TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

A MỨC ĐỘ 1

Ví dụ 1. Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng

A 6. B 8. C 4. D 2.

Lời giải.

Thể tch1 khối lập phương cạnh a là V =a³.

Vậy thể tích khối lập phương cạnh 2 là V = 2³ = 8. Chọn phương án B

Câu 1. Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a bằng A ^a

3√ 2

3 . B ^a

3

3 . C ^a

3√ 3

4 . D ^a

3√ 3 6 . Lời giải.

Ta có S_ABC = a²√ 3

4 ⇒V =h·S_ABC =a· a²√ 3

4 = a³√ 3 4 .

a

a

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án C

Câu 2. Cho khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB⁰C⁰ theo V.

A ^3V

4 . B ^2V

3 . C ^V

2. D ^V

4. Lời giải.

Ta có V_A.A⁰_B⁰_C⁰ = 1

3V ⇒V_ABCB⁰_C⁰ =V −1

3V = 2V 3 .

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án B

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Câu 3. Gọi S là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ. Thể tích khối lăng trụ đó là:

A V = 1

3Sh. B V = 1

6Sh. C V =Sh. D V = 1

2Sh. Lời giải.

Theo công thức sách giáo khoa ta có V =Sh. Chọn phương án C

Câu 4. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:

A ^a

3

3 . B

√3a³

4 . C

√3a³

3 . D

√3a³ 12 . Lời giải.

Theo giả thiết mặt đáy của lăng trụ là tam giác đều cạnh a nên đáy có diện tích B = a²√

3 4 .

Lăng trụ đứng chiều cao h=a, do vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là

V =B·h= a²√ 3

4 ·a= a³√ 3 4 .

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C a a a

a

Chọn phương án B

Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA⁰= 3a

2 . Biết rằng hình chiếu vuông góc của A⁰ lên (ABC) là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

A V =a³. B V = 2a³

3 . C V = 3a³

4√

2. D V =a³

…3 2. Lời giải.

Gọi H là trung điểm BC.

Theo giả thiết, A⁰H là đường cao hình lăng trụ và A⁰H =p

AA⁰²−AH² = a√ 6 2 . Vậy, thể tích khối lăng trụ là V =S_∆ABC.A⁰H = a²√

3 4 .a√

6

2 = 3a³√ 2 8 . Chọn phương án C

Câu 6. Viết công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là B (đvdt) và chiều cao có độ dài là h.

A V =B²h. B V =Bh. C V = 1

3Bh. D V = 3Bh. Lời giải.

Chọn phương án B

Câu 7. Cho lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ bằng 4a. Tính thể tích V của lăng trụ đã cho?

A V = 9√

3a³. B V = 6√

3a³. C V = 2√

3a³. D V = 3√ 3a³. Lời giải.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Diện tích đáy: S= 6·S_∆AOB = 6·a²√

3

4 = 3√ 3a² 2 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là: V =S·h= 3√

3a²

2 ·4a = 6√ 3a³. Chọn phương án B

Câu 8. Hình lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S thì thể tích bằng A ¹

6Sh. B ¹

3Sh. C ¹

2Sh. D Sh.

Lời giải.

Thể tích của khối lăng trụ là V =Sh. Chọn phương án D

Câu 9. Cho lăng trụ tam giác đều, có độ dài tất cả các cạnh bằng 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

A V = 2√

3. B V = 2√

3

3 . C V = 9√

3

2 . D V = 27√

3 4 . Lời giải.

Diện tích đáy tam giác đều cạnh 2 là S = 2²√ 3 4 =√

3. Thể tích của khối lăng trụ là V =S·h=√

3·2 = 2√ 3. Chọn phương án A

Câu 10. Cho lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao 2a. Tính thể tích khối lăng trụ.

A ^2a

3

3 . B ^4a

3

3 . C a³. D 2a³.

Lời giải.

Đáy của lăng trụ tứ giác đều là hình vuông cạnh a nên diện tích đáy S =a². Khi đó thể tích lăng trụ là: V =S.h=a².2a= 2a³.

Chọn phương án D

Câu 11. Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích của (H).

A ^a

3

2 . B ^a

3√ 3

2 . C ^a

3√ 3

4 . D ^a

3√ 2 3 . Lời giải.

Thể tích khối lăng trụ đứng, tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là V =S_4ABC ·AA⁰ = a²√

3

4 ·a = a³√ 3 4 .

A A⁰

C C⁰ B⁰

B

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Chọn phương án C

Câu 12. Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng 2a² và cạnh bên bằng 3a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A 2a³. B 3a³. C 18a³. D 6a³. Lời giải.

V =S_đáyh= 2a²·3a= 6a³. Chọn phương án D

Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng 2a² và cạnh bên bằng 3a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A 2a³. B 3a³. C 18a³. D 6a³. Lời giải.

Thể tích khối lăng trụ đứng V = 2a²·3a= 6a³. Chọn phương án D

Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có AA⁰ = 2a, tam giác ABC vuông tại B có AB = a, BC = 2a. Thể tích khối lăng trụABC.A⁰B⁰C⁰ là

A 2a³. B ^2a

3

3 . C ^4a

3

3 . D 4a³.

Lời giải.

Ta có S_ABC = 1

2 ·AB·BC =a².

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là

V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =AA⁰·S_ABC = 2a³. ^B

0

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án A

Câu 15. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là tam giác vuông tại A với AB =a, AC = 2a√

3, cạnh bên AA⁰ = 2a. Thể tích khối lăng trụ bằng bao nhiêu?

A a³. B a³√

3. C ^2a

3√ 3

3 . D 2a³√

3. Lời giải.

Ta có V =AA⁰·S_ABC = 2a· a·2a√ 3

2 = 2a³√ 3. Chọn phương án D

Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A⁰B⁰C⁰ có AB = 2a, A⁰A = a√

3. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ theo a.

A V = 3a³

4 . B V =a³. C V = 3a³. D V = a³

4 . Lời giải.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Diện tích tam giác đều ABC là S_4ABC = AB²√

3

4 =a²√ 3.

Thể tích V của khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =AA⁰·S_4ABC = 3a³. Chọn phương án C

Câu 17. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là A V = 1

3Bh. B V = 1

6Bh. C V = 1

2Bh. D V =Bh. Lời giải.

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là V =Bh. Chọn phương án D

Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A⁰B⁰C⁰ cóAB = 2a, AA⁰=a√

3. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰.

A 3a³. B a³. C ^a

3

4. D ^3a

3

4 . Lời giải.

Ta có S_4ABC =

√3

4 AB²=

√3

4 ·(2a)²=√ 3a². Do đó V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =S_4ABCAA⁰ =√

3a²·a√

3 = a³.

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án B

Câu 19. Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích bằng B là A V =Bh. B V = 1

6Bh. C V = 1

3Bh. D V = 1

2Bh. Lời giải.

Ta có V =hB. Chọn phương án A

Câu 20. Cho khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰, tam giác A⁰BC có diện tích bằng 1 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A⁰BC) bằng 2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A 1. B 6. C 2. D 3.

Lời giải.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Ta có V_A⁰_.ABC = 1

3 ·S_A⁰_BC·d(A,(A⁰BC)) = 1

3 ·1·2 = 2 3. Vậy V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ = 3V_A⁰_.ABC = 2.

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án C B MỨC ĐỘ 2

Câu 21. Cho hình lăng trụ ABCDA⁰B⁰C⁰D⁰ có hình chiếu A⁰ lên mp(ABCD) là trung điểm AB, ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc ABC^_ = 60^◦, BB⁰ tạo với đáy một góc 30^◦. Tính thể tích hình lăng trụ ABCDA⁰B⁰C⁰D⁰.

A a³√

3. B ^2a

3

3 . C 2a³. D a³.

Lời giải.

Gọi H là hình chiếu của A’ trênmp(ABCD). Dễ thấy góc]^(BB0;mp(ABCD)) = ]^(AA0;mp(ABCD)) = ]^{A0AH = 30o}

AH =a ⇒A⁰H = a√ 3

3 . Dễ dàng tính được diện tích đáy: S_ABCD= 2.(2a)².

√3

4 = 2a²√ 3. Suy ra: V_ABCD.A⁰_B⁰_C⁰_D⁰ = 2a³.

Chọn phương án C

Câu 22. Cho khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có tất cả các cạnh bằng a, các mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60^◦. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ bằng

A ^a

3√ 3

24 . B ^3a

3

8 . C ^a

3√ 3

8 . D ^a

3

8. Lời giải.

Kẻ A⁰H ⊥(ABC)⇒(A⁰A,(ABC)) = A’⁰AH = 60^◦. Xet 4AHA⁰ : sin 60^◦ = A⁰H

AA⁰ ⇔A⁰H =AA⁰sin 60^◦ = a√ 3 2 .

Thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là V = S_4ABC ·A⁰H = a²√ 3 4 · a√

3

2 = 3a³ 8 .

B⁰

B A⁰

A

C⁰

H C 60^◦

Chọn phương án B

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 23. Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là 4. Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là:

A 8. B 4. C 16. D 2.

Lời giải.

Phương pháp:

Nhận xét sự thay đổi về thể tích của khối lăng trụ theo cạnh đáy và chiều cao rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi cạnh đáy và chiều cao khối lăng trụ đều là a; h thì thể tích V =a²h.

Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ hai lần thì V⁰ = 2a²

· h 2 = 2a²h = 2V.

Vậy thể tích khối lăng trụ được tăng lên 2 lần và bằng 4·2 = 8. Chọn phương án A

Câu 24. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a, A⁰B = a√

3. Thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ bằng A ^a

3√ 3

2 . B ^a

3

6 . C ^a

3

2 . D ^a

3√ 2 2 . Lời giải.

Do tam giác A⁰AB vuông tại A nên theo Py-ta-go ta có A⁰B² =AA⁰²+AB² ⇔AA⁰=p

A⁰B²−AB² =

… Äa√

3ä²

−a² =a√ 2.

Lại có tam giác ABC vuông cân tại B nên S_ABC = 1

2AB²= 1 2a². Thể tích khối lăng trụ đã cho

V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =AA⁰·S_ABC =a√ 2· 1

2a²= a³√ 2 2 .

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

a √ 3

a

Chọn phương án D

Câu 25. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A⁰B⁰C⁰ có AB= 2a, AA⁰=a√

3. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰.

A 3a³. B a³. C ^3a

3

4 . D ^a

3

4. Lời giải.

Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a nên diện tích đáy S_4ABC = (2a)²√ 3

4 =a²√ 3. Lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là lăng trụ tam giác đều nên đường cao là AA⁰.

Thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là V =AA⁰·S_4ABC =a√

3·a²√

3 = 3a³. Chọn phương án A

Câu 26. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a².

A V = a³√ 3

12 . B V = a³√

3

6 . C V = a³√

3

4 . D ^a

3√ 2 3 .

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Lời giải.

Ta có S_4ABC = a²√ 3 4 .

Theo đề bài, ta có 3S_ABB⁰_A⁰ = 3a² ⇒AB·AA⁰ =a²⇔AA⁰=a. Thể tích khối lăng trụ V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =S_4ABC·AA⁰ = a²√

3

4 ·a = a³√ 3 4 .

A A⁰

C C⁰ B⁰

B Chọn phương án C

Câu 27. Cho lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có BB⁰ = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A V = 1

3a³. B V = 6a³. C V =a³. D V = 2

3a³. Lời giải.

Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a ⇒ BA = BC = AC√

2 =a√ 2.

Diện tích của tam giác ABC: S_4ABC = 1

2AB·BC =a².

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là V =BB⁰·S_4ABC =a·a² =a³. _A

B

C A⁰

B⁰

C⁰

Chọn phương án C

Câu 28. Tính chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều biết thể tích bằng ^a

3√ 3

2 , cạnh đáy bằng a.

A 3a. B 2a. C a. D 6a.

Lời giải.

Khối lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều.

Theo bài ra ta có đáy là tam giác đều cạnh a. Diện tích đáy là S= a²√

3 4 .

Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ.

Ta có: V =S.h⇒h= V

S = a³√ 3 2 : a²√

3 4 = 2a. Chọn phương án B

Câu 29. Cho khối lăng trụ đều ABC.A⁰B⁰C⁰ có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi A⁰B và đáy bằng 60^◦. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰.

A ^3a

3

4 . B ^a

3√ 3

4 . C a³√

3. D 3a³.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Lời giải.

Ta có: BB⁰⊥(A⁰B⁰C⁰) nên

A¤⁰B,(A⁰B⁰C⁰)

=÷BA⁰B⁰ = 60^◦. Xét tam giác BB⁰A⁰ vuông tại B⁰ có tan 60^◦= BB⁰

B⁰A⁰ ⇒BB⁰ =a√ 3.

Và S_∆A⁰_B⁰_C⁰ = a²√ 3 4 .

Vậy V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =BB⁰·S_∆A⁰_B⁰_C⁰ =a√

3· a²√ 3

4 = 3a³ 4 .

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án A

Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC =a, mặt phẳng (A⁰BC) tạo với đáy một góc 30^◦ và tam giác A⁰BC có diện tích bằng a²√

3. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰.

A ^3a

3√ 3

2 . B ^3a

3√ 3

8 . C ^a

3√ 3

8 . D ^3a

3√ 3 4 . Lời giải.

Ta có V =Bh=S_ABC ·AA⁰ Do

(BC ⊥AB BC ⊥AA⁰

⇒BC ⊥A⁰B.

Và











BC ⊥AB⊂(ABC) BC ⊥A⁰B ⊂(A⁰BC) BC = (ABC)∩(A⁰BC)

⇒((ABC),(A⁰BC)) = (AB, A⁰B) = ABA’⁰. Ta có S_4ABC = 1

2A⁰B·BC

⇒A⁰B = 2S_4ABC

BC = 2a²√ 3

a = 2a√ 3. AB=A⁰B ·cosABA’⁰= 2a√

3 cos 30^◦= 3a. AA⁰ =A⁰B·sinABA’⁰ = 2a√

3 sin 30^◦ =a√ 3. V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ = 1

2 ·AB·BC·AA⁰ = 1

2 ·3a·a·a√

3 = 3a³√ 3 2 .

A A⁰

B

C⁰

C B⁰

30^◦ a

Chọn phương án A

Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối tứ diện ABCB⁰C⁰. A ^V

4. B ^V

2. C ^3V

4 . D ^2V

3 . Lời giải.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Ta có V_A.A⁰_B⁰_C⁰ = 1

3d(A,(A⁰B⁰C⁰)S_4A⁰_B⁰_C⁰ = 1 3V. Do đó V_ABCB⁰_C⁰ =V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ −V_A.A⁰_B⁰_C⁰ =V −1

3V = 2 3V.

A B A⁰

B⁰

C

C⁰

Chọn phương án D

Câu 32. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là một tam giác vuông cân tại A, AC =AB = 2a, góc giữa AC⁰ và mặt phẳng (ABC) bằng 30^◦. Thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ bằng

A ^4a

√3

3 . B ^2a

3√ 3

3 . C ^4a

3√ 3

3 . D ^4a

2

3 . Lời giải.

Vì C⁰C ⊥(ABC) nên góc giữa AC⁰ và (ABC) là CAC’⁰. Ta có : tanCAC’⁰= CC⁰

AC ⇒CC⁰ =AC·tan 30^◦ = 2a√ 3 3 . Diện tích đáy : S_4ABC = AB·AC

2 = 2a·2a

2 = 2a². Vậy : V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =Bh= 2a²· 2a√

3

3 = 4a³√ 3 3 .

B A

A⁰

C C⁰ B⁰

Chọn phương án C

Câu 33. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A ²⁷

√3

2 . B ²⁷

√3

4 . C ⁹

√3

4 . D ⁹

√3 2 . Lời giải.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Diện tích đáy B = 3²√

3

4 = 9√ 3 4 .

Độ dài đường cao của khối lăng trụ h= 3.

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là V =Bh = 9√ 3

4 ·3 = 27√ 3 4 .

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án B

Câu 34. Cho hình lăng trụ đều ABC.A⁰B⁰C⁰. Biết mặt phẳng (A⁰BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30^◦ và tam giác có ABC diện tích bằng 8a². Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ bằng

A 8a³√

3. B 8a³. C ^8a

3√ 3

3 . D ^8a

3

3 . Lời giải.

Gọi là trungM điểm củaBC. Ta chứng minh được BC ⊥(AA⁰M) nên góc giữa hai mặt phẳng và (A⁰BC) mặt phẳng (ABC) là góc

÷A⁰M A= 30^◦.

Đặt AB=x, Tam giác ABC là hình chiếu của tam giácA⁰BC lên mặt phẳng (ABC) nên S_ABC = S_A⁰_B⁰_C⁰ ·cos 30⁰ = 4a²√

3 ⇒ x = 4a ⇒AM = 2a√

3. AA⁰

AM = tan 30^◦⇒AA⁰= 2a.

Vậy V_ABCA⁰_B⁰_C⁰ =AA⁰·S_ABC = 8a³√ 3.

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C M

Chọn phương án A

Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC.A⁰B⁰C⁰. Biết thể tích lăng trụ là V, tính thể tích khối chóp C.ABB⁰A⁰.

A ^2V

3 . B ^V

3. C ^3V

4 . D ^V

2. Lời giải.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Ta có V_CA⁰_B⁰_C⁰ = 1

3d(C,(A⁰B⁰C⁰))·S_A⁰_B⁰_C⁰ = 1

3V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ = V 3. Suy ra V_C.ABB⁰_A⁰ =V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ −V_CA⁰_B⁰_C⁰ =V −V

3 = 2V 3 .

B

A⁰ C⁰

A C

B⁰

Chọn phương án A

Câu 36. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A⁰B⁰C⁰ có AB =a, góc giữa đường thẳng A⁰C⁰ và mặt đáy bằng 45^◦. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰.

A ^a

3√ 3

4 . B ^a

3√ 3

2 . C ^a

3√ 3

12 . D ^a

3√ 3 6 . Lời giải.

Theo tính chất lăng trụ tam giác đều thì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác ABC đều, cạnh AB = a. Do đó S_4ABC = a²√

3 4 .

Góc giữa A⁰C và mặt phẳng (ABC) là góc A⁰CA= 45^◦. AA⁰ =AC·tan 45^◦ =AB·tan 45^◦=a.

Thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =AA⁰·S_4ABC = a· a²√

3

4 = a³√ 3 4 .

45^◦

a

A⁰

B⁰ C⁰

A

B C

Chọn phương án A

Câu 37. Cho hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có các mặt bên là hình vuông ^√2a. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰.

A V =

√6a³

2 . B V =

√3a³

12 . C V =

√3a²

4 . D V =

√6a² 6 . Lời giải.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ cĩ các mặt bên là hình vuơng nên tam

giác ABC là tam giác đều và

®AA⁰⊥AC

AA⁰⊥AB ⇒AA⁰ ⊥(ABC). Khi đĩ

V =AA⁰·S_4ABC = AA⁰·

√3 4 ·AB²

=

√3 4 ·Ä^√

2aä³

=

√6a³ 2 .

A A⁰

B⁰

B

C C⁰

Chọn phương án A

Câu 38. Cho khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ cĩ thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB⁰C⁰. A ^V

2. B 45π. C 180π. D 15π.

Lời giải.

Ta cĩ:

V_ABCA⁰_B⁰ =V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ −V_A.A⁰_B⁰_C⁰

=V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ − 1

3V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰

= 2

3V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ = 2 3V

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án D

Câu 39. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A⁰B⁰C⁰, cạnh đáy bằng 2a√

3, cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ là

A 4a³√

3. B 5a³√

3. C 6a³√

3. D 7a³√

3. Lời giải.

Diện tích đáy: S_4ABC = (2a√ 3)²√

3

4 = 3a²√ 3.

Thể tích khối chĩp là V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =S_4ABC.AA⁰= 3a²√

3.2a= 6a³√ 3. Chọn phương án C

Câu 40. Một lăng trụ đứng tam giác cĩ các cạnh đáy bằng 37,13,30và diện tích xung quanh bằng 480. Tính thể tích khối lăng trụ.

A 2010. B 1080. C 2040. D 1010. Lời giải.

Gọi h là chiều cao của lăng trụ. Khi đĩ diện tích xung quanh của lăng trụ là Sxq = 37h+ 13h+ 30h= 80h= 480 ⇔h= 6.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Diện tích đáy của lăng trụ S =p

40 (40−37) (40−13) (40−30) = 180. Vậy thể tích lăng trụ là: V =S·h= 180·6 = 1080.

Chọn phương án B C MỨC ĐỘ 3

Câu 41. Cho lăng trụ đềuABC.A⁰B⁰C⁰. Biết rằng góc giữa (A⁰BC)và (ABC)là30^◦ tam giácA⁰BC có diện tích bằng 2. Thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ bằng

A 2√

6. B

√6

2 . C 2. D ^√3.

Lời giải.

Gọi độ dài cạnh AA⁰=x, x >0.

Xét ∆A⁰AM vuông tại A ta có sin 30^◦ = A⁰A

A⁰M ⇒A⁰M = A⁰A

sin 30^◦ = 2x.

tan 30^◦= A⁰A

AM ⇒AM = A⁰A

tan 30^◦ = x

√3 3

=x√ 3.

Xét tam giác ABC đều có đường cao AM, suy ra ^2AM√

3 = 2x√

√ 3

3 = 2x. Ta có S_ABC = 1

2 ·A⁰M·BC = 2 ⇔ 1

2A⁰M ·BC = 2

⇔ 1

2 ·2x·2x= 2 ⇔x= 1.

Vậy AA⁰ = 1, AB = 2. Do đó V =Bh=S_ABC ·A⁰A= 2²·

√3

4 ·1 =√ 3.

B⁰

B M A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án D

Câu 42. Cho hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có thể tích bằng V. Gọi M là trung điểm cạnh BB⁰ điểm N thuộc cạnh CC⁰ sao cho CN = 2C⁰N. Tính thể tích V⁰của khối chóp A.BCN M theo V.

A V⁰ = 7V

12. B V⁰= 7V

18. C V⁰= V

3. D V⁰ = V

2. Lời giải.

Gọi h= d(B⁰, CC⁰). Khi đó ta có S_BCC⁰_B⁰ =h·CC⁰ và S_{BM N C} = (BM +CN)·h

2 = 1

2h·₁

2CC⁰+ 2 3CC⁰

= 7

12h·CC⁰. Ta có ^V

0

V_ABCC⁰_B⁰ = S_{BM N C} S_BCC⁰_B⁰ = 7

12. Măt khác ta có V_ABCC⁰_B⁰ = 2

3V. Vậy V⁰= 7

12· 2

3V = 7V 18.

C A⁰

B⁰

C⁰

; A

B M

N

Chọn phương án B

Câu 43. Cho khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA⁰ và BB⁰. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C⁰A⁰ tại P, đường thẳng CN cắt

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 đường thẳng C⁰B⁰ tại Q. Thể tích của khối đa diện lồiA⁰M P B⁰N Q bằng

A 1. B ¹

3. C ¹

2. D ²

3. Lời giải.

Gọi I là trung điểm của CC⁰, h là chiều cao của lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ Ta có V_C.C⁰_{P Q}= 1

3·h·S_∆C⁰_{P Q}= 1

3 ·h·4S_∆C⁰_A⁰_B⁰ = 4

3V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ = 4 3. V_{M N I.A}⁰_B⁰_C⁰ = 1

2V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ = 1 2. V_{C.M N I} = 1

3 · h

2 ·S_{M N I} = 1

6V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ = 1 6.

Suy ra V_A⁰_{M P B}⁰_{N Q} =V_C.C⁰_{P Q}−(V_{M N I.A}⁰_B⁰_C⁰+V_{C.M N I}) = 2 3. Chọn phương án D

Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 1, AC = 2, cạnh AA⁰ = √

2. Hình chiếu vuông góc của A⁰ trên mặt đáy (ABC) trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác ABC. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là

A V =

√21

12 . B V =

√7

4 . C V =

√21

4 . D V = 3√

21 4 . Lời giải.

Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong tam giác ABC. Theo đề A⁰H là đường cao của lăng trụ.

Xét ∆ABC

AB² =AH ·AC ⇒AH = AB² AC = 1

2. BC =√

AC²−AB² =√ 3. Xét ∆AA⁰H. ta có A⁰H =√

AA⁰²−AH²=

√7 2 . Thể tích cần tìm

A

A⁰

B

C B⁰

C⁰

H

V =S_∆ABC ·AH = ₁

2 ·AB·BC

AH = 1

2 ·1·√ 3·

√7 2 = 21

4 . Chọn phương án C

Câu 45. Cho lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, AC =a√

2. Biết góc giữa mặt phẳng (A⁰BC) và mặt phẳng (ABC)bằng 60^◦ và hình chiếu vuông góc củaA⁰ trên (ABC) là trung điểm H của AB. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

A V = a³

6 . B V = a³

2 . C V = a³√

6

2 . D V = a³√

2 2 . Lời giải.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H, A lên BC. Ta có

®HD⊥BC A⁰H ⊥BC

⇒(A⁰HD)⊥BC ⇒A⁰D⊥BC.

Khi đó(A⁰BC)và (ABC)chính là góc giữa hai đường thẳngA⁰D và HD hay A’⁰DH = 60^◦.

Xét tam giác vuông ABC, BC =√

AB²+AC² =a√ 3. Nên AE = AB·AC

BC = a√ 6

3 suy ra HD= 1

2AE = a√ 6 6 . Từ đó A⁰H =HD·tan 60^◦ = a√

6 6 ·√

3 = a√ 2 2 .

C

D E

B A H

A⁰ B⁰

C⁰

Vậy V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =S_ABC ·A⁰H = 1

2AB·AC·A⁰H = 1 2a·a√

2·a√ 2 2 = a³

2. Chọn phương án B

Câu 46. Cho hình lăng trụ ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,’ABC = 60^◦. Chân đường cao hạ từ B⁰ trùng với tâm O của đáy ABCD; góc giữa mặt phẳng (BB⁰C⁰C) với đáy bằng 60^◦. Thể tích lăng trụ bằng

A ^3a

3√ 3

8 . B ^2a

3√ 3

9 . C ^3a

3√ 2

8 . D ^3a

3

4 . Lời giải.

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC đều nên S_ABCD = 2S_ABC = a²√

3 2 .

Gọi M là hình chiếu của O trên BC thì BC vuông góc với mặt phẳng (B⁰OM).

Suy ra góc giữa mặt phẳng (BB⁰C⁰C) và mặt phẳng đáy là góc B÷⁰M O= 60^◦.

Ta lại có tam giác BOC vuông tại O, có đường cao OM nên 1

OM² = 1

OB² + 1

OC² = 1 _a

2

2 + 1 Åa√ 3 2

ã^{2 =} 16 3a²

⇒OM = a√ 3 4 .

Tam giác B⁰OM vuông tại O nên B⁰O=OM ·tan 60^◦= 3a 4

A⁰ D⁰

C⁰

B M C

A B⁰

D O

⇒V_ABCD.A⁰_B⁰_C⁰_D⁰ =B⁰O·S_ABCD = 3a 4 · a²√

3

2 = 3a³√ 3 8 . Chọn phương án A

Câu 47. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là tam giácABC cân tạiA vớiAB =AC =a,

’BAC = 120^◦, mặt bên(AB⁰C⁰) tạo với đáy(ABC) một góc 60^◦. GọiM là điểm thuộc cạnhA⁰C⁰ sao cho A⁰M = 3M C⁰. Tính thể tích V của khối chóp CM BC⁰.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 A V = 3a³

8 . B V = a³

24. C V = a³

8 . D V = a³

32. Lời giải.

Gọi I là trung điểm của B⁰C⁰ ⇒A⁰I ⊥B⁰C⁰⇒IA’⁰B⁰ = 60^◦. Xét tam giác A⁰IB⁰ vuông tại I có A⁰I =A⁰B⁰cos 60^◦ = a

2.

Ta có B⁰C⁰ ⊥ A⁰I và B⁰C⁰ ⊥ AA⁰ nên góc giữa (AB⁰C⁰) và (ABC) là AIA‘⁰ = 60^◦.

Xét tam giác A⁰IA vuông tại A⁰ có AA⁰ =A⁰I·tan 60^◦ = a√ 3 2 . Mà S_{4M CC}⁰ = 1

4S_4A⁰_CC⁰ nên V_{CM BC}⁰ = 1

4V_BA⁰_CC⁰ = 1 4 · 1

3V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰

= 1

12 ·AA⁰·S_4ABC = 1 12· 1

2·a²·sin 120^◦· a√ 3 2 = a³

32.

A⁰

B⁰ B

M

A C

C⁰ I

Chọn phương án D

Câu 48. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là tam giác vuông cân tạiB, AC =a√

2, biết góc giữa (A⁰BC) và đáy bằng 60^◦. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

A V = a³√ 3

2 . B V = a³√

6

6 . C V = a³√

3

3 . D V = a³√

3 6 . Lời giải.

Do đáy tam giác vuông cân tại B, AC =a√

2 nên AB = a.

Lại có: (A⁰BC)∩(ABC) = BC mà BC ⊥ (A⁰B⁰BA) nên góc tạo bởi (A⁰BC) và đáy là A’⁰BA.

Theo bài ra: A’⁰BA = 60^◦.

AA⁰ =AB·tanA’⁰BA=a·tan 60^◦=a√ 3.

Thể tích V của khối lăng trụ: V =A⁰A·S_ABC =a√ 3·1

2a² = a³√ 3 2 .

B⁰

B A⁰

A

C⁰

C

Chọn phương án A

Câu 49. Cho khối lăng trụ đứngABC.AB⁰C⁰có đáyABClà tam giác cân vớiAB=AC =a,’BAC = 120^◦, mặt phẳng (A⁰BC⁰) tạo với đáy một góc 60^◦. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A ³

√3a³

8 . B ^9a

3

8 . C ^a

3√ 3

8 . D ^3a

3

8 . Lời giải.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Ta có: B⁰H = sin 30^◦.B⁰C⁰= a√ 3 2

BHB’⁰ = 60^◦ ⇒BB⁰=B⁰H.tan 60^◦= 3a 2

⇒V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =S_ABC.BB⁰ = a²√ 3 4 ·3a

2 = 3a³√ 3 8 .

B

A⁰ A

H

B⁰ C⁰

C

30^◦

Chọn phương án A

Câu 50. Cho lăng trụ đứng tam giác ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. GọiM,N, P, Qlà các điểm lần lượt thuộc các cạnh AA⁰, BB⁰, CC⁰, B⁰C⁰ thỏa mãn ^AM

AA⁰ = 1 2, ^BN

BB⁰ = 1 3, ^CP

CC⁰ = 1 4, ^CQ

C⁰B⁰ = 1

5. Gọi V₁, V₂ lần lượt là thể tích khối tứ diện M N P Q và khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰. Tính tỉ số ^V1

V₂. A ^V1

V₂ = 22

45. B ^V1

V₂ = 11

45. C ^V1

V₂ = 19

45. D ^V1

V₂ = 11 30. Lời giải.

V_A⁰_ABC = 1

3V2⇒V_ABCCB⁰ =V_M.BCCB⁰ = 2 3V2

Mà S_B⁰_{N Q} = 4

15S_BCC⁰_B⁰, S_C⁰_{P Q}= 3

40S_BCC⁰_B⁰, S_{BCP N} = 7

24S_BCC⁰_B⁰ Suy ra S_{N P Q} =S_BCCB⁰−S_B⁰_{N Q}−S_C⁰_{P Q}−S_{BCP N} = 11

30S_BCCB Do đó V₁=V_{M N P Q} = 11

30V_{M BCCB} = 11

45V₂ tức là ^V1 V₂ = 11

45.

A⁰

A

B

C B⁰

C⁰

M

N

P Q

Chọn phương án B

Câu 51. Cho lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của điểm A⁰ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA⁰ và BC bằng ^a

√3

4 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đó.

A ^a

3√ 3

12 . B ^a

3√ 3

6 . C ^a

3√ 3

3 . D ^a

3√ 3 24 . Lời giải.

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2

B

G

B⁰

M A⁰

A I

C⁰

C

Gọi M là trung điểm của BC và I là hình chiếu vuông góc của M lên trên cạnh AA⁰. Vì AM ⊥BC và A⁰O⊥BC nên BC ⊥(AA⁰M). Suy ra BC ⊥M I.

VìBC ⊥M I và BC ⊥AA⁰ nên M I là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BC và AA⁰. Suy ra M I = a√

3 4 .

Vì hai tam giác AA⁰O và AM I đồng dạng nên ta có ^A

0O

M I = AO

AI . Suy ra

A⁰O = M I.AO AI =

a√ 3 4 .a√

3 3 3a

4

= a 3.

Khi đó, thể tích khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là

V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =S_ABC.A⁰O= a²√ 3 4 .a

3 = a³√ 3

12 (dvtt).

Chọn phương án A

Câu 52. Cho lăng trụ đứngABC.A⁰B⁰C⁰có đáyABC là tam giác cân tạiC,’BAC = 30^◦,AB =√ 3a, AA⁰ =a. Gọi M là trung điểm của BB⁰. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện M ACC⁰.

A V =

√3a³

12 . B V =

√3a³

4 . C V =

√3a³

3 . D V =

√3a³ 18 . Lời giải.

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Tam giác ABC cân tại C,BAC’= 30^◦, AB =√ 3a. Đặt AC =CB =x >0.

Áp dụng định lí Côsin trong 4ABC ta có

AC²+CB²−2AC·CB ·cos 120^◦ =AB² ⇔3x² = 3a²⇔x=a. Kẻ AH ⊥ BC, mà ABC.A⁰B⁰C⁰ là lăng trụ đứng. ⇒ AH ⊥ (M CC⁰).

Dễ thấy S_{4M CC}⁰ = 1

2S_BCC⁰_B⁰ = 1 2a². V_{M ACC}⁰ = 1

3 ·AH·S_{4M CC}⁰ = 1 3a√

3·sin 30^◦ =

√3a³ 12 .

B⁰

C⁰

B A⁰

A

C

M

H Chọn phương án A

Câu 53. Cho hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A⁰ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường AA⁰ và BC bằng ^a

√3

4 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰. A V = a³√

3

3 . B V = a³√

3

6 . C V = a³√

3

24 . D V = a³√

3 12 . Lời giải.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A⁰ lên mp(ABC) và I là trung điểm BC.

Ta có

®A⁰H ⊥BC

AI ⊥BC suy ra BC ⊥(A⁰AI) nên BC ⊥AA⁰. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AA⁰.

Khi đó IK là đoạn vuông góc chung của AA⁰ và BC. Mặt khác d (AA⁰, BC) =IK = a√

3 4 . Tam giác ABC đều cạnh a suy ra

C I H B A

K

A⁰ B⁰

C⁰

AI = a√ 3

2 ;AH = 2

3AI = a√ 3

3 ;S_∆ABC = a²√ 3 4 . Tam giác AIK vuông tại K có sinKAI‘ = IK

AI = 1

2 ⇒KAI‘ = 30^◦. Xét tam giác vuông AA⁰H vuông tại H có A⁰H =AH.tan 30^◦= a√

3 3 .

√3 3 = a

3. V_ABC.A⁰_B⁰_C⁰ =S_∆ABC.A⁰H = a²√

3 4 .a

3 = a³√ 3 12 . Chọn phương án D

Câu 54. Cho khối lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA⁰ và BB⁰. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C⁰A⁰ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C⁰B⁰ tại Q. Thể tích của khối đa diện lồiA⁰M P B⁰N Q bằng

A 1. B ¹

3. C ¹

2. D ²

3. Lời giải.

Trong tài liệu 50 dạng toán phát triển đề minh họa THPT QG 2020 môn Toán lần 2 - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia (Trang 78-117)