Dạng 1: Tìm tỉ số của các đoạn thẳng
• Sử dụng định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng.
• Sử dụng định lí Ta-lét.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Trên một đường thẳng, đặt ba đoạn thẳng liên tiếp AB=BC=CD. Tìm tỉ số AB
BD, AB AD, AC
AD.
#Ví dụ 2. Cho4ABCcó AMlà đường trung tuyến. ĐiểmEthuộcAMsao cho AE=3EM. TiaBE cắt tia AC tạiN. Tính tỉ số AN
NC.
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng
• Sử dụng định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng.
• Sử dụng định lí Ta-lét.
• Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho đoạn thẳngAB=10cm. Lấy điểmCthuộc đoạn thẳngABsao cho C A CB =3
2. LấyD thuộc tia đối của tiaB A sao cho D A
DB =3 2. Tính độ dàiCB.
a) b) Tính độ dài DB. c) Tính độ dàiCD.
#Ví dụ 2.
Tìm độ dài DE trong hình vẽ bên. Biết AB=5 cm, AC=6cm, AD=7,5cm vàBD∥CE.
A
C E
D B
#Ví dụ 3.
Cho hình bên, biếtQR∥N P và MQ=10cm,Q N=5 cm,RP=6 cm. Tính độ dàiMR.
M
N P
Q R
#Ví dụ 4. Cho4ABC có AB=5 cm; AC=9 cm. Kẻ đường thẳngd song song vớiBC cắt AB, AC thứ tự tạiE,F. Xác định vị trí điểmE sao cho AE=CF.
Dạng 3: Chứng minh các hệ thức
• Vận dụng định lí Ta-lét.
• Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho tứ giácABCD có điểmEthuộc AC. KẻEF∥AB(F∈BC),E I∥CD(I∈AD).
Chứng minh EF AB+ E I
CD =1.
#Ví dụ 2. Cho4ABC. Lấy điểm D thuộc đoạn AB, điểm E thuộc tia đối của tia C A sao choBD=CE, DE cắtBCtạiM. Chứng minh D M
ME = AC AB.
#Ví dụ 3. Cho 4ABC có AD là đường trung tuyến, G là trọng tâm. Qua G kẻ đường
2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT AB
AM+ AC AN =3.
a) BM
AM+CN AN=1. b)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
#Bài 1.
Cho hình vẽ bên, biết M N∥BC và AM=6 cm, MB=2 cm, AN=7 cm. TínhNC.
A
B C
M N
#Bài 2. Cho tam giác ABC. Từ điểm M trên cạnhBC, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh ABvà AC, chúng cắt các cạnh ACvà ABthứ tự tạiD và E. Tính tổng AE
AB+AD AC.
#Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy D sao cho AD DC = 1
2. Gọi M là trung điểm củaBD. Tia AM cắtBCtạiE. Tính tỉ số EC
EB.
#Bài 4. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 2M A=MB. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Qua N kẻ đường thẳng song song với ABcắt BC tạiP. Biết rằngPC=6cm. TínhBC.
#Bài 5. Cho tam giác ABC. Đường thẳng song song với BCcắt các cạnh AB, AClần lượt tạiM, N. Cho biết AM=5cm,MB=3cm,BC−M N=3,6cm. TínhM N,BC.
| Chủ đề 2 : ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Định lí 6. Định lí Ta-lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Trong hình bên
4ABC AB0
B0B = AC0 C0C
⇒B0C0∥BC.
A
B C
C0 B0
Hệ quả 1 (Hệ quả định lí Ta-lét). Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Trong hình trên
4ABC B0C0∥BC
⇒ AB0
AB = AC0
AC =B0C0 BC .
!
Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳngasong song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
a
A
B0 C0
B C
a
B0 C0
A
B C
B Các dạng toán
Dạng 1: Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng
• Vận dụng hệ quả của định nghlí Ta-lét để lập các tỉ số.
• Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1.
Cho hình sau, biết M N ∥BC và AM MB = 3
2; BC=6 cm. Tính M N.
A
B C
M N
#Ví dụ 2. Cho hình vẽ bên, có AB∥CD. Biết rằng E A=4 cm, EB=5 cm, ED+EC=18 cm, AB+CD=22,5cm. TínhEC,ED, AB, DC.
#Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD (AB∥CD), AC cắt BD tạiO. Kẻ OM∥CD, biếtCD=9 cm,MO=3cm. Tính AB.
Dạng 2: Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để chứng minh các hệ thức Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Từ điểm D bất kì trên cạnh BC kẻ đường thẳng song song vớiAM, cắt đường thẳng ABởE, cắt đường thẳng ACtạiF. Chứng minh rằng:DE+DF=2AM.
#Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có Ab=120◦, ADlà đường phân giác. Chứng minh rằng 1
AB+ 1 AC= 1
AD.
3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song
• Xét các đoạn thẳng tỉ lệ.
• Sử dụng định lí Ta-lét đảo.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
#Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD. Lấy điểm E thuộc đường chéo AC. KẻEM∥BC (M∈AB), EN∥CD (N∈AD). Chứng minhM N∥BD.
#Ví dụ 2. Cho4ABC, lấyDtùy ý thuộc cạnhBC,Mtùy ý thuộc cạnhAD, gọiI,K thứ tự là trung điểmBM,CM. Các tia D I,DK cắt AB, ACthứ tự tại E,F. Chứng minhI K∥EF.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
#Bài 1. Cho4ABC. Trên AB, AClấyM, Nsao choBM=2
3AB,CN=2
3AC. GọiOlà giao điểmBN vàCM. Tính tỉ số ON
OB.
#Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB∥CD) có AB<CD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo,S là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên. Đường thẳngSO cắt AB,CD thứ tự tại M,N. Chứng minh rằng
M A
N D =MB NC; M A
NC =MB N D.
a) b) M A=MB;NC=N D.
#Bài 3. Cho tam giác ABC cố định. Các điểmD,E di động trên các cạnh tương ứng AB, ACsao cho AD
DB =CE
E A. Chứng minh trung điểmMcủa đoạn thẳngDEnằm trên đoạn thẳng cố định.
#Bài 4. Cho tam giác ABC, hãy dựng hình vuông M N PQ nội tiếp tam giácABC (Mtrên AB, N trên AC, P vàQ trên cạnh AC).
#Bài 5. Cho tam giác ABC, Mlà điểm thuộc BC. Chứng minh rằng M A·BC<MC·AB+MB·AC.