300 đề thi học sinh giỏi môn Toán - Lớp 6 | Hocthattot.vn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 6

NĂM HỌC 2018-2019

Bài 1. (3 điểm)

Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1; 2;3với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần

Bài 2. (4 điểm) Tìm ^{x x}





2

2 3 2 2

) 5 125 ) 3 81

) 5 2.5 5 .3

x x x

a b c ^





 

Bài 3. (4 điểm) Cho M  2 2² 2³ 2⁴... 2 ²⁰¹⁷2²⁰¹⁸

a) Tính M

b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3

Bài 4.(3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp 4 lần số cũ

Bài 5. (6 điểm)

a) Cho 40 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?

b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng.

c) Cho n điểm





ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 6 GIA LAI 2018-2019 Bài 1.

Trường hợp không dùng lũy thừa, số lớn nhất có thể viết được là 321

*Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1) - Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 13 ;31 ;12 ; 21^{2 2 3 3}

So sánh 21 à 31³v ²ta có 21³ 31²(vì 21³ 9261; 31² 961)

- Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 2 ; 2 ;3 ;3^{13 31 12 21}

So sánh 3²¹với 2³¹ta có

 

 

21 20 2 10 10

31 30 3 10 10

3 3.3 3. 3 3.9

2 2.2 2. 2 2.8

  

  

Từ đó suy ra 3²¹2³¹. So sánh 3²¹với 21³ta có : ^{32139 }

 

Vậy số lớn nhất là : 3²¹

Bài 2.

3

2

2 4

) 5 125

5 5

3 ) 3 81

3 3

2 4 2

x x

x x

a x b

x x





 





   

2 3 2 2

2 3 2 2

2 3 3

) 5 2.5 5 .3 5 5 .3 2.5

5 5

2 3 3

3

x x x

c

x x







 

 



 

 

Bài 3.

a) Ta có 2M 2² 2³ 2⁴... 2 ²⁰¹⁸2²⁰¹⁹

Lấy 2MM 2²⁰¹⁹2. Vậy M 2²⁰¹⁹2 b)

       

     

 

2 3 4 5 6 2017 2018

3 5 2017

3 5 2017

2 2 2 2 2 2 ... 2 2

2 1 2 2 . 1 2 2 .(1 2) ...2 . 1 2 3. 2 2 2 ... 2

M M M

        

       

    

Vậy M 3 Bài 4.

Gọi số cần tìm là ^abcde4, ta có: ^abcde4.4^4abcde Đặt abcde x abcde4x4

Ta có:

 

4.4 400 000 10 4 .4 400 000 40 16 400 000 39 399984

10256

x x

x x

x x

x x

 

  

  





Vậy số cần tìm là 10256.

Bài 5.

a) Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng Làm như vậy với 40 điểm ta được 39.40 1560 (đường thẳng)

Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần

Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2780 (đường thẳng)

b) Nếu 40 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được 780 đường thẳng.

*Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

10.9 : 245(đường thẳng)

Số đường thẳng cần tìm là : 780 44 736(đường thẳng) c) Ta có:

 

. 1 : 2 105 ( 1) 210 ( 1) 15.14 n n

n n n n

 

 

 

Vậy n = 15

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

MÔN TOÁN LỚP 6 Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (5,0 điểm) Tính hợp lý

           

2

2 3 4 99 100

) 2018 2017.2018

) 1 . 1 . 1 . 1 ... 1 . 1

1 2 3 88

88 ...

6 7 8 93

) 1 1 1 1

...

12 14 16 186

a A b B c C

 

      

    



     Bài 2. (5,0 điểm)

a. Tìm x y,  biết







b. Cho x y,  thỏa mãn













c. Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số ^{5 2}

 

2 7

n n

n

 

 rút

gọn được Bài 3. (4,0 điểm)

a. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n1; 2n1;5n1đều là số chính phương?

b. Cho A2017 2017 ²2017³... 2017 ¹⁸

Chứng tỏ rằng A 2018. Tìm chữ số tận cùng của A Bài 4. (4,0 điểm)

a. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC 5cm.Tính độ dài đoạn thẳng AC

b. Cho xOy160⁰. Vẽ tia phân giác Ox₁của xOy. Tính số đo góc xOx₁

Giả sử Ox₂là tia phân giác của xOx₁, Ox₃là tia phân giác của xOx₂,……Ox₄₂là tia phân giác của xOx₄₁. Tính số đo góc xOx₄₂

Bài 5. (2,0 điểm)

a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có n³n 6

b. Viết số 4321¹²³⁴dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6

----hết---

ĐÁP ÁN HSG 6 TRỰC NINH_2017-2018 Bài 1.

 

) 2018. 2018 2017 2018.1 2018

a A   

b) B 

   

 

1 2 3 88

1 1 1 ... 1

6 7 8 93

) 1 1 1 1

...

12 14 16 186

1 1 1 1

5 5 5 ... 5 5. ...

6 7 8 93

6 7 8 93

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... . ...

12 14 16 186 2 6 7 8 93

10 c C

C

C

           

       

       



   

     

     

 

 

          

 

Bài 2.

 

  

) 2 8 14

(2 1) 8 4 14 4 2 1 4(2 1) 10

2 1 4 10

a xy x y

x y y

x y y

y x

  

    

   

  

Vì x y, nên 2y 1 ,x 4 , suy ra 2y1,x4 là ước nguyên của 10 và 2y1lẻ Lập bảng

2y1 1 - 1 5 -5

4

x 10 -10 2 -2

x 14 -6 6 2

y 0 -1 2 -3

Vậy ¹⁴; ⁶; ⁶; ²

0 1 2 3

x x x x

y y y y

    

   

         

   

b) Phải chứng minh 3x5y 7  x 4y 7

Đặt A3x5 ,y B x 4 .y Xét tổng A4B7x21 7 Nếu A 74B 7, mà

 

Nếu B 74B 7A 7.Chứng tỏ 3x5y 7 x 4y 7 Vì







4 7 x y

x y x y

x y

 

    

Nếu















Nếu















c) Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n2và 2n7 Ta có: ^{5 2 2. 5}



 

 



2 7 5.(2 7)

n d

n d

n n d

n d n d





      

   

 

Vì d nguyên tố nên d 31

Khi đó ^{5 2 31 5 2 62 31 5 60 31 5( 12) 31} 2 7 31 2 7 31 31 2 24 31 2( 12) 31

n n n n

n n n n

    

   

  

        

   

Mà





 





Do 290 n 360290 31 k 12 360  9 k 11, mà k là số tự nhiên nên





k

Từ đó tìm được n





Bài 3.

a) Do n1là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

Nếu n1 3thì n chia cho 3 dư 2 2n1chia cho 3 dư 2, vô lý.

Do đó n1chia cho 3 sẽ dư 1n 3

Do 2n1là số chính phương lẻ nên 2n1chia cho 8 dư 1, suy ra 2n 8, từ đó 4

n

Do đó n1 là số chính phương lẻ nên n1chia cho 8 dư 1, suy ra n 8 Ta thấy n 3,n 8 mà

 

Với n24thì n 1 255 ; 2² n 1 497 ; 5² n 1 121 11 ²

Vậy n24là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài

b) Ta có A2017 2017 ²2017³... 2017 ²⁰¹⁸(tổng A có 2018 số hạng, 2018 2)

     

 

2 3 4 2017 2018

3 2017

3 2017

2017 2017 2017 2017 ... 2017 2017 2017.(1 2017) 2017 .(1 2017) ...2017 .(1 2017) 2018. 2017 2017 ... 2017 2018

A A A

      

     

   

   

       

2 3 4 5 6 2015 2016 2017 2018

3 2015

2017 2017 2017 2017 2017 2017 ... 2017 2017 2017 2017 ...6 2017 . ....0 ... 2017 . ...0 ...6

A A

          

    

Bài 4.

a) Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA

Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra điểm B nằm giữa hai điểm A và C

Ta có: AB BC AC thay số tính được AC7cm

Trường hợp điểm C thuộc tia BA

Trên tia BA, ^BABC





b)

Tia Ox₁là tia phân giác của xOynên

0 0 1

160 80

2 2

xOx  xOy  

A B C

C A B

y

x1

x2

x3

O x

Tia Ox₂là tia phân giác của xOx₁nên

0 1

2 2

160

2 2

xOx  xOx 

Tương tự như trên, tia Ox₄₂ là tia phân giác của xOx₄₁ nên

0 41

42 42

160

2 2

xOx  xOx 

Bài 5

a) Ta có



 

 





 









Với mọi số nguyên dương n thì



 



 







b) Ta có

1234

1 2 3

3 3 3 3

1 2 3

4321 ...

...

n n

a a a a

T a a a a

    

    

Xét hiệu T4321¹²³⁴ 









       

1234 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3

4321 ... _{n n}

T  a a  a a  a a   a a

Theo câu a ta có a₁³a₁ 6,a₂³a₂ 6,a₃³a₃ 6,...a³_na_n 6, nên T 4321¹²³⁴ 6

Suy ra T và 4321¹²³⁴cùng dư khi chia cho 6

Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên 4321¹²³⁴ chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 6 dư 1

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THẮNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN – Lớp 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: -3-2018

(Đề thi gồm 1 trang) Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:

 

) 2013 .2014 1007.26 1313 10 130 1515 ) 1414 160 140 1616 a

b

 

     

   

   

Câu 2. (6,0 điểm)

a) Tìm x y z, , biết x y 2011 ; y  z 2012; z x 2013

b) Tìm hai số tự nhiên a và b biết BCNN a b( , )180 ;UCLN a b( , )12

c) Tìm n để phân số ^{4 1}

2 3

A n n

 

 có giá trị nguyên.

Câu 3. (4,0 điểm

Một hiệu sách có năm hộp bít bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1:

78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc.

Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi gấp bốn lần số bút chì còn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì ?

Câu 4. (4,0 điểm) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA7cm OD; 3cm BC; 8cmvà AC3BD

a) Tính độ dài AC

b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD

Câu 5 (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó sau số 2014 ta được số chia hết cho 101

--hết---

ĐÁP ÁN Câu 1

 

 

 

 

) 2013 .2014 1007.26 2013 .2014 2014.13 2014. 2013 13

2014. 2000 4028000 1313 10 130 1515 ) 1414 160 140 1616

13 1 13 15

14 16 14 16

13 13 15 1

14 14 16 16 1 a

b

 

  

  

   

     

   

   

   

      

   

       Câu 2.

a) Từ đề bài ta có:

     





2 2012 1006

x y y z z x

x x

        

   

Vì x y 2011  y x 2011 1006 2011   1005

Vì x z 2013 z 2013 x 2013 1006 1007  Vậy x1006 ;y 1005 ; z1007

b) Ta có ab180.122160

Giả sử ab.Vì UCLN a b( , )12nên a12 ,m b12n với





Suy ra 12 .12m n2160mn15. Ta có bảng sau:

m n a b

1 15 12 180

3 5 36 60

c) 4 1 ^{2 2}





2 3 2 3 2 3 2 2 3

n n

A n n n n

 

    

   

A có giá trị nguyên ^{2n 3 U}

  



Ta có bảng sau

2n3 1 -1 7 -7

n -1 -2 2 -5

Câu 3.

Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là: 78 80 82 114 128    482 (chiếc)

Vì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và số bút chì còn lại là số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2.

Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2.

Vậy hộp bút chì bán đi là hộp 3: 82 chiếc

Số bút bi và bút chì còn lại là : 482 82 400(chiếc) Số bút chìn còn lại : 400 : 5 80 (chiếc)

Vậy , các hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp 3 Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp 5 Câu 4.

a) Đặt BDx cm( )AC3 (x cm)

Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên : OD DA OA  DA4

4 4 (1)

DB BA hay x BA

    

Vì A nằm giữa B và C nên : BA AC BC hay 3xBA8(2)

Từ (1) và (2) ta có



 



b) Theo (1) ta có: xBA4mà x 2 BA2

Mà BD  x 2 BDBA( 2) Blà trung điểm của đoạn thẳng AD Câu 5.

Giả sử n có k chữ số





Ta có : 2014 19.101 95  , do đó:

2014n2014.10^k  n 19.101.10^k95.10^kn Suy ra 2014 101n khi và chỉ khi 95.10^kn 101

Với k 1thì 95.10^k  n 950 n 101.9 (41 n) 101khi và chỉ khi 41n 101 nhưng n có một chữ số nên 41 n 41 9 101  , nên không có số n thỏa mãn đầu bài.

Với k2thì ^{95.10k n 9500 n 101.94 }





Vậy n = 95 thỏa mãn đề bài

O D B A C

UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN – LỚP 6

Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức 1 ¹ . 1 ¹ . 1 ¹ ... 1 ¹

3 8 15 2499

A             

       

2) Tính nhanh

1 1 1 4 4 4

1 4

3 9 27 : 7 49 343

2 2 2 1 1 1

2 1

3 9 27 7 49 343

B

     



     

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Tìm x, biết ^{1 1 1} ... ^{1 23} 1.2 2.3 3.4 8.9 x 45

      

 

 

2) So sánh:

99 100

2018 1 2018 1

E 

 và

98 99

2018 1 2018 1

F  

 Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên x y, biết 5^x11^y 26

2) Tìm số nguyên tố ab





1) Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA6cm OB, 10cm.Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA, AB. Tính độ dài đoạn thẳng EF.

2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, OZ sao cho

0 0

50 ; 100

xOy xOz . Vẽ tia Oy’ là tia đối của tia Oy. Tính số đo ^{y Oz'}

3) Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất của abc 1918 Aa b c

  --hết---

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 KINH MÔN 2017-2018 Câu 1.

1 1 1 1

1) 1 . 1 . 1 ... 1

3 8 15 2499

4 9 16 2500 2.2 3.3 4.4 50.50 . . ... . . ...

3 8 15 2499 1.3 2.4 3.5 49.51 2.3.4...50 2.3.4...50 50 2 1

. .

1.2.3...49 3.4.5...51 1 51 A

A

       

             

 

   00

51 Vậy ¹⁰⁰

A 51

1 1 1 4 4 4

1 4

3 9 27 7 49 343

2) :

2 2 2 1 1 1

2 1

3 9 27 7 49 343

1 1 1 1 1 1

1. 1 4. 1

3 9 27 7 49 343

1 1 1 : 1 1 1

2. 1 1. 1

3 9 27 7 49 343

1 1

2: 4 8 B

B

B

     



     

         

   

   

          

   

 

Vậy ¹

B8

Câu 2.

1 1 1 1 23

1) ...

1.2 2.3 3.4 8.9 45

1 1 1 1 1 1 1 1 23

...

1 2 2 3 3 4 8 9 45

1 1 23

1 9 45

8 23 23 8 23

9 45 45 9: 40

x x x

x x

      

 

 

          

 

 

   

 

 

   

Vậy ²³

x 40

2)Ta có:

99 100

100 100 100

2018 1 2018 2018 2017

2018 2018. 1

2018 1 2018 1 2018 1

E   E   E 

  

98 99

99 99 99

2018 1 2018 2018 2017

2018. 2018. 1

2018 1 2018 1 2018 1

F    F   F  

  

Vì ²⁰¹⁷₁₀₀ ²⁰¹⁷₉₉ 1 ²⁰¹⁷₁₀₀ 1 ²⁰¹⁷₉₉ 2018 12018 1 2018 1 2018 1

   

Hay 2018E2018F E F Vậy E > F

Bài 3

1. +Với y2, ta có 11² 121 26  y 2 không thỏa mãn Do y là số tự nhiên nên ^y

 

+) Với y = 1, ta có: 5^x 11 265^x 15vì x là số tự nhiên không có giá trị nào của x thỏa mãn 5^x 15 y 1 không thỏa mãn

+)Với y0 ta có 5^x 1 265^x 255²nên x=2 (thỏa mãn) Vậy x2;y0

2. Ta có: ^{ab ba 9}





Do a, b là các chữ số, ablà số nguyên tố, nên ^{3 b 9.}





 

+) Với a b 1mà ablà số nguyên tố ta được số ab43 +)Với a b 4 mà ablà số nguyên tố ta được số ab73 Vậy ^ab





Bài 4.

Câu 1

Vì hai điểm A, B cùng nằm trên tia Ox mà OA < OB





Thay số 6AB10AB4cm. Vậy AB4cm Vì E là trung điểm OA nên

2

EAOA, thay số EA6 : 23cm

F là trung điểm của ABnên

2 AF  AB

Thay số: AF 4 : 22cm

Do A nằm giữa O và B. Mà E là trung điểm của OA, F là trung điểm của AB nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F

O E A F B

3 2 5( )

EF EA AF cm

      Vậy EF 5cm.

Câu 2

Vì hai tia Oz Oy, cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, mà ^xOyxOz nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox vfa Oz

xOy yOz xOz

   . Thay số 50⁰yOz100⁰ yOz50⁰ Do tia Oy'là tia đối của tia Oy y Oz yOz' , là hai góc kề bù

' 1800

y Oz yOz

   . Thay số : y Oz' 50⁰ 180⁰ y Oz' 130⁰ Vậy y Oz' 130⁰

Câu 3.

Giả sử trong 2018 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng

Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường thẳng. Làm như vậy với 2018 điểm ta được 2018.20174070306đường thẳng

Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng kẻ được là :

2035153đường thẳng.

Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3; Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng là 1; Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là :

3 1 2 

Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ được là : 2035153 2 2035151 

y'

y

x z

O

Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng.

Câu 5

100 10

1918 1918

abc a b c

A a b c a b c

 

   

   

+)Nếu b c 0thì A100 1918 2018 +)Nếu b hoặc c khác 0thì

100 100 100

1918 100 1918 2018

a b c

A a b c

 

    

 

Nên A2018

Giá trị lớn nhất của A là ²⁰¹⁸khi a





PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

BÁ THƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019

Môn : Toán lớp 6 Câu 1. (3 điểm) Tính

 

2

5 2 5

1 2 .7 2

)4.5 3. 24