Ngân hàng câu hỏi ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

(1)

TÍCH PHÂN

LÊ BÁ BẢO

TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

ỨNG DỤNG TÍNH

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

 CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT

(2)

Ngân hàng câu hỏi:

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (1)

NỘI DUNG ĐỀ BÀI

Câu 1: Cho hàm số ^{f x}

 

có đồ thị trên đoạn



^^{1; 4}



như hình vẽ dưới:

Tính tích phân

4

1

( )d I f x x







^.

A. I 5_. _B. ¹¹

I  2 . C. 5

I 2. D. I 3_.

Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích ₁ ⁸

S 3 và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích ₂ ⁵ S 12 (tham khảo hình vẽ bên).

Tính ⁰

 

^d

1

3 1

I f x x







 ^.

A. ⁵

I 3. B. ³

I4 . C. ³⁷

I 36. D. ²⁷ I 4 .

 

liên tục trên . Biết diện tích S₁ 2, S₂ 11, S₃ 3, S₄ 4, S₅ 12 (tham khỏa hình vẽ)

Tích phân ¹

 

6

1 1 d

f x x x



    

 



^bằng

A. 35

2 . B. 35

2 . C. 18_. _D. 18_.

S2 S3

S4

S5 S1

(3)

Câu 4: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Giả sử diện tích phần kẻ dọc trên hình vẽ có diện tích bằng a. Tính theo a giá trị của

   

2

3

2 1 d .







 

I x f x x

A. I 50 2 a_. _B.I 50a_. _C.I   30 2a_. _D.I   30 2a_.

Câu 5: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; 2 và thỏa mãn

  

¹



^, ^{1; 2 .}

f x  f x   x   Đặt 1 ²

 

^d

1

S xf x x







^,^S²là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số^y^ ^{f x}

 

, trục Ox và hai đường thẳng ^x^{ }^1,^x^². Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. S₁2S₂. B. S₁3S₂. C. 2S₁S₂. D. 3S₁S₂.

Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx³3x²4, trục hoành, các đường thẳng

 

1, 0

x  xk k bằng 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^k^{ }



^{1; 4}



. B. ^k^

 

^{3; 6} . C. ^k^

 

^{0; 2} . D. 3 3;2 k  ^. Vậy ^k^{ }



^{1; 4}



.

Câu 7: Cho parabol

 

^P ^:^y^^x²^²^x^¹và đường thẳng :y2x m . Để diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^P và ^ bằng ⁴

3 thì giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào dưới đây?

A.



^{ }^{5; 3}



. B.



^^{3; 0}



. C.

 

^{0 ; 2} . D.

 

^{2 ; 3} .

Câu 8: Cho hình thang cong

 

^H giới hạn bởi các đường y2^x_, y0_,x0_,x4. Đường thẳng xa



⁰^{ }^a ⁴



chia hình

 

^H thành hai phần có diện tích S1_vàS₂như hình vẽ bên dưới:

Tìm ađể S2 4S1_.

A. a3_. _B.alog 13₂ _. _C.a2_. _D. ₂16 log 5

a .

(4)

Câu 9: Gọi

 

^H là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y3x², y 4 xvà trục hoành (tham khảo hình vẽ)

Diện tích của

 

^H là bằng A. 11

2 . B. 9

2. C. 13

2 . D. 7

2. Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

^C của hàm số ¹



² ⁴ ³



y 2 x  x và hai tiếp tuyến của

 

^C xuất phát từ ^M



^{3; 2}^



là

A. 5

3. ^B.

11.

3 ^C.

8.

3 ^D.

13. 3

 

^P ^:^y^^x²^²và hai tiếp tuyến của

 

^P tại các điểm ^M



^^{1; 3}



và ^N

 

^{2; 6} . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^P và hai tiếp tuyến đó bằng

A. ⁹

4. B. ¹³

4 . C. ⁷

4. D. ²¹

4 .

 

là một hàm số bậc ba. Gọi S là diện tích giới hạn bởi các đường

 

^, ^0, ¹

y f x y x  và x4 (tham khảohình vẽ).

Khi đó diện tích S có giá trị bằng A. 253

12 . B. 253

24 . C. 235

24 . D. 235

12 . Câu 13: Cho đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^và^y^^{g x}

 

như hình vẽ bên dưới:

(5)

Biết đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

là một Parabol đỉnh

I

có tung độ bằng 1

2 và ^y^^{g x}

 

^là

một hàm số bậc ba. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x x x1, 2, 3_{thỏa mãn}x x x₁. .₂ ₃  6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^và^y^^{g x}

 

gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 6. B. 8. C. 5. D. 7.

Câu 14: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^^ax³^^bx²^^cx^⁴ và ^{g x}

 

^^dx²^^ex^^2,



^{a b c d e}^{, , , ,} ^



. Biết rằng đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là  3; 1; 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đã cho có diện tích bằng

A. 316

15 . B. 191

9 . C. 253

12 . D. 97

6 ^.

Câu 15: Cho ^{f x}

   

^,^{g x} lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

x y

_ 1 1

3 _4 2

O 3

Biết diện tích hình S (được tô đậm) bằng ²⁵⁰

81 . Tính ²

 

0



^{f x} d^x^. A. 19

15. B. 11

9 . C. ³⁴

15. D. 23

6 .

 

^^ax³^^bx²^³⁶^{x c a}^



^^{0; a, ,}^{b c}^



có hai điểm cực trị là 6_và2. Gọi

 

yg x là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường ^y^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

bằng

A. 160 B. 128. C. 64 _D.672

 

^^ax⁴^^bx³^^cx²^³^x và ^{g x}

 

^^mx³^^nx²^^x; với a b c m n, , , ,  . Biết hàm số ^y^ ^{f x}

   

^^{g x} có ba điểm cực trị là ¹; 3_và4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ^f^

 

^x và ^y^^{g x}^

 

bằng

A. 32

3 . B. 64

9 . C. 125

12 . D. 131

12 .

 

là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ^y^ ^{f x}

 

, ^y^ ^f^

 

^x có diện tích bằng

(6)

A. 127

40 . B. 107

5 . C. 87

40. D. 127

10 .

Câu 19: Cho hàm số f x( )ax⁴x³2x2 và hàm số g x( )bx³cx²2, có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Gọi S S1; 2 là diện tích các hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ, biết 1

221

S  640. Khi đó S2 bằng A. 1361

640 . B. 271

320. C. 571

640. D. 791 640.

Câu 20: Tính diện tích Scủa miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ^{f x}

 

^^ax³^^bx²^^c, các đường thẳng x1, x2và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây:

A. 51

S  8 . B. 52

S  8 . C. 50

S  8 . D. 53

S  8 . Câu 21: Cho đường thẳng ³

y4x và parabol ¹ ²

y2x a, (a là tham số thực dương). Gọi S S₁, ₂ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên dưới:

(7)

Khi S₁S₂ thì a thuộc khoảng nào sau đây?

A. 0; ³ 16

 

 

 . B. ³ ; ⁷ 16 32

 

 

 . C. ^{1 9}; 4 32

 

 

 . D. ^{7 1}; 32 4

 

 

 .

Câu 22: Cho hai hàm đa thức ^{f x}

 

^^ax³^^bx²^^cx^^d^và ^{g x}

 

^^mx² ^^nx^ ^p. Biết rằng đồ thị hai hàm số ^y^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 1; 2; 4 đồng thời cắt trục tung lần lượt tại M N, _{sao cho}MN 6( tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đã cho ( phần gạch sọc) có diện tích bằng A. 125

8 ^. ^B.

253

24 ^. ^C.

253

16 ^. ^D.

253 12 ^.

Câu 23: Cho ^{f x}

 

^^ax³^^bx²^{ }^{cx d}



^a^⁰



là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn

 

^2;3 có đồ thị ^f^

 

^x như hình vẽ bên dưới:

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số ^{g x}

 

^^xf²

 

^x ;

 

²

   

h x  x f x f x và các đường thẳng x2;x3 bằng 72. Tính ^f

 

¹ .

A. f

 

1 2_. _B. f

 

1  1_. _C. f

 

1 1_. _D.

 

¹ ⁶²

f  5 .

 

^^ax⁴^^bx²^^c có đồ thị

 

^C và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ^¹. Tiếp tuyến d tại điểm có hoành độ x 1 của

 

^C cắt

 

^C tại ² điểm khác có hoành độ lần lượt là 0 và ². Gọi S S1, 2 là diện tích các phần hình phẳng giới hạn bởi d và

 

^C (với S2 là diện tích phần hình phẳng nằm bên phải trục Oy_{). Tỷ số} ¹

2

S

S ^bằng A. 1

B. 1

C. 2

D. 1

(8)

Câu 25: Cho hàm số

y  ln x

có đồ thị

 

^C như hình vẽ bên dưới:

y

x (C)

C

O

B

A

Đường tròn tâm A có duy nhất một điểm chung B với

 

^C ^{. Biết}

C  

^0;1 , diện tích của hình thang

ABCO

gần nhất với số nào sau đây.

A.

3,01

. B.

2,91

. C. ^3,09. D.

2,98

.

 

^^x⁴^^bx³^^cx²^^{dx e}^ (b c d e, , ,  ) có các giá trị cực trị là 1, 4_và9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

   

 

f x g x

f x

  và trục hoành bằng

A. 4. B. 6. C. 2. D. 8.

Câu 27: Biết đồ thị

 

^C của hàm số ^{f x}

 

^^x⁴^^bx²^^{c b c}



^, ^



có cực trị là ^A

 

^{1; 0} . Gọi

 

^P là parabol có đỉnh ^I



^{0; 1}^



và đi qua điểm ^B

 

^2;3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^C và

 

^P thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

 

^0;1 . B.

 

^2;3 . C.

 

^{3; 4} . D.

 

^{1; 2} .

Câu 28: Đường thẳng d cắt đường cong ^{f x}

 

^^{a x bx}³ ^ ²^{ }^{cx d}tại ba điểm phân biệt có hoành độ

 2

x _,x1_,x2như hình vẽ bên dưới:

Diện tích hình phẳng gạch sọc thuộc khoảng nào dưới đây?

A. 9 2;5

 

 

 ^. ^B.

6;13 2

 

 

 ^. ^C.

5;11 2

 

 

 ^. ^D.

11;6 2

 

 

 ^.

 

^^ax³^^bx²^{ }^cx ¹và ^{g x}

 

^^dx²^{ }^ex ²



^{a b c d e}^{, , , ,} ^



. Biết rằng đồ thị của hàm số^y ^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là

3; 1;1

  (tham khảo hình vẽ) .

(9)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. 6_. _B.9_. _C.7_. _D.8_.

 

^^ax³^^bx²^{ }^cx ²và ^{g x}

 

^^dx² ^{ }^ex ²



^{a b c d e}^{, , , ,} ^



. Biết rằng đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là

2; 1;1

  (tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. ³⁷

5 . B. ¹⁴⁵

7 . C. ³⁷

6 . D. ¹⁴⁵

8 .

Câu 31: Đường thẳng ykx4cắt parabol ^y^



^x^²



²tại hai điểm phân biệt và diện tích các hình phẳng S1_,S₂bằng nhau như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ^k^{  }



^{6; 4}



. B. 1 1; 2

k   ^. ^C.^k^{  }



^{2; 1}



. D. 1 2; 0 k  ^. Câu 32: Cho

 

^H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 1 ²

4 1

y x  _(với0 x 2 2 ), nửa đường tròn 8 2

y x và trục hoành, trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích của

 

^H bằng A. 3 14

6

 

. B. 2 2

3



. C. 3 4

6

 

. D. 3 2

3

 .

Câu 33: Cho hàm số ^y^ ^{f x}^{( )}^^ax³^^bx²^^cx^^d



^{a b c d}^{, , ,} ^ ^,^a^⁰



có đồ thị là

 

^C . Biết rằng đồ thị

 

^C đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số y f '( )x cho bởi hình vẽ bên.

(10)

Tính giá trị H  f(4) f(2).

A. H 45. B. H 64. C. H 51. D. H 58.

Câu 34: Cho hàm số yx⁴4x²mcó đồ thị

 

Cm . Giả sử

 

Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

Cm với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó mthuộc khoảng nào dưới đây?

A. ^m^{ }



^1;1



. B. ^m^

 

^3;5 . C. ^m^

 

^2;3 . D. ^m^



^5;^{ }



.

Câu 35: Cho Parabol

 

^P ^:^y^^x²và đường tròn

 

^C có tâm ^A

 

^0;3 bán kính bằng 5 như hình vẽ bên dưới:

Diện tích phần được tô đậm giữa

 

^C và

 

^P gần nhất với số nào dưới đây?

A. 3.44_. _B.1.51_. _C.1.77_. _D.3.54_.

Câu 36: Cho hàm số bậc bốn ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị

 

^C như hình vẽ bên dưới:

Đường thẳng 1

: 4

d ykx có đúng ba điểm chung với

 

^C là A B C, , và 5 4. BCAB Biết diện tích hình phẳng S (phần gạch sọc) là 24

5 . Giá trị của



_¹₂ ^{f x}

 

^d^x^bằng

A. ². B. 321

160. C. 161

 80 . D. 159

160.

(11)

Câu 37: Cho hàm số f x

 

x³bx² cx d _với b_, c, d . Biết hàm số

   

²

 

³

 

g x  f x  f x  f x có hai giá trị cực trị là 6_và42. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

     

 

¹⁸

f x f x f x

y g x

 

 

  và y1.

A. ln 5. B. ln 7. C. 2 ln 6. D. 2 ln 5.

Câu 38: Cho hàm số yx³ax²bx c có đồ thị

 

^C . Biết rằng tiếp tuyến dcủa

 

^C ^{tại điểm}^A^có

hoành độ bằng 1_cắt

 

^C tại điểm Bcó hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d_và

 

^C (phần gạch chéo trong hình) bằng

A. 27

4 . B. 11

2 . C. 25

4 ^. ^D.

13 2 ^.

Câu 39: Cho hàm số

 

¹ ⁴ ²

y f x  2x ax b



^a,b^



có đồ thị (C) và

 

²

yg x mx nx p



^{m,n, p}^



có đồ thị

 

^P như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^C và

 

^P có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A.



^4;4,1



. B.



^4,2;4,3



. C.



^4,3;4,4



. D.



^{4,1;4, 2}



.

Câu 40: Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu được giới hạn bởi cạnh ^{AB CD}^, , đường trung bình ^MNcủa mảnh đất hình chữ nhật ^ABCD và một đường cong hình sin. Biết ^AB^²^(m),

2

AD (m). Tính diện tích phần còn lại.





^^



^^ ^^

(12)

Câu 41: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên dưới:

Biết AB5cm, OH 4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

A. 160 ²

3 cm . B. 140 ²

3 cm . C. 14 ²

3 cm . D. 50 cm².

Câu 42: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vuông cạnh 20 cmbằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau đều có hình dạng một nửa elip như hình vẽ. Biết một nửa trục lớn là

6

AB cm, trục bé CD8 cm. Diện tích bề mặt của hoa văn đó bằng

A. ^{400 48}^ ^

 

^cm² ^. ^B.^{400 96}^ ^

 

^cm² ^. ^C.^{400 24}^ ^

 

^cm² ^{. D.}^{400 36}^ ^

 

^cm² ^.

Câu 43: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng

y

x

20 20

y = 20x y =

1 20x²

A. 800 3

cm2. B. 400 3

cm2. C. 250 cm². D. 800 cm².

Câu 44: Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác ABCDlà một hình chữ nhật.

5m 4m

2m

(13)

Giá cánh cửa sau khi hoàn thành là 900000_đồng/m². Số tiền ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng

A.9 600 000 đồng. B. 15 600 000 đồng. C. 8 160 000 đồng. D. 8 400 000 đồng.

Câu 45: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2, 25mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là

A. 33750000đồng. B. 3750000đồng. C. 12750000đồng. D. 6750000đồng.

Câu 46: Một khu vườn dạng hình tròn có hai đường kính AB CD, vuông góc với nhau, AB12m. Người ta làm một hồ cá có dạng elip với bốn đỉnh M N M, , ', N'như hình vẽ. Biết

10 , ' ' 8 , 8

MN  m M N  m PQ m. Diện tích phần trồng cỏ (phần gạch sọc) bằng:

A. 32, 03 m². B. 20, 33 m². C. 33.02 m². D. 23, 03 m².

Câu 47: Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai đường tròn là 20mvà 15m, khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30m. Phần giao của hai hình tròn được trồng hoa với chi phí 300000đồng/m². Phần còn lại được trồng cỏ với chi phí 100000đồng/m². Hỏi chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 202triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 192triệu đồng. D. 218 triệu đồng.

Câu 48: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một hình Parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn, hai đầu mút của Parabol nằm trên đường tròn và cách nhau một khoảng 4 mét (phần tô đậm). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dùng để trồng hoa cúc. Biết các kích thước cho như hình vẽ. Chi phí trồng hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 120.000đồng m²và 80.000đồng/m². Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số nào sau đây (làm tròn đến ngàn đồng).

A. 6.847.000đồng. B. 6.865.000đồng. C. 5.710.000đồng. D. 5.701.000đồng.

(14)

Câu 49: Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một m² bảng.

Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 900.000 đồng. B. 1.232.000 đồng. C. 902.000 đồng. D. 1.230.000 đồng.

Câu 50: Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh A, B, C_,Dvà hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là E,F (phần tô đậm của hình vẽ).

Hai đường parabol có cùng trục đối xứng AB, đối xứng nhau qua trục CD, hai parabol cắt elip tại các điểm M , N , P, Q. Biết AB8m, CD6m, MN PQ3 3m, EF 2m. Chi phí để trồng hoa trên vườn là 300.000đ/m². Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 4477800 đồng. B. 4477000 đồng. C. 4477815 đồng. D. 4809142 đồng.

____________________HẾT____________________

Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023

(15)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

 

có đồ thị trên đoạn



^^{1; 4}



như hình vẽ dưới:

Tính tích phân

4

1

( )d I f x x







^.

A. I 5_. _B. ¹¹

I  2 . C. 5

I 2. D. I 3_. Lời giải:

Gọi S1là diện tích của hình thang giới hạn bởi phần trên đồ thị hàm số ^{f x}

 

với trục hoành.

Gọi S₂là diện tích của hình thang giới hạn bởi phần dưới đồ thị hàm số ^{f x}

 

với trục hoành.

Với ²

   

1 1

1 3 .2 2 4 S f x dx







   ^, ² ⁴

   

2

1 2 .1 3

2 2

S f x dx 

 



  ^.

Ta có:

4 2 4 2 4

1 1 2 1 2

( )d ( )d ( )d ( )d ( )d

I f x x f x x f x x f x x f x x

  

 

      

 

    

⁼^S¹^^S² ^⁵₂^.

Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích ₁ ⁸

S 3 và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích ₂ ⁵ S 12 (tham khảo hình vẽ bên).

Tính ⁰

 

^d

1

3 1

I f x x







 ^.

A. ⁵

I 3. B. ³

I4 . C. ³⁷

I 36. D. ²⁷ I 4 . Lời giải:

Với ^I ^



⁰ ^f



³^x^¹



^dx^.

(16)

Đặt t 3x 1 dt3dx. Khi 0 1

1 2

x t

  

     

 ^.

Ta được ¹

 

¹

 

⁰

 

¹

 

2 2 2 0

1 1 1

3 3 3

I f t dt f x dx f x dx f x dx

  

 

     

 

   

^.

Trên đoạn



^^{2; 0 :}



^{f x}

 

^⁰nên ⁰

 

2

8 f x dx 3





 ^.

Trên đoạn

 

^{0;1 :} ^{f x}

 

^⁰nên ¹

 

0

5 f x dx 12



^.

Vậy ⁰

 

¹

 

2 0

1 1 8 5 3

3 3 3 12 4

I f x dx f x dx



   

 







    ^.

 

liên tục trên . Biết diện tích S1 2, S2 11, S3 3, S4 4, S5 12 (tham khỏa hình vẽ)

Tích phân ¹

 

6

1 1 d

f x x x



    

 



^bằng

A. 35

2 . B. 35

2 . C. 18_. _D. 18_.

Lời giải:

 

^d

 

^d

 

^d

1 1 1

6 6 6

1 1 1 1

f x x x f x x x x

  

        

 

  

Ta có: ¹

 

^d ¹

 

^d ¹

 

^d

6 6 1

1 1 1

f x x f x x f x x



  

     

  

Xét ¹

 

6

1 d .





^f  ^x ^x ^Đặt^{    }^x ¹ ^t ^d^x^^{d .}^t

Ta có: ¹

 

⁰

 

⁵

 

6 5 0

1 d d 2 11 3 4 12 2

f x dx f t t f t t



          

  

Xét ¹

 

1

1 d

f x x







Đặt x  1 t dxdt

(17)

Ta có: ¹

 

²

 

1 0

1 d d 2 11 9

f x x f t t



     

 

Xét ¹

 

6

1 d 21 x x 2



 



Vậy ¹

 

¹

 

¹

 

6 6 6

21 35

1 1 d 1 d 1 d 2 9 .

2 2

  

             

 



^f ^x ^x ^x



^f ^x ^x



^x ^x

 

liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Giả sử diện tích phần kẻ dọc trên hình vẽ có diện tích bằng a. Tính theo a giá trị của

   

2

3

2 1 d .







 

I x f x x

A. I 50 2 a_. _B.I 50a_. _C.I   30 2a_. _D.I   30 2a_. Lời giải:

Từ đồ thị suy ra ²

 

3

d S f x x a







 ^và ^f

 

^{ }³ ^8; ^f

 

² ^²^. Ta có ²

   

3

2 1 d

I x f x x







  ²

     

3

2x 1 d f x









   

²₃ ²

 

3

2x 1 f x _ 2 f x dx



  



^⁵^f

 

² ^⁵^f

 

^{ }³ ²^S ^^{5.2 5.8 2a}^ ^ ^^{50 2a}^ ^.

Vậy I 50 2 a_.

 

liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; 2 và thỏa mãn

  

¹



^, ^{1; 2 .}

f x  f x   x   Đặt 1 ²

 

^d

1

S xf x x







^,^S²là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số^y^ ^{f x}

 

, trục Ox và hai đường thẳng x 1,x2. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. S₁2S₂. B. S₁3S₂. C. 2S₁S₂. D. 3S₁S₂. Lời giải:

Ta có S1



² xf x

 

dx^.

(18)

Suy ra 1 ¹

    

2

1 1 d

S t f t t







   ²

   

1

1 t f t dt









   

2 2

1 1

d d

f t t tf t t

 









²

 

²

 

1 1

d d

f x x xf x x

 









^^S²^^S¹^.

Vậy 2S1S2.

Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx³3x²4, trục hoành, các đường thẳng

 

1, 0

x  xk k bằng 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^k^{ }



^{1; 4}



. B. ^k^

 

^{3; 6} . C. ^k^

 

^{0; 2} . D. 3 3;2 k  ^. Lời giải:

Diện tích hình phẳng cằn tìm



³ ²



⁴ ³ ⁴ ³

1 1

3 4 d 4 4 11

4 4 4

k k

x k

S x x x x x k k

 

 

          

 



^.

Mà ⁸ ⁴ ³ ⁴ ²¹ ⁰



³



¹ ³ ¹ ² ³ ⁷ ⁰

4 4 4 4 4 4

S  k  k k   k  k  k  k 

 

3 2, 07

k TM

k L



 

   . Vậy ^k^{ }



^{1; 4}



.

 

^P ^:^y^^x²^²^x^¹và đường thẳng ^^:^y^²^{x m}^ . Để diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^P và ^ bằng ⁴

3 thì giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào dưới đây?

A.



^{ }^{5; 3}



^. ^B.



^^{3; 0}



^. ^C.

 

^{0 ; 2} ^. ^D.

 

^{2 ; 3} ^.

Lời giải:

Ta xét: ^{f x}

   

^^{g x} ^^x²^²^x^{ }¹



²^x^^m



^x²^⁴^x^{ }¹ ^m.

Đã biết công thức tính nhanh diện tích giới hạn bởi hai đường cong có

   

²

f x g x ax bx c _là

 

2 2

20 4 20 4 4

S 4

6 6.1 3

 

   m m   

a m ^.

Câu 8: Cho hình thang cong

 

^H giới hạn bởi các đường y2^x_, y0_,x0, x4. Đường thẳng xa



⁰^{ }^a ⁴



chia hình

 

^H thành hai phần có diện tích S1_vàS₂như hình vẽ bên dưới:

Tìm ađể S2 4S1_.

A. a3_. _B.alog 13₂ _. _C.a2_. _D. ₂16 log 5

a _.

(19)

Lời giải:

Ta có 1 0

2 d

a

S 



x x^; ² ⁴^{2 d}^x

a

S 



x^. Mặt khác, S2 4S1 ⁴

0

2 d 4 2 d

a

x x

a

x x

 

^

4

0

2 2

ln 2 4ln 2

x x a

a

  2⁴ 2 2 2⁰

ln 2 ln 2 4 ln 2 ln 2

a  a 

    

 

 4.2â 2â 2⁴4  5.2â 20  a2_. Vậy a2.

Câu 9: Gọi

 

^H là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y3x², y 4 xvà trục hoành (tham khảo hình vẽ)

Diện tích của

 

^H là bằng A. 11

2 . B. 9

2. C. 13

2 . D. 7

2. Lời giải:

 

3 2

: 4

0 y x

H y x

y

   

 



Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

4   x 0 x 4_;3x²   0 x 0;

 

2

1 ( / )

3 4 4

3

x t m

x x

x Loai

 

   



Diện tích hình phẳng _{ }

 

1 4 2 4

2 31

0

0 1 1

3 d 4 d 4 11

2 2

H

S x x x x x  x x 

       

 

 

^.

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

^C của hàm số ¹



² ⁴ ³



y 2 x  x và hai tiếp tuyến của

 

^C xuất phát từ ^M



^{3; 2}



là

A. 5

3. ^B.

11.

3 ^C.

8.

3 ^D.

13. 3 Lời giải:

(20)

Đặt

 

¹



² ⁴ ³



f x 2 x  x _{, có} ^f^

 

^x ^{ }^x ².

Tiếp tuyến của

 

^C tại điểm A x



0; (f x0)



có phương trình dạng y f

 

x0 xx0



 f x( 0).

Hay



0



0

 

0² 0



: 2 1 4 3

y x x x 2 x x

      

Tiếp tuyến này xuất phát từ ^M



^{3; 2}^



nên



0



0

 

0² 0



2 2 3 1 4 3

x x 2 x x

      

0 1

2

0 0

0 2

1 : 1

1 5

3 0

5 : 3 11

2 2

x y x

x x

x y x

    

 

        

Dựa vào đồ thị đã vẽ, diện tích hình phẳng cần tính là:

   

3 5

2 2

1 3

1 3 1 3

2 1 d 2 3 11 d

2 2 2 2

     





       



     

S x x x x x x x x

3 5

2 2 3 2 3 2

1 3 1 3

1 1 1 25 1 1 1 1 5 25 8

d 5 d

2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 3

       





 ^x  ^x  ^x



 ^x  ^x  ^x  ^x  ^x  ^x  ^x  ^x  ^x  ^. Câu 11: Cho parabol

 

^P ^:^y^^x²^²và hai tiếp tuyến của

 

^P tại các điểm ^M



^^{1; 3}



^và^N

 

^{2; 6} ^{. Diện}

tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^P và hai tiếp tuyến đó bằng A. ⁹

4. B. ¹³

4 . C. ⁷

4. D. ²¹

4 . Lời giải:

(21)

Ta có: y'2x_.

Phương trình tiếp tuyến tại ^M



^^1;3



là d1:y  2x 1. Phương trình tiếp tuyến tại ^N

 

^{2; 6} là d2:y4x2.

Phương trình hoành độ giao điểm của d¹ và d²: 1

2 1 4 2

x x x 2

      _. Vậy diện tích phần giới hạn cần tìm là:

       

1 2 2

2 2

1 1

2

2 2 1 d 2 4 2 d 9

S x x x x x x 4







    



    ^.

 

là một hàm số bậc ba. Gọi S là diện tích giới hạn bởi các đường

 

^, ^0, ¹

y f x y x  và x4 (tham khảohình vẽ).

Khi đó diện tích S có giá trị bằng A. 253

12 . B. 253

24 . C. 235

24 . D. 235

12 . Lời giải:

Dựa vào hình vẽ ta có ^{f x}

 

^⁰có 3 nghiệm phân biệt x 1;x1;x4_. Mà ^{f x}

 

là hàm bậc ba nên ^{f x}

 

^^{a x}



^¹



^x^¹



^x^⁴



Cho x0suy ra 1

4 2

a  a 2 Do đó

 

¹



¹



¹



⁴



f x  2 x x x

Nên diện tích Sgiới hạn bởi các đường ^y^ ^{f x}

 

^,^y^^0,^x^{ }¹và x4là

   

4 1

1 253

1 1 4

2 24

S x x x dx





     ^.

Câu 13: Cho đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

như hình vẽ bên dưới:

(22)

Biết đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

là một Parabol đỉnh

I

có tung độ bằng 1

2 và ^y^^{g x}

 

^là

một hàm số bậc ba. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x x x1, 2, 3_{thỏa mãn}x x x₁. .₂ ₃  6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^và^y^^{g x}

 

gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 6. B. 8. C. 5. D. 7.

Lời giải:

Gọi phương trình của Parabol là yax²bxc, từ dữ kiện đề bài ta có hệ phương trình

 

²

2

1

0 2

4 2 0 1 1 .

0 2

4 1

4 2

c a

a b c b f x x x

ac b c a

  

  

 

         

 

   

   

 



Giả sử ^{g x}

 

^^ax³^^bx²^^cx^^d thì đồ thị của nó đi qua 1 1; 2 I  

  và có 2 cực trị có hoành độ bằng 0_và

2

, tức là phương trình ^{g x}^

 

^³^ax²^²^bx^{ }^c ⁰ có 2 nghiệm là 0_và

2

_.

Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình

 

³ ²

1 2 3

1 1 2 8

0 3 1 3 3

8 .

12 4 0 0 8 8 4

. . 6 3

4 a b c d a

c b

g x x x

a b c d c

x x x a d

        

 

   

      

    

  

 

   

   

 

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

1

2 3 2

2 3

1 7

1 1 3 3

2 8 8 4 1

1 7

x

x x x x x

x

   

      

   



Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

bằng

   

^d

   

^d

d d

1 1 7

1 7 1

1 3 2 1 7 3 2

1 7 1

3 3

6,22.

8 8 4 8 8 4

S f x g x x g x f x x

x x x x

 

 

 

 

   

       

   

            

   

 

 

^^ax³^^bx²^^cx^⁴ và ^{g x}

 

^^dx²^^ex^^2,



^{a b c d e}^{, , , ,} ^



. Biết rằng đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

và ^y^^{g x}

 

cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là ^{ }^3; ^{1; 2}. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đã cho có diện tích bằng

A. 316

15 . B. 191

9 .