Bài Tập Bất đẳng Thức

(1)

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SUY RỘNG

Lời mở đầu

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổ thông, song nó lại luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo của những người yêu toán. Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kì thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi hay các kì thi Olympic.

Có rất nhiều phương pháp chứngminh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng .Ngay cả khi áp dụng cùng một phương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoat của từng người sử dụng. Do vậy , khó có thể nói rằng một phương pháp chứngminh bất đẳng thức nào đó đă chiếm vị trí độc tôn trong toán học .

Nhưng khi nói về những bất đẳng thức cơ bản ,chúng ta phải nhắc tới bất đẳng thức Cô si . Đây là bất đẳng thức vô cùng quan trọng và rất thiết thực trong chương trình Toán học phổ thông.

Bất đẳng thức Cô siđược áp dụng để chứng minh nhiều bài toán ,từ đơn giản đến phức tạp . Các em học sinh Trung học cơ sở cũng có thể hiểu và

vận dụng vào các bài toán hai biến .Nhưng , cũng có những bài toán trở thành những thách thức lớn trong giới chuyên môn.

Trong khuôn khổ của bài tập này,em không có tham vọng trình bày tất cả những vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cô si, chỉ xin đưa ra một số cách chứng minh và những bất đẳng thức suy rộng của nó .

Hi vọng vốn kiến thức nhỏ bé này sẽ đem lại chút kiến thức bổ ích cho các bạn trong lớp ,nhất là trong thời điểm chúng ta sắp xuống trường phổ thông thực tập.

Em xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư,Tiến sĩ Nguyễn Minh Tuấn đã giảng dạy nhiệt tình cho chúng em về chuyên đề Bất đẳng thức ,giúp em học hỏi thêm nhiều kiến thức và tự tin hoàn thành bài tập này .

(2)

PHẦN NỘI DUNG

§1. Bất đẳng thứcCôsi.

Trong mục này chúng ta giới thiệu bất đẳng thức Côsi và một số ví dụ minh họa.

Trước hết chúng ta xét trường hợp đơn giản n2

1. Với a,bR :a b ab 2

2 2

.

Giải.

b ab a  

2

2 2

0 ) ( 0 2

2 ² ² ²

2

2         

a b ab a b ab a b .(Đúng).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

2. Với a b ab

b

a  

0: 2

, .

Giải

. 0 ) (

2 ) ( ) 2 (

2 2

2     



 

b a ab

b a

b ab

a (Đúng).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  ab. Ví dụ 1. Với a,b,c0, chứng minh rằng

3

3 c abc

b a  

(I.1.1) Giải

(I.1.1) abc3³ abc  abc³ abc  4³ abc

Ta có abc³ abc 2 ab2 c³ abc 23

2

2 ab bac



4 abc3

 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(3)







3 3

2

2 ab c abc

abc c

b a



c b a 

 .

Từ bất đẳng thức (I.1.1) ta thu được các bất đẳng thức sau :

Với a,b,c0, ta có:

a) a b c abc

 

 3

3 )

( .

b) a b c abc 3

3 3 3

.

Ví dụ 2.Với a₁,a₂,...,a_nlà các số thực không âm, chứng minh rằng

n n

i i n

i

i a

n a

1

1 1

) 1 (





 

 (I.1.2)

Trong đó







n 

i

n

i a a a

a

1

2

1 ...

n n

i

i a a a

a ₁. ₂...

1





Giải Cách 1. (Dùng phương pháp quy nạp)

2 ,

1

n . (I.1.2) hiển nhiên đúng.

Giả sử (I.1.2) đúng với nk(k 2). Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

1

k

n .

Ta có

1 1 )

( 1

1 ¹ ₁ ¹

1

1 



 

 ^ ^ ^

 



^a ^k ^k



_k^a ^a

S k

k k

i k i

i i k

Theo giả thiết quy nạp thu được

1 )

( ₁

1

1 



 ^ ^





k a a k S

k k k

i i k

(4)

Để chứngminh bất đẳng thức đúng với nk1 ta cần chứng minh

1 1 1

1 ( )

1 ) (

 













k k

i i k

k k

i i

k a a a k

Kí hiệu ¹ ₁

1

1 ( ) , ^ _



 



^k ^k ^k  ^k

i i

k a  a



Ta thu được







 ( 1). .

. ^k ¹ ^k ¹ k ^k

k ^  ^  

0 ) (

) (

.    

k^k    ^k ^k



⁽ ^... ⁾



⁰

)

(   ¹ ²   ¹ 

   k^k  ^k^ ^k^  ^k^



⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^... ⁽ ⁾



⁰

)

(     ¹    ¹ 

   ^k ^k ^k ^k^ ^k ^k^



⁽ ⁾ ⁽ ^. ^... ⁾ ^...



⁰

)

(  ² ¹  ²  ¹  ²  ³   ²   ¹ 

   ^k^ ^k^  ^k^  ^k^ ^k^  ^k^ ^k^

Bất đẳng thức đúng vì , 0. Vậy (I.1.2) được chứng minh.

Cách 2. (Dùng quy nạp kiểuCôsi).

2 ,

1

n . (I.1.2) hiển nhiên đúng.

Giả sử (I.1.2) đúng với n số không âm ta chứng minh (I.1.2) đúng với 2n số không âm.



 



 



 



 



n

i i n n

i i n

i

i a

a n a n

n ₁ ₁

2

1

1 1

2 1 2

1



 n

i

ai

n

2

2 1

1 



 



 



 

 



) (

) 2 (

1

1 1

n

i i n n

i

i a

a



 n

i

ai

n

2

2 1

1 ⁿ _n

i

ai ² 2 1

1

) (





 .

Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với n2^k.

Ta chứng minh (I.1.2) đúng với nk thìđúng với nk1.Thật vậy:

1 1 1 1

) 1 (

1 ^ ^ _





^

 ^k

k i k

i a

k a

(5)

1 1 1

1 1

1

) ( )

( ^













 



^ ^

 ^k ^k

i i k

k

i i k

i

i a k a

a

Theo giả thiết quy nạp



 ^ ^











¹ ¹¹

1 1

1

)

( ^k

k

i i k

i

i a

a ^k ^k

k

i i k

i

i a

a k

1 1 1 1

1 1

1

) ) (

( ^











  ^ ^ 











¹ ¹¹

1 1

1

)

( ^k

k

i i k

i

i a

a ¹

1 1

1

)

( ^





^k ^k i

ai

k . (đpcm).

Cỏch 3: ( Phương pháp hàm lồi ) Xét hàm số f(x) = lnx; với x > 0 Ta có f’(x) =1/x; f’’(x) = - ¹₂

x < 0. Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0 Theo bất đẳng thức Jenxen, ta có

f 



 



   n

x x

x₁ ₂ ... _n

 n

1(f(x₁) + f(x₂) + . . . + f(x_n);

 ln n x x₁ ... _n 

n x x ... ln _n ln ₁ 

Do y = lnx đồng biến, suy ra

n x x

x₁ ₂ ... _n

 ⁿ x₁.x₂....xn , x_i > 0, i = 1, n

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ = . . . = x_n Xét n số a₁, a₂, ... , a_n  0 chỉ có 2 khả năng

i > nếu a_i > 0  i = 1, n theo (5) Ta có

n a a

a₁  ₂ ... _n  ⁿ a₁.a₂...a_n (6)

ii) Nếu tồn tại a_k = 0, thì hiển nhiên (5) đúng và (6) đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

(6)

Ví dụ 3. Cho a_i 0(i 1,n);_i(i1,n) là các số hữu tỉ dương; 1

1





 n

i

i ; chứng minh rằng

n

n n

na a a a

a

a   ^ ^ ^

₁ ₁  ₂ ₂ ...  ₁¹ ₂²... . (I.1.3) Giải

Vì _i(i1,n) là các số hữu tỉ dương và 1

1





 n

i

i nên ta có thể viết

) , 1 (i n N

P_i

i  



Suy ra















N P

n i P

n

i i i

1

) , 1 ( , 0

Áp dụng bất đẳng thứcCôsi ta có

n n

n

P P

n P P n

P

n n

n P

P

a a P a

P P

a a

a a a a

a _...

2 1 2

1

2 2

2 1 1

1 ₁ ₂ ₁ ₂

2 1

... ...

...

... _ _

 



          

 



N P n N P N P n n

n

a a a N a

a P N a P N

P ... ...

2 1

2 1 2

2 1

1    



₁a₁₂a₂ ..._na_n a₁^¹a^₂²...a_n^ⁿ.(đpcm).

Ví dụ 4. Với a_i 0(i1,n);m_i(i1,n) là các số hữu tỉ dương; chứng minh rằng

n n

m m

n m m n

n

n a a a

m m

m

a m a

m a

m _ _ _

 



 _...

2 1 2

1 2 2 1

1 ₁ ₂ ₁ ₂

.. ...

... (I.1.4)

Giải

Đặt i

n i

m m

m

m 



 ₂ ...

2

; từ giả thiết của bài toán ta suy ra _i(i1,n) là các số hữu tỉ dương và 1

1





 n

i

i . Khi đó

(I.1.4)  ₁a₁₂a₂ ..._na_n a₁^¹a^₂²...a_n^ⁿ. (đúng).

( theo bất đẳng thức (I.1.3).

(7)

  ^ ^ 











¹ ¹¹

1 1

1

)

( ^k

k

i i k

i

i a

a ¹

1 1

1

)

( ^





^k ^k i

ai

k . (đpcm).

§2.Các dạng trung bình và các bất đẳng thức liên quan .

Ta gọi ^



 1

2 ) (a b

là trung bình bậc  . Một số trường hợp đặc biệt

: 2 1 ab



 gọi là trung bình cộng.

ab gọi là trung bình nhân.

b a

ab

 

 2

:

 1 gọi là trung bình điều hòa.

Trong mục này chúng ta quan tâm tới các bất đẳng thức được chứng minh nhờ các tính chất của các dạng trung bình như;

1. Trung bình nhân.

2. Trung bình căn.

3. Trung bình điều hòa.

4. Mối liên hệ giữa các dạng trung bình.

I. Trung bình nhân.

Chúng ta có các kết quả cơ bản sau:

Ví dụ 1. Với a_i,b_i(i 1,n) là những số thực dương.Chứng minh rằng

n n

i

i i n

n

i i n

n

i

i b a b

a

1

1 1

1

) (

) ( )

( 



 



 





 



  

(I.2.1) Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

 







n n

i i i

i

b a P a

1

)

( ( ) 1

1

 





n n

i i i

i

b a

b .

Áp dụng bất đẳng thứcCôsi ta thu được





 

 ⁿ

i i i

i

b a

a P n

1



 

n

i i i

i

b a

a n 1

1

(8)

1

P . (đpcm)

Ví dụ 2.Với a_ij(i1,n,j1,m)là các số thực dương, chứng minh rằng

n n

i m

j ij m n

j n

i

ij a

a

1

1 1

1

1 1

) (

)

( 



 







 

   

(I.2.2) Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

1 ) (

1





 





 m n

j

m

j ij ij

a P a

a n a P n

m

j n

i m

j ij

ij 1

1

1 1

1









 



1 1 1

1 1

1

1 





 





 n

i n

i m

j ij

ij m

j

a n a

.(đpcm).

Ví dụ 3.(Bất đẳng thứcCôsi dạng tích).

Với a_i(i 1,n) là các số thực dương, chứng minh rằng

n n n

i i n

i

i a

a 



 



 







  1

1 1

) ( 1 ) 1

( (I.2.3)

Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với

n n

i i n n

i

i a

a

1

1 1

1

) ( 1 ) 1

(



 



 



 



 

1 1 )

( 1 )

( 1

1

1 1

 

 





 



n n

i i

n i

i a

a P a



   

  ⁿ

i i

i n

i i a

a n a P n

1

1 1

. 1 1 1

1









 n

n i

P (đpcm).

(9)

Ví dụ 4.Với a_i,b_i(i1,n)là những số thực dương,chứng minh rằng

n n n

i i n

n

i i n

i

i b a b

a 

















 



  

1

1 1

) ( ) ( 1 ) 1

( (I.2.4)

Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với

n n

i i n n

i

i b a

a

1

1 1

1

) ( 1 ) 1

(



 



 



 



   ⁿ ⁿ

i

bi 1

1

) (







1 1 )

( 1 )

( 1

1 1

 

 



 



 



  



n i i n i

n

i i i

n i i

i a b

b b

a a b

P a



    



  ⁿ

i i i

i n

i i i a b

a n

b a P n

1

1 1

1



  

 ⁿ

i i i

i

b a

b n 11 1

. 1 1 1

1









 n

n i

P (đpcm).

Ví dụ 5.(Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacopski)

Với a_i,b_i,c_i(i1,m) là những số thực dương, chứng minh rằng



  





 ^m

i

m i m i m

m

i i m

i

i b a b

a

1 1

1

) (

) .(

1 (I.2.5.1)



   







 ^m

i

m i m i m i m

m

i i m

i

i b c a b c

a

1 1

) (

) .(

2 (I.2.5.2)

Giải Ta chứng minh bất đẳng thức (2.5.2)

Đặt A_i a_i^m,B_i b_i^m,C_i c_i^m

Suy ra A_i^m¹ a_i,B_i^m¹ b_i,C_i^m¹ c_i ta thu được (2.5.2) 





 m m

i

Ai 1

1

)

(





 m m

i

Bi 1

1

)

( ^m

m

i

i i i m

m

i

i A B C

C

1

1 1

1

) (

)

(

 







 

 







) (

1 m

i i i i

i

C B A

P A 









) (

1 m

i i i i

i

C B A

B ( ) 1

1

 





 m

i i i i

i

C B A

C

(10)

 







 m

i i i i

i

C B A

A P m

1

1 







 m

i i i i

i

C B A

B m ₁

1



  

m

i i i i

i

C B A

C m ₁

1



 P 1 1

1

 







 m

i i i i

i i i

C B A

m .(đpcm).

Bất đẳng thức (I.2.5.1) là trường hợp riêng của bất đẳng thức (I.2.5.2)

II. Trung bình căn.

Ta có tính chất: tổng trung bình căn lớn hơn hoặc bằng trung bình căn của tổng . Ví dụ 6. Với a_i,b_i(i 1,n) là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng

2 1 2 1 1

2

2 (



) (



)



  





 ⁿ

i i n

i

i b a b

a (I.2.6)

Giải Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n2



 ₁²

2

1 b

a a₂² b₂²  (a₁a₂)² (b₁b₂)²

Bình phương hai vế ta nhận được

2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2

2 2 2 2 1 2

1 b a b 2 (a b )(a b ) (a a ) (b b )

a          

 (a₁²b₁²)(a₂²b₂²) a₁a₂ b₁b₂

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2

1 )( ) ( )

(a b a b  a a bb



. 0 ) ( ₁ ₂  ₂ ₁ ² 

 ab a b Đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với nk

2 1 2 1 1

2

2 (



) (



)



  





 ^k

i i k

i

i b a b

a

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với nk1 . Ta có





^ 

 1

1

2 2 k

i

i b

a



 k 

i

i b

a

1

2

2 2

1 2

1 

 

 a_k b_k



^

 1 

1

2 2 k

i

i b

a  ²

1 2 1

) ( )

(

 



 ^k

i i k

i

i b

a  a_k²_₁b_k²_₁

(11)

 ¹ ²

1 2 1

1

) ( )

(

 

^







 ^k

i i k

i

i b

a .(đpcm).

Ví dụ 7. Với a_i,b_i(i 1,n) là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng

3 3

1 1 3

1 1

3 3 3

) ( )

(

 



  





 ⁿ

i n

i i n

i

i b a b

a (I.2.7)

Giải Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n2

3 3

2 1 3 2 1

3 3

2 3 2

3 3

1 3

1 b a b (a a ) (b b )

a       

Lập phương hai vế bất đẳng thức ta thu được

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

3 3 2

2 3