Analyse des correspondances multiples - Autre outil : « les mots et réponses caractéristiques

Autre outil : « les mots et réponses caractéristiques »

5. Analyse des correspondances multiples

142 Les Journées de Tam Đảo 2008

La région du North East (proche du centre de gravité du nuage) correspond à la répartition des niveau d’étude sur l’ensemble du Việt Nam.

4.6. Aides à l’interprétation

Trois séries de coefficients apportent une information supplémentaire par rapport aux coordonnées factorielles :

- les contributions, appelées aussi contributions absolues, qui expriment la part prise par une modalité de la variable dans l’inertie (ou variance) “expliquée”

par un facteur. C’est ce coefficient qui permet d’identifier les modalités qui contribuent à la formation et donc à la définition du facteur. Ce coefficient est nul pour les éléments supplémentaires.

- les cosinus carrés, appelés aussi contributions relatives ou qualité de représentation, qui expriment la part prise par un facteur dans la dispersion d’une modalité de la variable. Ce coefficient est utile pour les éléments supplémentaires.

- Les valeurs-tests qui permettent d’apprécier rapidement si une modalité d’une variable nominale a une position significative sur un axe. Ils ont la même fonction que les cosinus carrés mais se lisent plus facilement.

C’est après l’examen de ces coefficients que l’on pourra interpréter les graphiques factoriels en tenant compte des relations de transition.

5. Analyse des correspondances

Méthodes statistiques 143

modalités de réponses s’excluent mutuellement, et une modalité est obligatoirement choisie.

On désigne par I l’ensemble des n individus ayant répondu au questionnaire et par p le nombre total des modalités des s questions. On a ó pq

l’ensemble des modalités d’une question q.

On construit le tableau disjonctif complet Z (cf figure 8) de telle manière que zij = 1 ou z3 pt = 0 selon que l’individu i a choisi la modalité j de la question q ou non. Le codage est disjonctif car les modalités d’une même variable sont exclusives et il est complet car un individu a obligatoirement répondu à une question.

Les marges en ligne du tableau disjonctif complet sont constantes et égales au nombre s de questions : Les marges en colonne correspondent au nombre de sujets ayant choisi la modalité j de la question q : On vérifie que, pour chaque sous-tableau Zq, l’effectif total est bien :

La somme des marges donne l’effectif total z du tableau Z soit :

5.2. Principes de l’analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples est l’analyse des correspondances d’un tableau disjonctif complet.

Ses principes sont donc ceux de l’analyse des correspondances à savoir :

- mêmes transformations du tableau de données en profils-lignes et en profils-colonnes;

- même critère d’ajustement avec pondération des points par leurs profils marginaux;

- même distance, celle du x².

Figure 9. Analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples présente cependant des propriétés particulières dues à la nature même du tableau disjonctif complet.

Figure 8. Construction du tableau disjonctif complet Z

38 pour les éléments supplémentaires.

- Les valeurs-tests qui permettent d’apprécier rapidement si une modalité d’une variable nominale a une position significative sur un axe. Ils ont la même fonction que les cosinus carrés mais se lisent plus facilement.

C’est après l’examen de ces coefficients que l’on pourra interpréter les graphiques factoriels en tenant compte des relations de transition.

5 ANALYSE DES CORRESPONDANCESMULTIPLES

L’analyse des correspondances introduite au chapitre précédent, peut se généraliser au cas ó plus de deux variables sont mis en correspondance. Elle donne lieu alors à l’analyse des correspondances multiples qui est particulièrement adaptée pour décrire de grands tableaux de variables qualitatives dont les fichiers d’enquêtes constituent des exemples typiques.

5.1. Tableau disjonctif complet

Un aspect important de cette méthode est la construction du tableau de données qui met l’accent sur le recodage des variables.

Le tableau de données "brutes", R, c’est-à-dire le tableau de données sous forme de codage condensé, peut être vu comme le résultat d’un questionnaire donnant la réponse des individus à des questions (cf figure 8). Mais un tel tableau n’est pas exploitable : les sommes en ligne et en colonne n’ont pas de sens. Il faut recoder les variables. Le codage disjonctif complet permet d’homogénéiser des données composées de variables qualitatives ou quantitatives¹ : les diverses modalités de réponses s’excluent mutuellement, et une modalité est obligatoirement choisie.

On désigne par I l’ensemble des n individus ayant répondu au questionnaire et par p le nombre total des modalités des s questions. On a

^s ^q

q 1

p p ó p_q l’ensemble des modalités d’une question q. On construit le tableau disjonctif complet Z (cf figure 8) de telle manière que z_ij= 1 ou z_ij= 0 selon que l’individu i a choisi la modalité j de la question q ou non. Le codage est disjonctif car les modalités d’une même variable sont exclusives et il est complet car un individu a obligatoirement répondu à une question.

2 2 4 2 1 3 3 1 2 1 2 4 1 2 3 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 3 2 2 1 1 4 R =

0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 s=3

p = 9

(n,s) Z =

(n,p)

1 Une variable quantitative peut être transformée en une variable qualitative par découpage en classes des valeurs de la variable. Chaque classe correspond à une modalité.

Figure 8 : Construction du tableau disjonctif complet Z

Les marges en ligne du tableau disjonctif complet sont constantes et égales au nombre s de questions : _i. ^p _ij

j=1

z =

z =s. Les marges en colonne correspondent au nombre de sujets ayant choisi la modalité j de la question q : _.j ⁿ _ij

i=1

z =

z . On vérifie que, pour chaque sous-tableau Z_q, l’effectif total est bien :

q .j

jŒq

z =

z = n. La somme des marges donne l’effectif total z du tableau Z soit ⁿ ^p _ij

i=1 j=1

z = z = ns. 5.2. Principes de l’analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples est l’analyse des correspondances d’un tableau disjonctif complet. Ses principes sont donc ceux de l’analyse des correspondances à savoir :

- mêmes transformations du tableau de données en profils-lignes et en profils-colonnes;

- même critère d’ajustement avec pondération des points par leurs profils marginaux;

- même distance, celle du 2.

tableau disjonctif complet j

0 0 1 0 1 0 0 1 0 i

analyse des correspondances

nuage des modalités (points-colonnes)

* *

? *

• ••••

•

••

• •• •••

••

•

• •

•

• •

•

••

• •

•

••

•• •

•

••

•

••

nuage des individus (points-lignes)

Figure 9 : Analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples présente cependant des propriétés particulières dues à la nature même du tableau disjonctif complet.

5.3. Distances entre profils

La distance du Khi-deux appliquée à un tableau disjonctif complet conserve un sens : - La distance entre deux modalités s’écrit : ² ⁿ

(

ij .j ij' .j'

)

i=1

d (j, j')=

n z z - z z . Deux modalités choisies par les mêmes individus coỵncident. Par ailleurs, les modalités de faible effectif sont excentrées des autres modalités.

La distance entre deux individus s’exprime par : ² ^p _.j _ij _i'j ²

j=1

d (i,i')=1 n z (z - z )

. Deux individus sont

proches s’ils possèdent les mêmes modalités. Ils sont éloignés s’ils n’ont pas répondu de la même manière.

Figure 8 : Construction du tableau disjonctif complet Z

Les marges en ligne du tableau disjonctif complet sont constantes et égales au nombre s de questions :

i. ij

j=1

z =

z =s. Les marges en colonne correspondent au nombre de sujets ayant choisi la modalité j de la question q: _.j ⁿ _ij

i=1

z =

z . On vérifie que, pour chaque sous-tableau Z_q, l’effectif total est bien :

q .j

jŒq

z =

z = n. La somme des marges donne l’effectif total z du tableau Z soit ⁿ ^p _ij

i=1 j=1

z = z = ns. 5.2. Principes de l’analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples est l’analyse des correspondances d’un tableau disjonctif complet. Ses principes sont donc ceux de l’analyse des correspondances à savoir :

- mêmes transformations du tableau de données en profils-lignes et en profils-colonnes;

- même critère d’ajustement avec pondération des points par leurs profils marginaux;

- même distance, celle du 2.

tableau disjonctif complet j

0 0 1 0 1 0 0 1 0 i

analyse des correspondances

nuage des modalités (points-colonnes)

* *

? *

• ••••

•

••

• ••••

••

•

• •

•

• •

•

••

• •

•

••

•• •

•

••

•

••

nuage des individus (points-lignes)

Figure 9 : Analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples présente cependant des propriétés particulières dues à la nature même du tableau disjonctif complet.

5.3. Distances entre profils

La distance du Khi-deux appliquée à un tableau disjonctif complet conserve un sens : - La distance entre deux modalités s’écrit : ² ⁿ

(

ij .j ij' .j'

)

i=1

d (j, j')=

n z z - z z . Deux modalités choisies par les mêmes individus coỵncident. Par ailleurs, les modalités de faible effectif sont excentrées des autres modalités.

La distance entre deux individus s’exprime par : ² ^p _.j _ij _i'j ²

j=1

d (i,i')=1 n z (z - z )

. Deux individus sont

proches s’ils possèdent les mêmes modalités. Ils sont éloignés s’ils n’ont pas répondu de la même manière.

Figure 8 : Construction du tableau disjonctif complet Z

Les marges en ligne du tableau disjonctif complet sont constantes et égales au nombre s de questions :

i. ij

j=1

z =

z =s. Les marges en colonne correspondent au nombre de sujets ayant choisi la modalité j de la question q : _.j ⁿ _ij

i=1

z =

z . On vérifie que, pour chaque sous-tableau Z_q, l’effectif total est bien :

q .j

jŒq

z =

z = n. La somme des marges donne l’effectif total z du tableau Z soit ⁿ ^p _ij

i=1 j=1

z = z = ns. 5.2. Principes de l’analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples est l’analyse des correspondances d’un tableau disjonctif complet. Ses principes sont donc ceux de l’analyse des correspondances à savoir :

- mêmes transformations du tableau de données en profils-lignes et en profils-colonnes;

- même critère d’ajustement avec pondération des points par leurs profils marginaux;

- même distance, celle du 2.

tableau disjonctif complet j

0 0 1 0 1 0 0 1 0 i

analyse des correspondances

nuage des modalités (points-colonnes)

* *

? *

• ••••

•

••

• ••••

••

•

• •

•

• •

•

••

• •

•

••

•• •

•

••

•

••

nuage des individus (points-lignes)

Figure 9 : Analyse des correspondances multiples

L’analyse des correspondances multiples présente cependant des propriétés particulières dues à la nature même du tableau disjonctif complet.

5.3. Distances entre profils

La distance du Khi-deux appliquée à un tableau disjonctif complet conserve un sens : - La distance entre deux modalités s’écrit : ² ⁿ

(

ij .j ij' .j'

)

i=1

d (j, j')=

n z z - z z . Deux modalités choisies par les mêmes individus coỵncident. Par ailleurs, les modalités de faible effectif sont excentrées des autres modalités.

La distance entre deux individus s’exprime par : ² ^p _.j _ij _i'j ²

j=1

d (i,i')=1 n z (z - z )

. Deux individus sont

proches s’ils possèdent les mêmes modalités. Ils sont éloignés s’ils n’ont pas répondu de la même manière.

144 Les Journées de Tam Đảo 2008

5.3. Distances entre profils

La distance du Khi-deux appliquée à un tableau disjonctif complet conserve un sens :

- La distance entre deux modalités s’écrit :

Deux modalités choisies par les mêmes individus coîncident. Par ailleurs, les modalités de faible effectif sont excentrées des autres modalités.

La distance entre deux individus s’exprime par :

Deux individus sont proches s’ils possèdent les mêmes modalités. Ils sont éloignés s’ils n’ont pas répondu de la même manière.

On note qu’une modalité j intervient d’autant plus dans le calcul de la distance entre deux individus que sa masse est faible. Aussi une modalité rare peut constituer des sous-nuages regroupant un petit nombre d’individus excentrés des autres individus.

5.4. Relations barycentriques et représentation simultanée

Les relations barycentriques se traduisent par le fait : 1) qu’un individu est au barycentre des modalités qu’il

a choisies (à une même dilatation près);

2) une modalité est projetée au barycentre des individu qui l’ont adoptée (à une même dilatation près).

Le nuage des modalités dans Pⁿ peut être décomposé en s sous-nuages, le q^ème correspondant à l’ensemble des pq modalités de la variable q. Ces sous-nuages ont même centre de gravité G qui est celui du nuage global.

Il existe une manière simple de représenter visuellement le nuage des modalités à partir du nuage des individus. Supposons un nuage d’individus pour lesquels on dispose de deux caractéristiques, a et b ayant respectivement 2 et 3 modalités. Au lieu de représenter les individus dans l’espace factoriel (cf figure 10), qui en général sont anonymes et ne nous intéressent que par leurs caractéristiques (âge, sexe, ou tout autre attribut), il est souvent plus utile de positionner les centres de gravité des groupes d’individus correspondant à leurs attributs (hommes, femmes, classes d’âge, etc.).

En superposant ensuite les deux représentations, on

obtient, à une dilatation près, le nuage des modalités (cf figure 12).

Figure 10. Nuage des individus dans l’analyse du tableau disjonctif complet

Figure 11. Identification des réponses aux deux questions a et b dans le nuage des individus

Figure 12. Nuage des modalités aux deux questions a et b

5.5. Règles d’interprétation

Dire qu’il existe des affinités entre réponses, c’est dire aussi qu’il existe des individus qui ont choisi simul-tanément toutes ou presque toutes ces réponses.

L’analyse des correspondances multiples met alors en évidence des types d’individus ayant des profils semblables quant aux attributs choisis pour les décrire. Compte tenu des distances entre les éléments du tableau disjonctif complet et des relations barycentriques particulières, on exprime :

- la proximité entre individus en terme de ressemblances :

deux individus se ressemblent s’ils ont choisi globalement les mêmes modalités.

- la proximité entre modalités de variables différentes en terme d’association :

2) une modalité est projetée au barycentre des individu qui l’ont adoptée (à une même dilatation près).

Le nuage des modalités dans ⁿ peut être décomposé en s sous-nuages, le q^ème correspondant à l’ensemble des p_q modalités de la variable q. Ces sous-nuages ont même centre de gravité G qui est celui du nuage global.

Ainsi en identifiant directement chaque individu dans le nuage par ses réponses aux deux questions et en positionnant ensuite les points moyens des individus ayant adopté les mêmes modalités, on obtient pour chaque question les deux nuages suivants (cf figure 11). En superposant ensuite les deux représentations, on obtient, à une dilatation près, le nuage des modalités (cf figure 12).

Figure 10 : Nuage des individus dans l’analyse du tableau disjonctif complet

a

2 G 1

1 1

1 1 1 1 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 G

11 2

1 2 3 1 2 2

2 2

3 2

2 2 2

2 1 3

3 3

3 2

b

1X X

b

Figure 11 : Identification des réponses aux deux questions a et b dans le nuage des individus

b1X Xb2

Xb3

a1X

a2X G

Figure 12 : Nuage des modalités aux deux questions a et b

41 Les relations barycentriques se traduisent par le fait :

1) qu’un individu est au barycentre des modalités qu’il a choisies (à une même dilatation près);

2) une modalité est projetée au barycentre des individu qui l’ont adoptée (à une même dilatation près).

Figure 10 : Nuage des individus dans l’analyse du tableau disjonctif complet

a

2 G 1

1 1

1 1 1 1 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 G

11 2

1 23 1 2 2

2 2

3 2

2 2 2

2 1 3

3 3

3 2

b

1X X

b

Figure 11 : Identification des réponses aux deux questions a et b dans le nuage des individus

b1X Xb2

Xb3

a1X

a2X G

Figure 12 : Nuage des modalités aux deux questions a et b 41

5.4. Relations barycentriques et représentation simultanée Les relations barycentriques se traduisent par le fait :

1) qu’un individu est au barycentre des modalités qu’il a choisies (à une même dilatation près);

2) une modalité est projetée au barycentre des individu qui l’ont adoptée (à une même dilatation près).

Le nuage des modalités dans ⁿ peut être décomposé en s sous-nuages, le q^ème correspondant à l’ensemble des p_q modalités de la variable q. Ces sous-nuages ont même centre de gravité G qui est celui du nuage global.

Figure 10 : Nuage des individus dans l’analyse du tableau disjonctif complet

a1X

Xa2 G

1 1

1 1 11

1 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 G

11 2

1 23 12 2 2

3 2

2 2 2

2 1 3

1 1

3 3

3 2

1b₁^X

Xb₂ b3X

Figure 11 : Identification des réponses aux deux questions a et b dans le nuage des individus

b1X Xb2

Xb3

a1X

a2X G

Figure 12 : Nuage des modalités aux deux questions a et b

41 5.4. Relations barycentriques et représentation simultanée

Les relations barycentriques se traduisent par le fait :

1) qu’un individu est au barycentre des modalités qu’il a choisies (à une même dilatation près);

2) une modalité est projetée au barycentre des individu qui l’ont adoptée (à une même dilatation près).

Figure 10 : Nuage des individus dans l’analyse du tableau disjonctif complet

a1X

Xa2 G

1 1

1 1 1 1

1 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 G

11 2

1 23 12 2 2

3 2

2 2 2

2 1 3

1 1

3 3

3 2

1b₁^X

Xb₂ b3X

Figure 11 : Identification des réponses aux deux questions a et b dans le nuage des individus

b1X Xb2

Xb3

a1X

a2X G

Figure 12 : Nuage des modalités aux deux questions a et b

41 5.4. Relations barycentriques et représentation simultanée

Les relations barycentriques se traduisent par le fait :

1) qu’un individu est au barycentre des modalités qu’il a choisies (à une même dilatation près);

2) une modalité est projetée au barycentre des individu qui l’ont adoptée (à une même dilatation près).

Figure 10 : Nuage des individus dans l’analyse du tableau disjonctif complet

a1X

Xa2 G

1 1

1 1 11

1 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 G

11 2

1 23 12 2 2

3 2

2 2 2

2 1 3

1 1

3 3

3 2

1b₁^X

Xb₂ b3X

Figure 11 : Identification des réponses aux deux questions a et b dans le nuage des individus

b1X Xb2

Xb3

a1X

a2X G

Figure 12 : Nuage des modalités aux deux questions a et b

ces modalités correspondent aux points moyens des individus qui les ont choisies et sont proches parce qu’elles concernent globalement les mêmes individus ou des individus semblables.

- la proximité entre deux modalités d’une même variable en terme de ressemblance :

par construction, les modalités d’une même variable s’excluent. Si elles sont proches, cette proximité s’interprète en terme de ressemblance entre les groupes d’individus qui les ont choisies (vis-à-vis d’autres variables actives de l’analyse).

Les règles d’interprétation des résultats (coordonnées, contributions, cosinus carrés) concernant les éléments actifs d’une analyse des correspondances multiples sont sensiblement les mêmes que celles d’une analyse des correspondances simple. On calcule la contribution et la qualité de représentation de chaque modalité et de chaque individu, si ceux-ci ne sont pas anonymes pour l’analyse. En revanche, les règles d’interprétation des valeurs propres et des taux d’inertie sont différentes.

5.6. Eléments supplémentaires

L’utilisation des éléments supplémentaires en analyse des correspondances multiples permet de prendre en compte toute l’information susceptible d’aider à comprendre ou à interpréter la typologie induite par les éléments actifs.

Ceci est particulièrement intéressant lorsque l’en-semble des variables se décompose en thème, c’est-à-dire en groupes de variables homogènes quant à leur contenu.

Dans l’analyse du tableau disjonctif complet, on fera intervenir des éléments supplémentaires pour : - enrichir l’interprétation des axes par des variables

n’ayant pas participé à leur construction. On projettera alors dans l’espace des variables les centres de groupes d’individus définis par les modalités des variables supplémentaires ;

- adopter une optique de prévision en projetant les variables supplémentaires dans l’espace des individus. Celles-ci seront “expliquées” par les variables actives. On peut projeter des individus supplémentaires dans l’espace des variables, pour les situer par rapport aux individus actifs ou par rapport à des groupes d’individus actifs dans une optique de discrimination.

Suivant la nature des variables supplémentaires, nominales ou continues, on interprète différemment leur position sur les axes factoriels.

Trong tài liệu Université d’été en Sciences Sociales 2008 (Trang 143-146)