a) Hình thang cân có trục đối xứng đi qua giao điểm của hai đường chéo.
b) Mỗi đường thẳng có vô số trục đối xứng.
c) Mỗi góc có một trục đối xứng là đường phân giác của góc ấy.
d) Tam giác đều có một và chỉ một trục đối xứng.
#Bài 2. Cho đường thẳng d, đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B. Vẽ các điểm A0,B0 và M0 lần lượt đối xứng với A,B và M qua đường thẳng d. Chứng minh M0nằm giữa A0 vàB0.
#Bài 3. Cho gócxO y và một điểm M trong góc đó. Vẽ điểm Ađối xứng với M quaOx, vẽ điểmBđối xứng với MquaO y. Chứng minh rằng đường trung trực của ABđi quaO.
#Bài 4. Cho góc nhọn xO y và điểm A nằm trong góc đó. Nêu cách dựng tam giác ABC vớiB∈Ox;C∈O ysao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
6. HÌNH BÌNH HÀNH
B Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. tính số đo góc
Vận dụng tính chất: Trong hình bình hành, các góc đối bằng nhau,các góc kề mỗi cạnh bù nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Tính các góc của hình bình hành ABCD biết Ab−Bb=30◦.
#Ví dụ 2. Hình bình hành ABCD có Ab=3Bb. Tính các góc của hình bình hành đó.
#Ví dụ 3. Cho hình bình hànhABCD. Trên cạnhABlấy điểmM, trên cạnhADlấy điểm N sao choCM∥AN. Chứng minh rằng AMC =CN A.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, các quan hệ về độ dài. tính độ dài đoạn thẳng
Sử dụng các tính chất về cạnh đối, về đường chéo của hình bình hành.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho hình bình hànhABCD. Vẽ AEvàCF cùng vuông góc vớiBD. Chứng minh rằng AE=CF.
#Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ một đường thẳng cắt AB và CD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng O là trung điểm của M N.
#Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua D vẽ đường thẳng x ysao cho Avà Cnằm cùng phía với x y. GọiH,I,K lần lượt là hình chiếu của A,B,C trên x y. Chứng minh rằng AH+CK=BI.
#Ví dụ 4.
Tứ giác ABCD trong hình bên là một hình bình hành. Tìm các giá trị của xvà y.
A
D
B
C
x+1 O x+2 y+3 3
#Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân tại A,AB=4. Từ một điểm D trên cạnh BC, vẽ DE∥ AB(E∈AC)và DF∥AC(F∈AB). Tính chu vi của tứ giác AEDF.
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Vận dụng tính chất đường chéo của một hình bình hành, ta suy ra:
• Trung điểm của một đường chéo và hai đầu của đường chéo kia là ba điểm thẳng hàng.
• Hai hình bình hành có chung một đường chếo thì ba đường chéo của chúng đồng quy 9tại trung điểm của đường chéo chung).
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD, lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM=CN. GọiO là giao điểm của M N và AC. Chứng minh ba điểmB,O,D thẳng hàng.
#Ví dụ 2. Cho tam giácABC. Qua Avẽ đường thẳng x y∥BC. Trên cạnhBCấy một điểm D. Vẽ DE∥AB; DF∥AC (E,F∈x y). Gọi M là giao điểm của AB và DF. Gọi N là giao điểm của ACvà DE. GọiO là giao điểm của ADvà CF. Chứng minh rằng
a) Ba điểm B,O,Ethẳng hàng;
b) Ba điểm M,O,N thẳng hàng.
#Ví dụ 3. Cho hình bình hànhABCD. Vẽ hình bình hànhAECF(E∈AB;F∈CD). Chứng minh rằng ba đường thẳngEF,AC,BD đồng quy.
Dạng 4: Chứng minh tứ giác là hình bình hành Vận dụng 5 dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC và C A. Chứng minh tứ giác M N PQ là hình bình hành.
#Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm củaOBvà OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
#Ví dụ 3. Cho hình bình hànhABCD. Trên đường chéo BDlấy hai điểmMvà Nsao cho BM=D N.
a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Xác định vị trí điểm M để tia AM cắtBCtại trung điểm củaBC
#Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, Ab6=60◦. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác đều ABD và ACE. Trên nửa mặt phẳng bờBC chứa A, vẽ tam giác đều FBC. Chứng minh rằng tứ giác ADF Elà hình bình hành.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
#Bài 1. Quan sát các hình dưới đây rồi cho biết tứ giác ở hình nào là hình bình hành. Vì sao?
3
2
3
2 115◦ 65◦ 120◦
120◦
60◦
7. ĐỐI XỨNG TÂM
#Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB>CD). Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Trên cạnhCD lấy điểmN sao choCN=AM. Chứng minh rằng tia ANlà tia phân giác của góc A.
#Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Trên tia đối của tia AD và CB, lấy các điểm M và P sao cho AM=CP. Trên tia đối của tiaB A và DC lấy các điểm N vàQ sao cho BN=DQ. Chứng minh rằng ba đường thẳngMP,NQvà BDđồng quy.
#Bài 4. Cho tứ giácABCD. GọiE,F,G,H,MvàNthứ tự là trung điểm củaAB,BC,CD,D A,BD và AC. Chứng minh rằng ba đường thẳngEG,HF và M N đồng quy.
#Bài 5. (*) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Ở phía ngoài của tam giác, ta vẽ các tam giác vuông cân ACEvà ABD đỉnh A. Trên tia đối của tia AH lấy điểmK sao cho AK=BC. Chứng minh rằng tứ giác ADK E là hình bình hành.