A Trọng tâm kiến thức
I. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng
Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Quy ước: Nếu điểm M∈d thì điểm đối xứng với M qua đường thẳng d cũng là M.
d
A
B M
II. Hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng
Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua một đường thẳng nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng đó và ngược lại.
C0 B0 A
A0
C B
M
C C0
B B0
d
A A0
Tính chất 1. Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.
III. Hình có trục đối xứng
Định nghĩa 1. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng dcũng thuộc hìnhH .
•Trục đối xứng của hình thang cân
Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân.
A B
D C
H
K
B Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Vẽ hình đối xứng của một hình cho trước
• Dựa vào định nghĩa của hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng.
• Đặc biệt, để vẽ đoạn A0B0 đối xứng với AB qua đường thẳng d, ta vẽ A0 đối xứng với A,B0đối xứng với Brồi nối A0,B0. Để vẽ 4A0B0C0đối xứng với4ABC qua đường thẳng d, ta vẽ các điểm A0,B0,C0 lần lượt đối xứng với A,B,C qua đường thẳng d rồi nối A0,B0,C0với nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1.
Cho tam giác ABC và đường thẳng d đi qua A (xem hình bên). Hãy vẽ tam giác đối xứng với tam giác ABC qua đường thẳng d.
C B
A d
#Ví dụ 2.
Cho tứ giác A0B0C0D0 đối xứng với tứ giác ABCD qua đường thẳngx y
trong hình bên. A
D
C
x
By
#Ví dụ 3. Vẽ hình đối xứng với hình bên qua trụcd.
Dạng 2: Tìm hình có trục đối xứng. tìm trục đối xứng của một hình
Vận dụng định nghĩa hình có trục đối xứng, định lí về trục đối xứng của hình thang cân.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Trong các chữ cái in hoa L,M,N,O,P chữ nào có trục đối xứng? Xác định trục đối xứng của chữ cái đó.
Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau
• Vận dụng định nghĩa của hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.
• Vận dụng tính chất: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
5. ĐỐI XỨNG TRỤC
#Ví dụ 1. Cho hình thang ABCDvuông tại Avà D. Vẽ các điểmEvàF lần lượt đối xứng vớiBvà C qua AD. Chứng minh rằng
a) EF=BC;
b) Tứ giác EBCF là hình thang cân.
#Ví dụ 2. Cho tam giác ABC,Ab=75◦. Hai đường cao BDvà CE cắt nhau tại H. GọiK là điểm đối xứng củaH quaBC. Tính số đo gócBK C.
#Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A có Ab=120◦. Gọi d là đường trung trực của AB. Vẽ điểm D đối xứng với điểmC quad.
a) Chứng minh rằng tiaCBlà tia phân giác của góc ACD. b) Tính số đo của gócBDC.
Dạng 4: Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng Vận dụng định nghĩa của hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Một đường thẳng song song vớiBCcắt ABvà AClần lượt tạiD và E. Chứng minh rằng
a) Bvà C đối xứng qua AM; b) D và Eđối xứng qua AM.
#Ví dụ 2. Cho góc nhọnxO y, tia phân giác Ot, điểmM thuộc tiaOt. Vẽ điểm Ađối xứng với M quaOx. Vẽ điểm B đối xứng với M qua O y. Chứng minh rằng hai điểm A và B đối xứng nhau quaOt.
#Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AD. Trên tia đối của tia ABvà AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM=AN. Chứng minh rằng hai đoạn thẳngBN vàCM đối xứng qua AD.
Dạng 5: Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất
Vận dụng tính chất hai đoạn thẳng đối xứng qua một trục thì bằng nhau và vận dụng bất đẳng thức tam giác.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho hai điểm AvàBthuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳngd. Xác định vị trí của Mtrên d sao choM A+MB ngắn nhất.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
#Bài 1. Cho biết mỗi câu sau đúng hay sai?
a) Hình thang cân có trục đối xứng đi qua giao điểm của hai đường chéo.
b) Mỗi đường thẳng có vô số trục đối xứng.
c) Mỗi góc có một trục đối xứng là đường phân giác của góc ấy.
d) Tam giác đều có một và chỉ một trục đối xứng.
#Bài 2. Cho đường thẳng d, đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B. Vẽ các điểm A0,B0 và M0 lần lượt đối xứng với A,B và M qua đường thẳng d. Chứng minh M0nằm giữa A0 vàB0.
#Bài 3. Cho gócxO y và một điểm M trong góc đó. Vẽ điểm Ađối xứng với M quaOx, vẽ điểmBđối xứng với MquaO y. Chứng minh rằng đường trung trực của ABđi quaO.
#Bài 4. Cho góc nhọn xO y và điểm A nằm trong góc đó. Nêu cách dựng tam giác ABC vớiB∈Ox;C∈O ysao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.