trắc nghiệm

1C 2D 3B 4A 5B 6C 7D 8C 9B 10A 11D 12A II. tự luận

Câu 1.

 

)4 13 10 40 13 10 39 13

39 13 10 13

) 43;73

a b a b a b b

Do b a b

b ab

    

 

 Câu 2.

a) M  amà a là số nguyên âm nên M luôn dương b) x0,y0hoặc x2,y2

Câu 3.

a) Lập luận chứng tỏ được OA OB

b) Lập luận chứng tỏ OM ONnên M nằm giữa hai điểm O và N

c) .

2

MN  AB Vì AB có độ dài không đổi nên MNcó độ dài không đổi.

Câu 4. B15

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2019-2020

Môn: Toán 6 Bài 1. (2,0 điểm)

a) Rút gọn phân số:

 

^{3 3 3}

3 4

2 .3 .5 .7.8 3.5 .2 .42



b) So sánh không qua quy đồng: ₂₀₀₅7 15₂₀₀₆ 15_{2005 2006}7

10 10 ; 10 10

A   B  

   

Bài 2. (2,0 điểm)

Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:

1 1 1 1 1 1

) 20 30 42 56 72 90

5 4 3 1 13

) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 a A

b B

     

     

    

Bài 3. (2,0 điểm)

Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65kg,71kg,58kg,72kg,93kg.Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài.

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB

a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA OB OC OD, , , đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc ?

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho p p, 4là các số nguyên tố



^p3



. Chứng minh p8là hợp số

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Hs tự rút gọn

2005 2006 2005 2006 2006

2005 2006 2005 2005 2006

2006 2005

7 15 7 8 7

) 10 10 10 10 10

15 7 7 8 7

10 10 10 10 10

8 8

10 10

b A B

A B

    

    

    

    

     Bài 2.

1 1 1 1 1 1 1 1

) .... ....

20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10

1 1 1 1 1 1 3

...

4 5 9 10 4 10 20

5 4 3 1 13 5 4 3 1 13

) 7.

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

1 1 1 1 1

7. 2 7 7 11 11 a A

b B

     

           

    

         

 

           

      1 1 1 1 1 1 1 1

7. 3

14 14 15 15 28 2 28 4

        

   

   

Bài 3.

Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65 71 58 72 93 359(     kg)

Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3.

Trong các số 65;71;58;72;93chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 Vậy gỉ cam bán đi là giỏ 71kg

Số xoài và cam còn lại: 359 71 288(  kg) Số cam còn lại: 288: 472(kg)

Vậy các giỏ đựng cam: 71kg, 72kg Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg

Bài 4.

a) Vì góc AOB và BOC là hai góc kề bù nên: AOBBOC 180⁰mà 5

BOC  AOBnên 6.AOB180⁰ AOB30 ,⁰ BOC 150⁰ b) Vì ODlà tia phân giác của BOCnên 1 ⁰

2 75

BODDOC  BOC  Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AODDOC180⁰ Do đó: AOD180⁰ DOC180⁰ 75⁰ 105⁰

c) Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc tính 2 lần. Vậy có tất cả 2010.2009

2019045

2  góc

Bài 5.

P có dạng ^{3k1,3k2}



^k



Dạng p3k  2 p 4là hợp số trái với đề bài

3 1 8 3 9 3 8

p k p k p

         là hợp số

A C

B D

O

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019

Môn thi: TOÁN 6 Câu 1.Tính giá trị các biểu thức sau:

       

^{2 3 4}

   

^{2010 2011}

) 1 . 1 . 1 . 1 ... 1 . 1

a A      

131313 131313 131313 ) 70.

565656 727272 909090

b B    

 

2 3 4 5

) 3 4 5 2

a b c d

c C  b  c  d  abiết2 3 4 5

3 4 5 2

a b c d

b  c  d  a Câu 2. Tìm xlà các số tự nhiên, biết:

1 8

) 2 1

2 2 1 3 0, 4 9 11 ) : 9

8 8 2 2 1,6

9 11 a x

x b x

 



    

 

   

Câu 3.

a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên

 

^{x y,} sao cho 34 5x ychia hết cho 36 b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:

2010 2011 2011 2010

9 19 9 19

10 10 ; 10 10

A    B    Câu 4. Cho 1

4 A n

n

 



a) Tìm nnguyên để Alà một phân số b) Tìm nnguyên để Alà một số nguyên.

Câu 5.

Cho tam giác ABCcó ABC 55 ,⁰ trên cạnh AC lấy điểm D(Dkhông trùng với A và C)

a) Tính độ dài AC,biếtAD4cm CD, 3cm b) Tính số đo DBCbiết ABD30⁰

c) Từ B dựng tia Bxsao cho DBx90 .⁰ Tính số đo ABx

d) Trên cạnh ABlấy điểm E(E không trùng với Avà B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CEcắt nhau.

ĐÁP ÁN Câu 1.

     

) 1.1. 1 ... 1 .1. 1 1

13 13 13 1 1 1

) 70. 70.13.

56 72 90 7.8 8.9 9.10

1 1

70.13. 39

7 10 a

b B

     

   

        

   

 

   

c) Đặt 2 3 4 5

3 4 5 2

a b c d

b  c  d  a k

Ta có: 2 3 4 5 ^{4 4}

. . . 1 1 4

3 4 5 2 a b c d

k k k C

b c d a          Câu 2.

 

²

 

²

1 8

) 1 16 4

2 1

) 1 4 3

) 1 4 5( )

a x x

x

x x

x x ktm

      



    

       Vậy x3

2 2 2 2

0, 4 0, 4

1 3 9 11 19 3 9 11

) : 9 :

8 8 2 2

2 2 1,6 2 2 4. 0, 4

9 11 9 11

1 2

8 4

b x x

x x

   

      

     

         

    Câu 3.

a) Ta có: 369.4mà ƯC(4,9) 1

Vậy để 34 5x ychia hết cho 36 thì 34 5x ychia hết cho 4 và 9 34 5x ychia hết cho 9 khi ^{3 4   x 5 y 912 x y 9 1}

 

34 5x ychia hết cho 4 khi 5y 4 y 2,y6 Với y2thay vào (1)14x 9 x 4

Với y6thay vào (1) 0

18 9

9 x x

x

 

    

Vậy các cặp

 

^{x y,} cần tìm là :

     

4,2 ; 0,6 ; 9,6 b) Ta có:

2010 2011 2010 2011 2011

2011 2010 2011 2010 2010

9 19 9 10 9

10 10 10 10 10

9 19 9 10 9

10 10 10 10 10

A B

    

    

    

    

Ta thấy 10₂₀₁₁ 10₂₀₁₀

10 10  A B Câu 4.

a) 1

4 A n

n

 

 là phân số khi n    4 0 n 4

b) 1 4 5 5

4 4 1 4

n n

A n n n

  

   

  

Với nnguyên, A nhận giá trị nguyên ^{5 n 4}



^{n 4}



^U

  

^{5   1; 5}



Lập luận tìm ra được n   9; 5; 3;1 Câu 5.

a) D nằm giữa A và CAC AD CD   4 3 7cm

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC ABDDBC

0 0 0

55 30 25 DBC ABC ABD

     

c) Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bxvà BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx90⁰ ABD

A

B C

E D

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA BC, nên 0⁰  ABD55⁰

0 0 0 0 0 0

90 55 ABx 90 0 35 ABx 90

       

- Trường hợp 2: Tia Bx BD, nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx90⁰ ABD

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 90⁰ ABx145⁰ Vậy 35⁰  ABx145 ,⁰ ABx90⁰

d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BDchia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BDchứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

tia BAthuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn ABEthuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A ,

E Cở hai nửa mặt phẳng bờ BD

đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC BD, cắt nhau

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẠCH THÔNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI: TOÁN – LỚP 6 Câu 1. (4,0 điểm)

a) Thực hiện phép tính

   

10 10

8

540 : 23,7 19,7 42. 132 75 36 7317 2 .13 2 .65

2 .104 A

B

     

 

b) Chứng minh rằng tổng của 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp chia cho 10 dư 5

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2015hay không ? Vì sao ? b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p11cũng là số nguyên tố.

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Tìm xbiết:



^{x 1}

 

^{x 3}

 

^{x 5}



^....



^x99



^0

b) Tìm n biết:



^3n8

 

^n1



Câu 4. (4,0 điểm)

a) Tìm tích 1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4 100

         

     

     

b) So sánh Avà Bbiết: 2013.2014 1 2013.2014

A 

 và 2014.2015 1

2014.2015

B 

 Câu 5. (4,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB;điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M N, thứ tự là trung điểm của OA OB,

a) Chứng tỏ OA OB

b) Trong ba điểm O M N, , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MNkhông phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia OB).

ĐÁP ÁN Câu 1.

 

 

10 10 10 10

8 8 8 3

) 540 : 4 42.171 7317 135 7182 7317 0

2 .13. 1 5

2 .13 2 .65 2 .13.6

2 .104 2 .8.13 2 .2 .13 3 a A

A B

  

   

 

   

b) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là:2 ;2n n2;2n4;2n6;2n8 Tính tổng ta được: 10n20 10

Gọi 5 số lẻ liên tiếp là: 2n1;2n3;2n5;2n7;2n9 Tính tổng được: ^{10n25 10}



^n2



^5chia cho 10 dư 5 Câu 2.

a) Tổng của hai số nguyên tố bằng 2015 là số lẻ, nên một trong hai số nguyên tố phải là 2

Khi đó số kia là 2013, số này là hợp số

Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2015

b) Nếu plẻ p 11là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố Suy ra pchẵn  p 2

Câu 3.

a) Ta có:

       

   

 

1 3 5 .... 99 0

1 99 .50

2 0 50 .50 0

50 0 50

x x x x

x x

x

x x

        

  

 

  

 

    

b) Ta có: ^{3n 8 3n  3 5 3}



^{n 1}



⁵

Suy ra :



^3n8

 

^n1



^khi



^{n 1}



^{U(5)  }



^{1; 5}



Tìm được: ^{n  }



^{6; 2;0;4}



Câu 4.

a) Ta có:

 

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4 100

1.2.3.4....99

1 2 3 99 1

. . ...

2 3 4 100 2.3.4....100 100

         

     

     

     

  

b) Ta có:

2013.2014 1 1

2013.2014 1 2013.2014

2014.2015 1 1

2014.2015 1 2014.2015 A

B

   

   

Vì 1 1

2013.2014 2014.2015nên AB Câu 5.

a) Hai tia OA OB, đối nhau nên điểm Anằm giữa hai điểm Ovà B, suy ra OA OB

b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA OB, nên ;

2 2

OA OB

OM  ON  Vì OA OB OM ON

Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM ONnên điểm M nằm giữa hai điểm Ovà N

c) Ta có: OM MN ONMN ON OM

Hay 2 2

OB OA AB MN   

Vì ABcó độ dài không đổi nên MNcó độ dài không đổi.

M N

O A B

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIAO THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6

Bài 1.

1) Tính tổng A1.22.3 3.4 ... 98.99   2) Cho biểu thức : 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

...

5 6 7 100

B    

Chứng tỏ rằng 1 1 6 B 4 Bài 2.

Tìm số nguyên xbiết: ^{1 2 18}

18 0

2 .2 .2^{x x x} 1000....0 : 5

chu so

  

Bài 3.

1) Cho abcdeg 7.Chứng minh abcdeg 7 2) Tìm số nguyên nsao cho n² 1 n1 Bài 4.

Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780. Tính n

Bài 5. Tìm các chữ số a b, sao cho a b 4và 7 5 1 3a b

ĐÁP ÁN Bài 1.

     

2 2 2

1)3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... 98.99.3

1.2.3 2.3. 4 1 3.4 . 5 2 ... 98.99. 100 97

1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 .... 98.99.100 97.98.99 98.99.100 98.33.100 323400

1 1 1 1 1 1

2) .... ....

5 6 100 4.5 5.6

A

A B

    

        

       

   

       

2 2 2

1 1 1 1 1 1

99.100 4 5 5 6 .... 99 100

1 1 1

4 100 4(1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

.... .... ....

5 6 100 5.6 6.7 100.101 5 6 6 7 100 101

1 1 96 96 1 1

5 101 505 576 6 6 (2) B

B

B B

      

  

              

      

Từ (1) và (2) 1 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ 1 ...

6 5 6 7 100 4

      

Bài 2.

1 2 18

18 0

3 3 18 18 18

2 .2 .2 1000....0 : 5

2 10 : 5 2 3 3 18 5

x x x

chu so

x x x

 





      

Bài 3.

1) Ta có: abcdeg 1000. abcdeg



^{1001 1}



^{abc deg 1001abc abc deg 1001abc}



^{abc deg}



        

Vì 1001abc7.143abc7.143.abc 7 (1) deg 7

abc (gt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra abcdeg 7 2) Ta có:

   

2 2 1 1 3

n  n n    n  Vì ^{n n}



^1



^{n1và  }



^{n 1}



^n1

Để n² 2 n1thì ^{3 n   1 n 1 U(3)}     



^{1; 3}



ⁿ



^{2;0; 4;2}



Bài 4.

Mỗi đường thẳng cắt n1đường thẳng còn lại tạo nên n1giao điểm Có nđường thẳng nên có ^{n n}



^1



^{giao điểm}

Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên số giao điểm là



¹



2 n n

Vậy với nđường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy có



¹



2 n n

giao điểm (1)

Theo bài ra với nđường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780 (2)

Từ (1) và (2)



¹



⁷⁸⁰



¹



^{1560 39.40 40}

2

n n n n n

       

Bài 5.

Vì 7 5 1 3a b     7 a 5 b 1 3  a b 13 3  a b 1 3 Mà ⁰  a b ¹⁸



a b

 

2;5;8;11;14;17



(1)

Vì a b 4chẵn nên a và b cùng lẻ hoặc cùng chẵn  a bchẵn (2) Từ (1) và (2) suy ra ^{a b}



^2;8;14



2; 4 3, 1( )

8; 4 6; 2( )

14; 4 9; 5( )

a b a b a b ktm

a b a b a b tm

a b a b a b tm

       

      

       Vậy a6,b2hoặc a9,b5

PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC

Trường THCS Trung Nguyên ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học 2018-2019

Môn Toán 6 Bài 1. (2 điểm)

a) Cho ababablà số có 6 chữ số. Chứng tỏ ababablà bội của 3

b) Cho S  5 5²  5³ 5⁴ ... 5 ²⁰⁰⁴.Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65.

Bài 2. (2,0 điểm)

Tìm số tự nhiên xbiết:

     

) 1 2 ... 2010 2029099

)2 4 6 8 .... 2 210

a x x x x

b x

       

      Bài 3. (2,5 điểm)

a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 49 ,32^{31 2000} b) Chứng tỏ rằng: 10²⁰¹¹8chia hết cho 72

c) So sánh các số sau: 3³⁹và 11²¹;199²⁰và 2003¹⁵ Bài 4. (1,5 điểm)

Khối 6 của một trường chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6

Bài 5. (1,5 điểm)

Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nằm giữa A và B, lấy điểm I nằm giữa O và B

a) Giả sử AB5cm AO, 2cm BI, 2cm.Tính OI

b) Giả sử OAa BI, b.Tìm điều kiện của a và b để AI OB Bài 6. (1 điểm)

a) Vẽ 5 đoạn thẳng đôi một cắt nhau sao cho tổng số giao điểm là 10. Giải thích vì sao số giao điểm không thể vượt quá 10 ?

b) Cho trước n điểm



^{n ,n2}



. Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 210 đoạn thẳng. Tìm n.

ĐÁP ÁN Bài 1.

) .10101 3

a abababab ababablà bội của 3 b) Chứng minh S chia hết cho 126

Có: ^{5 5 2  53 54  55 56 5 1 5}



^{ 3}

 

^{5 1 52  3}

 

^{5 1 53  3}



^{126.(5 5 2 5 ) 1263}

   

 

2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 6

1998 2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5 5 . 5 5 5 5 5 5 ....

5 . 5 5 5 5 5 5

S             

     

Tổng trên có 2004:6=334 số hạng chia hết cho 126 nên S 126

*Chứng minh S chia hết cho 130

Có: ^{5 5 2  53 54  }



^{5 53}

 

^{5 5 5 3}



^{130 5.130  5 52  53 5 1304}

   

2 3 4 4 2 3 4 2000 2 3 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5 .... 5 . 5 5 5 5

S             

Tổng trên có 2004 :4=501 số hạng chia hết cho 130 nên S 130.

Bài 2.

 

   

)2011 1 2 ... 2010 2029099 2010.2011

2011 2029099

2

2010.2011

2029099 : 2011 4

2 )2 1 2 3 ... 210

2. 1 210 . 1 210 14.15 14

2

a x

x x

b x

x x x x x

    

  

 

    

    

       

Bài 3.

a) Do 49 có chữ số tận cùng là 9, khi đó nâng lên lũy bậc lẻ có chữ số tận cùng là 9

Vậy 49³¹có chữ số tận cùng là 9

Ta có 32²⁰⁰⁰ 32^4.500 có chữ số tận cùng là 0 nên khi nâng lên lũy thừa 4n có tận cùng là chữ số 6. Vậy 32²⁰⁰⁰có chữ số tận cùng là 6

b) Vì 10²⁰¹¹8có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 Lại có 10²⁰¹¹8có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8

Vậy 10²⁰¹¹8chia hết cho 72.

c) Ta có: ^{339 340 }

 

^{34 10 81 ;1110 211120 }

 

^{112 10 12110}

Vì 121¹⁰ 81¹⁰nên 11²¹3³⁹

Ta có: ^{19920 20020 }



^8.25



^{20 2 .560 40}

 

¹⁵

15 15 4 3 60 45

2003 2000  2 .5 2 .5 Vì 2 .5^{60 40} 2 .5^{60 45}nên 199²⁰ 2003¹⁵ Bài 4.

Gọi xlà số học sinh khối 6



^x



Theo đề ra ta có: ^{x 3 BC}



^10,12,15



^{và x 11,x400}

(10,12,15) 60

BCNN 



3;63;123;183;243;303;363;423;543....



x , mà x11,x400 x 363

Vậy số học sinh khối 6 là 363 em Bài 5.

a) Có hình vẽ đúng

Vì I nằm giữa A và B nên AB AI IBAI  ABIB  5 2 3cm O nằm giữa A và I nên AI OA OI OI  AI AO  3 2 1cm b) Vì O nằm giữa A và I nên AI OA OI

I nằm giữa O và B nên OBOI IB Để AI OBthì OABI  a b Bài 6.

a) Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với bốn đoạn còn lại nhiều nhất chỉ có thể là 4. Vậy với 5 đoạn thẳng thì số giao điểm nhiều nhất là 5.420.Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần do đó số giao điểm nhiều nhất chỉ có

4.5: 2 10, suy ra số giao điểm không thể vượt quá 10

b) Qua mỗi cặp điểm vẽ được 1 đoạn thẳng. Có n điểm cho trước vẽ được:



^{1 : 2}



n n đoạn thẳng.

Số đoạn thẳng vẽ được là : 210đoạn thẳng nên ta có:



^{1 : 2}



^{210 ( 1) 210 21.20}

n n  n n   Vậy n21

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 -2018

MÔN: TOÁN 6 Câu 1. (5,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: 10.11 50.55 70.77 11.12 55.60 77.84

 

 

b) Tìm số tự nhiên x,biết: ^{1 2 18}

18... .. ..0

5 .5 .5^{x x x} 1000...0 : 2

chu so

  

c) Tìm hiệu a b ,biết rằng:

1.2 2.3 3.4 ... 98.99

a     và b 1² 2²  3² ... 98 ² Câu 2. (3,0 điểm)

a) Cho A 5 5²... 5 . ¹⁰⁰ Tìm số tự nhiên n,biết rằng: 4.A 5 5ⁿ b) Tìm tất cả các số tự nhiên nđể phân số 18 3

21 7 n n



 có thể rút gọn được.

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 11 dư 6, chia cho 4dư 1 và chia cho 19dư 11.

b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p²⁰¹⁶ 2018là số nguyên tố hay hợp số

c) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp đôi tích các chữ số của nó Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hai góc AOx38⁰và BOx112 .⁰ Biết rằng AOxvà BOxkhông kề nhau a) Trong 3 tia OA OB Ox, , tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ?

b) Tính số đo góc AOB

c) Vẽ tia phân giác OM của góc AOB.Tính số đo góc MOx

d) Nếu AOx;BOx,trong đó 0⁰     180⁰và   .Tìm điều kiện liên hệ giữa và  để tia OAnằm giữa hai tia OBvà Ox.Tính số đo MOx theo  và 

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho 100số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho 7

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Ta có:

 

 

10.11. 1 5.5 7.7

10.11 50.55 70.77 5

11.12 55.60 77.84 11.12. 1 5.5 7.7 6

 

   

   

b) Ta có: ^{1 2 18 1 2 18 18}

18... .. ..0

5 .5 .5^{x x x} 1 000....0 : 2 5^{x x x} 10 : 2

chu so

        

18 18

3 3 18

18

10 10

5 5 3 3 18 5

2 2

x^   x x

          c) Ta có: a1.22.3 3.4 ... 98.99  

       

  ^{ }

 

 

2 2 2 2

2 2 2 2

1. 1 1 2 1 2 3 1 3 ... 98. 1 98 1 1 2 2 3 3 ... 98 98

1 2 3 ... 98 1 2 3 .... 98 1 2 3 .... 98

1 98 .98 : 2 4851 b

b b

        

        

         

     

    

Vậy a b 4851 Câu 2.

a) Ta có: 5A5²  5³ .... 5 ¹⁰¹



^{2 3 101}

 

^{2 100}



¹⁰¹

101

5 5 5 ... 5 5 5 ... 5 5 5

4 5 5

A A A

           

  

Lại có: 4A 5 5ⁿ 5ⁿ 5¹⁰¹ n 101

b) Giả sử 18n3và 21n7cùng chia hết cho số nguyên tố d Khi đó 18n3 dvà ^{21n7 d6 21}



^n7

 

^{7 18n3}



^{d 21 d}

 d Ư(21)^

 

^3;7

+Nếu d 3 không xảy ra vì 21n7không chia hết cho 3 +Nếu d 7khi đó, để phân số có thể rút gọn được thì:

 

18n3 7 vi...21n7 7 18n 3 21 7

 

18 n 1 7

  mà



^18,7



^{  1 n 1 7 n 7k1}



^k



Vậy để phân số 18 3 21 7

n n



 có thể rút gọn được thì ^n7k1



^k



Câu 3.

a) Gọi số cần tìm là ^{a a}



^{ *}



^{, ta có:}



^{a6 11;}

 

^{a1 4}



^và



^{a11 19}



Ta có:

   

   

   

6 33 11 27 11

1 28 4 27 4

11 38 19 27 19

a a

a a

a a

   

   

   

Do alà số tự nhiên nhỏ nhất nên a27nhỏ nhất Suy ra : ^{a27BCNN}



^4;11;19



^836

Từ đó tìm được a809

b) Vì plà số nguyên tố lớn hơn 3 nên pchia cho 3 dư 1 hoặc pchia cho 3 dư 2 p2

 chia cho 3 dư 1

Mà ^{p2016 }

 

^{p2 1008nên p2016chia cho 3dư 1.}

Mặt khác: 2018chia cho 3 dư 2, do đó:



^{p2016 2018 3}



Vì



^{p2016 2018 3}



^và



^{p2016 2018}



^{3nên p2016 2018là hợp số}

c) Gọi số tự nhiên phải tìm là abvới a b,  ,1 a 9,0 b 9 Theo đề bài, ta có: ^{10a b 2ab10a2ab b 10ab}



^2a1



10a 2a 1

  mà



^{a a;2  1}



^{1nên 10 2a1}

Vì 2a1lẻ nên 2 1 1 1 10( )

2 1 5 3 6( )

a a b ktm

a a b tm

     

      

 Vậy số cần tìm là 36

Câu 4.

a) Do AOxvà BOxlà hai góc không kể nhau mà có chung cạnh Ox nên hai tia OAvà OBcùng nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox

Mà AOxBOx(vì 38⁰ 112 )⁰ nên tia OAnằm giữa hai tia OBvà Ox b) Do OAnằm giữa hai tia OBvà Oxnên ta có:

0 0 0

38 112 74

AOxAOBBOx AOB AOB

c) Do OMlà phân giác của góc AOBnên: 1 1 ^{0 0} .74 37

2 2

AOM  AOB 

Do tia OA nằm giữa hai tia OBvà Ox;tia Om nằm giữa hai tia OAvà OB(OM là tia phân giác của AOB)nên tia OAnằm giữa hai tia OM và Ox

0 0 0

37 38 75 MOx AOM AOx

     

d) Có OAvà OB nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oxnên để tia OAnằm giữa hai tia OB và Oxthì  

Thật vậy, nếu   thì AOxBOxtia OBnằm giữa hai tia OAvà Ox Nếu   thì AOxBOxtia OB trùng với tia OA

Với   ta có:

 

1 1

2 2

AOx AOB BOx AOB

AOB AOM AOB

 

   

    

      

x O

B M

A

Vậy ¹

 

¹

 

2 2

MOx AOM  AOx       Câu 5.

Ta có 100 số khi đem chia cho 7 thì các số dư nhận nhiều nhất là 7 giá trị khác nhau

Vì 1007.142nên theo nguyên lý Dirichle ta sẽ tìm được 15 số mà khi chia cho 7 có cùng số dư

Vậy hiệu của hai số tùy ý trong 15 số này thì chia hết cho 7

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019

Môn: Toán 6 Câu 1. (2,0 điểm)

Cho A 2 2²2³2⁴ ... 2 ²⁰. Tìm chữ số tận cùng của A Câu 3. (1,5 điểm)

Chứng minh rằng: ^{n n}



^{1 2}



^{n1 3}



^{n1 4}



^n1



chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Câu 4. (1,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên tố pvà q sao cho các số 7pqvà pq11cũng là các số nguyên tố.

Câu 5. (1,5 điểm)

a) Tìm ^{UCLN(7n3,8n1)}



^{n * .}



Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau.

b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, UCLN của chúng bằng 28 và các số đó khoảng từ 300 đến 400

Câu 6. (1,0 điểm)

Tìm các số nguyên x y, sao cho : xy2x  y 6 Câu 7. (2,0 điểm)

Cho xAy, trên tia Axlấy điểm B sao cho AB5cm.Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD3cm C, là một điểm trên tia Ay

a) Tính BD

b) Biết BCD85 ,⁰ BCA50 .⁰ Tính ACD c) Biết ^{AK 1cm K}



^BD



^{.Tính BK.}

ĐÁP ÁN Câu 1.



^{2 3 4 20}



^{2 3 21}

21 21

.2 2 2 2 2 ... 2 .2 2 2 .... 2

2 2 2 2 2

A

A A A

         

       Ta có: ^{221 24.5 1 }

 

^{24 5.2 16 .2 5}

...165có tận cùng là 6 nên 16 .2⁵ có tận cùng là 2 nên A2²¹2có tận cùng là 0 Câu 3.

Với mọi số tự nhiên nta có các trường hợp sau:

Th1: n 5thì tích chia hết cho 5 Th2:nchia cho 5 dư 1 thì n5k1

4n 1 20k 5

    chia hết cho 5 tích chia hết cho 5 Th3: n chia cho 5 dư 2 thì n5k2

2n 1 10k 5

    chia hết cho 5tích chia hết cho 5 Th4: n chia cho 5 dư 3 thì n5k3

3n 1 15k 10

    chia hết cho 5tích chia hết cho 5 Th5: n chia cho 5 dư 4 thì n5k4

1 5 5

n k

    chia hết cho 5tích chia hết cho 5

Vậy ^{n n}



^{1 2}



^{n1 3}



^{n1 4}



^n1



chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n Câu 4. Nếu pq11là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì pq 11 2)

 pqlà số chẵn ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2 +giả sử p2.Khi đó 7p q 14q pq;  11 2q11

Thử q2(ktm q), 3(tm q), 3có 1 số là hợp số p 2,q3 +Giả sử q2,cmtt p 3

Vậy 2, 3 3, 2

p q

p q

 

  

 Câu 5.

a) Gọi UCLN(7n3,8n 1) dvới n * Ta có: 7n3 d n,8 1 d

     

8. 7n 3 7. 8n 1 d 31 d d 1;31

      

Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d 31 Mà ^{7n3 317n 3 31 317}



^{n4 31}



4 31

 n (vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)^{ n 31k4}



^k



Do đó d 31 n 31k4

Vậy hai số 7n3,8n1nguyên tố cùng nhau khi ^n31k4



^k



b) Gọi hai số phải tìm là ^{a b a b,}



^{,  *,ab}



Ta có: ^{( , ) 28 28}



^{, *,}

 

^{, 1}



28

a k

UCLN a b k q k q

b q

 

    

Ta có: a b 84  k q 3

Theo bài ra : 300  b a 44010  q k 16

Chỉ có 2 số 11, 14 nguyên tố cùng nhau và có hiệu là 3 q 11,k14 28.11 308

28.14 392 a

b

 

    . Vậy hai số phải tìm là 308,392.

Câu 6.

  

6 1 2 4( , )

xy    x y x y   x y

1 1 1 2 2 4 4

2 4 4 2 2 1 1

0 2 1 3 3 5

6 2 4 0 3 1

x y x y

   

   

 

 Câu 7.

a) Vì BAx D, tia đối tia AxAnằm giữa D và B 5 3 8

BD BA AD cm

     

b) Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB CD,

0 0 0

85 50 35 ACD ACB BCD ACD BCD ACB

        

c) *Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh được K nằm giữa A và B

5 1 4( )

AK KB AB KB AB AK cm

        

*Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax -Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B Suy ra : KBKA ABKB  5 1 6cm

Vậy KB4cmhoặc KB6cm

y C

D A B

B x D A K

B x

D K A

PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN

TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN 6 Câu 1. (2,0 điểm)

Tính hợp lý

2 2 2

15 9 20 9

9 19 29 6

)21.7 11.7 90.7 49.125.16 5.4 .9 4.3 .8

)5.2 .6 7.2 .27 a

b

  





Câu 2. (6,0 điểm) Tìm xlà số tự nhiên, biết:

 

2 3 2 2

2 2

1 3 0, 4 9 11 1 8

) : 9 )

8 8

2 2 1,6 2 1

9 11

)5 ^x 2.5 5 .3 ) 2 7 20 5. 3

a x b x

x

c ^ d x

  

   

  

   

     

Câu 3. (6,0 điểm)

a) Tìm số nguyên xvà y,biết: xy x 2y3 b) Tìm các số tự nhiên x y, biết: 2 .3^{x1 y} 12^x

c) Cho số 155* 710 * 4 *16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong 3 chữ số 1;2;3một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396

d) Tìm số tự nhiên nđể biểu thức sau là số tự nhiên:

2 2 5 17 3

2 2 2

n n n

B n n n

 

  

  

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB5cm.Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB,trên tia đối của tia AB lấy điểm Nsao cho AN  AM

a) Tính BN khi BM 2cm

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB,vẽ các tia Axvà Aysao cho BAx40 ,⁰ BAy110 .⁰ Tính yAx NAy,

c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng ABđể đoạn thẳng BNcó độ dài lớn nhất.

Câu 5. (1,0 điểm)

Tìm số tự nhiên nvà chữ số abiết rằng: 1 2 3 ...    n aaa

ĐÁP ÁN Câu 1.

 

 

 

 

2 2 2 2

15 9 20 9 30 18 2 20 27

9 19 29 6 9 19 19 29 18

29 18 2

28 18

)21.7 11.7 90.7 49.125.16 7 . 21 11 90 49.125.16 49.100 49.100.20 49.100 1 20 49.100.21

5.4 .9 4.3 .8 5.2 .3 2 .3 .2 )5.2 .6 7.2 .27 5.2 .2 .3 7.2 .3

2 .3 . 5.2 3 2 .3 . 5.3 7.2 a

b

      

    

  

 

  

 2

Câu 2.

2 2 2 2

0, 4 0, 4

1 3 9 11 9 11

) : 9 : 8

8 8 2 2

2 2 1,6 4. 0, 4

9 11 9 11

: 8 1 2

4

a x x

x x

   

    

   

       

 

   

Vậy x2

 

²

 

²

1 8

) 1 16 4

2 1

*) 1 4 3

*) 1 4 5

b x x

x

x x

x x

      



   

      Do x nên x3

2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2

2 3 3

)5 2.5 5 .3 5 5 .3 2.5 5 5 .5

5 5 2 3 3 2 6 3

x x x

x

c

x x x

  



      

         Vậy x3

 

) 2 7 20 5. 3 2 7 5 2 7 5

*)2 7 5 6

*)2 7 5 2 2 1

d x x x

x x

x x x

          

   

       Vậy ^x

 

^6;1

Câu 3.

a) ^{xy x 2y 3}



^xyx

 

^{ 2y2}



^1

Trong tài liệu 300 đề thi học sinh giỏi môn Toán - Lớp 6 | Hocthattot.vn (Trang 85-116)