Đề Thi Olimpic Toán 11 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018 Có Đáp Án

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018

(Đề thi có 01 trang)

Môn thi : TOÁN - Lớp: 11

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm).

a. Tính tổng các nghiệm của phương trình: sinx 5 6cos²x trên đoạn ; 2 

 

 

 . b. Giải phương trình: 3cosx 1 4cos x³  3sin x3 .

Câu 2 (4,0 điểm).

a. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy

 

un biết:

1 1 1

(n N*)

1 2 2

un

n n n

    

   ^.

b. Cho dãy

 

un biết u1 2 và u_n_₁ 3u_n 4ⁿ với n N * Tìm số hạng tổng quát của dãy

 

un . Tính

1

lim ⁿ

n

u u _ . Câu 3 (4,0 điểm).

a. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác nhau ) được thành lập từ các chữ số 2,0,1,8. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập X . Tính xác suất để phần tử được chọn là số chia hết cho 3 .

b. Trên 2 đường thẳng song song và d , ta lần lượt gắn vào đó m điểm và n điểm sao cho m n 17 ( ,m n N *). Tìm m , n để số các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 17 điểm phân biệt ở trên là lớn nhất.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hàm số

 

6 2

| 2 | 2

5 2

x x khi x

f x x

khi x

  

 

 

 



Xét tính liên tục của hàm số ^{f x}

 

tại điểm x2. Câu 5 (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

 

^C ^:^x² ^^y² ^²^x^⁴^y^{ }^{4 0} và điểm A(3, 1). Gọi I là tâm của đường tròn

 

^C . M là điểm thay đổi trên

 

^C sao cho ba điểm ,A M I, không thẳng hàng. Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM tại N. Gọi

 

^K là tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên

 

^C ^. Viết phương trình đường

 

^K .

Câu 6 (4,0 điểm).

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BD  a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng



^ABCD



và SA a .

a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD. ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

b. Gọi ( ) là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) bằng 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp .S ABCD.

––––––––––– Hết ––––––––––––

Họ và tên thí sinh: …..……….; Số báo danh: ………...

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN Lớp : 11 Đáp án gồm 05 trang

()

Câu Nội dung Điểm

1 a. Tính tổng các nghiệm của phương trình: sinx 5 6cos²x trên đoạn ; 2 

 

 

 . 1,5

2 2

sinx 5 6cos x 6sin xsinx 1 0

1 1

sinx ; sinx

2 3

   

 1

sinx 2 ( x[ , ] 2 

 )  x =

6



 1

sinx3 ( x[ , ] 2 

 )  x = 1

arcsin

3 , x =   1 arcsin

3

0.25 0.25 0.25

0.25 Tổng các nghiệm phương trình trên [ , ]

2 

 là 

6

 + 1 arcsin

3+  1

arcsin 3 = 5

6



0.5

b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4cos³x  3 sin3x. 1,5

3cosx 1 = 4cos³x  3 sin3x  1 = 4cos³x 3cosx  3 sin3x

 1 = cos3x  3 sin3x  3 sin3x  cos3x =1

 sin ( 3x  6

 ) = 1

2  sin ( 3x  6

 ) = sin 6



 3x  6

 = 6

 + k2 hoặc 3x  6

 = 5 6

 + k2 ( k  _ )

0.25 0.25 0.25 0.25

+0,5

2 a. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy (un) biết 1 1 1

1 2 2

un

n n n

   

   . 1.5

Ta có: 0 < un = 1 1 1 1

... 1

1 2 3 2 1

n

n n n   n n 

    ,  n N*

 (un) bị chặn.

0,25 + 0,25

0.25 02.5

(3)

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ( ... )

2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 2

1 1 1 1 1

2 1 2( 1) 1 2 1 2( 1) 0

n n

u u

n n n n n n n n n

n n n n n

            

      

     

    

 (un) là dãy tăng.

0.25 0.25

b. Cho dãy (un) biết u1 = 2 và u_n_13u_n4ⁿ với nN*.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) . Tính

1

lim ⁿ

n

u

u _ . 2,5

. + Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) Ta có: u_n_13u_n4ⁿ (1)

 Tìm số α : u_n_1.4ⁿ^¹ 3.(u_n.4 )ⁿ (2) (1),(2)(3.4ⁿ4 ) 4ⁿ^1  ⁿ   1

 (2) viết lại: u_n_14ⁿ^¹3.(u_n4 )ⁿ

Xét dãy (vn) với v1=2, vn+1= 3vn ( n  1) - ở đây vn =un4ⁿ. Khi đó vn = 2. 3^n1  un4ⁿ = 2. 3^n1  un = 4ⁿ 2. 3^n1

0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 + Tính

1

lim ⁿ

n

u u _ .

1

1 1

1

4 2.3 4 1

lim lim lim

4 2.3 4 4

n n n

n

n n n

n

u u



 



   

 0.5

3 a. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác nhau ) được thành lập từ các chữ số 2,0,1,8. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập X . Tính xác suất để phần tử được chọn là số chia hết cho 3 .

2,0

Gọi số được chọn là a a a a_{1 2 3} ( ₁0)

Tính số phần tử của không gian mẫu: ⁿ

 

^{ }^{3.4.4 48}^ ^0.5

Gọi A là biến cố: ‘‘ số được chọn là số chia hết cho 3 ’’

1 2 3

a a a chia hết cho 3 khi:



a1a2a3



chia hết cho 3.

Liệt kê các số gồm: 111,222,888, và hoán vị của các bộ số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ; (1;8;0) . (Lưu y, chữ số a1 0) .

Do đó số kết quả thuận lợi để có A là ^{n A}

 

^¹⁷

Vậy xác suất cần tìm:

 

^(A) ¹⁷

( ) 48 P A n

 n 



0.5

0.5 b. Trên 2đường thẳng song song  và d, ta lần lượt gắn vào đó ^m điểm và ⁿ điểm sao cho m n 17 (m n N,  *). Tìm ^m , ⁿ để số các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 17 điểm phân biệt đã cho là lớn nhất.

2.0 Mỗi tam giác cần xác lập có 1 đỉnh nằm trên một đường thẳng và 2 đỉnh nằm trên đường thẳng còn lại.

Trường hợp 1: Một trong hai số m hoặc n là bằng 1  chẳng hạn m =1, khi đó n =16 và số các tam giác có được từ 17 điểm này là 1.C16² 120 0.5

(4)

Trường hợp 2: m, n đều lớn hơn 1.

Số các tam giác có được từ 17 điểm này là

2 2

( 1) ( 1)

. . .

2 2

.( 2) 15

2 2

15 15

.4 .[( ) ( ) ]

8 8

15.[17 ( ) ] 8

15 15

(17 1 ) .288 540.

8 8

n m

n n m m

m C nC m n

mn m n mn

mn m n m n

m n

 

  

   

    

  

   

Dấu bằng xảy ra khi |mn| =1, m,n  N*

 m=9 , n=8 hoặc ngược lại.

Kết luận : Số tam giác là lớn nhất khi m=9, n=8 hoặc ngược lại.

0.5

0,25

0.25 0.25 0.25 4

Cho hàm số

 

6 2

| 2 | 2

5 2

x x khi x

f x x

khi x

   

 

 



Xét tính liên tục của hàm số f x tại điểm

 

x2.

2,0

2 2

2 2 2

2

6 6

lim ( ) lim lim

| 2 | 2

( 2)( 3)

lim ( 2)

lim ( 3) 5

x x x

x

x x x x

f x x x

x x

  



  



   

 

 

  

 

    

0.25

0.25 0.25

2 2

2 2 2

2

6 6

lim ( ) lim lim

| 2 | 2

( 2)( 3)

lim 2

lim ( 3) 5

x x x

x

x x x x

f x x x

x x

  



  



   

 

 

  

 

  

0.25

0.25 0.25 Vì lim ( )₂ lim ( )₂

x _ f x x _ f x

   nên hàm số không có giới hạn tại x=2 nên không thể liên tục tại x=2.

0.5

5 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

 

^C ^:^x²^^y²^²^x^⁴^y^{ }^{4 0} và điểm A(3, 1). Gọi I là tâm của đường tròn

 

C .M là điểm thay đổi trên

 

C sao cho 3 điểm A M I , , không thẳng hàng. Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng ^AM tại N . Gọi

 

K là tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên

 

C Viết phương trình đường ^.

 

K .

3,0

Hình vẽ:

(5)

I A M

N

(C) có tâm I(1,2) và bán kính R =3 . Tính được IA = 5.

Vì IN là tia phân giác của góc AIM nên 3 5

MN IM

AN  IA   3 5 8

5 5

MN AN AM

AN AN

 

  

 5

AN 8AM

 

(*) (do N nằm giữa A và M ) Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số 5

k8 biến điểm M thành điểm N.

0.5

0.5 0.25 0.25 Gọi P,Q là 2 giao điểm của đường thẳng IA và (C).

Do đó khi M chạy khắp đường tròn (C) ( M  P, M  Q) thì N chạy khắp (K) với (K) đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số 5

k 8 ( trừ 2 điểm là ảnh của P,Q qua phép vị tự trên).

Viết phương trình đường tròn (C’).

Gọi I’ là tâm đường tròn (C’), ta có: 5 ' 8 AI  AI

 

 1 7

' ;

2 8

I    R’ là bán kính đường tròn (C’), ta có: R’ = 5 15

8R 8 . Vậy phương trình đường tròn (C’) :

2 2 2

1 7 15

2 8 8

x y

       

     

     

0.5 0.5

0.25 0.25 6 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh ^a, biết BD  a; cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng



ABCD và



SA a .

a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD .

b. Gọi ( ) là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) bằng 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng

( ) . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp S ABCD. .

4.0

Hình vẽ: ( Phục vụ câu a :0.25 điểm và câu b 0.25 điểm) 0.5

(6)

a

a a a

F

E I

A

D C

B S

M

O

a. Tính ^cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD . 1.5 Tính góc SBC .

 SAB vuông cân tại A  SB = a 2 .

Gọi O là tâm hình thoi ABCD. AC = 2 AO = a 3 SA =a, AC = a 3  SC = 2a

Ta có: SC² = SB²+BC²2SB.BC . cos B 4a² = 2a²+ a²  2.a² 2 cos B cosB = 1

2 2 Gọi  là góc giữa SB và BC , ta có: cos = 1

2 2

0.25 0.25 0.25

0.5 0.25 b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp S ABCD. . 2.0 Ta có: AC = a 3 và SA =a  SC =2a.

 d(C, α) = 3 d(S, α)  SM = 1 1

3 4 2

CM  SC a

 Gọi I là giao điểm của SO và AM.

Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD tại E và F.

Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AEMF.

Ta có BD ^ (SAC)  EF ^ (SAC)  EF ^ AM ( SAEMF = ½ AM. EF.)

 Tính AM, EF

Xét  SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta được AM = a 3 2 (có thể kiểm chứng AM ^ SC  … AM = a 3

2 )

Xét  SAC – Kẻ ON // AM. O là trung điểm AC  N là trung điểm CM.

0.25

0.5 0.25 0.25

(7)

/ /

N I

M

A O C

S

MN = 1

2CM = 1 3 3

2 4. SC 8SC  SN = SI+MN =1 3

4SC8SC =5 8SC ON // AM 

1 4 2

5 5

8 SI SM SC

SO SN SC

  

Xét  SBD, EF // BD  EF 2

5 SE SI

BD  SC SO   EF = 2 2

5 5

BD a

 SAEMF = 1

2 AM. EF= 1 3 2 ² 3

. .

2 2 5 10

a aa .

0.25 0.25 0.25

Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm.