(5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

 

 

3 3 3 8 6 0

5 5 5 1 1

) 6 11 9 : 8

6 6 20 4 3

) 2 .5 3 400 673 2 . 7 : 7 7

5 4 3 1 13

) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 a A

b B c C

 

    

 

     

    

Bài 2. (4,0 điểm) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn

   

 

   

3 2

2

) 7 11 3 .15 208 ) 2 7 20 5. 3

) 2 3 4

a x b x

c x y

   

   

    Bài 3. (3,0 điểm)

a) Cho a b n, ,  *.Hãy so sánh: a n b n



 ^và a b b) Cho

11 10

12 11

10 1 10 1

; .

10 1 10 1

A  B 

 

  ^{So sánh} Avà B

Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ABC55 ,⁰ trên cạnh AClấy điểm D (D không trùng với Avà C)

a) Tính độ dài AC,biết AD4cm CD, 3cm. b) Tính số đo của DBC, biết ABD30⁰

c) Từ B dựng tia Bxsao cho DBx90 .⁰ Tính số đo ABx

d) Trên cạnh AB lấy điểm E E( không trùng với Avà B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD CE, cắt nhau.

Bài 5. (2,0 điểm) Với q p, là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng:

4 4

240 p q

ĐÁP ÁN Bài 1.

 

   

5 41 1 1 25 5 41 3

) 11 9 : .2.

6 6 4 4 3 6 6 25

5 41 125 246 371 71 6 25 150 150 150 2150

) 8.125 3 400 673 8.50 1000 3. 400 273 619

5 4 3 1 13 5 4 3 1 13

) 7.

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1

7. 2 7 a

b c B

 

     

     

       

 

           

   1 1 1 1 1 1 1 1 1 13

7 11 11 14 14 15 15 28 7. 2 28 4

           

   

   

Bài 2.

   

 

 

 

3 2

3

3 3

) 7 11 3 .15 208

7 11 9.15 208

7 11 7 7 11 7 18

7 ....

2 7 5 6

) 2 7 20 5 3 2 7 5

2 7 5 1

a x x

x x x

Vay x

x x

b x x

x x

   

  

      



  

 

             Vậy ^x

 

^1;6

c) Do ^{ 4 1 .2}

 

^{ 4 2 .2}

 

^1 nên có các trường hợp sau:

*)

 

²

2 1 3

1 1

2 1

2 1 1

3 4

4 3 1

x x

y y

x

x x

y

y y

    

 

 

      

   

         

       



²



^{2 22 2 2 4}

2 2

3 1

*)

2 2 0

1 2

x x

x

y y

y

x x

y y

       

       



   

 

 

    

 Bài 3.

a) Ta xét 3 trường hợp: a 1; a 1; a 1 b  b  b  Th1: a 1

a b

b    thì a n a 1 b n b

  

 Th2:a 1

a b a n b n b        Mà a n

b n



 có phần thừa so với 1 là a b b n



 a

bcó phần thừa so với 1là a b b



Vì a b a b b n b

 

  ^nên

a n a b n b

 

 Th3: a 1

a b a n b n b        Khi đó : a n

b n



 có phần bù tới 1 là b a a, b n b



 có phần bù tới 1 là b a b



Vì b a b a b n b

 

  ^nên

a n a b n b

 

 b) Cho

11 12

10 1 10 1;

A 

  ^{rõ ràng} A1nên theo a, nếu a 1

b  thì a n a b n b

 

 



 

11 11

12 12

10 1 11 10 10

10 10

10 1 11

A   

  

  

Do đó:

 

 

11 10 10

12 11 11

10. 10 1

10 10 10 1

10 10 10. 10 1 10 1

A     

  

Vậy AB Bài 4.

a) D nằm giữa A và C AC AD CD   4 3 7cm b) Tia BDnằm giữa hai tia BA BC, nên ABC ABDDBC

0 0 0

55 30 25 DBC ABC ABD

     

c) Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bxvà BDnằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB. Tính được ABx90⁰ ABD

Mặt khác tia BDnằm giữa hai tia BA BC, nên 0⁰ ABD55⁰

0 0 0 0 0 0

90 55 ABx 90 0 35 ABx 90

       

Trường hợp 2: Tia Bx BD, nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được ABx90⁰ ABD

Lập luận tương tự trường hợp 1, chỉ ra được 90⁰  ABx145⁰ Vậy 35⁰  ABx145 ,⁰ ABx90⁰

d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BDchia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm Atia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn ABEthuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm AEvà C ở 2 nửa mặt phẳng bờ BDđường thẳng BDcắt đoạn EC

Xét đường thẳng CE

A

B C

E D

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau

Bài 5.

Ta có: ^{p4 q4 }



^{p4  1}

 

^{q4 1 ;240}



^8.2.3.5

Chứng minh p⁴ 1 240 Do p5nên plà số lẻ

Mặt khác ^{p4  1}



^p1



^p1

 

^{p2 1}





^{p 1}



  và



^p1



là hai số chẵn liên tiếp ^



^p1



^{p1 8}



Do p là số lẻ nên p²là số lẻ  p² 1 2 5

p nên p có dạng:

4 4

3 1 1 3 3 1 3

3 2 1 3 3 3 1 3

p k p k p

p k p k p

      

        Mặt khác p có thể là dạng :

 

4

2 2 2 4

2 2 4

4

5 1 1 5 1 1 5 5 1 5

5 2 1 5 2 1 25 20 5 5 1 5

5 3 1 25 30 10 5 1 5

5 4 1 5 5 5 1 5

p k p k k p

p k p k k k p

p k p k k p

p k p k p

         

           

        

        Vậy p⁴ 1 8.2.3.5hay p⁴ 1 240 Tương tự ta cũng có: q⁴ 1 240 Vậy



^{p4  1}

 

^{q4  1}



^{p4 q4 240}

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6

Bài 1. (5 điểm)

Cho A5⁵⁰ 5⁴⁸5⁴⁶ 5⁴⁴ ... 5  ⁶ 5⁴ 5²1 a) Tính A

b) Tìm số tự nhiên nbiết 26A 1 5ⁿ c) Tìm số dư trong phép chia Acho 100.

Bài 2. (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x,biết:

 

1 2 3 2015 2019

)1 3 5 7 9 ... 2 1 225

)2^x 2^x 2^x 2^x .... 2^x 2 8

a x

b ^{   }

       

      

Bài 3. (5,0 điểm)

a) Cho số abcchia hết cho 37. Chứng minh rằng số cabcũng chia hết cho 37 b) Tìm số x y, nguyên biết xy12 x y

Bài 4. (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên anhỏ nhất sao cho: achia cho 2 dư 1, achia cho 3 dư 1, achia cho 5 dư 4, achia cho 7 dư 3

Bài 5. (4,0 điểm)

1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có ađiểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a,biết số đường thẳng tạo thành là 421đường thẳng.

2. Vẽ đoạn thẳng AB6cm.Lấy hai điểm Cvà D nằm giữa A và B sao cho 9 .

ACBD cm

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD?

ĐÁP ÁN Bài 1.

 

50 48 46 44 6 4 2

2 50 48 46 44 6 4 2

52 50 48 46 8 6 4 2

52 52

) 5 5 5 5 .... 5 5 5 1

25 5 . 5 5 5 5 .... 5 5 5 1

5 5 5 5 ... 5 5 5 5

5 1

25 5 1

26 a A

A

A A A

        

         

        

      

b) Ta có: 26A 1 5ⁿmà 26A5⁵² 1nên 5⁵²   1 1 5ⁿ  n 52 c) A5⁵⁰ 5⁴⁸ 5⁴⁶ 5⁴⁴ ... 5  ⁶ 5⁴ 5² 1(có 26 số hạng)

       

       

 

50 48 46 44 6 4 2

48 2 44 2 4 2 2

48 44 4

46 42 2

46 42 2

5 5 5 5 .... 5 5 5 1

5 . 5 1 5 . 5 1 .... 5 . 5 1 5 1 5 .24 5 .24 ... 5 .24 24

5 .25.24 5 .25.24 ... 5 .25.24 24 6.100. 5 5 ... 5 24

        

        

    

    

    

Suy ra A chia cho 100 dư 24.

Bài 2.

a) Với mọi x ta có 2x1là số lẻ

Đặt A     1 3 5 7 9 ...



2x1



Alà tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x1

Số số hạng của A là:



^{2x 1 1 : 2 1}



^{ x(số hạng)}



^{2 1}



^{1 . : 2 2 225 15}

A x x x x

        

   

1 2 3 15 2019

2 3 2015 3 2016

)2 2 2 2 ... 2 2 8

2 1 2 2 2 ... 2 2 . 2 1

x x x x x

x

b  ^  ^  ^   ^  

      

Đặt M   1 2 2² 2³... 2 ²⁰¹⁵

Ta được: 2M  2 2² 2³.... 2 ²⁰¹⁶ M 2²⁰¹⁶ 1

Vậy ta có: ^{2 . 2x}



^{2016  1}



^{2 . 23}



^{2016  1}



^{2x 23 x 3}

Bài 3.

a) Ta có: abc 37100.abc 37abc00 37

 

 

 

.1000 00 37

.999 00 37

.999 37

ab c

ab c ab

ab cab

 

 

   

 

Mà ab.999ab.37.27 37cab 37 Vậy nếu abc 37thì cab 37

b) Ta có xy12  x y xy  x y 120

   

  

1 1 11 0

1 1 11 1.11 1. 11 11. 1 11.1

x y y

x y

     

             1

x 11 -1 1 11

1

y 1 11 -11 -1

x 10 0 2 12

y _{2 12 -10 0}

Vậy

  

x y^;  



10;2 ; 0;12 ; 2; 10 ; 12;0

   



   

Bài 4.

Vì achia cho 2dư 1, a chia cho 3 dư 1, achia cho 5 dư 4, achia cho 7 dư 3 Nên: a1 2;a1 3,a4 5;a3 7

 

11 2,3,5,7 11 2;3;5;7

a a BC

     , mà a là số tự nhiên nhỏ nhất

 

11 2,3,5,7 210 199

a BCNN a

     

Vậy số tự nhiên cần tìm là 199 Bài 5.

1) Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng:

+Chọn một điểm bất kỳ trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.

Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30đường thẳng.

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là



^{29.30 : 2}



^435đường thẳng

Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.

Tương tự như trên, giả sử trong ađiểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được ^{a a}



^{1 : 2}



đường thẳng.

Nhưng qua ađiểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng nên số đường thẳng bi giảm đi là ^{a a}



^{1 : 2 1}



^ đường thẳng

Theo bài ra ta có: a a



1 : 2 1 435 421 14



   



¹



^{30 6.5}

a a  

Vì a1và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a   1 a a 6 2)

a) Vì D nằm giữa A và B nên: ADDB AB Thay AB6cmta có: ADDB6cm

Lại có : ACDB9cmADDBACDBhay AD AC Trên tia AB có: AD ACDnằm giữa A và C

b) Vì D nằm giữa A và C suy ra ADDC AC Lại có : ACDB9cmADDCDB9cm Hay



^ADDB



^DC9cm

Thay ADDB6cm, ta có: 6cmDC9cm. Vậy DC3cm.

A D C B

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 6 CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019

Bài 1.

a) Cho ababablà số có 6 chữ số.Chứng tỏ số ababablà bội của 3

b) Cho S  5 5²  5³ 5⁴ ... 5 ²⁰⁰⁴. Chứng minh Schia hết cho 126và chi hết cho 65.

Bài 2.

Tìm số tự nhiên x,biết:

     

) 1 2 .... 2010 2029099

)2 4 6 8 ... 2 210

a x x x x

b x

       

      Bài 3. Thực hiện so sánh:

a)

2008 2009

2009 1 2009 1

A 

  ^với

2009 2010

2009 1 2009 1

B 

 

b) C1.3.5.7...99 với 51 52 53 100 . . ...

2 2 2 2

D Bài 4.

Ở lớp 6 ,A số học sinh giỏi học kỳ I bằng 3

7số còn lại. Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 2

3số còn lai. Tính số học sinh của lớp6A Bài 5.

Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.

a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BAthì

2 CA CB

CM 

 b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì

2 CA CB CM  

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Ta có: abababab.10000ab.100ab10101ab 3(do....10101 3) b) Có ^{5 5 2  53 54 55 56 5 1 5}



^{ 3}



^{5 . 1 52}



^{ 3}

 

^{5 1 53  3}



2 3

5.126 5 .126 5 .126

  

2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5

      chia hết cho 126

   

 

2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 6

1998 2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...

5 5 5 5 5 5 5

S              

     

Tổng trên có 2004 : 6334số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.

Có: ^{5 5 2  53 54   5 53 5 5 5}



^{ 3}



^{130 5.130}

2 3 4

5 5 5 5

    chia hết cho 130

   

2 3 4 4 2 3 4 2000 2 3 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5 ... 5 . 5 5 5 5

S             

Tổng trên có 2004 : 4501số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65 Bài 2.

   

 

) 2011 1 2 ... 2010 2029099 2010.2011

2011 2029099

2

2010.2011 2011 2029099

2 2010.2011

2029099 : 2011 4

2

) 2 1 2 3 ... 210 2. 1 210

2 1 210 14.15

14

a x

x x x

b x x x

x x x

     

  

  

 

    

        

   

  Bài 3.

a) Thực hiện quy đồng mẫu số:

  

     

2008 2010 4018 2010 2008

2009 2010 2009 2010

2009 1 2009 1 2009 2009 2009 1

2009 1 2009 1 2009 1 2009 1

C       

   

  

     

 

 

2009 2009 4018 2009 2009

2010 2009 2010 2009

2010 2008 2008 2

2009 2009 2008

2009 1 2009 1 2009 2009 2009 1

2009 1 2009 1 2009 1 2009 1

2009 2009 2009 . 2009 1 2009 2009 2009 . 2009 2009

D      

   

  

  

Do



^{20092  1}

 ^

^20092009

^

^{nên CD}

b) 1.3.5.7....99.2.4.6....100 1.3.5.7....99

2.4.6....100

A 

     

1.3.5.7..99.2.4.6...100



1.2.3...50.51.52.53...100 51 52 53 100 . . ...

1.2 . 2.2 3.2 .... 50.2 1.2.3....50.2.2.2...2 2 2 2 2

  

Bài 4.

Số học sinh giỏi kỳ I bằng 3

10số học sinh cả lớp Số học sinh giỏi cuối năm bằng 2

5số học sinh cả lớp 4 học sinh ứng với 2 3

5 10số học sinh cả lớp 1

10số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp: 1

4 : 40.

10  Bài 5.

CAMA CM CBMB CM

Trừ được ²



^...



2 CA CB CA CB  CM Do MAMB CM  

CA CM MA CB CM MB

 

 

Cộng được ²



^...



2 CA CB CA CB CM Do MA MB CM 

    

M B

A C

A M B C

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 6 – NĂM HỌC 2018-2019 Bài 1. Hãy chọn kết quả đúng

Tìm xbiết rằng:

 

1 1 1 1

5.88.11.... x x. 3 6



A. x27 B. x35 C. x25 D x. 205

Bài 2. Hãy chọn kết quả đúng

Trong tài liệu 300 đề thi học sinh giỏi môn Toán - Lớp 6 | Hocthattot.vn (Trang 116-129)