 2

1 1

 −

− ^{ AB AC,} không cùng phương.

Vậy A B C, , là 3 đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ điểm ^{Mmp Oyz}

( )

sao cho 3 điểm A B M, , thẳng hàng.

Ta có ^{Mmp Oyz}

( )

^{M x}

(

^{; 0;z}

)

^{, AM =}

(

^{x− −1; 2; z−3}

)

^{, AB=}

(

^{1; 1; 2− −}

)

^.

Ta có A B M, , thẳng hàng AB AM, cùng phương 1 2 3

1 1 2

x− − z−

 = =

− − ^{ =x 3, z= −1}. Vậy ^M

(

^{3; 0; 1−}

)

^.

Dạng 5. Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng Ta cần chú ý các tính chất sau

• a b, ⊥a; a b, ⊥b. a b, = −b a, 

• a và b cùng phương a b,  = 0 ^{a b c, ,} đồng phẳng a b c, . =0

• Diện tích hình bình hành ABCD S_ABCD = AB AD,  .

• Diện tích tam giác ABC 1 2 ,

S_ABC = AB AC .

• Thể tích khối hộp ABCD A D C D.     VABCD A B C D_{.    } = AB AD AA, .  .

• Thể tích khối tứ diện ABCD 1

, .

ABCD 6

V = AB AC AD .

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ^A

(

^{1; 0;1 ,}

)

^B

(

^{−1;1; 2 ,}

)

^C

(

^{−1;1; 0 ,}

) (

^{2; 1; 2}

)

D − − .

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.

Lời giải a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

(

^{2;1;1 ,}

) (

^{2;1; 1 ,}

) (

^{1; 1; 3}

)

AB= − AC= − − AD= − − .

( )

, 2; 4; 0

AB AC

 

 = − − AD AB AC. , = 2 0^{ AB AC AD, ,} không đồng phẳng Vậy A B C D, , , là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.

(

^{2;1;1 ,}

) (

^{2;1; 1 ,}

) (

^{1; 1; 3}

)

AB= − AC= − − AD= − − .

( )

^{1 1}

, 2; 4; 0 . ,

6 3

AB AC VABCD AD AB AC

   

 = − −  =   = (đ.v.t.t) Ta có BC=

(

0; 0; 2 , −

)

BD=

(

3; 2; 4− −

)

( )

¹

, 4; 6; 0 , 13

BCD 2

BC BD S_ BC BD

   

 = − −  =   = .

( )

( ) ( ( ) )

³

1 13

d ; . d ; .

3 13

ABCD

ABCD BCD

BCD

V A BCD S A BCD V

 S



=  = =

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ^A

(

^{−3;5;15 ,}

)

^B

(

^{0; 0; 7 ,}

)

^C

(

^{2; 1; 4 ,−}

) (

^{4; 3; 0}

)

D − . Chứng minh AB và CD cắt nhau.

Lời giải

Ta có ^AB=

(

^{3; 5; 8 ,− −}

)

^AC=

(

^{5; 6; 11 ,− −}

)

^AD=

(

^{7; 8; 15 ,− −}

)

^CD=

(

^{2; 2; 4− −}

)

( )

, 7; 7; 7 . , 0 , ,

AB AC AD AB AC AB AC AD

   

 = −   =  đồng phẳng

 A B C D, , , cùng thuộc một mặt phẳng

( )

¹

( )

, 4; 4; 4 0 ,

AB CD AB CD

  = −  

  không cùng phương.

( )

²

Từ

( )

^{1 và}

( )

^{2 suy ra AB và CD} cắt nhau.

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho hình hộp ABCD EFGH. với ^A

(

^{1;1;1 ,}

)

^B

(

^{2;1; 2 ,}

) (

^{1; 2; 2 ,}

)

E − − ^D

(

^{3;1; 2}

)

. Khoảng cách từ A đến ^{mp DCGH}

( )

^bằng?

Lời giải

Ta có

( )

(

^{1; 0;1}

)

^,

(

^{0;1; 0}

)

2; 0;1

AB AB AD

AD

 =

  =

 =  

 , ^AE= −

(

^{2;1; 3}−

)

, . 1

AB AD AE

  =

  ^{VABCD EFGH. = }^{AB AD AE, }^{. =1}

( )

(

^{1; 0;1}

)

^,

(

^1;1;1

)

2;1; 3

AB AB AE

AE

 =

  = −

 = − −  

 S_ABFE = AB AE,  = 3=S_DCGH

( )

( )

. ,

ABCD EFGH DCGH

V =d A DCGH S

(

^,

( ) )

^{. 3}

3

ABCD EFGH DCGH

d A DCGH V

 = S =

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

Câu 1

Cho hai vectơ ^a=

(

^{2;3; 1−}

)

^{; b=}

(

^{0; 2;1−}

)

^.

Tính 2a+2b ; b+5a ; a b. ; a b;  ; a+2 ;5b a−3b. Lời giải Ta có

• ^{2a+2b=2 2;3; 1}

(

^{− +}

) (

^{2 0; 2;1−}

) (

^{= 4; 2;0}

)

^.

• ^b+5a=

(

^{0; 2;1−}

) (

^{+5 2;3; 1− =}

) (

^{10;13; 4−}

)

• ^{a b. =2.0 3+ − −}

( )

^{2 1.1= −7}

• ^_^{a b;  =}_

(

^{1; 2; 4− −}

)

• a+2 ;5b a−3b

Ta có ^a+2b=

(

^{2;3; 1− +}

) (

^{2 0; 2;1−}

) (

^{= 2; 1;1−}

)

( ) ( ) ( )

5a−3b=5 2;3; 1− −3 0; 2;1− = 10; 21; 8− Suy ra ^_^{a+2 ;5b a−3b}_^{= −}

(

^{13; 26;52}

)

Câu 2

Cho vectơ ^a=

(

^{2 2 ; 1; 4−}

)

. Tìm vectơ b cùng phương với a biết a b. =20. Lời giải

Giả sử ^b=

(

^{x y z; ;}

)

^.

Vì vectơ b cùng phương với a nên tồn tại số k sao cho x=2 2k ; y= −k ; z=4k. Lại có a b. =20. Suy ra 8k+ +k 16k =20. Suy ra ⁴

k= 5. Vậy ^{8 2}; ^{4 16};

5 5 5

b  

= − . Câu 3

Cho vectơ ^a=

(

^1;1;1

)

^{; b=}

(

^{1; 1;3−}

)

. tìm vectơ c có độ dài bằng 3 , vuông góc với hai vectơ a, b và tạo với tia Oz một góc tù.

Lời giải

Gọi tọa độ của vectơ ^c=

(

^{x y z; ;}

)

. Theo giả thiết ta có

3 . 0 b. 0 j. 0 c a c

c c

 =

 =

 =

 





( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

3 1 0 2 3 0 3 0 4 x y z

x y z x y z z

 + + =

 + + =

 − + =

 

 Từ

( ) ( )

^{2 , 3 suy ra x= −2z, y=z}, thay vào

( )

¹ _{ta được} ^{2 3}

z =2.

Kết hợp điều kiện

( )

⁴ _{ta có}

6 6 2

6 2 x y z

 =

 = −



 = −



. Vậy 6; ⁶; ⁶

2 2

c  

= − − .

Cách 2 Do c⊥a, c⊥b nên tồn tại số p sao cho c= p a^. ^; b=

(

4 ; -2 ; -2p p p

)

.

Vì ² 6

3 24 9

c =  p =  = p 4 Từ đó 6 ; ⁶ ; ⁶

2 2

c  

= −  hoặc 6 6

6; ;

2 2

c  

= − − 

Mặt khác c tạo với Ozmột góc tù nên c k. 0. Vậy 6 6 6 ; - ; - .

2 2

c  

=  

Câu 4

Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b , c sau đây a) ^a=

(

^{2; 6; 1−}

)

^{, b=}

(

^{4; 3; 2− −}

)

^{, c= − −}

(

^{4; 2; 2}

)

^.

b) ^a=

(

^{2; 4;3−}

)

^{, b=}

(

^{1; 2; 2−}

)

^{, c=}

(

^{3; 2;1−}

)

^.

Lời giải

Để xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b , c ta xét tích hỗn hợp T =  a b c, . . Nếu T =0 thì ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

Nếu T 0 thì ba vectơ a, b, c không đồng phẳng.

a) Ta có ^_^{a ; b = −}_

(

^{15; 0; 30−}

)

^_^{a b c,  = −}_^.

(

^{15 .}

) ( )

^{− +4 0.}

( ) (

^{− + −2 30 .2}

)

^=0.

Vậy ba vectơ a , b , c đồng phẳng.

b) Ta có ^_^{a b,  =}_

(

^{2; 7;8}

)

^_^{a b c;  =}_^{. 2.3 7.+}

( )

^{− +2 8.1 0= .}

Vậy ba vectơ a , b , c đồng phẳng.

Câu 5

Cho ba điểm ^A

(

^{2; 5; 3}

)

^{; B}

(

^{3;7; 4}

)

^{;C x y}

(

^{; ; 6}

)

^{. Tìm x;yđể A,B,C} thẳng hàng?

Lời giải Ta có ^AB=

(

^{1; 2; 1}

)

^{; AC =}

(

^{x−2; y 5; 3−}

)

Ta có ^{2 5 3}

1 2 1

x− = y− =

2 3 5 3 2 x

y

 − =

  −

 =

5 6 x y

 =

  = .

Câu 6

Cho bốn đỉnh ^A

(

^{1; 1; 1−}

)

^,B

(

^{1; 3; 1}

)

^,C

(

^{4; 3; 1}

)

^,D

(

^{4; 1; 1−}

)

^.

a) Chứng minh A,B,C,D đồng phẳng và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

b) Tính độ dài các đường chéo và góc giữa hai đường chéo.

Lời giải

a) ^AB=

(

^{0; 4; 0}

)

;^AC =

(

^{3; 4; 0}

)

;^AD=

(

^{3; 0; 0}

)

( )

, 0; 0; 12

AB AC

  = −

  ; ^_^{AB AC AD, }_^{. =0.3 0.0 0.+ +}

(

⁻¹²

)

^=0.

Vậy A,B,C,D đồng phẳng.

( )

, 0; 0; 12 0

AB AC

  = − 

  nên A,B,C không thẳng hàng.

(

^{0; 4; 0}

)

DC = nên DC= AB hay tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mặt khác AB AD. =0.3+4.0+0.0=0 nên tứ giácABCD là hình chữ nhật.

b) Ta cóAC= 3² +4² =5; BD= AC=5

( )

^{3.3 4}

( )

⁴

cos ,

AC BD + −5.5

= ⁷

=25 ^

(

^{AC BD,}

)

^{=73 44' .}

Câu 7

Cho 4 điểm ^A

(

^{2; 1; 6 ,−}

) (

^{B − − −3; 1; 4 ,}

) (

^{C 5; 1; 0−}

)

^{và D}

(

^{1; 2;1}

)

^.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

• Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Ta có^{AB= −}

(

^{5; 0; 10−}

)

^,AC=

(

^{3; 0; 6−}

)

^{, BC =}

(

^{8; 0; 4}

)

Xét AB AC. =24 0 24+ − =0 nên AC ⊥BC nên ABC vuông tại C. Vậy ABC vuông tại C.

• Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giácABC. Theo công thức _{ABC ABC}. ^ABC

ABC

S P r r S

P

  



=  = .

Ta có AB=5 5,AC=3 5,BC=4 5,

Khi đó vì ABC là tam giác vuông tại Cnên ¹. . ¹.3 5.4 5 30

2 2

S_ABC = AC BC= =

Chu vi tam giác ABC 5 5 3 5 4 5

2 2 6 5

ABC

AB AC BC

P_ + + + +

= = = .

Vậy 30

6 5 5

ABC ABC

r S P





= = = .

b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Theo công thức ¹ , .

ABCD 6

V = AB AC AD

Ta có ^AB= −

(

^{5; 0; 10}−

)

, ^AC=

(

^{3; 0; 6}−

)

, ^AD= −

(

^{1;3; 5}−

)

Với ^_^{AB AC,  =}_

(

^{0; 60; 0−}

)

^{, }_^{AB AC AD, }_^{. = −0 60.3 0+ =180.}

Vậy ¹ , . ¹.180 30

6 6

VABCD = AB AC AD = = .

Câu 8

Cho ba điểm ^A

(

^{1; 0; 0}

)

^{; B}

(

^{0; 0;1}

)

^{; C}

(

^2;1;1

)

^.

a) Chứng minh ba điểm A,B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm D biết ABCD là hình bình hành.

d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC. e) Tính các góc của tam giác ABC.

f) Xác định toạ độ tực tâm của ABC.

g) Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải a) Ta có ^AB

(

^{−1; 0;1}

)

^{; AC}

(

^1;1;1

)

^{suy ra ABk AC.}

Do đó AB; AC không cùng phương suy ra A,B, C không thẳng hàng.

b) Ta có ^AB

(

−^{1; 0;1}

)

; ^AC

(

^1;1;1

)

^{; BC}

(

^{2;1; 0}

)

^{ AB= 2; BC= 5;}

3

AC = ;^_^{AB AC;  = −}_

(

^{1; 2; 1−}

)

^.

Chu vi tam giác ABC là p= 2+ 3+ 5 và ¹ ;

ABC 2

S = AB AC 1

1 4 1

= 2 + + 6

= 2 . c) Gọi ^{D a b c}

(

^{; ;}

)

^{sao cho A,B, C, D} là bốn đỉnh hình bình hành.

Ta có AB=DC

1 2 0 1 1 1

a b c

− = −



 = −

 = −



3 1 0 a b c

 =

 =

 =

(

^{3;1; 0}

)

D .

d) Ta có ¹ .

ABC 2 a

S = a h 1 2b h. ^b

= 1

2c h. ^c

= 6

a 5

h = ; h_b = 2; h_c= 3. e) Áp dụng công thức hàm số cosin cho tam giác ABCta có

+ 2 3 5

cos 0

2. 3. 2

A= + − =  = A 90

+ 2 5 3 2

cos

2. 5. 2 5

B= + − =  = B 51

+ 3 5 2 3

cos

2. 5. 3 5

C= + − =  = C 39

Cách khác có thể dùng công thức cosA^=cos

(

^{AB AC,}

)

^{= AB AC}_{AB AC}^._. ^.

f) Gọi ^{H a b c}

(

^{; ;}

)

là toạ độ trực tâm tam giác ABC Ta có

. 0

. 0

; . 0

AH BC BH AC

AB AC BH

 =

 =

  =

 



2 2 0

1 0

2 1 0

a b a b c

a b c + − =



 + + − =

− + − + =



1 0 0 a b c

 =

 =

 =

(

^{1; 0; 0}

)

H .

Cách khác Tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm tam giác ABC là ^A

(

^{1; 0; 0}

)

^.

g) Gọi ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

là toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có

; . 0

IA IB IB IC

AB AC BI

 = =

  =

 



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

1 2 1 1

a b c a b c

a b c a b c

 − + + = + + −

 

 + + − = − + − + −



2 2 0

4 2 5

2 1 0

a c a b a b c

− + =



 + =

− + + − =



1 1 2 1 a b c

 =

 =

 =



1; ;11 I 2 

  

 

Cách khác Tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm 1; ;11

I 2 

 

  của BC.

Câu 9

Trong không gian Oxyzcho 4 điểm ^A

(

^{2; 1; 6 ,−}

) (

^{B − − −3; 1; 4 ,}

) (

^{C 5; 1; 0−}

)

^{và D}

(

^{1; 2;1}

)

^.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

+) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

Ta có ^{AB= −}

(

^{5; 0; 10−}

)

^,AC=

(

^{3; 0; 6−}

)

^{, BC=}

(

^{8; 0; 4}

)

Xét AB AC. =24 0 24+ − =0 nên AC ⊥BC nên ABC vuông tại C. Vậy ABC vuông tại C.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Theo công thức 1

, .

ABCD 6

V = AB AC AD

Ta có ^{AB= −}

(

^{5; 0; 10−}

)

^{, AC=}

(

^{3; 0; 6−}

)

^{, AD= −}

(

^{1;3; 5−}

)

Với ^_^{AB AC,  =}_

(

^{0; 60; 0−}

)

^{, }_^{AB AC AD, }_^{. = −0 60.3 0+ =180.}

Vậy 1 1

, . .180 30

6 6

VABCD = AB AC AD = = . Câu 10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm ^A

(

^{2;3; 1 ,−}

) (

^{B −1; 0; 2 ,}

) (

^{C 1; 2; 0−}

)

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm Dtrên Oz sao cho tứ diện ABCDcó thể tích bằng 4 c) Tìm tọa độ điểm E trên

(

^Oyz

)

^{sao cho AE/ /BC}

d) Tìm tọa độ điểm Htrên Ox sao cho DH ⊥AC

e) Cho BFlà phân giác trong của tam giác ABC. Xác định tọa độ điểm F Lời giải

a) Ta có ^{AB= − −}

(

^{3; 3;3 ,}

)

^{AC= − −}

(

^{1; 5;1}

)

^_^{AB AC, }_⁼

(

^{12; 0;12}

)

Khi đó diện tích tam giác ABC 1 1 ²

, 2.12 6 2

2 2

S_ABC = AB AC = = (đvdt)

b) Gọi ^D

(

^{0; 0; z}

)

^{. Ta có}

(

^{3;3; z 3}

)

^{, .} 12.3 0.3 12.

(

3

)

12 0 0

AD − AB AC AD = + + z− = z  z

1 1

4 , . 4 12 4 2

6 6

VABCD AB AC AD z z

 =    =  =  = 

Vậy điểm ^D

(

^{0; 0; 2}

)

^{hoặc D}

(

^{0; 0; 2−}

)

c) Gọi ^E

(

^{0; y; z}

)

^{. Ta có} AE= −

(

2; y 3; z 1 ,− +

)

BC=

(

2; 2; 2− −

)

Ta cóAE/ /BCkhi AE BC; cùng phương 2 3 1

5; 1

2 2 2

y z

y z

− − +

= =  = =

− −

Vậy ^E

(

^0;5;1

)

d) Gọi ^{H x}

(

^{; 0; 0}

)

^{. Ta có}

(

^{; 0; 2}

)

DH x − hoặc ^{DH x}

(

^{; 0; 2}

)

2 0 2

. 0

2 0 2

x x

DH AC DH AC

x x

− − = = −

 

⊥  = − + =  =

e) Gọi ^{F x}<