Tuyển tập đề thi vào lớp 10 môn Toán sở GD&ĐT thành phố Hà Nội (1988 - 2023) - THCS.TOANMATH.com

(1)

TUYỂN TẬP ĐỀ THI

VÀO LỚP 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

(2)

1 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm học 1988 - 1989 . . . 5

(3)

(4)

43 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm học 2022 - 2023 . . . 85 44 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm học 2022 - 2023 . . . 86

(5)

Trên tay các thầy giáo, cô giáo và các bạn học sinh đang là tuyển tập các đề thi vào 10 hệ phổ thông và hệ chuyên của thành phố Hà Nội từ năm học 1988 - 1989 đến năm học 2022 - 2023 được soạn thảo theo chuẩn L^ATEX.

Tài liệu được soạn thảo với sự hỗ trợ của nhóm Toán và L^ATEX. Đặc biệt với cấu trúc gói đề thiex_test của tác giả Trần Anh Tuấn, Đại học Thương Mại.

Quá trình biên tập dựa trên đề thi các thầy giáo, cô giáo chia sẻ trên mạng không tránh được sơ xuất do tài liệu gốc không rõ. Rất mong thầy giáo, cô giáo thông cảm.

Để tài liệu hoàn thiện và đầy đủ hơn thầy giáo, cô giáo có đề trong tài liệu còn thiếu hoặc sai sót mong thầy giáo, cô giáo gửi về Emai: quochoansp@gmail.com. Trân trọng cảm ơn.

Hà Nội,ngày 19 tháng 06 năm 2022

Tác giả. Bùi Quốc Hoàn

(6)

• Tính giá trị biểu thức.

• Rút gọn biểu thức.

• Các bài toán liên quan.

Câu 2. (2,0 điểm)

• Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

• Khối hình trụ, hình nón và hình cầu.

• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Phương trình bậc hai và các bài toán liên quan đến biểu thức nghiệm.

• Đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai và các bài toán liên quan.

• Các bài toán liên quan.

• Chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc các điểm thuộc một đường tròn.

• Chứng minh tam giác đồng dạng; hệ thức trong tam giác.

• Câu hỏi vận dụng tích hợp kiến thức và suy luận.

• Câu hỏi vận dụng bậc cao tích hợp kiến thức và suy luận.

• Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

• Phương trình vô tỉ

(7)

(8)

Câu 1. Cho biểu thứcA= 2 +x

2−x−2−x

2 +x− 4x² x²−4

!

: x−3 2x−x². 1. Rút gọn biểu thứcA.

2. Tìm giá trị củaAkhi |x|= 1.

Câu 2. Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnhB với vận tốc 40 km/h. Sau đó 1 giờ 30 phút, một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnhA đến tỉnhB với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đã đi được một nửa quãng đườngAB. Tính quãng đườngAB.

Câu 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn vàP là trung điểm của cung ABkhông chứa C vàD. Hai dây P C vàP D lần lượt cắt ABtại E vàF. Các dây ADvàP C kéo dài cắt nhau tạiI; các dâyBC vàP D kéo dài cắt nhau tạiK.

1. Chứng minh CID[ =CKD.\

2. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn.

3. Chứng minh IKkAB.

4. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giácAF D tiếp xúc vớiP Atại A.

Câu 4. Tìm giá trị củaxđể biểu thứcM = 2x−1²

− 2x−1

+ 2đạt giá trị nhỏ nhất.

(9)

Câu 1. Cho biểu thứcA= 1− 2

1 + 2x− 5x

4x²−1 − 1 1−2x

!

: x−1 4x²+ 4x+ 1. 1. Rút gọn biểu thứcAvà nêu các điều kiện phải có của x.

2. Tìm giá trị củaxđểA=−1 2.

Câu 2. Một ô tô dự định đi từAđếnB với vận tốc50 km/h. Sau khi đi được 2

3 quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ10 kmtrên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đếnB chậm hơn30phút so với dự định. Tính quãng đườngAB.

Câu 3. Cho hình vuôngABCD vàE là một điểm bất kỳ trên cạnhBC. TiaAxvuông góc vớiAE cắt cạnh CD kéo dài tạiF. Kẻ trung tuyếnAI của tam giácAEF và kéo dài cắt cạnhCDtại K. Đường thẳng qua Evà song song vớiABcắtAI tại G.

1. Chứng minh AE=AF.

2. Chứng minh tứ giác EGF K là hình thoi.

3. Chứng minh tam giácAKF và tam giácCAF đồng dạng vàAF²=KF ·CF.

4. Giả sử E chuyển động trên cạnh BC, chứng minh rằng F K =BE+DK và chu vi tam giác ECK không đổi.

Câu 4. Tìm giá trị củaxđể biểu thức M = x²−2x+ 1989

x² (vớix6= 0) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

(10)

Câu 1. Cho biểu thứcP =

√x−1 3√

x−1− 1 3√

x+ 1+ 5√ x 9x−1

!

: 1−3√ x−2 3√

x+ 1

! . 1. Rút gọn biểu thứcP.

2. Tìm giá trị củaxđểP = 6 5.

Câu 2. Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnhAđến tỉnhB. Xe tải đi với vận tốc30 km/h, xe con đi với vận tốc45 km/h. Sau khi đi được 3

4 quãng đườngAB, xe con tăng vận tốc thêm5 km/htrên quãng đường còn lại. Tính quãng đườngAB, biết rằng xe con đến tỉnhB sớm hơn xe tải2giờ20phút.

Câu 3. Cho đường tròn O

, một dâyABvà một điểmCnằm ngoài đường tròn trên tiaAB. Từ điểm chính giữa của cung lớnAB kẻ đường kínhP Qcủa đường tròn, cắt dây ABtại D. TiaCP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dâyABvàQI cắt nhau tạiK.

1. Chứng minh tứ giác P DKInội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh CI·CP =CK·CD.

3. Chứng minh IC là tia phân giác của góc ở ngoài đỉnhI của tam giácAIB. 4. Giả sửA,B,Ccố định. Chứng minh rằng khi đường tròn O

thay đổi nhưng vẫn đi quaB thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4. Tìm giá trị củaxđể biểu thứcM =x−√

x−1991đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

(11)

Câu 1. Cho biểu thứcQ= x−3√ x x−9 −1

!

: 9−x

√x+ 3 √

x−2+

√x−3

√x−2−

√x+ 2

√x+ 1

! . 1. Rút gọn biểu thứcQ.

2. Tìm giá trị củaxđểQ <1.

Câu 2. Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại đi vận chuyển40tấn hàng. Lúc sắp khởi hành, đoàn xe được giao thêm 14tấn nữa. Do đó, phải điều thêm2 xe cùng loại trên và mỗi xe phải chở thêm0,5 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định. Biết rằng mỗi xe trở số hàng là như nhau.

Câu 3. Cho đoạn thẳngAB và một điểm C nằm giữaA, B. Người ta kẻ trên nửa bờ mặt phẳng bờABhai tia AxvàBy vuông góc vớiABvà trên tia Axlấy một điểmI. Tia vuông góc vớiCI tạiC cắt tiaBy tạiK. Đường tròn đường kínhIC cắtIK tạiP.

1. Chứng minh tứ giác CP KBnội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh AI·BK=AC·CB.

3. Chứng minh tam giácAP B vuông.

4. Giả sửA,B,I cố định. Hãy xác định vị trí của điểmC sao cho diện tích hình thang vuôngABKIlớn nhất.

Câu 4. Chứng minh rằng các đường thẳng có phương trìnhy = m−1

x+ 6m−1991 (m là tham số) luôn đi qua một điểm duy nhất mà ta có thể xác định được tọa độ của nó.

(12)

Câu 1. Cho biểu thứcB= x+ 2√ x x√

x−1 − 1

√x−1

! : 1−

√x+ 2 x+√

x+ 1

! . 1. Rút gọn biểu thứcB.

2. Tìm √

B khi x= 5 + 2√ 3.

Câu 2. Hai người thợ cùng làm một công việc trong7giờ12phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong5giờ, người thứ hai làm trong6 giờ thì cả hai người làm được 3

4 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong.

Câu 3. Cho nửa đường tròn đường tròn đường kínhAB.K là điểm chính giữa của cungAB. Trên cungKB lấy điểmM (M khácK vàB). Trên tiaAM lấy điểmN sao choAN =BM. Kẻ dâyBP song song vớiKM. GọiQ là giao điểm của đường thẳngAP vàBM.

1. So sánh tam giác AKN và tam giácBKM. 2. Chứng minh tam giácKM N vuông cân.

3. Tứ giácAKN P là hình gì? Tại sao?

4. GọiR,S lần lượt là giao điểm thứ hai củaQAvàQB với đường tròn ngoại tiếp tam giácOM P, chứng minh khi M di động trên cungKB thì trung điểmI củaRS luôn nằm trên đường tròn cố định.

Câu 4. Giải phương trình: 1

1 +x+ 2 1 +√

x =2 +√ x 2x

(13)

Câu 1. Cho biểu thứcM =

√x+ 1

√2x+ 1 +

√2x+√

√ x

2x−1 −1

! : 1 +

√x+ 1

√2x+ 1 −

√2x+√

√ x 2x−1

! . 1. Rút gọn biểu thứcM.

2. TínhM khix= 1

2 3 + 2√ 2

.

Câu 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong4 giờ48phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai1giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?

Câu 3. Cho hai đường tròn O1

và O2

tiếp xúc ngoài nhau tạiA và tiếp chungAx. Một đường thẳngdtiếp xúc với O1

, O2

lần lượt tại các điểmB,C và cắtAx. Kẻ đường kínhBO1D,CO2E.

1. Chứng minh rằngM là trung điểm củaBC.

2. Chứng minh tam giácO1M O2vuông.

3. Chứng minh ba điểmB,A, Ethẳng hàng và ba điểmC,A,D thẳng hàng.

4. Gọi I là trung điểm củaDE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giácIO1O2 tiếp xúc ngoài với đường thẳng BC.

Câu 4. Tìmmđể hệ phương trình sau đây có nghiệm:







x²− 2m−3

x+ 6 = 0 2x²+x+ m−5

= 0

(14)

Câu 1. Cho biểu thứcP = 2a+ 1

√

a³−1 −

√a a+√

a+ 1

!

· 1 +√ a³ 1 +√

a −√ a

2. Xét dấu của biểu thứcP·√ 1−a.

Câu 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một ca nô xuôi từA đếnB với vận tốc30 km/h, sau đó lại ngược từB vềA. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược1 giờ 20phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A vàB biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng là bằng nhau.

Câu 3. Cho tam giác ABC cân tạiA (A <b 90^◦), một cung trònBC nằm trong tam giácABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc M I, M H, M K xuống các cạnh tương ứngBC,CA,AB. GọiP là giao điểm củaBM,IK vàQlà giao điểm củaM C vàIH.

1. Chứng minh rằng các tứ giácBIM K,CIM H nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh tia đối của tiaM I là phân giác của gócHM K.\ 3. Chứng minh tứ giác M P IQnội tiếp đường tròn vàP QkBC.

4. Gọi O₁

là đường tròn đi qua ba điểm M,P,K, O₂

là đường tròn đi qua ba điểmM, Q,H;N là giao điểm thứ hai của O₁

và O₂

vàD là trung điểm củaBC. Chứng minh ba điểmM,N,D thẳng hàng.

Câu 4. Tìm tất cả các cặp số x;y

thỏa mãn phương trình sau:5x−2√

x 2 +y

+y²+ 1 = 0

(15)

A. Lý thuyếtHọc sinh chọn1trong2đề:

Đề 1:Phát biểu định nghĩa và nêu các tính chất của hàm số bậc nhất. Trong hai hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Vì sao?

y= 1−2x; y=x+1 x Đề 2: Phát biểu dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

B. Bài tập bắt buộc Câu 1. Cho biểu thứcB=

√a+ 1

√a−1 −

√a−1

√a+ 1 − 8√ a a−1

! :

√a−a−3 a−1 − 1

√a−1

! . 1. Rút gọn biểu thứcB.

2. So sánhB với1.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể, thì sau6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy20phút và vòi thứ hai chảy 30phút thì được 1

6 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể?

Câu 3. Cho nửa đường tròn đường kínhAB và hai điểmC,D tuộc nửa đường tròn sao cho cung AC <90^◦ và gócCOD\= 90^◦. GọiM là một điểm trên nửa đường tròn, sao choC là điểm chính giữa cungAM. Các dây AM vàBM cắtOC,OD lần lượt tạiE,F.

1. Chứng minh tứ giác OEM F là hình gì? Tại sao?

2. Chứng minh Dlà điểm chính giữa cung M B.

3. Đường thẳng dtiếp xúc với nửa đường tròn tạiM và cắt các tiaOC,OD lần lượt tạiI vàK. Chứng minh rằng tứ giácOBKM vàOAIM nội tiếp đường tròn.

(16)

Câu 1. Cho biểu thứcA= 1

√a−1 − 1

√a

! :

√a+ 1

√a−2 −

√a+ 2

√a−1

! . 1. Rút gọn biểu thứcA.

2. Tìm giá trị củaađểA > 1 6.

Câu 2. Cho phương trìnhx²−2 m+ 2

x+m+ 1 = 0(xlà ẩn số).

1. Giải phương trình khi m=−3 2.

2. Tìm các giá trị của mđể phương trình có hai nghiệm trái dấu.

3. Gọi x1,x2là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của mđểx1 1−2x2

+x2 1−2x1

=m².

Câu 3. Cho tam giácABC(AB > ACvà\BAC >90^◦). GọiI,Ktheo thứ tự các trung điểmAB,AC. Các đường tròn đường kínhAB,ACcắt nhau tại điểm thứ haiD; tiaBAcắt đường tròn K

tại điểm thứ haiE, tiaCAcắt đường tròn I

tại điểm thứ haiF.

1. Chứng minh ba điểmB,C,D thẳng hàng.

2. Chứng minh tứ giác BF EC nội tiếp.

3. Chứng minh ba đường thẳng AD,BF,CEđồng quy.

4. Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giácAEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳngDH,DE.

Câu 4. Cho hai phương trình bậc hai

ax²+bx+c= 0 ; cx²+bx+a= 0

Tìm hệ thức giữaa,b,c là điều kiện cần và đủ hai phương trình trên có một nghiệm chung duy nhất.

(17)

A. Lý thuyết(2,0 điểm) Học sinh chọn1trong2đề:

Đề 1: Hãy chứng minh công thức ra

b =

√a

√

b vớia≥0vàb >0.

Đề 2: Định nghĩa đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.

B. Bài tập bắt buộc(8 điểm)

Cho biểu thứcP = 2a+ 4 a√

a−1+

√a+ 2 a+√

a+ 1 − 2

√a−1. 1. Rút gọn biểu thứcP.

2. Tính giá trị củaP khia= 3−2√ 2.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một người dự định sản xuất120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng suất4sản phẩm mỗi giờ, nên hoàn thành sớm hơn dự định1 giờ. Hãy tính năng suất dự kiện của người đó.

Câu 3. (4,0 điểm) Cho đường tròn O;R

và dây cungAB (AB <2R). Trên tia ABlấy điểmC sao cho AC > AB. Từ điểm C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tạiP,K. GọiI là trung điểmAB.

1. Chứng minh tứ giác CP IKnội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh tam giácACP và tam giácP CBđồng dạng vàCP²=CB·CA.

3. Gọi H là trực tâm của tam giácCP K. Hãy tínhP H theo R.

4. Giả sửP AkCK, chứng minh rằng tia đối của tiaBK là tia phân giác góc\CBP.

(18)

Câu 1. Cho biểu thứcA= 1

√x+ 1−

√x−2 x√

x+x−√ x−1

!

: 1

√x−1 − 2 x−1

2. Với giá trị củaxthìAđạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau120 km với vận tốc định trước. Sau khi đi được 1

3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10 km/h trên con đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết người đó đếnB sớm hơn dự định24phút.

Câu 3. Cho đường tròn tâm O

bán kính R và một dây BC cố định. GọiA là điểm chính giữa cung nhỏBC.

Lấy điểmM trên cung nhỏAC, kẻ tiaBxvuông góc với tiaM A ởI và cắt tiaCM tại D.

1. Chứng minh góc AM D\ =\ABC vàM A là tia phân giác gócBM D.\

2. Chứng minh Alà là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácBCD và gócBDC\ có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí của điểmM.

3. TiaDAcắt tiaBCtạiEvà cắt đường tròn O

tại điểm thứ haiF, chứng minhABlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giácBEF.

4. Chứng minh AE·AF không đổi khiM di động. TínhAE·AF theoRvà\ABC=α.

Câu 4. Cho hai bất phương trình

3mx−2m > x+ 1 ; m−2x <0 Tìmm để hai bất phương trình trên có cùng tập hợp nghiệm.

(19)

Đề 1: Định nghĩa căn bậc hai số học và chứng minh công thức√ ab=√

a·√

bvớia≥0vàb≥0.

Đề 2: Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn.

Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thứcA= 1

√a−1 − 1

√a

! :

√a+ 1

√a−2 −

√a+ 2

√a−1

2. Tìm giá trị củaađểA > 1 6. Câu 2. (2,0 điểm)

Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnhB với vận tốc48 km/h. Sau khi đi một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hỏa10phút. Do đó, để đến tỉnhB đúng hạn, xe phải tăng tốc thêm6 km/h. Tính quãng đườngAB.

, một dâyCD có trung điểmH. Trên tia đối của tia DC lấy một điểmS và quaS kẻ các tiếp tuyếnSA,SB với đường tròn. Đường thẳngABcắt đường thẳngSO;OH lần lượt tạiE vàF.

1. Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh OE·OS=R² 3. Chứng minh OH·OF =OE·OS.

4. KhiS di động trên tia đối của tiaDC hãy chứng minh đường thẳngABluôn đi qua một điểm cố định.

(20)

Câu 1. Cho biểu thứcA=√ x:

√x+ 1 x+√

x+ 1 + 1 1 +√

x+ x+ 2 x√

x−1

2. Tìm xđểA= 7.

Một công nhân dự định tính làm72sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng trong thực tế xí nghiệp giao làm80sản phẩm. Vì vậy, mặc dù người đó đã làm thêm mỗi giờ1sản phẩm song thời gian hoàn thành công việc vẫn tăng so với dự định12phút. Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ đó làm không quá20sản phẩm.

Câu 3. Cho đường tròn tâmO bán kínhR, một dâyABcố định (AB <2R) và một điểmM tùy ý trên cung lớn AB(M khác AvàB). Gọi Ilà trung điểm của dây SABvà O⁰

là đường tròn đi quaM và tiếp xúc vớiAB tại A. Đường thẳng M Icắt O

, O⁰

lần lượt tại giao điểm thứ hai làN,P. 1. Chứng minh IA²=IP ·IM.

2. Chứng minh tứ giác AN BP là hình bình hành.

3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giácBM P.

4. Chứng minh khiM di chuyển thì trọng tâmGcủa tam giácP AB chạy trên một cung tròn cố định.

Câu 4. Trong hệ tọa độOxy, cho parabol P

:y =x² và đường thẳng(d) :y =x+m. Tìm mđể (d) cắt hai nhánh của P

tại AvàB sao cho tam giácAOB vuông tạiO.

(21)

Đề 1: Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số. Các đẳng thức sau đúng hay sai? Vì sao?

3 x²+ 1

x²+ 1 = 3 ; 5m−25

15−5m = m−5 m−3 .

Đề 2: Chứng minh rằng nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với các cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Cho biểu thứcP = 2x+ 1

√

x³−1 − 1

√x−1

!

: 1− x+ 4 x+√

x+ 1

2. Tìm giá trị nguyên củaxđểP nhận giá trị nguyên dương.

Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ18 phút. Do đó để đếnB đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm2 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.

Cho tam giácABC vuông tạiA, đường caoAH. Đường tròn đường kínhAH cắt các cạnhAB,AC lần lượt tạiE vàF.

1. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

2. Chứng minh AE·AB=AF·AC.

3. Đường thẳng quaAvuông góc với EF cắt cạnhBC tạiI. Chứng minh Ilà trung điểm củaBC.

4. Chứng minh rằng diện tích tam giácABC gấp đôi diện tích hình chữ nhậtAEHF thì tam giácABC vuông

(22)

Đề 1:Phát biểu hai quy tắc đổi dấu của phân thức. Viết công thức minh họa cho trong quy tắc. Áp dụng thực hiện phép tính:

2a²

a−b +a²+b² b−a .

Đề 2: Phát biểu định lý về góc nội tiếp của đường tròn. Chứng minh định lý trong trường hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc.

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thứcP =

√x

√x−1 − 1 x−√

x

!

: 1

√x+ 1+ 2 x−1

2. Tìm các giá trị của xđểP >0.

3. Tìm các sốmđể có các giá trị củaxthỏa mãn P·√

x=m−√ x.

Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 40 km/h, xe con đi với vận tốc 60 km/h. Sau khi mỗi xe đi được nửa đường thì xe con nghỉ40phút rồi chạy tiếp đếnB; xe tải trên quãng còn lại đã tăng vận tốc thêm10 km/h nhưng vẫn đếnB chậm hơn xe con nửa giờ. Hãy tính quãng đườngAB.

Câu 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn O

và một điểmA nằm ngoài đường tròn. TừA kẻ hai tiếp tuyếnAB, AC và cát tuyếnAM N với đường tròn (B, C,M, N thuộc đường tròn và AM < AN). GọiI là giao điểm thứ hai của đường thẳngCE với đường tròn (E là trung điểm củaM N).

1. Chứng minh bốn điểm A,O,E,C cùng nằm trên một đường tròn.

2. Chứng minh góc AOC[ =BIC.[ 3. Chứng minh BIkM N.

4. Xác định vị trí cát tuyếnAM N để diện tích tam giácAIN lớn nhất.

(23)

Đề 1: Thế nào là phép thử mẫu của biểu thức lấy căn. Viết công thức tổng quát. Áp dụng tính:

s 2−√

3

2 +1−√ 3 2 .

Đề 2: Phát biểu định lý về góc có đỉnh bên trong đường tròn.

√x−4

√x √

x−2+ 3

√x−2

! :

√x+ 2

√x −

√x

√x−2

2. Tìm giá trị củaP biếtx= 6−2√ 5.

3. Tìm các giá trị của nđể cóxthỏa mãnP· √ x+ 1

>√ x+n.

Một ca nô chạy trên sông trong8 giờ, xuôi dòng81 km, ngược dòng 105 km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng54 km và ngược dòng42 km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

đường kính AB= 2R, dây M N vuông góc với dâyAB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn M I lấy điểmE (E khácM vàI). TiaAE cắt với đường tròn tại điểm thứ hai K.

1. Chứng minh tứ giác IEKBnội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh tam giácAM E và tam giácAKM đồng dạng vàAM²=AE·AK.

3. Chứng minh AE·AK+BI·BA= 4R².

4. Xác định vị trí điểmI sao cho chu vi tam giácM IO đạt giá trị lớn nhất.

(24)

Đề 1:Phát biểu định nghĩa và nêu tính chất của hàm số bậc nhất. Áp dụng cho hai hàm số bậc nhấty= 0,2x−7 vày= 5−6x. Hỏi hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến? Vì sao?

Đề 2: Nêu dấu hiện nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn.

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thứcP = √

x− x+ 2

√x+ 1

! :

√x

√x+ 1 −

√x−4 1−x

2. Tìm giá trị củaxđểP <0.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất củaP. Câu 2. (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một công nhân dự định làm150 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được2 giờ với năng suất dự kiến, người đó cải tiến các thao tác nên đã tăng năng suất được2 sản phẩm mỗi giờ vì vậy đã hoàn thành150 sản phẩm sớm hơn dự kiến30phút. Hãy tính năng suất dự kiến ban đầu.

, đường kínhAB cố định và một đường kínhEF bất kỳ (E khácA vàB). Tiếp tuyến tạiB với đường tròn cắt các tiaAE, AF lần lượt tại H vàK. Từ Akẻ đường thẳng vuông góc vớiEF cắtHK tại M.

1. Chứng minh tứ giác AEBF là hình chữ nhật.

2. Chứng minh tứ giác EF KHnội tiếp đường tròn.

3. Chứng minh AM là trung tuyến của tam giácAHK.

4. Gọi P,Q là trung điểm tương ứng củaBH, BK, xác định vị trí của đường kínhEF để tứ giácEF QP có chu vi nhỏ nhất.

(25)

Đề 1: Phát biểu và viết dạng tổng quát của quy tắc khai phương một tích. Áp dụng:P =

√50−√

√ 8 2 . Đề 2: Định nghĩ đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.

B. Bài tập bắt buộc (8 điểm)

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thứcP = 4√

x 2 +√

x+ 8x 4−x

! :

√x−1 x−2√

x− 2

√x

2. Tìm giá trị củaxđểP =−1.

3. Tìm mđể với mọi giá trị củax >9ta cóm √ x−3

·P > x+ 1.

Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất600sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổIđã vượt mức18%, tổII vượt mức 21%, vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức120 sản phẩm.

Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

, đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A vàO sao choAI = 2

3AO. Kẻ dây M N vuông góc vớiAB tại I. GọiC là điểm tùy ý thuộc cung lớnM N (C không trùng vớiM, N vàB). NốiAC cắt M N tạiE.

1. Chứng minh bốn điểm C, O, H,N thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh tứ giác IECBnội tiếp được trong đường tròn.

3. Chứng minh tam giácAM E đồng dạng với tam giácACM vàAM²=AE·AC.

4. Chứng minh AE·AC−AI·IB=AI².

5. Hãy xác định của điểm C sao cho khoảng cách từN đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácCM E là nhỏ nhất.

(26)

Đề 1: Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số và nghiệm của nó. Hãy tìm nghiệm chung của hai phương trình:x+ 4y= 3vàx−3y=−4.

Đề 2:Phát biểu và chứng minh định lý góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Chứng minh định lý trong trường hợp hai cạnh của góc cắt đường tròn.

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thứcP = √

x− 1

√x

! :

√x−1

√x +1−√ x x+√

x

2. Tìm giá trị củaP khix= 2 2 +√

3. 3. Tìm các giá trị của xthỏa mãn P·√

x= 6√

x−3−√ x−4.

Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai bị điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong10giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.

, đường thẳng dkhông đi quaO cắt đường tròn tại hai điểmA,B. Từ một điểmC trênd (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM,CN tới đường tròn (M, N thuộc O

). GọiH là trung điểm củaAB, đường thẳngOH cắt tia CN tại K.

1. Chứng minh bốn điểm C, O, H,N thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh KN·KC =KH·KO.

3. Đoạn thẳngCO cắt đường tròn O

tạiI, chứng minhIcách đềuCM,CN,M N.

4. Một đường thẳng đi qua O và song song vớiM N cắt các tiaCM,CN lần lượt tạiE vàF. Xác định vị trí của điểmC trêndsao cho diện tích tam giácCEF nhỏ nhất.

(27)

Đề 1: Nêu điều kiện để√

A có nghĩa.

Áp dụng: Với giá trị nào củaxthì√

2x−1có nghĩa.

Đề 2: Phát biểu và chứng minh định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thứcP = 1

√x−2 −5√ x−4 2√

x−x

!

: 2 +√

√ x x −

√x

√x−2

2. Tìm giá trị củaP khix=3−√ 5 2 . 3. Tìm mđể cóxthỏa mãn P=mx√

x−2mx+ 1.

Theo kế hoạch, một đội công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ mỗi người công nhân đó đã làm thêm2 sản phẩm. Vì vậy, chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định30phút mà còn vượt mức3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân đó phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Cho tam giácABC vuông tạiA. Lấy điểmM tùy ý giữaA vàB. Đường tròn đường kính BM cắt đường thẳng BC tại điểm thứ hai làE. Các đường thẳngCM,AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai làH vàK.

1. Chứng minh rằng tứ giác AM EC là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh ACM\ =KHM\ theoR.

3. Chứng minh các đường thẳng BH,EM vàAC đồng quy.

4. Giả sửAC < AB, hãy xác định vị trí củaM để tứ giácAHBC là hình thang cân.

(28)

"

a+ 3√ a+ 2

√a+ 2 √

a−1−a+√ a a−1

#

: 1

√a+ 1 + 1

√a−1

2. Tìm giá trị củaađể 1 P −

√a+ 1 8 ≥1.

Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bếnA đến bến B dài80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểmC cách bếnB 72 km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc của dòng nước là4 km/h.

Tìm tọa độ giao điểmAvàBcủa đồ thị hai hàm sốy= 2x+ 3vày=x². GọiDvàC lần lượt là hình chiếu vuông góc củaA vàB trên trục hoành. Tính diện tích tứ giácABCD.

đường kínhAB= 2R,C là trung điểm củaOAvà dâyM N vuông góc vớiOAtạiC. GọiK là điểm tùy ý trên cung nhỏBM,H là giao điểm củaAK vàM N.

1. Chứng minh rằngBCHK là tứ giác nội tiếp.

2. Tính tínhAH·AK theoR.

3. Xác định vị trí của điểmK để KM+KN+KB

đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Cho hai số dươngx,y thỏa mãn điều kiệnx+y= 2. Chứng minh:x²y² x²+y²

≤2.

(29)

√x

√x−1+ 3

√x+ 1 −6√ x−4 x−1 . 1. Rút gọn P.

2. Tìm giá trị củaxđểP < 1 2. Câu 2. (2,5 điểm)

Một người đi xe đạp từA đếnB cách nhau24 km. Khi từB trở về A người đó tăng vận tốc thêm4 km/hso với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi30phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từAđến B.

Cho phương trìnhx²+bx+c= 0.

1. Giải phương trình khi b=−3,c= 2.

2. Tìm b,c để phương trình có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng1.

tiếp xúc với đường thẳngdtạiA. Trên đường thẳngdlấy điểmH (H khácA) vàAH < R.

QuaH kẻ đường thẳng vuông góc vớidcắt đường tròn tại hai điểm phân biệt E,B (Enằm giữaB vàH).

1. Chứng minh \ABE=EAH\ và tam giácABH đồng dạng với tam giácEAH.

2. Lấy điểm C trên đường thẳng dsao cho H là trung điểm củaAC, đường thẳngCE cắtAB tại K. Chứng minh tứ giácAHEK nội tiếp.

3. Xác định vị trí của điểmH đểAB=R√ 3.

Cho đường thẳngy= m−1

x+ 2. Tìmmđể khoảng cách từ gốc tọa độO tới đường thẳng đó lớn nhất.

(30)

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thứcP = 1

√x+

√x

√x+ 1

! :

√x x+√

x. 1. Rút gọn P.

2. Tính giá trị củaP khix= 4.

3. Tìm giá trị củaxđểP = 13 3 . Câu 2. (2,5 điểm)

Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổI vượt mức15%và tổII vượt mức10%

so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ đã sản xuất được1010chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Câu 3. (1,0 điểm) Cho parabol P

:y=1

4x² và đường thẳng(d) :y=mx+ 1.

1. Chứng minh với mọi giá trị củamđường thẳng(d)luôn cắt parabol P

tại hai điểm phân biệtA,B.

2. Tính diện tích tam giácAOB theom (O là gốc tọa độ).

có đường kính AB= 2RvàE là điểm bất kỳ trên đường tròn đó (E khácA vàB). Đường phân giác gócAEB cắt đoạn ABtạiF và cắt đường tròn O

tại điểm thứ haiK.

1. Chứng minh tam giácKAF đồng dạng với tam giácKEA.

2. Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF vớiOE. Chứng minh đường tròn I

bán mínhIE tiếp xúc với đường tròn O

tạiE và tiếp xúc với đường thẳng ABtạiF.

3. Chứng minh M N kAB, trong đóM vàN lần lượt là giao điểm thứ hai củaAE,BE với đường tròn I . 4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KP Q theo R khiE chuyển động trên đường tròn O

, vớiP là giao điểm của N F vàAK,Qlà giao điểm củaM F vàBK.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P = x−14

+ x−34

+ 6 x−12

x−32

.

(31)

Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thứcA= x

x−4+ 1

√x−2 + 1

√x+ 2, vớix≥0,x6= 4.

1. Rút gọn biểu thứcA.

2. Tính giá trị của biểu thức Akhix= 25.

3. Tìm giá trị củaxđểA=−1 3. Câu 2. (2,5 điểm)

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong3ngày, tổ thứ hai may trong5ngày thì cả hai tổ may được1310chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai10chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày được bao nhiêu chiếc áo?

Cho phương trình:x²−2 m+ 1

x+m²+ 2 = 0(xlà ẩn).

1. Giải phương trình đã cho vớim= 1.

2. Tìm các giá trị của mđể phương trình đã cho có hai nghiệmx1,x2 thỏa mãn hệ thứcx²₁+x²₂= 10.

và điểmAnằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyếnAB,ACvới đường tròn (B,Clà tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác ABOClà tứ giác nội tiếp.

2. Gọi E là giao điểm củaBCvàOA. Chứng minhBE vuông góc với OAvàOE·OA=R². 3. Trên cung nhỏBC của đường tròn O;R

lấy điểmKbất kỳ (K khácBvàC). Tiếp tuyến tạiKcủa đường tròn O;R

cắtAB,AC theo thứ tự tại các điểm P vàQ. Chứng minh tam giácAP Qcó chu vi không đổi khi Kchuyển động trên cung nhỏBC.

4. Đường thẳng quaO, vuông góc vớiOAcắt các đường thẳngAB,ACtheo thứ tự tại các điểmM,N. Chứng minh P M+QN≥M N.

s r

(32)

Câu 1. (2,5 điểm) ChoP=

√x

√x+ 3 + 2√

√ x

x−3−3x+ 9

x−9 , vớix≥0,x6= 9.

1. Rút gọn biểu thứcP. 2. Tính giá trị củaxđểP= 1

3. 3. Tìm giá trị lớn nhất của P.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là13 mvà chiều dài lớn hơn chiều rộng là7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó?

:y=−x²và đường thẳng(d) :y=mx−1.

1. Chứng minh với mọimthì(d)luôn cắt P

tại hai điểm phân biệt.

2. Gọi x1,x2là hoành độ giao điểm của(d)và P

. Tìm giá trị củamđể x²₁x2+x1x²₂−x1x2= 3 Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn O;R

, đường kínhAB= 2Rvà điểmC thuộc đường tròn đó (CkhácAvàB),Dthuộc dâyBC (D khácB vàC). Tia ADcắt cung nhỏBC tạiE, tiaAC cắtBE tạiF.

1. Chứng minh tứ giác F CDE nội tiếp.

2. Chứng minh DA·DE=DB·DC.

3. Chứng minhCF D\=\OCD. GọiIlà tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácF CDE, chứng minhIClà tiếp tuyến của đường tròn O

.

4. Cho biếtDF =R, chứng minhtan\AF B= 2.

Giải phương trìnhx²+ 4x+ 7 = x+ 4√ x²+ 7.

(33)

Câu 1. (2,5 điểm) ChoA=

√x

√x−5− 10√ x

x−25− 5

√x+ 5, vớix≥0,x6= 25.

1. Rút gọn biểu thứcA.

2. Tính giá trị củaAkhi x= 9.

3. Tìm xđểA < 1 3. Câu 2. (2,5 điểm)

Một đội xe theo kế hoạch chở hết140 tấn hàng trong một số này quy định. Do mỗi mày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành sớm hơn thời gian quy định1 ngày và chở thêm được10tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

:y=x² và đường thẳng(d) :y= 2x−m²+ 9.

1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol P

và đường thẳng(d)khi m= 1.

2. Tìm mđể đường thẳng(d)cắt parabol P

tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Cho đường tròn tâmO, đường kínhAB= 2R. Gọid₁ vàd₂ lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn O tại hai điểmAvàB. GọiIlà trung điểm củaOAvàElà điểm thuộc đường tròn O

(Ekhông trùng vớiAvàB). Đường thẳngdđi qua điểmE và vuông góc vớiEI cắt hai đường thẳngd₁,d₂lần lượt tạiM,N.

1. Chứng minh AM EI là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh EN I[ =EBI[ vàM IN\ = 90^◦ . 3. Chứng minh AM·BN =AI·BI.

4. GọiF là điểm chính giữa cungABkhông chứaEcủa đường tròn O

. Hãy tính diện tích của tam giácM IN theo Rkhi ba điểmE,I, F thẳng hàng.

Vớix >0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM = 4x²−3x+ 1

4x+ 2011.

(34)

Câu 1. (2,5 điểm) 1. Cho biểu thứcA=

√x+ 4

√x+ 2. Tính giá trị của biểu thức khix= 36.

2. Rút gọn biểu thứcB=

√x

√x+ 4 + 4

√x−4

!

: x+ 16

√x+ 2 (vớix≥0,x6= 16).

3. Với các biểu thứcA vàB nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên củaxđể giá trị của biểu thứcB· A−1 là số nguyên.

Hai người cùng làm chung một công việc trong 12

5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

1. Giải hệ phương trình:





 2 x+1

y = 2 6

x−2 y = 1 2. Cho phương trìnhx²− 4m−1

x+ 3m²−2m= 0(ẩnx). Tìmmđể phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ thỏa mãn điều kiệnx²₁+x²₂= 7.

có đường kínhAB. Bán kínhCOvuông góc vớiAB,M là điểm bất kỳ trên cung nhỏAC (M khácAvàM khácC),BM cắtAC tạiH. Gọi Klà hình chiếu củaH trênAB.

1. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh ACM\ =ACK.\

3. Trên đoạn thẳng BM lấy điểmE sao cho BE =AM. Chứng minh tam giácECM là tam giác vuông cân tại C.

4. Gọidlà tiếp tuyến của đường tròn tại O

tại điểmA. ChoP là một điểm nằm trêndsao cho hai điểmP,C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ ABvà AP·M B

M A =R. Chứng minh đường thẳngP B đi qua trung điểm của đoạn thẳngHK.

Vớix,y là các số dương thỏa mãn điều kiệnx≥2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM = x²+y² .

(35)

Vớix >0, cho hai biểu thứcA= 2 +√

√ x

x vàB=

√x−1

√x +2√ x+ 1 x+√

x. 1. Tính giá trị biểu thứcAkhi x= 64.

2. Rút gọn biểu thứcB.

3. Tínhxđể A B > 3

2. Câu 2. (2,0 điểm)

Quãng đường từAđếnBdài90 km. Một người đi xe máy từAđếnB. Khi đếnB, người đó nghỉ30phút rồi quay trở vềA với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở vềA là5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từA đếnB.







3 x+ 1

+ 2 x+ 2y

= 4 4 x+ 1

−2 x+ 2y

= 9 2. Cho parabol P

:y= 1

2x²và đường thẳng(d) :y=mx−1

2m²+m+ 1.

a) Vớim= 1, xác định tọa độ giao điểm củaA,B của (d)và P . b) Tìm các giá trị của mđể(d)cắt P

tại hai điểm phân biệt có hoành độx1, x2 sao cho x1−x2

= 2.

và điểmAnằm bên ngoài O

. Kẻ hai tiếp tuyếnAM,AN với đường tròn O

. Một đường thẳngdđi quaAcắt đường tròn O

tại hai điểmB,C (AB < AC,dkhông đi qua tâmO).

1. Chứng minh tứ giác AM ON nội tiếp.

2. Chứng minh AN²=AB·AC. Tính độ dài đoạn thẳngBC khi AB= 4 cm,AN = 6 cm.

3. Gọi Ilà trung điểmBC. Đường thẳng N I cắt đường tròn O

tại điểm thứ hai T. Chứng minhM T kAC.

4. Hai tiếp tuyến của đường tròn O

tại B vàC cắt nhau tạiK. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi dthay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài.

(36)

1. Tính giá trị của biểu thức A=

√x+ 1

√x−1 khix= 9.

2. Cho biểu thứcP = x−2 x+ 2√

x+ 1

√x+ 2

!

·

√x−1

√x+ 1, vớix >0,x6= 1.

a) Chứng minh rằngP =

√x+ 1

√x . b) Tìm các giá trị của xđể2P = 2√

x+ 5.

Một phân xưởng theo kế hoạch phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?





 4

x+y + 1 y−1 = 5 1

x+y − 2

y−1 =−1

2. Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng(d) :y=−x+ 6và parabol P

:y=x². a) Tìm tọa độ giao điểm của(d)và P

. b) Gọi A,B là giao điểm của(d)và P

. Tính diện tích của tam giácAOB.

có đường kính AB cố định. Vẽ đường kínhM N của đường tròn O;R

(M khác A, M khácB). Tiếp tuyến của đường tròn O;R

cắt các đường thẳngAM,AN lần lượt tại các điểmQ,P. 1. Chứng minh tứ giác AM BN là hình chữ nhật.

2. Chứng minh 4điểmM,N,P, Qcùng thuộc một đường tròn.

3. Gọi E là trung điểm củaBQ. Đường thẳng vuông góc vớiOE tại O cắtP Qtại F. Chứng minhF là trung điểm củaBP vàM EkN F.

4. Khi đường kínhM N quay quanh tâmO và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kínhM N để tứ giácM N P Qcó diện tích nhỏ nhất.

(37)

Cho hai biểu thứcP = x+ 3

√x−2 vàQ=

√x−1

√x+ 2 +5√ x−2

x−4 , với x >0,x6= 4.

1. Tính giá trị biểu thứcP khix= 9.

2. Rút gọn biểu thứcQ.

3. Tìm giá trị củaxđể P

Q đạt giá trị nhỏ nhất.

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 kmtrên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là2 km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng1 giờ.







2 x+y +√

x+ 1 = 4 x+y

−3√

x+ 1 =−5 2. Cho phương trìnhx²− m+ 5

x+ 3m+ 6 = 0(xlà ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.

b) Tìmmđể phương trình có hai nghiệmx1,x2là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng5.

Cho nửa đường tròn tâmO có đường kính AB. Lấy điểmC trên đoạn AO(C khác A, C khácO). Đường thẳng đi quaCvà vuông góc vớiABcắt nửa đường tròn tại tạiK. GọiM là điểm bất kì trên cungKB (M khácK,M khácB). Đường thẳng CK cắt các đường thẳngAM,BM lần lượt tạiH vàD. Đường thẳng BHcắt nửa đường tròn tại điểm thứ haiN.

1. Chứng minh tứ giác ACM Dlà tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh CA·CB=CH·CD.

3. Chứng minh ba điểmA,N,D thẳng hàng và tiếp tuyến tạiN của đường tròn đi qua trung điểm củaDH.

(38)

Cho hai biểu thứcA= 7

√x+ 8 vàB=

√x

√x−3+2√ x−24

x−9 , vớix≥0,x6= 9.

1. Tính giá trị biểu thứcAkhi x= 25.

2. Chứng minh rằngB=

√x+ 8

√x+ 3.

3. Tìm xđể biểu thức P=A·B có giá trị là số nguyên.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích720 m². Nếu tăng chiều dài thêm10 mvà giảm chiều rộng6 mthì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.





 3x

x−1 − 2 y+ 2 = 4 2x

x−1 − 1 y+ 2 = 5

2. Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho đường thẳng (d) :y= 3x+m²−1và parabol P

:y=x². a) Chứng minh(d)luôn cắt P

tại hai điểm phân biệt với mọim.

b) Gọi x1,x2là hoành độ các giao điểm của (d)và P

. Tìmmđể x1+ 1

x2+ 1

= 1.

và một điểmAnằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyếnABvới đường tròn O

(B là tiếp điểm) và đường kínhBC. Trên đoạnOC lấy điểmI (IkhácC,I khácO). Đường thẳngAI kéo dài cắt O

tại hai điểm D vàE (D nằm giữaA vàE). GọiH là trung điểm đoạnDE.

1. Chứng minh bốn điểm A,B,O,H cùng nằm trên một đường tròn.

2. Chứng minh AB AE =BD

BE.

3. Đường thẳngdđi qua điểmEsong song vớiOA,dcắtBC tại điểmK. Chứng minhHK song song vớiDC. 4. TiaCDcắtAOtại P, tiaEO cắtBP tại F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.

Với các số thựcx,y thỏa mãnx−√

x+ 6 =√

y+ 6−y.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thứcP =x+y.

(39)

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thứcA=

√x+ 2

√x−5 vàB= 3

√x+ 5+20−2√ x

x−25 , vớix≥0,x6= 25.

2. Chứng minh rằngB= 1

√x−5.

3. Tìm tất cả các giá trị củaxđểA=B· x−4

.

Một xe ôtô và một xe máy cùng khởi hành từAđể đi đếnB với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đườngAB dài120 km. Do vận tốc xe ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/hnên xe ôtô đến B sớm hơn xe máy 36phút. Tính vận tốc của mỗi xe.







√x+ 2√

y−1 = 5 4√

x−√

y−1 = 2

2. Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho đường thẳng (d) :y=mx+ 5.

a) Chứng minh rằng đường thẳng(d)luôn đi qua điểmA 0; 5

với mọi giá trị củam.

b) Tìm tất cả các giá trị củamđể đường thẳng(d)cắt parabol P

:y =x²tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt làx1,x2 (vớix1< x2) sao cho|x1|>|x2|.

ngoại tiếp tam giácABC. GọiM vàN lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏABvà cung nhỏ BC. Hai dâyAN vàCM cắt nhau tại điểmI. Dây M N cắt các cạnh ABvàBC lần lượt tại các điểm H vàK.

1. Chứng minh bốn điểm C, N,K,I cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh N B²=N K·N M.

3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

4. GọiP,Qlần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giácM BK, tam giácM CKvàE là trung điểm của đoạnP Q. Vẽ đường kínhN Dcủa đường tròn O

. Chứng minh ba điểmD,E,K thẳng hàng.

(40)

√x+ 4

√x−1 vàB= 3√ x+ 1 x+ 2√

x−3 − 2

√x+ 3, vớix≥0,x6= 1.

2. Chứng minh rằngB= 1

√x−1. 3. Tìm tất cả các giá trị củaxđể A

B ≥ x 4 + 5.

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng28mét và độ dài đường chéo bằng10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.







4x− |y+ 2|= 3 x+ 2|y+ 2|= 3

2. Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho đường thẳng (d) :y= (m+ 2)x+ 3 và P

:y=x². a) Chứng minh rằng(d)luôn cắt P

tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả các giá trị củamđể(d)cắt P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.

Cho đường tròn(O;R)với dây cung ABkhông đi qua tâm. Lấy điểmS là một điểm bất kỳ trên tia đối của tia AB (S khácA). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyếnSC,SD với đường tròn(O;R)sao cho điểmC nằm trên cung nhỏ AB(C,D là các tiếp điểm). GọiH là trung điểm của đoạn thẳngAB.

1. Chứng minh năm điểmC,D,H,O,S thuộc đường tròn đường kínhSO.

2. KhiSO= 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SDtheo Rvà tính số đoCSD.[

3. Đường thẳng đi qua điểmA và song song với đường thẳngSC, cắt các đoạn thẳng CD tại điểmK. Chứng minh tứ giácADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳngBKđi qua trung điểm của đoạn thẳngSC.

4. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳngBD vàF là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD.

Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểmF luôn thuộc một đường tròn cố định.

(41)

Cho hai biểu thứcA= 4 (√ x+ 1)

25−x vàB =

15−√ x x−25 + 2

√x+ 5

:

√x+ 1

√x−5, với x≥0,x6= 25.

2. Rút gọn biểu thứcB.

3. Tìm tất cả các giá trị nguyên củaxđể biểu thứcP =A·B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc phương trình:

Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì sau15ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong5ngày thì cả hai đội hoàn thành được25%công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới làm xong công việc?

2. Một bồn nước inox có dạng như một hình trụ với chiều cao1,75 mvà diện tích đáy là0,32 m². Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

1. Giải phương trình: x⁴−7x²−18 = 0

2. Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho đường thẳng (d) :y= 2mx−m²+ 1và P

:y=x². a) Chứng minh rằng (d)luôn cắt P

tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 1

x₁ + 1

x₂ =− 2 x₁x₂ + 1.

Cho tam giácABC có ba góc nhọn(AB < AC)nội tiếp đường tròn(O). Hai đường caoBE vàCF của tam giác ABC cắt nhau tại điểmH.

1. Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh đường thẳngOAvuông góc với đường thẳngEF.

3. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AOcắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng

(42)

√x+ 1

√x+ 2 vàB= 3

√x−1−

√x+ 5

x−1 , vớix≥0,x6= 1.

2. Chứng minh B= 2

√x+ 1.

3. Tìm tất cả giá trị củaxđể biểu thứcP = 2A·B+√

xđạt giá trị nhỏ nhất.

1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc phương trình:

Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài3 km. Buổi sáng, An đi bộ từ nhà An đến nhà Bình. Buổi chiều cùng ngày, An đi xe đạp từ nhà Bình về nhà An trên cùng một quãng đường đó với vận tốc lớn hơn vận tốc đi bộ của An là9 km/h. Tính vận tốc đi bộ của An, biết rằng thời gian đi buổi chiều ít hơn thời gian đi buổi sáng là45phút. (Giả định rằng An đi bộ với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường đó.)

2. Một quả bóng bàn có dạng một hình cầu có bán kính bằng 2 cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng bàn đó (lấyπ≈3,14).











2x+ 3 y−1 = 5 4x− 1

y−1 = 3

2. Trong mặt phẳng toạ độOxy, xét đường thẳng(d) :y=mx+ 4vớim6= 0.

a) GọiA là giao điểm của đường thẳng(d)với trụcOy. Tìm tọa độ điểmA.

b) Tìm tất cả các giá trị củamđể(d)cắt trục Oxtại điểmB sao cho tam giácOAB là tam giác cân.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. GọiH vàK lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểmEđến các đường thẳng ABvàBC.

1. Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh BH·BA=BK·BC.

3. Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm Cđến đường thẳngAB vàI là trung điểm của đoạn thẳngEF. Chứng minh ba điểmH,I,Klà ba điểm thẳng hàng.