Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc Gia môn Toán năm 2022 - Sở GD&ĐT Hà Nam

http://thuvientoan.net/

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA HÀ NAM Năm học: 2021 – 2022

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Bài 1. (4,0 điểm)

Cho dãy số

 

xn thỏa mãn

1

2 *

1

2033

9 .

9 11 8,

n 2 n n

x

x_ x x n

 



     

 

a) Chứng minh rằng dãy số

 

xn là dãy số tăng.

b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt

1

1 .

9 10

n n

k k

u  _ x



 ^{Tính limun.} Bài 2. (5,0 điểm)

Cho hàm số f :^*, thỏa mãn ^{f x}



^{ f y}

  

^{ x f y}

 

^{,x y, *.}

a) Chứng minh rằng ^{f x}

 

^x,  ^x ^*.

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện nêu trên.

Bài 3. (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

 

^{O , có} ABAC. Tiếp tuyến tại B C, của đường tròn

 

O cắt nhau tại P. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CA CB, . Đường thẳng qua P song song với AO cắt OM ON, lần lượt tại K và L.

a) Gọi J là trực tâm của tam giác OKL. Chứng minh rằng đường thẳng AP đi qua trung điểm của OJ.

b) Gọi S là giao điểm thứ hai khác A của đường tròn

 

^{O là} S. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN tiếp xúc với đường tròn

 

^{O .}

Bài 4. (5,0 điểm)

Với X là tập hợp các số thực, kí hiệu ^{S X}

 

là tổng các phần tử thuộc tập hợp X. Một tập hợp A gồm các số nguyên dương được gọi là tập hợp “nguyên tố” nếu với mọi tập con B khác rỗng của tập hợp A thì

   

 

gcd S A S B; 1. Trong đó ^gcd



^{a b;}



là ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a b, . a) Tìm một tập hợp “nguyên tố” gồm 6 phần tử.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với mỗi n tồn tại a b,  để tập hợp

     



^{2, 2 2,..., 2}



A ab a b anb là tập hợp nguyên tố.

---HẾT--- Đề thi gồm 1 trang

http://thuvientoan.net/

LỜI GIẢI CHỌN ĐỘI TUYỂN HÀ NAM NĂM 2022 Bài 1. (4,0 điểm)

Cho dãy số

 

xn thỏa mãn

1

2 *

1

2033

9 .

9 11 8,

n 2 n n

x

x_ x x n

 



     

 

a) Chứng minh rằng dãy số

 

xn là dãy số tăng.

b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt

1

1 .

9 10

n n

k k

u  _ x



 ^{Tính limun.} Lời giải

a) Ta có: 1

 

²

1 3 4 0.

n n 2 n

x_ x  x   Mà ₁ ⁴

x 3 nên ⁴

n 3

x  từ đây dễ dàng suy ra x_n1x_n0.

Hay

 

xn là dãy số tăng.

b) Giả sử

 

xn bị chặn. Khi đó lim ⁴.

n 3

x  L Cho n , ta được:

9 2 4

11 8 ,

2 3

L L  L  L vô lí.

Do đó limx_n .

Ta có: ¹

1

1

9 10 12 16 12 16

k k

k k k

x x

x x x





 

   với k^*.

Suy ra: ^{1 1}

1 1 1

1 .

9 10 12 16 12 16

n

n n

k k n

x u x

x x x



 

  

  



Vậy lim ¹ .

n 2021

u 

Bài 2. (5,0 điểm)

Cho hàm số f :^*, thỏa mãn ^{f x}



^{ f y}

  

^{ x f y}

 

^{,x y, *.}

a) Chứng minh rằng ^{f x}

 

^x,  ^x ^*.

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện nêu trên.

Lời giải a) Giả sử tồn tại a^* sao cho ^{f a}

 

^a.

Thay ^x ^{a f a}

 

^{, y}^a vào phương trình đã cho, ta được:

http://thuvientoan.net/

     

^,

f a  a f a  f a a vô lí.

Vậy ^{f x}

 

^x, ^x ^*.

b) Ta chứng minh ^{f x}

 

^{0,  x *.}

Giả sử tồn tại a^* sao cho ^{f a}

 

^0.

Thay ^x ^{f a}

 

^{, y}^a vào phương trình đã cho, ta được:



²

  

^0.

f  f a  Mà ^{f x}

 

^{x, x * nên 0 f}



^{2f a}

  

^{2f a}

 

^{0, vô lí.}

Do đó ^{f x}

 

^0,  ^x ^*. Từ đây suy ra:

: * ,

f   thỏa mãn ^{f x}



^{ f y}

  

^{ x f y}

 

^{, x y, *.}

Theo nguyên lí cực hạn tồn tại m sao cho ^m ^{f t}

 

^{min f x}

 

với t^*. Với mọi xm thì x m x₀^*, ta có:

  

0

 

0

  

0

 

0 .

f x  f x m  f x  f t x  f t x  m x

Do đó ^{f x}

 

^x,  ^{x m.} Nếu m0 thì ^{f x}

 

 ^{x 0} với mọi số tự nhiên x, vô lí. Nên m1.

Từ đây ta đi đến kết luận:

 

, 1

( ) , 1; 2;...;

x x m

f x k x m

   

    với km.

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy

 

, 1

( ) , 1; 2;...;

x x m

f x k x m

   

    với km là các hàm số cần tìm.

Bài 3. (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

 

^{O , có} ABAC. Tiếp tuyến tại B C, của đường tròn

 

O cắt nhau tại P. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CA CB, . Đường thẳng qua P song song với AO cắt OM ON, lần lượt tại K và L.

a) Gọi J là trực tâm của tam giác OKL. Chứng minh rằng đường thẳng AP đi qua trung điểm của OJ.

b) Gọi S là giao điểm thứ hai khác A của đường tròn

 

^{O là} S. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN tiếp xúc với đường tròn

 

^{O .}

Lời giải Đang cập nhật

http://thuvientoan.net/

Bài 4. (5,0 điểm)

Với X là tập hợp các số thực, kí hiệu ^{S X}

 

là tổng các phần tử thuộc tập hợp X. Một tập hợp A gồm các số nguyên dương được gọi là tập hợp “nguyên tố” nếu với mọi tập con B khác rỗng của tập hợp A thì

   

 

gcd S A S B; 1. Trong đó ^gcd



^{a b;}



là ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a b, . a) Tìm một tập hợp “nguyên tố” gồm 6 phần tử.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với mỗi n tồn tại a b,  để tập hợp

     



^{2, 2 2,..., 2}



A ab a b anb là tập hợp nguyên tố.

Lời giải Đang cập nhật