Chuyên đề tìm GTLN - GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - THCS.TOANMATH.com

(1)

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN

Bài 1: Tìm GTNN của: ^A⁼^{x x}

(

⁻³

)(

^x⁻⁴

)(

^x⁻⁷

)

Bài 2: Tìm GTNN của: ^B⁼

(

^x⁻¹

)(

^x⁻³

) (

^x²⁻⁴^x⁺⁵

)

Bài 3: Tìm min của: ^A⁼^{x x}

(

⁺²

)(

^x⁺⁴

)(

^x^{+ +}⁶

)

⁸

Bài 4: Tìm GTNN của: ^B^{= +}

(

^x ¹

)(

^x⁺²

)(

^x⁺³

)(

^x⁺⁴

)

Bài 5: Tìm GTNN của: ^A⁼

(

^x²^{+ −}^x ⁶

)(

^x²^{+ +}^x ²

)

Bài 6: Tìm GTNN của : ^C^{= −}

(

^x ¹

)(

^x⁺²

)(

^x⁺³

)(

^x⁺⁶

)

Bài 7: Tìm GTNN của: ^D⁼

(

²^x⁻¹

)(

^x⁺²

)(

^x⁺^{3 2}

)(

^x⁺¹

)

Bài 8: Tìm min của: ^C^{= +}

(

^x ¹

)(

^x⁺²

)(

^x⁺³

)(

^x^{+ +}⁴

)

²⁰¹¹

Bài 9: Tìm max của: ^E^{= + −}⁵

(

¹ ^{x x}

)(

⁺²

)(

^x⁺³

)(

^x⁺⁶

)

Bài 10: Tìm GTNN của: ^M ^{= −}

(

^x ¹

)(

^x⁺²

)(

^x⁺³

)(

^x⁺⁶

)

Bài 11: Tìm min của: ^D⁼

(

^x⁺¹

) (

^x² ⁻⁴

) (

^x^{+ +}⁵

)

²⁰¹⁴

Bài 12: Tìm min của: ^B= +

(

^{x a}

)(

x b x c x d+

)(

+

)(

+

)

+m với a+d = b+c Bài 13: Tìm GTNN của: C=x⁴−6x³+10x²−6x+9

HD:

(

⁴ ^{2.3 .}² ⁹ ²

) (

² ⁶ ⁹

) (

² ³

)

²

(

³

)

² ⁰

C= x − x x+ x + x − x+ = x − x + x−  Bài 14: Tìm GTNN của: C=x⁴−4x³+9x²−20x+22

HD: ^C⁼

(

^x⁴⁻⁴^x³⁺⁴^x²

) (

⁺⁵ ^x²⁻⁴^x^{+ +}⁴

)

²

Bài 15: Tìm GTNN của: B=x⁴−x²+2x+7

HD: ^B⁼

(

^x⁴⁻²^x²^{+ +}¹

) (

^x²⁺²^x^{+ +}¹

)

⁵

Bài 16: Tìm GTNN của: ^D⁼

(

^x⁺⁸

) (

⁴⁺ ^x⁺⁶

)

⁴

HD:

Đặt: ^x^{+ = =}⁷ ^y ^D⁼

(

^y⁺¹

) (

⁴⁺ ^y⁻¹

)

⁴ ⁼²^y⁴⁺¹²^y²^{+ }² ²

Bài 17: Tìm GTNN của :A=9x²−6x−4 3x− +1 6 HD:

Đặt: 3x− = = =1 t t² 9x²−6x+ = = − +1 E t² 4t 5 Bài 18: Tìm GTLN của: ^A⁼

(

²^x⁺¹

) (

²⁻ ³^x⁻²

)

²^{+ −}^x ¹¹

Bài 19: Tìm min của: ^A⁼

(

^x⁺²

) (

⁴⁺ ^x⁻²

)

⁴

Bài 20: Tìm min của: A x= +² 4y²− +4x 32y+2018 Bài 21: Tìm min của: A=3x²+ + −y² 4x y

Bài 22: Tìm min của: B=5x²+ +y² 2xy−12x−18 Bài 24: Tìm max của: B= −3x²−16y²−8xy+ +5x 2 Bài 25: Tìm min của: A=3x²+4y²+4xy+ −2x 4y+26 Bài 26: Tìm min của: 5x²+9y²−12xy+24x−48y+82

(2)

Bài 27: Tìm max của: A= − − + + +x² y² xy 2x 2y Bài 28: Tìm min của: ^A⁼

(

^x⁻³

) (

²⁺ ^x⁻¹

)

²

Bài 29: Tìm min của: ^B⁼²

(

^x⁺¹

)

²⁺³

(

^x⁺²

)

²⁻⁴

(

^x⁺³

)

²

Bài 30: Tìm max của: ^F ^{= −}^{2 3}

(

^x⁺¹

)

⁴⁻³

(

^x⁻⁵

)

⁴

Bài 31: Tìm min của: ^G⁼

(

^x⁺³

) (

⁴⁺ ^x⁻⁷

)

⁴

Bài 32: Tìm min của: H =x⁴−7x²+4x+25

Bài 33: Tìm min của: I =x⁴−6x³+11x²+12x+20

Bài 34: Tìm min của: K =x⁴−6x³+15x²−20x−15

Bài 35: Tìm min của: M =x⁴ −4x³+7x²−12x−18

Bài 36: Tìm max của :N= − −x² 4y²+ − +6x 8y 3 Bài 37: Tìm max của: P= −3x²−5y²+ +2x 7y−23 Bài 38: Tìm max cảu: Q= − −x² 5y²+4xy+12y+7 Bài 39: Tìm max cảu: Q= − −x² 5y²+4xy+12y+7 Bài 40: Tìm max của: R= −7x²−4y²−8xy+18x+9 Bài 41: Tìm max của: A= −5 2x²−4y²+4xy− −8x 12y Bài 42: Tìm max của: B= −2 5x²− −y² 4xy+2x

Bài 43: Tìm min của: C=a²+ab+b²−3x−3b+1989

Bài 44: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:

(

^x⁺¹

)(

^x⁺²

) (

² ^x^{+ }³

)

^m

Bài 45: Tìm GTNN của: A x= ²−2xy+2y²−4y+5 HD:

Ta có: ^{A x}⁼ ² ⁻²^{xy y}⁺ ² ⁺^y²⁻⁴^y^{+ + =}^{4 1}

(

^{x y}⁻

) (

²⁺ ^y⁻²

)

²⁺¹

Do:

(

^{x y}⁻

)

² ^^0,

(

^y⁻²

)

² ^⁰^{, Nên}^A⁼

(

^{x y}⁻

) (

²⁺ ^y⁻²

)

²^{+ }^{1 1}

Bài 46: Tìm min của: B=2x²+ +y² 2xy− +8x 2028 Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức: A=a⁴−2a³−4a+5

HD: ^A⁼^a²

(

^a²^{+ −}²

)

²^{a a}

(

²^{+ +}²

) (

^a²^{+ +}²

)

³⁼

(

^a²⁺²

)(

^a²⁻²^a^{+ + }¹

)

³ ³ dấu bằng khi a=1 Bài 48: Tìm GTNN của biểu thức : A x= −² 2xy+2y²+ −2x 10y+17

Bài 49: Tìm Min của: P=5x²−6x− −1 1

(3)

DẠNG 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm GTNN của: A x= −² 2xy+2y²+ −2x 10y+17

Bài 2: Tìm min của: B= − + − −x² xy y² 2x 2y Bài 3: Tìm min của: C= + + − −x² xy y² 3x 3y

Bài 4: Tìm min của: D= −x² 2xy+6y²−12x+2y+45 Bài 5: Tìm min của: E= − +x² xy 3y²− −2x 10y+20 Bài 6: Tìm max của: F= − +x² 2xy−4y²+ +2x 10y−3

Bài 7: Tìm min của: ^G⁼

(

^{x ay}⁻

)

²⁺⁶

(

^{x ay}⁻

)

⁺^x²⁺¹⁶^y²⁻⁸^ay⁺²^x⁻⁸^y⁺¹⁰

Bài 8: Tìm max của: H = − + − − +x² xy y² 2x 4y+11 Bài 9: Tìm min của: I= +x² 4xy+5y²− +6y 11 Bài 10: Tìm min của: K= + − + + +x² y² xy 3x 3y 20 Bài 11: Tìm min của: M= −x² 2xy+2y²−2y+1 Bài 12: Tìm min của: N = −x² 2xy+2y²−x Bài 13: Tìm min của: x²−2xy+3y²− +2x 1997 Bài 14: Tìm min của: Q= +x² 2y²−2xy+ −2x 10y Bài 15: Tìm min của: R= +x² 2y²+2xy−2y

Bài 16: Tìm min của: A=4x²+5y²−4xy−16y+32

Bài 17: Tìm min của: B= +x² 5y²+5z²−4xy−4yz− +4z 12 Bài 18: Tìm min của: C=5x²−12xy+9y²− +4x 4

Bài 19: Tìm max của: D= − − + + +x² y² xy 2x 2y Bài 20: Tìm min của: E= +x² 5y²−4xy+2y−3

Bài 21: Tìm GTNN của A a= ²+ab b+ ²−3a−3b+3 HD:

Ta có: ⁴^{P a}⁼ ² ⁻²^{ab b}⁺ ² ⁺³

(

^a²⁺^bh²

)

^{+ +}^{4 2}^ab⁻⁴^a⁻⁴^b ⁼

(

^{a b}⁻

)

²⁺³

(

^{a b}^{+ −}²

)

²^⁰

Bài 22: Tìm min của: ^G⁼^x²⁺^xy⁺^y²⁻³

(

^x⁺^y

)

⁺³

Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:x²+4y²+ − + − + =z² 2x 8y 6z 15 0 Bài 24: Tìm min của: A=2x²+ −y² 2xy− +2x 3

Bài 24: Tìm min của: B= −x² 2xy+2y²+ −2x 10y+17 Bài 25: Tìm min của: C= + + − −x² xy y² 3x 3y

Bài 26: Tìm min của: D=2x²+2xy+5y²− −8x 22y

Bài 27: Tìm min của: E=2x²+9y²−6xy− −6x 12y+2004 Bài 28: Tìm min của: F= −x² 2xy+6y²−12x+12y+45 Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : a²+ab+b²−3a−3b+3

HD:

( )

²

( )

²

2 2

3 3 3 4 3 2 0

P=a +ab b+ − a− b+ = P= a b− + a b+ −  Bài 30: Tìm min của: A x= +² 6y²+14z²−8yz+6zx−4xy

Bài 31: Tìm min của: B= +x² 2y²+3z²−2xy+2xz− − − +2x 2y 8z 2000

(4)

Bài 32: Tìm GTLN của biểu thức: T= −2x²−y²−4x+12y+4xy+2002 Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức: P=5x²+2y²−4xy−2x−4y+2023 Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức: M x= ²+2xy+2y²−2y−2

(5)

DẠNG 3: PHÂN THỨC Bài 1: Tìm min của: ² ₂

6 5 9

A= x x

− − Bài 2: Tìm min của: ₂ ¹

4 9 B= x x

− + Bài 3: Tìm max của: ₂ ³

5 1

C x x

= −

− +

Bài 4: Tìm min hoặc max của: ₂ ⁶ 2 3 D= x x

− + − Bài 5: Tìm min hoặc max của: ₂²

K 8

= x + Bài 6: Tìm min hoặc max của: ₂ ⁴

M 1

x x

= + + Bài 7: Tìm min hoặc max của:

2 2

3 8 6

2 1

x x

E x x

− +

= − + Bài 8: Tìm min hoặc max của:

2 2

4 1

x x

G x

− +

= Bài 9: Tìm min hoặc max của:

( )

2 2

4 6 1

2 1

x x

F

x

− +

= +

Bài 10: Tìm min hoặc max của:

(

¹⁰

)

²

H x x

= + Bài 11: Tìm min hoặc max của:

(

²⁰¹⁶

)

²

I x x

2 2

2 2000

x x

D x

− +

2

2 2015 2015

x x

E x

− +

(

²⁰⁰⁰

)

²

F x x

( )

2 2

1 2 1 x x

B x x

= − +

+ + Bài 16: Tìm min hoặc max của:

2 2

2x 4x 4

A x

+ +

2 2

2 2012

x x

B x

− +

= Bài 18: Tìm cả min và max của: ^{3 4}₂

1 K x

x

= − + Bài 19: Tìm min hoặc max của: ^{27 12}₂

9 M x

x

2 2

3 4 8

3

x x

N x

+ +

= +

Bài 21: Tìm min hoặc max của: ⁸ ₂ ³

4 1

P x x

(

²

)

2

2 1

1 x x

C x

= + + +

(6)

2 2

1 1 x x

N x

= + + + Bài 24: Tìm min hoặc max của: ²₂ ¹ 2 D x

x

= + + Bài 25: Tìm min hoặc max của: E ²^x₂ ¹

x

= + Bài 26: Tìm min hoặc max của: ²₂ ¹

2 F x

x

= − + Bài 27: Tìm min hoặc max của: ⁶₂ ⁸

1 G x

x

2 2

3 6 17

2 5

x x

Q x x

− +

= − +

2 2

2 16 41

8 22

x x

R x x

− +

= − +

6

4 3 2

27

3 6 9 9

A x

x x x x

= +

− + − +

6 2

512 8 B x

x

4 3 2

2

4 16 56 80 356

2 5

x x x x

G x x

+ + + +

= + +

Bài 33: Tìm min của:

2 2

1 1 H x

x

= − +

Bài 34: Tìm min hoặc max của: ₂⁸

3 2

I x

2

2 2 2010

P x

x x

2 2

2 6 5

2 1

x x

Q x x

− +

2 2

2x 4x 4

A x

+ +

= Bài 38: Tìm min hoặc max của: ²₂ ¹

2 B x

x

2 2

2 2 C x

x x

= +

2 2

2 3 2 3

x x

D x x

+ +

= − + Bài 41: Tìm min hoặc max của: ² ²

(

²

)

4 4 2 2

1

2 2

x y x x y

G x x y y

+ − +

= + + +

( )

4 2 2

1 1 H x

x

2 2

3 4

4 A x

x

2 2

3 2 3

1

x x

C x

− +

= +

(7)

2 2

3 6 17

3 5

x x

H x x

− +

= − +

2 2

2 16 71

8 22

x x

I x x

− +

= − +

2 2

4 1

x x

K x

− +

2 2

2 4 9

2 4

x x

N x x

+ +

2

4 1

P x

= x + Bài 50: Tìm min hoặc max của:

2 3

2 2 2

2 1999

3 2 : 3 2

x x x

Q x x x x x

− +

= − + − +

2 2

3 2 3

1

x x

A x

− +

= +

Bài 52: Tìm min hoặc max của: ⁶₂ ⁸ 1 B x

x

= − + Bài 53: Tìm min và max của: ²₂ ¹

2 C x

x

2 2

2 4 9

2 4

x x

D x x

+ +

= + + Bài 55: Tìm min hoặc max của: ⁸ ₂ ³

4 1

E x x

2 2

2 2 2 2

x x

F x x

− +

( )

4 2 2

1 1 G x

x

2 2

2 2 9

2 5

x xy y

H x xy y

− +

= + +

Bài 59: Tìm min và max của: ⁴₂ ³ 1 I x

x

= + + Bài 39: Tìm min

( )

2

2 2 1 2 P x

x

2 2

1 1 J x

x x

= +

− + Bài 61: Tìm min hoặc max của:

2 2

2 2 K x

x x

= +

+ + Bài 62: Tìm min hoặc max của: ⁴₂ ¹

3 M x

x

2 2

3 6 14

2 5

x x

N x

− +

= +

Bài 64: Tìm min hoặc max của: ¹²₂ ¹³ 2 3 P x

x x

= +

2

2 2

5 3

3 4

y xy

Q x xy y

= −

− +

(8)

2 2

4

3 4 5

x y

R x xy y

= −

− + Bài 67: Tìm min hoặc max của:

2 2

6 23 6 10

x x

A x x

− +

2

2 2

9 12 5

B y

x xy y

= − +

2 2

3 12 10 4 5

x x

C x x

− +

= − +

2

2 2

3

25 20 5

D y

x xy y

=− + −

( )

2 2

4 6 1

2

x x

E x

− +

= −

2 2

4 14 2 1

x x

F x x

+ −

2 2

4 6 3

2 3 2

x x

G x x

− +

= − +

2 2

3 2

9 6 2

x xy y

H x xy y

− +

= − +

2 2

4 22 19

4 4

x x

I x x

+ +

= + +

2 2

9 30 7

9 6 1

x x

K x x

+ −

= + +

2 2

5 2

2 10 7

x xy y

M x xy y

− +

= − +

2 2

22 58 73

4 4

x xy y

N x xy y

− +

= − +

2

2 2

8x 6xy

P x y

2 2

3 3 2 1

x x

Q x x

− +

2 2

x xy y R x xy y

+ +

= − + Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức:

2

4 2 1

x

x +x + , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x HD:

Ta có :

2

4 2

( ) 1

P x x

x x

= + + => ²

2

1 1

( ) x 1 3

P x = +x +  Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức:

2 2

1 ( 1) 2 1

x x

M x

x x

= + +  − + +

HD:

Ta có :

( )

2

2 2

2 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

x x x

M x x x x

+ + − + +

= = − +

+ + + +

(9)

Đặt ¹₁ t x =

+ , ta có:

2

2 1 1 3 3

2 4 4

M t t t 

= − + = −  + 

 

Bài 84 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( )

3 2

3 1

1 B x

x x x

= +

+ + + HD:

Ta có:

( ) ( )

3 2 2 2 2

3 1 3 1 3 1 3

1 1 1 1 1 1

x x x

B x x x x x x x x x

+ + +

= = = =

+ + + + + + + + +

Do ² 1 0 ₂³ 3

x B 1

+  = = x 

+ , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0 Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức :

2 2

2 2012

x x

P x

− +

= , với x#0

Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của ⁴₂ ³ 1 P x

x

= + + Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của ⁴₂ ³

1 P x

x

= + +

Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 2

3 3 2 1

x x

B x x

− +

= − + Bài 89: Cho biểu thức

2 2

2 2011

x x

M x

− +

= , với x>0, Tìm x để M có GTNN Bài 90: Tìm GTNN và GTLN của: ⁶ ₂ ¹

12 1 A x

x

= +

+

Bài 91: Cho x, y là các số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2

2 2

3 2

2 x xy A x xy y

= +

+ + Bài 92: Cho x0, Tìm GTNN của :

( )

2 2 17

2 1

x x

Q x

+ +

= +

Bài 93: Tìm GTNN của :

2 2

2 6 6

4 5

x x

B x x

+ +

= + + Bài 94: Tìm GTNN của :

2 2

1 1 C x

x x

= +

− + Bài 95: Tìm GTLN của:

2 2

5 21 3 B x

x

= +

+ Bài 96: Tìm GTLN của:

2 2

2 4 5

2 2

x x

C x x

− +

= − + Bài 97: Tìm GTLN của:

2 2

3 6 10

2 3 x x

D x x

+ +

= + +

(10)

DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Tìm min của: A=3x²+y² biết :3x+ =y 1

HD:

( )

²

1 3 3 2 1 3

y= − x= =A x + − x =12x²−6x²+1

Bài 1: Cho các số x, y thỏa mãn: 2x+3y=13 , tìm GTNN của Q x= ²+y² Bài 2: Tìm min của: A=xy biết 3x+ =y 1

HD: ^y^{= −}^{1 3}^x^{= =}^A ^x

(

^{1 3}⁻ ^x

)

^{= −}³^x²⁺^x

Bài 3: Tìm min của: A=a³−b³−ab biết: a – b =1 HD:

( )

³ ³

( )

1 1 1

a= + = =b A b+ − − +b b b =2b²+2b+1

Bài 4: Tìm max của: B=a b. biết: 3a+5b=12 HD:

Từ gt ta có: ^{12 5} 3

a= − b , thay vào ^{12 5} ⁵ ² ¹²

3 3 3

B=b − b=− b + b Bài 5: Tìm min của: C= + +x³ y³ xy biết: x+ =y 1

HD:

Từ gt=> y= −1 x thay vào C ta được: ^C⁼^x³^{+ −}

(

¹ ^x

)

³⁺^xy⁼²^x²⁻²^x⁺¹

Bài 6: Tìm min của: D x= +² 2y² biết: x+2y=1

HD:

Từ gt=> x= −1 2y thay vào ^D^{= −}

(

^{1 2}^y

)

²⁺²^y²

Bài 7: Tìm min của: E=2x²+5y² biết: 4x−3y=7

HD:

Từ gt=> ⁴ ⁷ 3

y= x− thay vào E

Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của: A x= +² y² Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của: B= −3 xy

Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P 1 ¹ 1 ¹

a b

  

= −  − 

   Bài 10: Tìm min của:

2 2

1 1

F a b

   

= +  + +  , biết: a+b=1 và a,b >0 HD:

Ta có:

2 2 2 2

1 a b 1 a b 2 b 2 a

a b a b

+ +

 +  + +  = +  + + 

       

        =

2 2

8 4 a b a b

b a b a

 

+  +  + +  8 4.2 2 18

 + + =

Bài 11: Cho x,y thỏa mãn:

2 2

2

2 1 4

4 x y

+ x + = , Tìm max của: A= x.y HD:

Từ gt ta có :

2

2 2

2

4 1 2 2

4

x x y xy xy

x

 

= + −  + + − + + =>

2 2

4 1 2

2

x x y xy

x

   

= −  + −  + +

=> xy+  =2 4 xy2

(11)

Bài 12: Cho hai số thực a,b 0, thỏa mãn:

2 2

2

2 1 4

4 a b

+ +a = , Tìm min, max của: S=ab+2017 HD:

Từ gt ta có :

2 2

2

2 2

2

1 1

4 2 2 2

4 2

b b

a a ab ab a a ab

a a

 

     

= + − + + − + + = −  + −  + +

=> ab+  =2 4 ab+2017 2019 = S 2019 Mặt khác :

2 2

2

2 2

2

1 1

4 2 2 2

4 2

b b

a a ab ab a a ab

a a

 

     

= + − + + + − + = −  + −  − +

       

=> − +  =ab 2 4 ab − =2 ab+2017 2015 => S2015 Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn:

2 2

2

8 8

8 x y

+x + = , Tìm min, max của: A=xy+2024

HD:

Từ gt ta có :

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

8 16 16

8 16 2 8 8

8 4 4

y y y

x x x x xy xy

x x x

 

= + + = = + + = + − +  + + − +

=>

2 2

8 4 8 8 16 8 2024 2016

2

x x y xy xy xy A xy

x

   

= −  + +  − + = − +  =  − = = +  Mặt khác :

2 2

2

2 2

2

16 4

16 8 8 8

4 2

y y

x x xy xy x x xy

x x

 

     

= + − + + − + + = −  + −  + −

       

=>xy− 8 16=xy = =8 S xy+20242032

Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn:

2 2

2

2 1 4

4 x y

+ x + = , Tìm max, min của A=xy

Bài 15: Cho x,y R khác 0 biết: 8 ² ² ¹₂ 4 x y 4

+ + x = , Tìm x,y để B= x y. đạt min và đạt max HD:

Ta có : ² ² 2 ² 2

(

² ²

)

1 1

4 8 4 2 4 4 4 2

4 4

x y x x y xy xy

x x

 

= + + = + − + + − + +

4 = ² ¹ ²

(

²

)

² ⁴ ² ⁴ ² ⁴ ¹

2 2

x x y xy xy B xy

x

 −  + − + + = +  = = 

 

 

Mặt khác : ⁴ ² ¹ ²

(

²

)

² ⁴ ² ⁴ ² ⁴ ¹

2 2

x x y xy xy B xy

x

  −

= −  + + − + = − +  = =  Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn:

2 2

2

2 1 4

4 x y

+ x + = . Tìm min của: P=xy

Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của: ^A⁼

(

⁴^x²⁺³^y

)(

⁴^y²⁺³^x

)

⁺²⁵^xy

HD:

Ta có : ^A⁼¹⁶⁽^xy⁾²⁺¹²^x³⁺¹²^y³⁺⁹^xy⁺²⁵^xy⁼⁶^{x y}² ²⁺¹²

(

^x³⁺^y³

)

⁺³⁴^xy

Vì x+y =1 nên ^x³⁺^y³ ⁼

(

^x⁺^y

) (

^x²⁻^xy⁺^y²

)

⁼

(

^x⁺^y

)

²⁻³^xy^{= −}^{1 3}^xy, thay vào A

( )

2 2

6 12 1 3 34

A= x y + − xy + xy, Đặt xy=t khi đó : A=6t²−2t+12

Bài 17: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x y+ =1Tìm min của biểu thức:

(

² ⁴

)(

² ⁴

)

⁸

C= x + y y + x + xy

Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của: A x= +² 2y² HD:

(12)

Từ gt ta có : x= −3 2y thay vào ^A^{= −}

(

^{3 2}^y

)

²⁺²^y² ⁼⁶^y²⁻¹²^y⁺⁹

Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x²+ − =y² xy 4, Tìm min và max của: A x= +² y² HD:

Ta có : ^x²⁺^y²⁻^xy^{= =}⁴ ²^x²⁺²^y²⁻²^xy^{= =}⁸

(

^x⁻^y

)

²⁺^x²⁺^y² ⁼⁸

=> x²+y²8hay A8

mặt khác : ⁸⁼²^x²⁺²^y²⁻²^xy^=²^x²⁺²^y² ^{= +}^{8 2}^xy^=³^x²⁺³^y² ^{= +}⁸

(

^x⁺^y

)

² ^⁸

=> ² ² ⁸

x +y 3 hay ⁸ A3

Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: A x= + +³ y³ 2xy HD:

Từ gt ta có : y= −2 x thay vào A ta được : ^A⁼^x³^{+ −}

(

² ^x

)

³⁺²^x

(

²⁻^x

)

Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn: x+ + =y 4 0, Tìm max của:

(

³ ³

) (

² ²

)

2 3 10

A= x +y + x +y + xy HD:

Ta có : x+y= - 4, nên ^x³⁺^y³ ⁼

(

^x⁺^y

)

³⁻³^{xy x}

(

⁺^y

)

^{= − +}^{64 12}^xy^,

( )

²

2 2

2 16 2

x +y = x+y − xy= − xy thay vào ^A^{= − +}²

(

^{64 12}^xy

) (

⁺^{3 16 2}⁻ ^xy

)

⁺¹⁰^xy

Bài 21: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x y+ =1 , Tìm GTNN của ^C⁼

(

^x²⁺⁴^{y y}

)(

²⁺⁴^x

)

⁺⁸^xy

Bài 22: Cho x, y, z  R, thỏa mãn: 2x+2y+ =z 4, Tìm max của: A=2xy+yz+zx

HD:

Từ giả thiết=> z= −4 2x−2y thay vào A ta được :

( ) ( )

² ²

2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4

A= xy+y − x− y +x − x− y = − x − y − xy+ x+ y Bài 23: Cho x,y,z  R thỏa mãn: x+ + =y z 6. Tìm max của: A=xy+2yz+3zx

HD:

Từ gt => z= − −6 x y thay vào ^A⁼^xy⁺²^y

(

⁶^{− − +}^x ^y

)

³^x

(

⁶^{− −}^x ^y

)

Bài 24: Cho x,y  R thỏa mãn: ^x²⁺²^xy⁺⁷

(

^x^{+ +}^y

)

²^y²^{+ =}¹⁰ ⁰, Tìm min và max của:

3 S = + +x y

HD:

Từ gt ta có :x²+2xy+7x+7y+2y²+ =10 0

=> 2 2 7

(

2 7

)

² 2 (2 7)²

2 2 7 10 0

2 4 4

y y y

x + x + + + + y + y+ − + = =>

2

7 2 9

2 4 0

x y y

 + +  + − =

 

 

=> ³ ⁷ ³ 5 2

2 x y 2 2 x y

−  + +  = −  +  − => −  + + 2 x y 3 1