A MỨC ĐỘ 1
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 3x−1 = 27 là
A x= 4. B x= 3. C x= 2. D x= 1. Lời giải.
Ta có 3x−1 = 27⇔3x−2= 33⇔x−1 = 3⇔x= 4. Chọn phương án A
Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình log2(3x−2) = 3. A x= 8
3. B x= 10
3 . C x= 16
3 . D x= 11
3 . Lời giải.
Ta có log2(3x−2) = 3⇔3x−2 = 23⇔3x= 10⇔x= 10 3 . Chọn phương án B
Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình 7 + 4√
32x+1
= 2−√ 3. A x= 1
4. B x=−3
4. C x=−1. D x=−1
4. Lời giải.
Ta có 7 + 4√
32x+1
= 2−√
3⇔2x+ 1 = log7+4√3 2−√ 3
⇔2x+ 1 =−1
2 ⇔x=−3 4. Chọn phương án B
Câu 3. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình 7x2−5x+9= 343. Tính x1+x2.
A x1+x2= 4. B x1+x2= 6. C x1+x2 = 5. D x1+x2 = 3. Lời giải.
Ta có 7x2−5x+9 = 343⇔7x2−5x+9= 73⇔x2−5x+ 9 = 3⇔x2−5x+ 6 = 0⇔
ñx= 2 x= 3.
Do đó tổng hai nghiệm x1+x2 = 2 + 3 = 5. Chọn phương án C
Câu 4. Tập nghiệm của phương trình 2x2−3x = 1 4 là
A S =∅. B S ={1; 2}. C S ={0}. D S ={1}. Lời giải.
2x2−3x = 1
4 ⇔2x2−3x = 2−2 ⇔x2−3x=−2⇔x2−3x+ 2 = 0⇔x= 1∨x= 2. Chọn phương án B
Câu 5. Phương trình 3x−4 = 1 có nghiệm là
A x=−4. B x= 4. C x= 0. D x= 5. Lời giải.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Phương trình đã cho tương đương với
3x−4 = 30 ⇔x−4 = 0⇔x= 4.
Chọn phương án B
Câu 6. Phương trình 3x−4 = 1 có nghiệm là
A x=−4. B x= 5. C x= 4. D x= 0. Lời giải.
Phương trình tương đương: 3x−4 = 1⇔x−4 = log31 = 0 ⇔x= 4. Chọn phương án C
Câu 7. Tập nghiệm của phương trình log0,25 x2−3x
=−1 là:
A {4}. B
ß3−2√ 2
2 ;3 + 2√ 2 2
™ .
C {1;−4}. D {−1; 4}.
Lời giải.
Điều kiện: x2−3x >0⇔
ñx <0 x >3. Ta có
log0,25 x2−3x
=−1
⇔ x2−3x= 4
⇔ x2−3x−4 = 0
⇔
ñx=−1 (nhận) x= 4 (nhận).
Vậy S ={−1; 4}. Chọn phương án D
Câu 8. Tập nghiệm của phương trình log2 x2−2x+ 4
= 2 là
A {0;−2}. B {2}. C {0}. D {0; 2}. Lời giải.
Ta có x2−2x+ 4 = 22 ⇔x2−2x= 0⇔x= 0∨x= 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={0; 2}. Chọn phương án D
Câu 9. Phương trình log2(x+ 1) = 2 có nghiệm là
A x=−3. B x= 1. C x= 3. D x= 8. Lời giải.
Phương pháp: logab =c⇔b=ac.
Cách giải: log2(x+ 1) = 2⇔x+ 1 = 22 ⇔x+ 1 = 4⇔x= 3. Chọn phương án C
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 10. Có bao nhiêu giá trị x thoả mãn 5x2 = 5x?
A 0. B 3. C 1. D 2.
Lời giải.
Ta có 5x2 = 5x ⇔x2=x⇔
ñx= 0 x= 1. Chọn phương án D
Câu 11. Tìm nghiệm của phương trình log3(x−2) = 2.
A x= 9. B x= 8. C x= 11. D x= 10. Lời giải.
Ta có:
log3(x−2) = 2
⇔ x−2 = 32
⇔ x−2 = 9
⇔ x= 11.
Vậy nghiệm của phương trình là x= 11 Chọn phương án C
Câu 12. Tìm tập nghiệm của phương trình 3x2+2x = 1.
A S ={−1; 3}. B S ={−2; 0}. C S ={−3; 1}. D S ={0; 2}. Lời giải.
Ta có 3x2+2x= 1 ⇔x2+ 2x= 0 ⇔
ñx= 0 x=−2.
Do đó tập nghiệm của phương trình là S ={0; 2}. Chọn phương án D
Câu 13. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x2+x = 9 bằng
A −2. B −1. C 2. D 3.
Lời giải.
3x2+x= 9 ⇔ 3x2+x = 32
⇔ x2+x= 2
⇔ x2+x−2 = 0
⇔
ñx= 1 x=−2.
Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng −2. Chọn phương án A
Câu 14. Gọi S là tập nghiệm của phương trình log5(x+ 1)−log5(x−3) = 1. Tìm S. A S ={−2; 4}. B S ={−1 +√
13
2 ;−1−√ 13 2 }.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
C S ={4}. D S ={−1 +√ 13 2 }. Lời giải.
Điều kiện:x >3 PT ⇔ x+ 1
x−3 = 5⇔x= 4 (thỏa). Vậy S ={4}. Chọn phương án C
Câu 15. Tìm tập nghiệm S của phương trình log2(x+ 4) = 4.
A S ={−4; 12}. B S ={4}. C S ={4; 8}. D S ={12}. Lời giải.
Ta có log2(x+ 4) = 4⇔x+ 4 = 24⇔x= 12. Vậy tập nghiệm của phương trình S ={12}. Chọn phương án D
Câu 16. Tập nghiệm S của phương trình 4 7
x
·7 4
3x−1
− 16
49 = 0 là A S =
n−1 2
o
. B S ={2}. C S =
n−1 2 ;1
2 o
. D S =
n−1 2 ; 2
o . Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với 4 7
1−2x
= 4
7 2
⇔x= −1 2 . Chọn phương án A
Câu 17. Tìm tập xác định của hàm số y = −x2+ 3x+ 413 +√
2−x.
A D = (−1; 2]. B D = [−1; 2]. C D(−∞; 2]. D D = (−1; 2). Lời giải.
Hàm số y= (−x2+ 3x+ 4)13 +√
2−x xác định khi √2−x và y= (−x2+ 3x+ 4)13 xác định.
√2−x xác định khi x62.
y= (−x2+ 3x+ 4)13 xác định khi −x2+ 3x+ 4>0⇔ −1< x <4. Vậy ta có điều kiện xác định của hàm số trên là −1< x62
Chọn phương án A
Câu 18. Nghiệm của phương trình log2x= 3 là
A x= 9. B x= 6. C x= 8. D x= 5. Lời giải.
Ta có log2x= 3 ⇔x= 23 ⇔x= 8 Chọn phương án C
Câu 19. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình log2(x−5) = 4.
A x= 21. B x= 3. C x= 11. D x= 13. Lời giải.
Ta có log2(x−5) = 4⇔x−5 = 24 ⇔x= 21. Chọn phương án A
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 20. Giải phương trình (2,5)5x−7 =
2 5
x+1 .
A x≥1. B x= 1. C x <1. D x= 2.
Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương 2
5 7−5x
=2 5
x+1
⇔7−5x=x+ 1 ⇔x= 1.
Chọn phương án B B MỨC ĐỘ 2
Câu 21. Số nghiệm của phương trình 22x2−7x+5= 1 là
A 0. B 3. C 2. D 1.
Lời giải.
Phương pháp:
Phương trình ax=b(a, b >0, a6= 1)⇔x= logab. Cách giải:
Ta có: 22x2−7x+5= 1⇔22x2−7x+5= 20 ⇔2x2−7x+ 5 = 0⇔
"
x= 1 x= 5
2 . Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Chọn phương án C
Câu 22. Phương trình ln(x−2)·ln(x+ 1) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A 2. B 3. C 1. D 0.
Lời giải.
Điều kiện: x >0, với điều kiện trên ta có ln(x−2)·ln(x+ 1) = 0⇔
ñln(x−2) = 0 ln(x+ 1) = 0
⇔
ñx−2 = 1 x+ 1 = 1
⇔
ñx= 3 (nhận) x= 0 (loại).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Chọn phương án C
Câu 23. Phương trình 72x2+6x+4= 49 có tổng tất cả các nghiệm bằng
A 1. B 5
2. C −1. D −5
2. Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với 72x2+6x+4= 72⇔2x2+ 5x+ 4 = 2⇔
x=−1 2 x=−2.
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng −1
2−2 =−5 2.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Chọn phương án D
Câu 24. Tập nghiệm của phương trình log2(x2−x+ 2) = 1
A {0}. B {0; 1}. C {−1; 0}. D {1}. Lời giải.
Điều kiện x2−x+ 2 >0.
log2(x2−x+ 2) = 1⇔x2−x+ 2 = 2⇔x(x−1) = 0⇔
ñx= 0 x= 1. Chọn phương án B
Câu 25. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log3(7−3x) = 2−x
A 2. B 1. C 7. D 3.
Lời giải.
Ta có log3(7−3x) = 2−x⇔7−3x= 32−x ⇔7−3x = 9
3x ⇔(3x)2−7·3x+ 9 = 0. (∗) Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt thỏa 3x1 + 3x2 = 7; 3x1 ·3x2 = 9,
suy ra 3x1+x2 = 32 ⇔x1+x2 = 2 Chọn phương án A
Câu 26. Tập nghiệm của phương trình 9x−4·3x+ 3 = 0 là
A {0; 1}. B {1}. C {0}. D {1; 3}. Lời giải.
Ta có 9x−4·3x+ 3 = 0⇔
ñ3x= 1 3x= 3 ⇔
ñx= 0 x= 1.
Chọn phương án A
Câu 27. Tích các nghiệm của phương trình log2x·log4x·log8x·log16x= 81 24 là
A 3. B 2. C 1
2. D 1.
Lời giải.
Điều kiện x >0. Ta có
log2x·log4x.log8x·log16x= 81
24 ⇔ log2x·log22x·log23x·log24x= 81 24
⇔ 1 2 ·1
3 · 1
4·log42x= 81
24 ⇔log42x= 81⇔
ñlog2x= 3 log2x=−3 ⇔
x= 8 x= 1 8. Do đó tích các nghiệm của phương trình bằng 1.
Chọn phương án D
Câu 28. Số nghiệm của phương trình 9x+ 2.3x+1−7 = 0 là
A 0. B 2. C 4. D 1.
Lời giải.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Đặt t= 3x, t >0
Phương trình đã cho trở thành t2+ 6t−7 = 0⇔
ñt = 1 (nhận) t =−7 (loại) . Với t= 1 thì 3x = 1⇔x= 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 0. Chọn phương án D
Câu 29. Nghiệm của phương trình 27x−1 = 82x−1 là
A x= 2. B x=−3. C x=−2. D x= 1. Lời giải.
27x−1 = 82x−1⇔27x−1 = 26x−3 ⇔7x−1 = 6x−3⇔x=−2. Chọn phương án C
Câu 30. Số nghiệm của phương trình log2(x2−4x) = 2 bằng
A 2. B 4. C 3. D 1.
Lời giải.
Để logarit có nghĩa thì x2−4x >0⇔x <0 hoặc x >4.
Khi đó log2(x2 −4x) = 2 ⇔ log2(x2−4x) = log24 ⇔ x2−4x−4 = 0 ⇔ x = 2 + 2√
2 > 4 hoặc x = 2−2√
2<0, thỏa mãn điều kiện. Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Chọn phương án A
Câu 31. Số nghiệm nguyên của phương trình 4x+1−2x+2+ 1 = 0 bằng
A 0. B 4. C 1. D 2.
Lời giải.
4x+1−2x+2+ 1 = 0⇔4·22x−4·2x+ 1 = 0⇔(2·2x−1)2= 0 ⇔2x = 1
2 ⇔x=−1.
Chọn phương án C
Câu 32. Tổng các nghiệm của phương trình log4x2−log23 = 1 là
A 6. B 5. C 4. D 0.
Lời giải.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.
Sử dụng các công thức logaαb= 1
αlogab.
1 2 logabα =α·logab với (a;b >0;a 6= 1). Cách giải:
Điều kiện: x6= 0.
Ta có log4x2−log23 = 1⇔log22x2−log23 = 1⇔log2|x| −log23 = 1
⇔log2 |x|
3 = 1⇔ |x|
3 = 2 ⇔ |x|= 6⇔
ñx= 6 thoả mãn x=−6 thoả mãn Tổng các nghiệm của phương trình là 6 + (−6) = 0.
Chú ý: logax2 = loga|x|. Chọn phương án D
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Câu 33. Tập nghiệm của phương trình log0,25 x2−3x
=−1 là
A {4}. B {1;−4}.
C
ß3−2√ 2
2 ;3 + 2√ 2 2
™
. D {−1; 4}.
Lời giải.
Phương pháp:
Sử dụng logaf(x) =b ⇔f(x) = ab. Cách giải:
Điều kiện: x2−3x >0⇔
ñx <0 x >3 Ta có log0,25 x2−3x
=−1⇔x2−3x= 0,25−1 ⇔x2−3x= 4 ⇔x2−3x−4 = 0
⇔
ñx=−1 nhận x= 4 nhận
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ={−1; 4}. Chọn phương án D
Câu 34. Nghiệm của phương trình 32x−1 = 27 là
A x= 2. B x= 3. C x= 0. D x=−2. Lời giải.
Ta có: 32x−1= 27⇔2x−1 = 3⇔x= 2. Chọn phương án A
Câu 35. Phương trình 4x−2x+2+ 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2 với x1 < x2. Đặt P = 2x1+ 3x2. Khi đó
A P = 3 log32. B P = 3 log23. C P = 0. D P = 2 log32. Lời giải.
Ta có 4x−2x+2+ 3 = 0⇔(2x)2−4·2x+ 3 = 0⇔
ñ2x = 1 2x = 3 ⇔
ñx= 0 x= log23.
Do x1 < x2 nên x1 = 0, x2 = log23. Vậy P = 2x1+ 3x2 = 3 log23. Chọn phương án B
Câu 36. Phương trình log3(3x−2) = 3 có nghiệm là A x= 29
3 . B x= 87. C x= 11
3 . D x= 25
3 . Lời giải.
Điều kiện 3x−2>0⇔x > 2 3.
Ta có: log3(3x−2) = 3⇔log3(3x−2) = log333 ⇔3x−2 = 27⇔x= 29 3 . Chọn phương án A
Câu 37. Phương trình 31−x = 2 + 1
9 x
có bao nhiêu nghiệm âm?
A 0. B 1. C 2. D 3.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Lời giải.
31−x = 2 + 1
9 x
⇔1 9
x
−3·1 3
x
+ 2 = 0⇔ ï1
3 xò2
−3·1 3
x
+ 2 = 0⇔
1
3 x
= 1 1
3 x
= 2
⇔
ñx= 0
x=−log32.
Vậy phương trình có 1 nghiệm âm.
Chọn phương án B
Câu 38. Nghiệm của phương trình 9x−4.3x−45 = 0 là
A x= 9. B x=−5 hoặc x= 9. C x= 2 hoặc x= log35. D x= 2.
Lời giải.
9x−4.3x−45 = 0⇔
ñ 3x= 9
3x=−5 ⇔x= 2. Chọn phương án D
Câu 39. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình lnx2<0.
A S = (−1; 1). B S = (−1; 0). C S = (−1; 1)\ {0}. D S = (0; 1). Lời giải.
Ta có lnx2<0⇔
(x6= 0 x2 <1
⇔
(x6= 0
−1< x < 1 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−1; 1)\ {0}. Chọn phương án C
Câu 40. Số nghiệm của phương trình log3 x2+ 4x
+ log1
3 (2x+ 3) = 0 là
A 2. B 3. C 0. D 1.
Lời giải.
Điều kiện
(x2+ 4x >0 2x+ 3>0
⇔
"
x >0 x <−4 x >−3
2
⇔x >0. Phương trình đã cho tương đương với
log3 x2+ 4x
−log3(2x+ 3) = 0 ⇔log3x2+ 4x 2x+ 3 = 0
⇔ x2+ 4x 2x+ 3 = 1
⇔x2+ 4x= 2x+ 3
⇔x2+ 2x−3 = 0
⇔
ñ x= 1
x=−3 (loại). Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Chọn phương án D C MỨC ĐỘ 3
Câu 41. Biết phương trình 8 log22√3
x+ 2 (m−1) log1
4 x−2019 = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1x2= 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A m ∈(1; 2). B m ∈(2; 5). C m∈(0; 1). D m∈(4; 7). Lời giải.
Ta có 8 log22√3
x+ 2 (m−1) log1
4 x−2019 = 0 ⇔ 8
9log22x−(m−1) log2x−2019 = 0. Đặt t= log2x⇔x= 2t ta được 8
9t2−(m−1)t−2019 = 0.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1x2 = 4 khi và chỉ khi 8
9t2−(m−1)t−2019 = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
2t1+t2 = 4⇔t1+t2 = 2⇔ 9 (m−1)
8 = 2⇔m = 25
9 ∈(2; 5). Chọn phương án B
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình(m+ 3) 9x+ (2m−1) 3x+m+ 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
A −3< m <−1. B −3< m <−3
4. C −1< m <−3
4. D m≥ −3. Lời giải.
Đặt t= 3x >0 ta có phương trình (m+ 3)t2+ (2m−1)t+m+ 1 = 0 (1).
Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (giả sử x1 <0< x2)⇔(1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa 0< t1 = 3x1 <1<3x2 =t2, nghĩa là 0< t1<1< t2.
⇔
m+ 3 6= 0
∆>0
(t1−1) (t2−1)<0 t1t2 >0
t1+t2 >0
⇔
m6=−3
−20m−11>0 t1t2−(t1+t2) + 1 <0 t1t2 >0
t1+t2 >0
⇔
m6=−3 m <−11
20 m+ 1
m+ 3 + 2m−1
m+ 3 + 1 <0 m+ 1
m+ 3 >0
− 2m−1 m+ 3 >0
⇔
m6=−3 m <−11
20 4m+ 3
m+ 3 <0 m+ 1 m+ 3 >0
− 2m−1 m+ 3 >0
⇔
m6=−3 m <−11
20
−3< m <−3 4 m <−3∨m >−1
−3< m < 1 2
⇔ −1< m <−3 4.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Chọn phương án C
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log22x+ log2x−m= 0 có nghiệm x∈(0; 1).
A m ≥0. B m ≥ −1
4. C m≥ −1. D m≤ −1
4. Lời giải.
Đặt t= log2x, vì 0< x <1 nên t <0 hay t∈(−∞; 0). Phương trình trở thành t2+t−m= 0 ⇔m =t2+t. Xét hàm f(t) = t2+t trên (−∞; 0).
Đồ thị hàm số y =f(t) là parabol có hoành độ đỉnh t =−1
2 ∈(−∞; 0). Bảng biến thiên
x y0 y
−∞ −12 0
− 0 +
+∞
+∞
−14
−14
0 0
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) khi và chỉ khi đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số đã cho tại ít nhất 1 điểm thuộc (−∞; 0)⇔m ≥ −1
4. Chọn phương án B
Câu 44. Cho phương trình log23x−4 log3x+m−3 = 0. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1 > x2 >1.
A 6. B 4. C 3. D 5.
Lời giải.
Đặt t= log3x. Phương trình đã cho trở thành: t2−4t+m−3 = 0 (*).
Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1,t2 thỏa mãn t1> t2 >0. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1,t2 thỏa mãn t1> t2 >0
⇔
∆0>0 P >0 S >0
⇔
7−m >0 m−3>0 4>0
⇔3< m <7.
Chọn phương án C
Câu 45. Phương trình 9x−6x= 22x+1 có bao nhiêu nghiệm âm?
A 3. B 0. C 1. D 2.
Lời giải.
Phương pháp:
Chuyển vế, chia cả hai vế cho 4x và giải phương trình thu được tìm nghiệm.
Cách giải:
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
9x−6x= 22x+1⇔9x−2.4x= 0 ⇔3 2
2x
−3 2
x
−2 = 0 Đặt 3
2 x
=t >0 thì t2−t−2 = 0⇔
ñt=−1 ( loại) t= 2 nhận ⇒
3 2
x
= 2⇔x= log3
2 2>0. Vậy phương trình không có nghiệm nào âm.
Chọn phương án B
Câu 46. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình log√2(x−1) = log2(mx−8) có hai nghiệm phân biệt là
A Vô số. B 4. C 3. D 5.
Lời giải.
Phương trình đã cho ⇔
®x >1
mx−8 = (x−1)2 ⇔
x >1
m = x2−2x+ 9
x (∗)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Xét hàm số f(x) = x2−2x+ 9
x trên khoảng (0; 1). Ta có f0(x) = x2−9
x2 = 0 ⇔ x = 3 (do x > 1).
Cùng với lim
x→1+f(x) = 8, lim
x→+∞f(x) = +∞, ta có bảng biến thiên của f(x) như sau.
x f0(x)
f(x)
1 3 +∞
− 0 +
8 8
4 4
+∞
+∞
Từ bảng biến thiên trên, ta thấy phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi 4< m <8.
Do m∈Z nên m∈ {5; 6; 7}. Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Chọn phương án C
Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể phương trình16x−2(m+ 1)4x+ 3m−8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
A 6. B 7. C 0. D 3.
Lời giải.
Đặt t= 4x, t >0.
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1<0< x2 khi và chỉ khi phương trình t2−2(m+ 1)t+ 3m−8 = 0 có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn
0< t1<1< t2⇔
∆0>0 S >0 P >0
(t1−1) (t2−1)<0
⇔
m2−m+ 9 >0 m >−1
m > 8 3 m <9
⇔ 8
3 < m <9. Vì m∈Z nên m∈ {3; 4; 5; 6; 7; 8}.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Chọn phương án A
Câu 48. Phương trình 1 7
x
2−2x−3
= 7x−1 có bao nhiêu nghiệm?
A 0. B 1. C 3. D 2.
Lời giải.
Phương pháp
Sử dụng công thức: a−m = 1 am
Giải phương trình mũ: af(x) =ag(x) ⇔f(x) = g(x) . Cách giải:
1 7
x
2−2x−3
= 7x−1⇔1 7
x
2−2x−3
= 1
7 1−x
x2−2x−3 = 1−x⇔x2−x−4 = 0⇔
x= 1−√ 17 2 x= 1 +√
17 2
. Chọn phương án D
Câu 49. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây để phương trình 4x−m·2x+1+ 2m= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1+x2= 3.
A m ∈(1; 3). B m ∈9 2; 5
. C m∈(3; 5). D m∈(−2;−1). Lời giải.
Ta có 4x−m2x+1+ 2m= 0 ⇔4x−2m2x+ 2m= 0. (1)
Đặt t= 2x >0, phương trình (1) trở thành t2−2mt+ 2m = 0. (2) Phương trình(1) có hai nghiệm thỏa mãnx1+x2 = 3, khi và chỉ khi phương trình (2)có hai nghiệm thỏa mãn t1·t2= 8. Tức là
®∆0≥0 P = 8 ⇔
®m2−2m ≥0
2m = 8 ⇔m= 4. Chọn phương án C
Câu 50. Tính tổngT của các giá trị nguyên của tham sốmđể phương trìnhex+ m2−m
e−x = 2m có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
log e.
A T = 28. B T = 20. C T = 21. D T = 27. Lời giải.
Đặt t= ex, t >0. Phương trình đã cho trở thành t2−2mt+m2−m= 0 (1). Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
log e khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa 0< t1< t2 <10.
Nghĩa là
∆>0 af(10)>0 0< S
2 <10 P >0.
⇔1< m < 21−√ 41
2 .
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Vì m nguyên nên m∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7}. Vậy T = 27. Chọn phương án D
Câu 51. Tính bình phương tổng các nghiệm của phương trình 3p
log2x−log2(4x) = 0.
A 5. B 324. C 9. D 260.
Lời giải.
Điều kiện :
®x >0
log2x≥0 ⇔
®x >0
x≥1 ⇔x≥1. Khi đó
3p
log2x−log2(4x) = 0
⇔ 3p
log2x−(2 +log2x) = 0
⇔ −log2x+ 3p
log2x−2 = 0
⇔
ñlog2x= 1 log2x= 2
⇔
ñx= 2 x= 16.
Ta thấy x= 2, x= 16 thỏa điều kiện.
Vậy tổng bình phương các nghiệm bằng 22+ 162 = 260. Chọn phương án D
Câu 52. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 9x−4·3x+m+ 2 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.
A 2019. B 15. C 12. D 2018. Lời giải.
Đặt t= 3x, t >0 thì phương trình đã cho trở thành t2−4t+m+ 2 = 0 (1) Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có hai nghiêm dương phân biệt
⇔
∆0>0 S > 0 P > 0
⇔
4−(m−2)>0 4>0
m−2>0
⇔
®6−m >0 m >2
⇔ 2< m <6.
Các giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán là 3,4,5. Vậy tổng S = 3 + 4 + 5 = 12.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Chọn phương án C
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị của thực của tham số m để phương trình 9|cosx|−(m−1) 3|cosx|− m−2 = 0 có nghiệm thực.
A m ≥ 5
2. B m ≤0. C 0< m < 5
2. D 0≤m≤ 5
2. Lời giải.
Đặt t= 3|cosx|,(1≤t≤3). Phương trình đã cho trở thành
t2−(m−1)t−m−2 = 0 ⇔m(1 +t) = t2+t−2⇔m = t2+t−2
t+ 1 =f(t), t∈[1; 3]. (1) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương tình (1) có nghiệm thực thuộc [1; 3]
⇔min
[1;3]f(t)≤m≤max
[1;3] f(t). Ta có f0(t) = t2+ 2t+ 3
(t+ 1)2 >0, ∀t∈[1; 3]. Và f(1) = 0;f(3) = 5 2. Vậy 0≤m ≤ 5
2. Chọn phương án D
Câu 54. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 2−√ 3x
+ 2 +√ 3x
= 4. Khi đó x21 + 2x22 bằng
A 2. B 5. C 4. D 3.
Lời giải.
Ta có (2−√
3)x+ (2 +√
3)x−4⇔ (2−√
3)x+ 1 (2−√
3)x = 4
⇔ (2−√
3)2x−4(2−√
3)x+ 1 = 0
⇔
ñ(2−√
3)x = 2 +√
3 = (2−√ 3)−1 (2−√
3)x = 2−√ 3
⇔
ñx=−1 x= 1
. Do đó x21+ 2x22=|x1|2+ 2|x2|2 = 1 + 2 = 3. Chọn phương án D
Câu 55. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x+1 = 4
A S ={4}. B S ={1}. C S ={3}. D S ={2}. Lời giải.
Phương pháp: Giải phương trình mũ: af(x) =am ⇔f(x) = m. Cách giải: Ta có: 2x+1= 4 ⇔2x+1 = 22 ⇔x+ 1 = 2⇔x= 1. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.
Chọn phương án B
Câu 56. Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình 22x2+5x+4= 4.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
A 1. B 5
2. C −5
2. D −1.
Lời giải.
Phương pháp:
+) Giải phương trình mũ: af(x) =am ⇔f(x) = m. +) Áp dụng hệ thức Vi-ét.
Cách giải:
Ta có: 22x2+5x+4= 4⇔2x2+ 5x+ 4 = 2⇔2x2+ 5x+ 2 = 0⇔
x=−1 2 x=−2
⇒x1x2 = 1. Chọn phương án A
Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 7−3√ 5x2
+m 7 + 3√ 5x2
= 2x2−1 có đúng bốn nghiệm phân biệt.
A 0< m < 1
16. B 0≤m < 1
16. C −1
2 < m <0. D −1
2 < m≤ 1 16. Lời giải.
Phương pháp:
+) Ta có: 7 + 3√ 5
7−3√ 5
= 49−45 = 4⇒7−3√
5 = 4 7 + 3√
5
+) Đặt ẩn phụ và đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t từ đó tìm m theo yêu cầu của đề bài.
Cách giải:
Ta có: 7 + 3√ 5
7−3√ 5
= 49−45 = 4⇒7 + 3√
5 = 4
7−3√ 5 Khi đóÄ
7−3√ 5äx2
+mÄ
7 + 3√ 5äx2
= 2x2−1
⇔
Å 4 7 + 3√
5 ãx2
+mÄ
7 + 3√ 5äx2
= 1 2.2x2
⇔2.2x2 −2x2.Ä
7 + 3√ 5ä2
+ 2mÄ
7 + 3√ 5äx2
= 0
⇔2.
Å 2 7 + 3√
5 ã2x2
−
Å 2 7 + 3√
5 ãx2
+ 2m= 0(∗) Đặt
Å 2 7 + 3√
5 ã2x2
=t ⇒x2= log 2
7+3√ 5
t.
Ta có: 0< 2 7 + 3√
5 <1⇒log 2
7+3√ 5
t >0⇔0< t <1 ⇒(∗)⇔2t2−t+ 2m = 0(1)
Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ pt (1) có hai nghiệm phân biệt t∈(0; 1)
⇔
∆>0 af(0)>0 af(1)>0 0<− b
2a <1
⇔
1−16m >0 4m >0
2(2m+ 1)>0 0< 1
2 <1
⇔
m < 1 16
m >0⇔0< m < 1 16 m >−1
2 Chọn phương án A
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 58. Gọi S là tập nghiệm của phương trình log√2(x−1)2−log2(x−3)2 = 2 log2(x−1) trên R. Tìm số phần tử của S.
A 1. B 3. C 4. D 2.
Lời giải.
Điều kiện xác định của phương trình là x >1 và x6= 3. Phương trình đã cho viết lại như sau
log2(x−1)4−log2(x−3)2 = log2(x−1)2
⇔ log2(x−1)4 = log2[(x−1)2·(x−3)2]
⇔ (x−1)4= (x−3)2·(x−1)2
⇔ (x−1)2= (x−3)2 ⇔
ñx−1 =x−3
x−1 = 3−x ⇔x= 2 (nhận). Vậy S ={2}. Khi đó, số phần tử của S là 1.
Chọn phương án A
Câu 59. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [−2017; 2017] để phương trình log (mx) = 2 log (x+ 1) có nghiệm duy nhất?
A 4015. B 4014. C 2017. D 2018. Lời giải.
Ta có log(mx) = 2 log(x+ 1)⇔
®x >−1
mx = (x+ 1)2. (1)
Dễ thấy x= 0 không phải là nghiệm của (1), do đó (1) ⇔
x >−1 m= (x+ 1)2
x =x+ 1 x + 2
. (2)
Xét hàm số f(x) = x+ 1
x + 2 trên ∈(−1; +∞)\ {0}. Ta có f0(x) = 1− 1
x2; f0(x) = 0⇔
ñx= 1
x=−1 (loại). Bảng biến thiên x
f0(x) f(x)
−1 0 1 +∞
− − 0 +
0 0
−∞
+∞
4 4
+∞
+∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất ⇔
ñm <0 m= 4.
Mà m ∈ Z, m ∈ [−2017; 2017] ⇒m ∈ {−2017;−2016;. . .;−1} ∪ {4}. Vậy, có 2018 giá trị của m thoả mãn.
Chọn phương án D
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Câu 60. Tìm tất cả các giá trị củamđể phương trìnhlog22x+log2x+m = 0có nghiệmx∈(0; 1). A m ≤ 1
4. B m ≤1. C m≥ 1
4. D m≥1.
Lời giải.
Đặt t= log2x. Với x∈(0; 1)⇔t∈(−∞; 0).
Phương trình trở thành t2+t+m = 0⇔m=−t2−t (∗).
Ta cần tìm m để phương trình có nghiệm ⇔ phương trình (∗) có nghiệm.
Xét hàm f(t) = −t2−tvóit∈(−∞; 0);f0(t) =−2t−1; f0(t) = 0 ⇔t=−1 2. Bảng biến thiên
t f0(t)
f(t)
−∞ −1
2 +∞
+ 0 −
−∞
−∞
1 4 1 4
−∞
−∞
Phương trình có nghiệm ⇔m≤ 1 4. Chọn phương án A
D MỨC ĐỘ 4
Câu 61. Biếtx1, x2 là hai nghiệm của phương trìnhlog7
Å4x2−4x+ 1 2x
ã
+4x2+1 = 6xvà x1+2x2 = 1
4(a+√
b) với a, b là hai số nguyên dương. Tính a+b.
A a+b = 16. B a+b = 14. C a+b= 13. D a+b= 11. Lời giải.
Phương pháp:
Giải phương trình bằng phương pháp xét hàm số.
Cách giải:
ĐKXĐ: x6= 1
2, x > 0. Ta có
log7
Å4x2−4x+ 1 2x
ã
+ 4x2+ 1 = 6x.
⇔ log7 4x2−4x+ 1
−log7(2x) + 4x2+ 1 = 6x.
⇔ log7 4x2−4x+ 1
+ 4x2−4x+ 1 = log7(2x) + 2x (1) Xét hàm số f(t) = log7t+t, t >0 ta có f0(t) = 1
tln 7 + 1 >0,∀t >0.
⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0; +∞). Khi đó,(1)⇔f 4x2−4x+ 1
=f(2x)⇔4x2−4x+1 = 2x⇔4x2−6x+1 = 0 ⇔
x= 3 +√ 5 4 (tm) x= 3−√
5 4 (tm).
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 TH1: x1 = 3 +√
5
4 ;x2= 3−√ 5
4 ⇒x1+ 2x2 = 9−√ 5 4 = 1
4(a+√
b): Vô lí.
TH2: x1 = 3−√ 5
4 ;x2 = 3 +√ 5
4 ⇒x1+ 2x2 = 9 +√ 5 4 = 1
4(a+√ b)⇒
® a= 9
b= 5 ⇒a+b= 14. Chọn phương án B
Câu 62. Cho phương trình mln2(x+ 1)−(x+ 2−m) ln(x+ 1)−x−2 = 0 (1). Tập tất cả giá trị của tham số m để phương trình (1) có các nghiệm, trong đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0< x1 <2<4< x2 là khoảng (a; +∞). Khi đó, a thuộc khoảng
A (3,8; 3,9). B (3,7; 3,8). C (3,6; 3,7). D (3,5; 3,6). Lời giải.
Điều kiện xác định x >−1. Ta có
⇔ mln2(x+ 1)−(x+ 2−m) ln(x+ 1)−x−2 = 0
⇔ mln2(x+ 1)−(x+ 2) ln(x+ 1) +mln(x+ 1)−(x+ 2) = 0
⇔ mln(x+ 1) [ln(x+ 1) + 1]−(x+ 2) [ln(x+ 1) + 1] = 0
⇔ [ln(x+ 1) + 1] [mln(x+ 1)−x−2] = 0
⇔
ñln(x+ 1) + 1 = 0 mln(x+ 1)−x−2 = 0
⇔
ñx= e−1−1<0 (loại) mln(x+ 1)−x−2 = 0 (∗)
Với m= 0 thì phương trình (∗) có nghiệm x=−2<0 (loại) nên không thỏa bài toán.
Với m6= 0 thì (∗)⇔ ln(x+ 1) x+ 2 = 1
m. Xét hàm số f(x) = ln(x+ 1)
x+ 2 có f0(x) =
x+2
x+1 −ln(x+ 1)
(x+ 2)2 = 0 ⇒ x = x0 ∈ (2; 3) và lim
x→+∞f(x) =
x→+∞lim
ln(x+ 1)
x+ 2 nên ta có bảng biến thiên trên (−1; +∞) như sau x
f0(x)
f(x)
−1 0 2 x0 3 4 +∞
+ + + + 0 − − −
−∞
−∞
cc
6 0 6
ln 3 4
ln 5 6
Để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn 0< x1 <2 <4 < x2 thì 0< 1
m < ln 5
6 ⇒ 6
ln 5 ≈ 3,728. Suy ra a∈(3,7; 3,8).
Chọn phương án B
Câu 63. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham sốmsao cho phương trìnhlog23x2+ 3x+m+ 1 2x2−x+ 1 = x2−5x−m+ 2 có nghiệm?
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
A Vô số. B 4. C 6. D 5.
Lời giải.
Điều kiện 3x2+ 3x+m+ 1 >0. log23x2+ 3x+m+ 1
2x2−x+ 1 =x2−5x−m+ 2
⇔log2 3x2+ 3x+m+ 1
−log2 2x2−x+ 1
=x2−5x−m+ 2
⇔log2 3x2+ 3x+m+ 1
+ 3x2+ 3x+m+ 1
= log2 4x2−2x+ 2
+ 4x2−2x+ 2
(∗) Xét hàm f(t) = log2t+t với t >0.
Ta có f0(t) = 1
t·ln 2 + 1>0 với mọi t >0.
Vậy hàm f(t) = log2t+t với t >0 , luôn đồng biến trên (0; +∞). Do đó phương trình(∗)⇔f 3x2+ 3x+m+ 1
=f 4x2−2x+ 2
⇔3x2+ 3x+m+ 1 = 4x2−2x+ 2
⇔x2−5x−m+ 1 = 0.
Phương trình có nghiệm ⇔25−4.(−m+ 1) ≥0 ⇔m≥ −21 4 . Do m nguyên âm nên m∈ {−5; −4;−3; −2; −1}.
Chọn phương án D
Câu 64. Gọi (a;b) là tập các giá trị của tham số m để phương trình 2e2x−8ex−m = 0 có đúng hai nghiệm thuộc khoảng (0; ln 5). Tổng a+b là
A 2. B 4. C −6. D −14.
Lời giải.
Phương pháp:
Đặt t=ex. Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn t với t∈(1; 5).
Cô lập m và sử dụng phương pháp hàm số để phương trình ẩnt có đúng hai nghiệm thuộc khoảng (1; 5) khi đó phương trình đã cho cũng có đúng hai nghiệm thuộc khoảng (0; ln 5).
Cách giải:
Đặt t=ex. Khi đó với x∈(0; ln 5)⇒t ∈ e0;eln 5
hay t∈(1; 5).
Phương trình đã cho trở thành 2t2−8t−m = 0⇔2t2−8t=m với t∈(1; 5).
Nhận thấy rẳng để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc (0; ln 5) thì phương trình 2t2−8t =m có hai nghiệm phân biệt thuộc (1; 5).
Xét f(t) = 2t2−8t⇒f0(t) = 4t−8 = 0⇔t= 2 ∈(1; 5) BBT của f(t) trên (1; 5).
t f0(t)
f(t)
1 2 5
− 0 +
−6
−6
−8
−8
10 10
Từ bàng biến thiên ta thấy phương trình 2t2−8t =m có hai nghiệm phân biệt t∈(1; 5) khi và chỉ khi −8< m <−6.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Vậy để phương trình 2e2x−8ex−m = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; ln 5) thì m∈(−8;−6)⇒a=−8;b =−6⇒a+b=−14.
Chọn phương án D
Câu 65. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình log3(x+ 3) +mlog√x+39 = 16 có hai nghiệm thỏa mãn −2< x1 < x2.
A 17. B 16. C 14. D 15.
Lời giải.
Điều kiện xác định x >−3 và x6= 2. Phương trình đã cho tương đương
log3(x+ 3) + 4mlog(x+3)3−16 = 0
⇔ log23(x+ 3)−16 log3(x+ 3) + 4m= 0 (1).
Đặt log3(x+ 3) =t, phương trình (1) trở thành t2−16t+ 4m = 0 (2). Ta có log3(x+ 3) =t⇔x= 3t−3.
Theo điều kiện đề bài thì x >−2 nên3t−3>−2⇔t >0.
Vậy phương trình log3(x+ 3) +mlog√x+39 = 16 có hai nghiệm thỏa mãn −2< x1< x2 thì phương trình (2) phải có hai nghiệm t dương phân biệt
∆0 >0
t1+t2= 16>0 t1·t2 = 4m >0
⇔
®64−4m >0 4m >0
⇔0< m <16.
Vậy có 15 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Chọn phương án D
Câu 66. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn e3x+5y−10−ex+3y−9 = 1−2x−2y và log25(3x+ 2y+ 4)−(m+ 6) log5(x+ 5) +m2+ 9 = 0?
A 3. B 5. C 4. D 6.
Lời giải.
Ta có
e3x+5y−10−ex+3y−9 = 1−2x−2y ⇔e3x+5y−10−ex+3y−9= (x+ 3y−9)−(3x+ 5y−10)
⇔e3x+5y−10+ (3x+ 5y−10) = ex+3y−9+ (x+ 3y−9)
⇔f(3x+ 5y−10) =f(x+ 3y−9) (1) với f(t) = et+t. Vì f0(t) = et+ 1>0 ∀x∈R nên f(t) là hàm đồng biến trên R.
Do đó (1) ⇔ 3x+ 5y−10 =x+ 3y−9⇔ 2y = 1−2x. Thay vào điều kiện còn lại, ta được phương trình
log25(x+ 5)−(m+ 6) log5(x+ 5) +m2+ 9 = 0 (2) Bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm x, điều này xảy ra khi ∆ = 3m2+ 12m≥0⇔0≤m ≤4⇒m ∈ {1; 2; 3; 4}.
Chọn phương án C
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Câu 67. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0≤ x, y ≤1, trong đó x, y không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và log3
Å x+y 1−xy
ã
+ (x+ 1)·(y+ 1)−2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P với P = 2x+y.
A 2. B 1. C 1
2. D 0.
Lời giải.
Ta có log3
Å x+y 1−xy
ã
+ (x+ 1)·(y+ 1)−2 = 0⇔log3(x+y)−log3(1−xy) +xy+x+y−1 = 0
⇔log3(x+y) + (x+y) = log3(1−xy) + 1−xy.
Xét hàm số f(t) = log3(t) +t, t ∈(0; 2), ta có f0(t) = 1
tln 3 + 1> 0 ∀t ∈(0; 2). Do đó phương trình trên tương đương với
x+y= 1−xy⇔y= 1−x 1 +x. Từ đó suy ra P = 2x+y= 2x+1−x
1 +x = 2x2+x+ 1 x+ 1 . P0= 2x2+ 4x
(x+ 1)2, P0 = 0 có nghiệm x= 0 thuộc [0; 1].
Lần lượt thay x= 0 và x= 1 vào P, ta nhận được giá trị nhỏ nhất của P bằng 1.
Chọn phương án B
Câu 68. Cho phương trình log√2(mx−6x3) + 2 log1
2(−14x2+ 29x−2) = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
A 18< m < 39
2 . B 18< m <20. C 19< m <20. D 19< m < 39 2 . Lời giải.
Ta có
log√2(mx−6x3) + 2 log1
2(−14x2+ 29x−2) = 0⇔log2(mx−6x3) = log2(−14x2+ 29x−2)
⇔
®−14x2+ 29x−2>0
mx−6x3 =−14x2+ 29x−2
⇔
1
14 < x <2 6x3−14x2−2
x =m−29.
Xét hàm số f(x) = 6x3−14x2−2
x với x∈ 1 14; 2
, ta có f0(x) = 12x3−14x2+ 2 x2 .
f0(x) = 0 ⇔
x=−1
3 (loại) x= 1
2 (nhận) x= 1 (nhận).
Bảng biến thiên
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2
x f0(x)
f(x)
1 14
1
2 1 2
+ 0 − 0 +
−2839
−283998 98
−19
−192 2
−10
−10
−5
−5
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có 3 nghiệm thì −10 < m−29 < −19
2 ⇔ 19 <
m < 39 2 .
Chọn phương án D
Câu 69. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9·9x2−2x−(2m+ 1) 15x2−2x+1+ (4m−2) 52x2−4x+2= 0 có 2 nghiệm thực phân biệt.
A 1
2 < m <1. B m > 3 +√ 6
2 hoặc m < 3−√ 6 2 . C m >1 hoặc m < 1
2. D 3−
√6
2 < m < 3 +√ 6 2 . Lời giải.
Ta có
9·9x2−2x−(2m+ 1)15x2−2x+1+ (4m−2)52x2−4x+2= 0
⇔ 9x2−2x+1−(2m+ 1)15x2−2x+1+ (4m−2)52x2−4x+2= 0
⇔ ñ
3 5
(x−1)
2ô2
−(2m+ 1) 3
5 (x−1)
2
+ 4m−2 = 0,(1).
Đặt 3 5
(x−1)
2
=t >0. Khi đó (1) trở thành
t2−(2m+ 1)t+ 4m−2 = 0⇔(t−2)(t−2m+ 1) = 0⇔
ñt= 2
t= 2m−1.
Chú ý rằng với t= 2 ⇔3 5
(x−1)
2
= 2⇔(x−1)2= log3
5
2, màlog3
5
2<0 và (x−1)2 ≥0 nên phương trình này vô nghiệm.
Do đó (1)⇔3 5
(x−1)
2
= 2m−1. (2) Xét hàm f(x) =
3 5
(x−1)
2
có f0(x) = 3
5 (x−1)
2
·ln 3
5
·2(x−1); f0(x) = 0⇔x= 1. Bảng biến thiên hàm số f(x).
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
x f0(x)
f(x)
−∞ 1 +∞
+ 0 −
0 0
1 1
0 0
Dựa vào bảng biến thiên hàm f(x), ta thấy để phương trình (1) có 2 nghiệm thực x phân biệt thì phương trình (2) phải có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1), nghiệm còn lại (nếu có) khác 1. Số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=3
5 (x−1)
2
và đường thẳng y = 2m−1 nên điều kiện của m thỏa mãn là 0<2m−1<1⇔ 1
2 < m <1. Chọn phương án A
Câu 70. Cho phương trình 4x−(10m+ 1) 2x+ 32 = 0 biết rằng phương trình này có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1
x1 + 1
x2 + 1
x1x2 = 1. Khi đó, khẳng định nào sau đây về m là đúng?
A 0< m <1. B 2< m <3. C −1< m <0. D 1< m <2. Lời giải.
Đặt 2x =t(t >0). Khi đó phương trình trở thành t2−(10m+ 1)t+ 32 = 0. (∗) Phương trình ban đầu có hai nghiệm x1, x2
⇔(∗) có hai nghiệm dương phân biệt
⇔
(10m+ 1)2−4.32>0 (10m+ 1)>0
32>0.
.
Theo định lý Viet ta có
®t1+t2 = 10m+ 1 t1t2= 32.
Với t1·t2 = 32⇒2x1 +x2= 32 ⇔x1+x2= 5. Lại có 1
x1 + 1
x2 + 1
x1x2 = 1⇔x1+x2+ 1 =x1x2 nên x1x2 = 6.
Khi đó ta có x1, x2 là nghiệm của phương trình X2−5X+ 6 = 0⇔
ñX = 2 ⇒t1 = 4 X = 3 ⇒t2 = 8. Mặt khác t1+t2 = 10m+ 1⇔12 = 10m+ 1⇔m = 11
10 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy 1< m <2.
Chọn phương án D
Câu 71. Cho hai số thực a > 1, b > 1. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax·bx2−1 = 1. Trong trường hợp biểu thức S =
x
1x2 x1+x2
2
−4x1−4x2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A a < b. B ab= 4. C ab= 2. D a > b. Lời giải.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Ta có: ax=b1−x2 ⇔x·logba= 1−x2 ⇔x2+ (logba)x−1 = 0
Khi đó
®x1+x2=−logba x1x2 =−1.
Do đó S=
Å −1
−logba ã2
−4 (−logba) = 1
(logba)2 + 4 logba. Đặt t= logba >logb1 = 0. Khi đó S = 1
t2 + 4t= 1
t2 + 2t+ 2t
Cauchy
> 3√34.
⇒ minS = 3√3
4⇔2t = 1 t2
⇔ t3 = 1
2 ⇒t= 1
√3
2
⇔ logba = 1
√3
2
⇒ a=b
1
√3
2 < b1 ⇒a < b.
Chọn phương án A
Câu 72. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện4x+ 9y+ 16z = 2x+ 3y+ 4z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x+1+ 3y+1+ 4z+1.
A 13 +
√87
2 . B 11 +
√87
2 . C 7 +
√37
2 . D 9 +
√87 2 . Lời giải.
Đặt a= 2x, b= 3y, c= 4z (a >0, b >0, c >0). Theo giả thiết, ta có a2+b2+c2 =a+b+c⇔
a−1 2
2 +
b− 1 2
2 +
c− 1 2
2
= 3 4 (∗). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2a+ 3b+ 4c.
Trong không gian tọa độ Oxyz, lấy các điểm M(a;b;c), a >0, b >0, c >0 thỏa mãn với (∗).
⇔M thuộc mặt cầu tâm I 1
2;1 2;1
2
, bán kính R =
√3
2 . Xét mặt phẳng(α) : : 2x+ 3y+ 4z−T = 0 đi qua M(a;b;c).
⇒d(I2(α))≤IM =
√3 2 ⇒
2·1
2 + 3· 1
2 + 4· 1 2−T
√
22+ 32+ 42 ≤ 9 2 −T
√
29 ≤
√3 2 .
⇔
T − 9 2
≤
√87
2 ⇔T − 9 2 ≤
√87
2 ⇔T ≤ 9 +√ 87 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔(α) tiếp xúc với mặt cầu (I, R) tại M. Bằng tính toán, ta giải được: a = 29 + 2√
87
58 ; b = 29 + 3√ 87
58 ; c= 29 + 4√ 87 58 . Vậy maxT = 9 +√
87 2 . Chọn phương án D
Câu 73. Có bao nhiêu giá trị m để phương trình 9.32x−mÄ
4p4
x2+ 2x+ 1 + 3m+ 3ä
·3x+ 1 = 0.