HÀM SỐ MŨ – LÔGARÍT

A MỨC ĐỘ 1

Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số y=log₂x là

A [0; +∞). B (−∞; +∞). C (0; +∞). D [2; +∞).

Lời giải.

Điều kiện xác định của số y = log₂x là x >0. Vậy tập xác định của hàm đã cho là: D= (0; +∞). Chọn phương án C

Câu 1. Tập xác định của hàm số y= log₂ 4−x²

là tập hợp nào sau đây?

A _D = (−2; 2). B _D = (−∞;−2)∪(2; +∞).

C _D = [−2; 2]. D _D =R^{\{−2; 2}}.

Lời giải.

Phương pháp:

Điều kiện để hàm số y= log_af(x) (0< a6= 1) có nghĩa là f(x)>0. Cách giải:

Điều kiện xác định 4−x² >0⇔x∈(−2; 2). Chọn phương án A

Câu 2. Tập xác định của hàm số y= log₂3−x 2x là

A _D = (3; +∞). B _D = (0; 3].

C _D = (−∞; 0)∪(3; +∞). D _D = (0; 3). Lời giải.

Hàm số đã cho xác định khi ^3−x

2x >0⇔x∈(0; 3). Chọn phương án D

Câu 3. Tập xác định của hàm số y= log (x−2)² là

A R. B R^{\ {2}}. C (2; +∞). D [2; +∞). Lời giải.

Phương pháp:

Hàm số y= log_af(x) xác định nếu f(x) xác định và f(x)>0.

Cách giải:

Hàm số y= log (x−2)² xác định nếu (x−2)²>0⇔x6= 2.

Vậy TXĐ _D =R^{\ {2}.}

Chú ý: Khi giải nhiều học sinh biến đổi (x−2)² >0⇔x >2 rồi chọn _D = (2; +∞) là sai.

Chọn phương án B

Câu 4. Tìm đạo hàm của hàm số y= ln 1 +e^2x .

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 A y⁰= −2e^2x

(e^2x+ 1)². B y⁰= e^2x

e^2x+ 1. C y⁰= 1

e^2x+ 1. D y⁰ = 2e^2x e^2x+ 1. Lời giải.

Phương pháp:

Sử dụng công thức đạo hàm (ln (u))⁰= u⁰

u và (e^u)⁰ =u⁰.e^u. Cách giải:

Ta có y⁰ = ln 1 +e^2x0

= 1 +e^2x0

1 +e^2x = 2e^2x 1 +e^2x. Chọn phương án D

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số y= log₂₀₁₉|x|, ∀x6= 0. A y⁰= 1

|x|ln 2019. B y⁰= 1

|x|. C y⁰= 1

xln 2019. D y⁰ =xln 2019. Lời giải.

Theo công thức đạo hàm, ta có y⁰ = 1 xln 2019. Chọn phương án C

Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

A y=₂ e

^x

. B y =_π

3 ^x

. C y= log^π

4 2x²+ 1

. D y= log¹

2 x. Lời giải.

Loại phương án C và D vì các hàm số trong các phương án này không xác định trên R. Chọn A vì ²

e <1 nên hàm số nghịch biến trên R. Chọn phương án A

Câu 7. Cho các mệnh đề sau

(I). Cơ số của lôgarit phải là số dương.

(II). Chỉ số số thực dương mới có lôgarit.

(III). ln(A+B) = lnA+ lnB với mọi A >0, B >0. (IV). log_ab·log_bc·log_ca= 1 với mọi a, b, c∈R. Số mệnh đề đúng là

A 1. B 3. C 4. D 2.

Lời giải.

(I) Sai vì cơ số của log_ab chỉ cần thỏa mãn 0< a6= 0. (II) Đúng vì điều kiện có nghĩa của log_ab là b >0.

(III) Sai vì lnA+ lnB = ln(AB)6= ln(A+B) với A, B >0.

(IV) Sai vì nếu a, b, c <0 thì các biểu thức log_ab,log_bc,log_ca không có nghĩa.

Chọn phương án A Câu 8.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

x y

−1 1 3

O

A y= √ 2^x

. B y = √

3^x

. C y=

₁ 3

^x

. D y=

₁ 2

^x . Lời giải.

Đồ thị đi xuống nên hàm số đã cho là nghịch biến nên loại A và B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; 3) nên chỉ có đáp án C thỏa.

Chọn phương án C

Câu 9. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ? A y=₃

π ^x

. B y =

Å π

√2 +√ 3

ã^x

. C y= Å^√

2 +√ 3 3

ã^x

. D y= Å^√

3 2

ã^x . Lời giải.

Do

√2 +√ 3

3 >1 nên hàm số y= Å^√

2 +√ 3 3

ã^x

đồng biến trên R . Chọn phương án C

Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R? A y= log₅x. B y = log₁

2

x. C y=₂

3 ^−x

. D y=_e

3 ^x

. Lời giải.

chú ý rằng ^e 3 <1. Chọn phương án D

Câu 11. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập R. A y= log^√₁₀₋₃x. B y = log₂ x²−x

. C y= _e

3 ^2x

. D y=

_π 3

^x . Lời giải.

Hàm số y= log^√₁₀₋₃x có cơ số a=√

10−3 nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Hàm số y= log₂ x²−x

có tập xác định D= (−∞; 0)∪(1; +∞) nên hàm số đồng biến trên R. Hàm số y=_e

3 ^2x

có ^e

3 <1 nên hàm số nghịch biến trên R. Hàm số y=

_π 3

x

có ^π

3 >1 nên hàm số đồng biến trên R. Chọn phương án D

Câu 12. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định _D =R? A y= (2 +√

x)^π. B y =

2 + 1 x²

^π

. C y= 2 +x²π

. D y= (2 +x)^π.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Lời giải.

Hàm số y= (2 +√

x)^π có tập xác định _D = [0; +∞). Hàm số y=

2 + 1 x²

^π

có tập xác định _D =R^{\ {0}}. Hàm số y= 2 +x^2π

có tập xác định _D =R. Hàm số y= (2 +x)^π có tập xác định _D = (−2; +∞). Chọn phương án C

Câu 13. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R? A y= log¹

2 x. B y = ^π₃^x

. C y= ²_e^x

. D y= log^π

4 2x²+ 1 . Lời giải.

Hàm số y= ₂

e ^x

là hàm số mũ, có cơ số0< a= 2

e <1 nên hàm sốnghịch biến trên tập số thựcR. Chọn phương án C

Câu 14. Đạo hàm của hàm số y= ln 5−3x² là A ⁶

3x²−5. B ^2x

5−3x². C ^6x

3x²−5. D ^−6x

3x²−5. Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm (lnu)⁰ = u⁰ u Cách giải:

ln 5−3x²0

= −6x

5−3x² = 6x 3x²−5. Chọn phương án C

Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số y = ln(1−x).

A _D = (−∞;−1). B _D = (−1; +∞). C _D = (−∞; 1). D _D = (1; +∞). Lời giải.

Hàm số y= ln(1−x) xác định⇔1−x >0⇔x <1. Do đó tập xác định của hàm số là _D = (−∞; 1). Chọn phương án C

Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số y = 2^x. A y⁰= 2^x

ln 2. B y⁰= 2^xln 2. C y⁰=x.2^x−1ln 2. D y⁰ =x.2^x−1. Lời giải.

Sử dụng công thức đạo hàm (a^x)⁰ =a^xlna. Do đó ta có (2^x)⁰= 2^xln 2. Chọn phương án B

Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên R? A y=

_π 3

^x

. B y =

Å 1

√3 ãx

. C y=

₂ e

^x

. D y=

Å 1

√2 ãx

. Lời giải.

Phương pháp: Hàm số y=a^x(a >0, a6= 1)

Nếu a >1 thì hàm số y =a^x đồng biến trên R. Nếu 0< a < 1 thì hàm số y=a^x nghịch biến trên R.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Cách giải: Ta có ^π

3 >1⇒ Hàm số y=_π 3

^x

đồng biến trên R. Chọn phương án A

Câu 18.

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A y= log₂(2x). B y= log₂x. C y= log₁

2

x. D y= log^√₂x.

x y

O

−1 1 2

Lời giải.

Từ hình vẽ suy ra hàm số đồng biến nên loại hàm số y = log₁

2

x. Lại từ hình vẽ suy đồ thị hàm số đi qua điểm ₁

2;−1 . Kiểm tra ta thấy −1 6= log₂

2· 1 2

;−1 = log₂ 1

2 và −16= log^√₂ 1

2 nên loại các hàm số y = log₂(2x) và y= log^√₂x.

Chọn phương án B

Câu 19. Đạo hàm của hàm số y= sinx+ log₃x³ (x >0) là A y⁰ = cosx+ 3

xln 3. B y⁰ =−cosx+ 1

x³ln 3. C y⁰ = cosx+ 1

x³ln 3. D y⁰ =−cosx+ 1 xln 3. Lời giải.

Áp dụng công thức (sinx)⁰ = cosx, (log_ax)⁰= 1

xlna, (0< a6= 1), ta có y⁰ = cosx+ 3 xln 3. Chọn phương án A

Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số y = log₉ x²+ 1 . A y⁰= 1

(x²+ 1) ln 9. B y⁰= x

(x²+ 1) ln 3. C y⁰= 2xln 9

x²+ 1. D y⁰ = 2 ln 3 x²+ 1. Lời giải.

Ta có y⁰ = x²+ 10

(x²+ 1) ln 9 = 2x

(x²+ 1) ln 3² = 2x

(x²+ 1) 2 ln 3 = x (x²+ 1) ln 3. Chọn phương án B

B MỨC ĐỘ 2

Câu 21. Phát biểu nào sau đây là sai?

A Hàm số y=a^x và y= log_ax đồng biến khi a >1.

B Hàm số logarit y = log_ax(a >0, a6= 1) có tập xác định là (0; +∞). C Hàm số mũ y =a^x(a >0, a6= 1) có tập xác định là (0; +∞).

D Đồ thị hàm số mũ y=a^x(a >0, a6= 1) nhận Ox làm tiệm cận ngang.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm mũ và lôgarit.

• Hàm số y=a^x và y= log_ax đồng biến khi a >1 và nghịch biến khi 0< a <1.

• Hàm số lôgarit y = log_ax(a > 0, a6= 1) có tập xác định là (0; +∞) và tập giá trị R; đồ thị có tiệm cận đứng là trục Ox.

• Hàm số mũ y = a^x(a > 0, a 6= 1) có tập xác định là R và tập giá trị (0; +∞); đồ thị có tiệm cận ngang là trục Oy.

Cách giải:

Phát biểu sai là: Hàm số mũ y=a^x(a >0, a6= 1) có tập xác định là (0; +∞). Sửa lại: Hàm số mũ y=a^x(a >0, a6= 1) có tập xác định là R.

Chọn phương án C

Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = log₈(6x−5). A y⁰= 2

(6x−5) ln 2. B y⁰= 1

(6x−5) ln 8. C y⁰= 6

6x−5. D y⁰ = 6

(6x−5) ln 4 . Lời giải.

Ta có y⁰ = (6x−5)⁰

(6x−5)·ln 8 = 6

3(6x−5)·ln 2 = 2

(6x−5)·ln 2. Chọn phương án A

Câu 23. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R? A y=_e

3 ^x

. B y = log₁

2

x. C y=₄

π ^x

. D y= log₂x. Lời giải.

Nhận xét:

Hàm số y= _e

3 ^x

nghịch biến trên R vì cơ số _e 3

<1. Hàm số y= log1

2

x có tập xác định _D = (0; +∞) nên không thể nghịch biến trên R. y=

₄ π

^x

đồng biến trên R vì có cơ số ₄ π

>1.

Hàm số y = log₂x có tập xác định _D = (0; +∞) nên không thể nghich biến hoặc đồng biến trên R.

Vậy y= _e

3 x

là hàm số nghịch biến trên R. Chọn phương án A

Câu 24. Tìm tập xác định _D của hàm số y = (x²−3x−4)

√

2−√ 3. A _D =R^{\(−1; 4)}. B _D =R.

C _D = (−∞;−1)∪(4; +∞). D _D = (−∞;−1]∪[4; +∞). Lời giải.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Điều kiện xác định của hàm số là x²−3x−4>0⇔

ñx >4 x <−1.

Vậy _D = (−∞;−1)∪(4; +∞). Chọn phương án C

Câu 25. Hàm số f(x) = log₂(x²−2x) có đạo hàm A f⁰(x) = ln 2

x²−2x. B f⁰(x) = 1

(x²−2x) ln 2. C f⁰(x) = (2x−2) ln 2

x²−2x . D f⁰(x) = 2x−2

(x²−2x) ln 2. Lời giải.

f⁰(x) = (log₂(x²−2x))⁰= (x²−2x)

(x²−2x) ln 2 = 2x−2 (x²−2x) ln 2. Chọn phương án D

Câu 26. Hàm số y= (x²−x+ 1)e^x có đạo hàm là

A y⁰= (2x−1)e^x. B y⁰= (x²−x)e^x. C y⁰= (x²+x)e^x. D y⁰ = (x²+ 1)e^x. Lời giải.

Tập xác định: _D =R. y⁰= x²−x+ 10

e^x+ x²−x+ 1

(e^x)⁰ = x²+x e^x. Chọn phương án C

Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào không xác định trên R?

A y= 3^x. B y = log(x²). C y= ln (|x|+ 1). D y= (0,3)^x. Lời giải.

Hàm số y= log(x²) xác định khi x² >0⇔x6= 0. Chọn phương án B

Câu 28. Với giá trị nào của x thì biểu thức B = log₂(2x−1) xác định?

A x∈

−∞;1 2

. B x∈(−1; +∞). C x∈R^\ n₁

2 o

. D x∈₁

2; +∞

. Lời giải.

Để biểu thức B = log₂(2x−1) xác định thì 2x−1>0⇔x > 1 2 Chọn phương án D

Câu 29. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập R?

A y= 2^1−3x. B y = log₂(x−1). C y= log₂(2^x+ 1). D y= log₂ x²+ 1 . Lời giải.

Hàm số y= log₂(2^x+ 1) có tập xác định _D =R. y⁰= 2^x

2^x+ 1 >0∀x∈R.

Vậy hàm số y = log₂(2^x+ 1) đồng biến trên R. Chọn phương án C

Câu 30. Trong các hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận trục tung là đường tiệm cận?

A y= log₃x. B y = 1

3^x. C y= 1

x+ 1. D y= √ 3^x

.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Lời giải.

Phương pháp:

Sử dụng:

a) Đồ thị hàm số y = ax+b cx+d

Å

x6=−d c

ã

nhận đường thẳng y= a

c làm tiệm cận ngang và đường thẳng x=−d

c làm tiệm cận đứng.

b) Đồ thị hàm số y= log_ax,(x >0) nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

c) Đồ thị hàm số y=a^x,(a >0)nhận trục hoành làm tiệm cận ngang (không có tiệm cận đứng).

Cách giải:

a) Đồ thị hàm số y= log₃x,(x >0) nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

b) Đồ thị hàm số y= 1 3^x =

₁ 3

^x

và y = √ 3^x

nhận trục hoành làm tiệm cận ngang (không có tiệm cận đứng).

c) Đồ thị hàm số y= 1

x+ 1 nhận x=−1 làm tiệm cận đứng và y= 0 làm tiệm cận ngang.

Chọn phương án A

Câu 31. Hàm số y= 3^x2+2 có đạo hàm là A y⁰= 3^x2+2

ln 3 . B y⁰= 2x·3^x2+2

ln 3 . C y⁰= 2x·3^x2+2·ln 3. D y⁰ = 2x·3^x2+2. Lời giải.

Ta có y⁰ =Ä

3^x2+2ä0

= 3^x2+2ln 3· x²+ 20

= 2x·3^x2+2ln 3. Chọn phương án C

Câu 32. Biết đồ thị của hàm số y =f(x) đối xứng với đồ thị hàm số y = log_ax (0< a6= 1) qua điểm I(2; 2). Giá trị của f 4−a²⁰¹⁸

là

A −2020. B 2014. C −2014. D 2020. Lời giải.

Gọi M(x; log_ax) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = log_ax thì điểm đối xứng với M qua I là M⁰(4−x; 4−log_ax) thuộc đồ thị hàm số y=f(x).

Do đó f(4−x) = 4−log_ax. Suy ra: f 4−a²⁰¹⁸

= 4−log_aa²⁰¹⁸=−2014 Chọn phương án C

Câu 33. Tìm tập xác định _D của hàm số y =√

logx+ 1−1.

A _D = (10; +∞). B _D = (9; +∞). C _D = (−∞; 9). D _D =R^{\ {−1}}. Lời giải.

Điều kiện:

®x+ 1>0

logx+ 1−1≥0 ⇔

®x+ 1>0

logx+ 1 ≥1 ⇔

®x+ 1>0

x+ 1≥10 ⇔x≥9. Vậy _D = (9; +∞).

Chọn phương án B

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Câu 34. Tập xác định của hàm số y= log₂x+ 3 2−x là

A D=R^{\ {−3; 2}}. B D= (−∞;−3)∪(2; +∞).

C D= [−3; 2]. D D= (−3; 2).

Lời giải.

Hàm số log₂x+ 3

2−x có nghĩa khi ^{x+ 3}

2−x >0⇔ −3< x <2. Chọn phương án D

Câu 35. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên R ? A y=

_π 3

x

. B y = log¹

3 x. C y= log^π

4 x²+ 1

. D y= ₂

e ^x

. Lời giải.

Phương pháp

Hàm số y =a^x với 0< a <1 luôn nghịch biến trên R. Cách giải:

Xét đáp án A có: ^π

3 ≈1.047>0⇒y= _π

3 ^x

đồng biến trên loại đáp án A.

Loại đáp án B vì TXĐ là:(0; +∞) . Xét đáp án C có: y⁰= 2x

(x²+ 1) lnπ 4

⇒y⁰ = 0⇔x= 0

⇒ hàm số không thể nghịch biến trên R^⇒ loại đáp án C.

Chọn phương án D

Câu 36. Tập xác định của hàm số y= 1

√2−x + ln (x−1) là

A _D = [1; 2]. B _D = (1; +∞). C _D = (1; 2). D _D = (−∞; 2). Lời giải.

Phương pháp Hàm số y = 1

f(x) xác định ⇔f(x)>0 Hàm số y = lnf(x) xác định ⇔f(x)>0 Cách giải:

Hàm số đã cho xác định ⇔

®2−x >0 x−1>0 ⇔

®x <2 x >1. Chọn phương án C

Câu 37.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Cho đồ thị hàm số y =x^α; y =x^β; y = x^γ trên (0; +∞)

trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

O x

y

x^γ x^β x^α

A γ < β < α <0. B 0< γ < β < α <1. C 0< α < β < γ <1. D 1< γ < β < α. Lời giải.

Phương pháp

Sử dụng đơn điệu của hàm số mũ y=a^x : Với 0< a <1 thì hàm số nghịch biến trênR với a >1 thì hàm số đồng biến trên R.

Cách giải:

Ta có: a < x <1 thì x^α< x^β < x^γ < x² ⇒α > β > γ >1 Với x >1 thì : a¹ < x^γ < x^β < x^α ⇒1< γ < β < α. Chọn phương án D

Câu 38. Cho hàm số y= 2^x

ln 2 −2x+ 3. Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số đồng biến trên (0; +∞). B Hàm số có giá trị cực tiểu là y= 2 ln 2 + 1. C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). D Hàm số đạt cực trị tại x= 1.

Lời giải.

Ta có y⁰ = 2^x−2⇒ ∀x∈(0; 1), y⁰ >0 nên hàm số nghịch biến trên (0; 1). Chọn phương án A

Câu 39. Tập xác định của hàm số y= 1

log₂(5−x) là

A (−∞; 5)\ {4}. B (5;∞). C (−∞,5). D [5; +∞). Lời giải.

Điều kiện

(5−x >0 log₂(5−x)6= 0

⇔

(x <5 5−x6= 1

⇔

(x <5 x6= 4

. Vậy tập xác định của hàm số là _D = (−∞; 5)\{4}.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Chọn phương án A

Câu 40. Hàm số y= ln x²+mx+ 1

xác định với mọi giá trị của x khi A

ñ m <−2

m >2 . B m >2. C −2< m <2. D m <2. Lời giải.

Yêu cầu bài toán ⇔x²+mx+ 1 >0, ∀x∈R^{⇔m2−4<0⇔ −2}< m <2. Chọn phương án C

C MỨC ĐỘ 3 Câu 41.

Cho a, b, c dương và khác 1. Các hàm số y = log_ax, y = log_bx, y = log_cx có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A b > c > a. B a > b > c. C a > c > b. D c > b > a.

x y

O

y= log_cx y= log_bx y= log_ax 1

Lời giải.

Kẻ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị của các hàm số y = log_ax, y = log_bx, y= log_cx lần lượt tại các điểm có hoành độ là a, b, c.

Từ đồ thị ta có a > c > b.

x y

O

y= log_cx y= log_bx y= log_ax y= 1 bc1 a

Chọn phương án C Câu 42.

Cho các hàm số y = log_ax và y = log_bx có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 5 cắt trục hoành, đồ thị hàm số y = log_ax và y = log_bx lần lượt tại A, B và C . Biết rằng CB = 2AB. Mệnh đề nào sau đay là đúng?

A a = 5b. B a=b². C a=b³. D a³=b.

x y

O 5

log_bx

log_ax log_bx x= 5

A B C

Lời giải.

Ta có A(5; 0), B(5; log_a5), C(5; log_b5).

CB = 2AB ⇔log_b5−log_a5 = 2 log_a5⇔log_b5 = 3 log_a5⇔log₅b = 1

3log₅a⇔a=b³.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Chọn phương án C

Câu 43. Cho hàm số f(x) = lnx+ 1 x+ 4.

Tính giá trị của biểu thức P =f⁰(0) +f⁰(3) +f⁰(6) +· · ·+f⁰(2019) . A ¹

4. B ²⁰²⁴

2023. C ²⁰²²

2023. D ²⁰²⁰

2023. Lời giải.

Với x∈[0; +∞) ta có x+ 1 >0 và x+ 4 >0 nên f(x) = lnx+ 1

x+ 4 = ln(x+ 1)−ln(x+ 4). Từ đó f⁰(x) = 1

x+ 1 − 1

x+ 4. Do đó

P = f⁰(0) +f⁰(3) +f⁰(6) +. . .+f⁰(2019)

=

1− 1 4

+

₁ 4− 1

7

+ ₁

7 − 1 10

+· · ·+ ₁

2020 − 1 2023

= 1− 1

2023 = 2022 2023. Chọn phương án C

Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x²

2 −mx+ ln(x−1) đồng biến trên khoảng (1; +∞)?

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Hàm số luôn xác định trên (1; +∞) , có y⁰=x−m+ 1

x−1 =x+ 1

x−1−m. Để hàm số đồng biến trên(1; +∞)khi và chỉ khiy⁰≥0,∀x∈(1; +∞)⇔x+ 1

x−1 ≥m,∀x∈(1; +∞). Với x >1, áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

g(x) = x+ 1

x−1 =x−1 + 1

x−1 + 1≥2

…

(x−1)· 1

x−1 + 1 = 3.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= 2, (thỏa mãn).

Vậy min

(1;+∞)g(x) = 3 , hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ khi m ≤ 3 mà m ∈ Z⁺, suy ra m∈ {1; 2; 3}.

Chọn phương án C

Câu 45. Cho hàm số f(x) = ln 2018−ln

_{x+ 1} x

.Tính S =f⁰(1) +f⁰(2) +f⁰(3) +· · ·+f⁰(2017) A ⁴⁰³⁵

2018. B 2017. C ²⁰¹⁶

2017. D ²⁰¹⁷

2018. Lời giải.

Ta có f⁰(x) =− x x+ 1 ·

− 1 x²

= 1 x − 1

x+ 1. Do đó S= 1

1− 1 2 +1

2 −1 3 +1

3 − 1

4+· · ·+ 1

2017 − 1

2018 = 1− 1

2018 = 2017 2018. Chọn phương án D

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Câu 46. Hàm số y= log₂(4^x−2^x+m) có tập xác định là R khi A m ≥ 1

4. B m >0. C m < 1

4. D m > 1 4. Lời giải.

Điều kiện 4^x−2^x+m >0.

Hàm số đã cho có tập xác định là R ^{⇔4x−2x+m >0,∀x∈}R^{⇔m >−4x+ 2x,∀x∈}R. (*) Đặt t = 2^x, t >0. Khi đó (∗) trở thành m >−t²+t,∀t >0 ⇔max lim

(0;+∞)f(t) với f(t) = −t²+t, t >0.

– Ta có f⁰(t) =−2t+ 1, f⁰(t) = 0⇔t= 1 2. – Bảng biến thiên

x f⁰(t)

f(t)

0 1

2 +∞

+ 0 ⁻

0 0

1 4 1 4

+∞

+∞

– Từ bảng biến thiên ta thấy max lim

(0;+∞)f(t) = 1

4 đạt được khi t = 1 2. – Vậy m > max

(0;+∞)f(t)⇔m > 1 4. Chọn phương án D

Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= 4x+ 7

log₂₀₁₈(x²−2x+m²−6m+ 10) xác định với mọi x∈R là:

A (2; 4)\ {3}. B [2; 4]\ {3}. C [ 4; +∞). D (−∞; 2)∪(4; +∞). Lời giải.

Phương pháp: +) Hàm số y= log_af(x)(0< a6= 1) xác định ⇔f(x >0). +) Hàm số ¹

A xác định ⇔A6= 0.

Cách giải: Hàm số y= 4x+ 7

log₂₀₁₈(x²−2x+m²−6m+ 10) xác định với mọi x∈R khi và chỉ khi

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2

®log₂₀₁₈ x²−2x+m²−6m+ 10

6= 0,∀x∈R x²−2x+m²−6m+ 10 >0,∀x∈R

⇔

®x²−2x+m²−6m+ 10 6= 1,∀x∈R x²−2x+m²−6m+ 10 >0,∀x∈R

⇔

®(x−1)²+ (m−3)²6= 1,∀x∈R (x−1)²+ (m−3)²>0,∀x∈R

⇔

®(m−3)² 6= 1−(x−1)²,∀x∈R (x−1)²+ (m−3)²>0,∀x∈R

⇔

®(m−3)² >1 m−36= 0 ⇔











ñm >4 m <2 m6= 3

⇔

ñm >4 m <2

.

Chọn phương án D

Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [−2019; 2019] để hàm số y = ln(x²+ 2)−mx+ 1 đồng biến trên R.

A 2019. B 2020. C 4038. D 1009. Lời giải.

Ta có y⁰ = 2x

x²+ 2 −m.

Hàm số đã cho đồng biến trên R.

⇔ 2x

x²+ 2 −m≥0 với mọi x∈R.

⇔m≤ 2x

x²+ 2 với mọi x∈R. Xét h(x) = 2x

x²+ 2 với x∈R. Ta có h⁰(x) = 4−2x²

(x²+ 2)².

Cho h⁰(x) = 0 ⇔4−2x² = 0⇔

®x=√ 2 x=−√

2.

Bảng biến thiên:

x h⁰(x)

h(x)

−∞ −√

2 √

2 +∞

− 0 + 0 −

0 0

−

√ 2

− 2

√ 2 2

√2 2

√2 2

0 0

Suy ra m≤ −

√2

2 , m là số nguyên trong đoạn [−2019; 2019] nên có 2019 số.

Chọn phương án A

Câu 49. Tìm m của hàm số y= 5^−x+ 2

5^−x−m đồng biến trên khoảng (−∞; 0).

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

A m <−2. B m >−2. C m≤ −2. D −2< m≤1. Lời giải.

y= 5^−x+ 2

5^−x−m ⇒y⁰= −5^−xln 5 5^−x−m

+ 5^−xln 5 5^−x+ 2

(5^−x−m)² = 5^−xln 5(2 +m) (5^−x−m)² . Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) khi và chỉ khi

®m+ 2>0

5^−x−m 6= 0,∀x <0 ⇔

®m >−2

5^−x 6=m,∀x <0 ⇔

®m >−2 m ≤1 Chọn phương án D

Câu 50. Cho hàm số y= ln 1

x+ 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A xy⁰+ 1 =−e^y. B xy⁰+ 1 =e^y. C xy⁰−1 = e^y. D xy⁰−1 = e^y. Lời giải.

Ta có e^y =e^ln 1

x+ 1 = 1 x+ 1. y⁰=− x+ 1

(x+ 1)² =− 1

x+ 1 ⇒xy⁰+ 1 =−y⁰⇒xy⁰+ 1 = 1

x+ 1 =e^y Chọn phương án B

D MỨC ĐỘ 4

Câu 51. Cho a, b là các số thực và hàm số f(x) =alog²⁰¹⁹ √

x²+ 1 +x

+bsinxcos 2018x+ 6. Biết f 2018^{ln 2019}

= 10. Tính P =f −2019^{ln 2018} .

A P = 4. B P = 2. C P =−2. D P = 10. Lời giải.

Xét hàm số g(x) =f(x)−6 = alog²⁰¹⁹ √

x²+ 1 +x

+bsinxcos 2018x.

Do ^√x²+ 1 +x >|x|+x≥0 nên hàm số g(x) có tập xác định _D =R nên ∀x∈D ⇒ −x∈D. Lại có g(−x) = alog²⁰¹⁹Äp

(−x)²+ 1−xä

+bsin(−x) cos(−2018x)

= alog²⁰¹⁹Äp

x²+ 1−xä

−bsinxcos 2018x

= alog²⁰¹⁹

Å 1

√x²+ 1 +x ã

−bsinxcos 2018x

= −alog²⁰¹⁹Äp

x²+ 1 +xä

−bsinxcos 2018x=−g(x).

Suy ra g(x) là hàm số lẻ.

Lại có 2018^{ln 2019} = 2019^{ln 2018} và f 2018^{ln 2019}

= 10 nên g 2018^{ln 2019}

= 4 và g −2019^{ln 2018}

=

−g 2018^{ln 2019}

=−4. Từ đó suy ra f −2019^{ln 2018}

= 2. Chọn phương án C

Câu 52. Cho biểu thức f(x) = 1 2018^x+√

2018. Tính tổng sau S =√

2018 [f(−2017) +f(−2016) +· · ·+f(0) +f(1) +· · ·+f(2018)]

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2

A S = 2018. B S = 1

2018. C S =√

2018. D S = 1

√2018. Lời giải.

a) Trước hết ta chứng minh với a+b = 1 thì f(a) +f(b) = 1

√2018. Thật vậy f(a) +f(b) = 1

2018^a+√

2018 + 1

2018^b+√ 2018

= 1

√2018

Å 1

2018^a−12 + 1 + 1 2018^b−12 + 1

ã

= 1

√2018

Å 1

2018^a−12 + 1 + 1 2018^1−a−12 + 1

ã

= 1

√2018

Ç 1

2018^a−12 + 1 + 2018^a−12 2018^a−12 + 1

å

= 1

√2018.

Áp dụng tính chất trên ta có

f(−2017) +f(2018) = 1

√2018 f(−2016) +f(2016) = 1

√2018

· · · · f(0) +f(1) = 1

√2018 Vậy S =√

2018· 1

√2018 ·2018 = 2018. Chọn phương án A

Câu 53. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ln

Å1−2x x+y

ã

= 3x+y−1. Tìm giá trị nhỏ nhấtP_min của P = 1

x + 1

√xy + 1

A P_min= 8. B P_min = 16. C P_min = 9. D P_min = 2. Lời giải.

ln

Å1−2x x+y

ã

= 3x+y−1 xác định ⇔ 1−2x x+y >0. Do x, y >0 nên 1−2x >0⇔0< x < 1

2 Khi đó: ln

Å1−2x x+y

ã

= 3x+y−1

⇔ln (1−2x)−ln(x+y) = (x+y)−(1−2x)

⇔ln (1−2x) + (1−2x) = ln(x+y) + (x+y)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Xét hàm số f(t) = lnt+t với t >0

Hàm số f(t) xác định và liên tục trên khoảng (0; +∞) f⁰(t) = 1

t + 1>0;∀t >0. Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞)

⇒f(1−2x) = f(x+y)

⇔1−2x=x+y⇔y= 1−3x >0 Do đó: P = 1

x + 1

px(1−3x)+ 1 ≥ 1

x+ 2

1−2x + 1 (Dấu bằng xảy ra khi x= 1−3x⇔x= 1 4) Xét hàm số f(x) = 1

x + 2

1−2x + 1;x∈ 0;1

3

Hàm số f(x) liên tục trên 0;1

3

f⁰(x) =− 1

x² + 4 (1−2x)²

f⁰(x) = 0⇔ − 1

x² + 4

(1−2x)² = 0

⇔4x² = (1−2x)² ⇔x= 1 4 Bảng biến thiên

x y⁰ y

0 1

4

1 3

− 0 ⁺

+∞

+∞

8 8

9 9

Vậy P_min = 8 tại x= 1 4 Chọn phương án A

Câu 54. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log₃2x+y+ 1

x+y = x+ 2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 1

x + 2

√y. A 3 +√

3. B 4. C 3 + 2√

3. D 6.

Lời giải.

Ta có:

log₃ 2x+y+ 1

x+y =x+ 2y

⇔log₃(2x+y+ 1)−log₃(x+y) = 3(x+y)−(2x+y+ 1) + 1

⇔log₃(2x+y+ 1) + (2x+y+ 1) = log₃[3(x+y)] + 3(x+y).(1)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Xét hàm số y=f(a) = log₃a+a trên (0; +∞).

Dễ thấy hàm số y=f(a) là hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Do đó, (1)⇔f(2x+y+ 1) =f(3(x+y))⇔2x+y+ 1 = 3(x+y)⇔x+ 2y= 1. Ta có ¹

x + 2

√y = 1 x + 1

1 2

√y

≥ 1

x+ 1 1 4 +y

2

= 1

x+ 1 1 4+y

+ 1

1 4 +y

≥ (1 + 1 + 1)² x+ 1

4+y+ 1 4+y

= 9

x+ 2y+1 2

= 6. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1

2; y= 1 4. Chọn phương án D

Câu 55. Cho hàm số f(x) = 2018^x 2018^x+√

2018. Tính S =f ₁

2017

+f ₂

2017

+· · ·+f

₂₀₁₆ 2017

.

A S = 2017. B S = 1008. C S =√

2016. D S = 1006. Lời giải.

Xét hai số thực dương a và b sao cho a+b= 1. Ta có f(a) +f(b) = 2018^a

2018^a+√

2018 + 20018^b 2018^b+√

2018

= 2·2018^a2018^b+√

2018 2018^a+ 2018^b 2018^a2018^b+√

2018 2018^a+ 2018^b

+ 2018

= 1 Suy ra

S =f ₁

2017

+f ₂

2017

+· · ·+f

₂₀₁₆ 2017

= h

f ₁

2017

+f

₂₀₁₆ 2017

i

+· · ·+ h

f

₁₀₀₈ 2017

+f

₁₀₀₉ 2017

i

= 1008.

Chọn phương án B

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a >0thỏa mãn

2^a+ 1 2^a

²⁰¹⁷

≤

2²⁰¹⁷+ 1 2²⁰¹⁷

^a . A 0< a < 1. B 1< a <2017. C 0< a≤2017. D a≥2017.

Lời giải.

Xét hàm f(x) = ln(2^x+ 2^−x)

x ⇒f⁰(x) = (2^x−2^−x) ln 2^x−(2^x+ 2^−x) ln(2^x+ 2^−x) x²(2^x+ 2^−x) . Vì ln 2^x <ln(2^x+ 2^−x) và 0<2^x−2^−x <2^x+ 2^−x nên f⁰(x)<0⇒f(x) nghịch biến.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Do vậy

2^a+ 1 2^a

²⁰¹⁷

≤

2²⁰¹⁷+ 1 2²⁰¹⁷

^a

⇔2017 ln(2^a+ 2^−a)≤aln(2²⁰¹⁷+ 2⁻²⁰¹⁷)

⇔ln(2^a+ 2^−a)

a ≤ ln(2²⁰¹⁷+ 2⁻²⁰¹⁷) 2017

⇔a≥2017.

Chọn phương án D

Câu 57. Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1; 2] thỏa mãn log³₂a+ log³₂b+ log³₂c ≤ 1. Khi biểu thức P =a³+b³+c³−3 log₂a^a+ log₂b^b+ log₂c^c

đạt giá trị lớn nhất thì tổng a+b+clà A 3. B 3·2

1

√3

3. C 4. D 6.

Lời giải.

Đặt x= log₂a, y= log₂b, z= log₂c.

Ta có log³₂a+ log³₂b+ log³₂c≤1⇒x³+y³+z³≤1; 0 ≤x, y, z ≤1. Biểu thức P =a³+b³+c³−3(ax+by+cz).

Xét hàm số f(t) =t−log₂t với t∈[1; 2]. f⁰(t) = 1− 1

tln 2;f⁰(t) = 0⇔t₀ = 1 ln 2. Suy ra f(t)≤max{f(1), f(2), f(t0)}= 1, x∈[1; 2].

Do đó, a−x−1≤0⇒a³−3ax−x³−1 = (a−x−1) a²+x²+ 1 +a+ax−x

≤0. Suy ra a³−3ax≤x³+ 1.

Biểu thức P =a³+b³+c³−3(ax+by+cz)≤x³+y³+z³+ 3 ≤4, Pmax= 4.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba sốx, y, z bằng0 và số còn lại bằng1. Vậy a+b+c= 4.

Chọn phương án C

Câu 58. Cho biểu thức f(x) = 1 2018^x+√

2018. Tính tổng sau S =√

2018 [f(−2017) +f(−2016) +· · ·+f(0) +f(1) +· · ·+f(2018)]

A S =√

2018. B S = 1

2018. C S = 2018. D S = 1

√2018. Lời giải.

Xét hai số a, b∈R sao cho a+b = 1⇔a−1 =−b. f(a) +f(b) = 1

2018^a+√

2018+ 1

2018^b+√

2018 = 1

2018·2018^a−1+√

2018 + 1

2018^b+√ 2018

= 1

2018·2018^−b+√

2018 + 1

2018^b+√ 2018

= 1

√2018(√

2018·2018^−b+ 1) + 1 2018^b+√

2018

= 2018^b

√2018(√

2018 + 2018^b) + 1 2018^b+√

2018 = 2018^b+√

√ 2018 2018(√

2018 + 2018^b) = 1

√2018

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 S=√

2018 [f(−2017) +f(−2016) +· · ·+f(0) +f(1) +· · ·+f(2018)]

=√

2018 [f(−2017) +f(2018) +f(−2016) +f(2017) +· · ·+f(0) +f(1)] =√

2018· 2018

√2018 = 2018.

Chọn phương án C

Câu 59. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = log₃ −x²+mx+ 2m+ 1

xác định với mọi x∈(1; 2).

A m ≥ −1

3. B m ≥ 3

4. C m > 3

4. D m <−1 3. Lời giải.

Hàm số xác định với mọi x∈(1; 2)

⇔ −x²+mx+ 2m+ 1 >0,∀x∈(1; 2)

⇔ m > x²−1

x+ 2 =g(x),∀x∈(1; 2) Xét g(x) = x²−1

x+ 2 =x−2 + 3

x+ 2 ⇒g⁰(x) = 1− 3

(x+ 2)² >0, ∀x∈(1; 2). Do lim

x→2⁻g(x) = 3

4. Vậy m ≥ 3

4 là giá trị cần tìm.

Chọn phương án B

Câu 60. Cho hàm số f(x) = 2^x

2^x+ 2. Khi đó tổng f(0) +f₁ 10

+· · ·+f₁₉ 10

có giá trị bằng A ⁵⁹

6 . B 10. C ¹⁹

2 . D ²⁸

3 . Lời giải.

Với a+b = 2 ta có: f(a) +f(b) = f(a) +f(2−a) = 2^a

2^a+ 2 + 2^2−a

2^2−a+ 2 = 2^a

2^a+ 2 + 2

2^a+ 2 = 1. Suy ra: f(0) +f(1) +h

f ₁ 10

+f₁₉ 10

i

+· · ·+h f ₉

10

+f₁₁ 10

i

= 1 3 + 2

2 + 2 + 9·1 = 59 6 . Chọn phương án A

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

BẢNG ĐÁP ÁN

1. A 2. D 3. B 4. D 5. C 6. A 7. A 8. C 9. C 10. D

11. D 12. C 13. C 14. C 15. C 16. B 17. A 18. B 19. A 20. B

21. C 22. A 23. A 24. C 25. D 26. C 27. B 28. D 29. C 30. A

31. C 32. C 33. B 34. D 35. D 36. C 37. D 38. A 39. A 40. C

41. C 42. C 43. C 44. C 45. D 46. D 47. D 48. A 49. D 50. B

51. C 52. A 53. A 54. D 55. B 56. D 57. C 58. C 59. B 60. A

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2

Trong tài liệu 50 dạng toán phát triển đề minh họa THPT QG 2020 môn Toán lần 2 - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia (Trang 117-138)