Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 3. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, đường cao SO. Biết SO = a√
2
2 , thể tích khối chóp S.ABCD bằng A a
3√ 2
6 . B a
3√ 2
3 . C a
3√ 2
2 . D a
3√ 3 4 . Lời giải.
Ta có SABCD =a2. Vậy VS.ABCD = 1
3·SO·SABCD= 1 3· a√
2
2 ·a2 = a3√ 2 6 .
S
A
C O B
D
Chọn phương án A
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình vuông cạnha. SA⊥(ABCD)và SB =a√ 3. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A a
3√ 2
2 . B a
3√ 2
6 . C a3√
2. D a
3√ 2 3 . Lời giải.
Ta có: SABCD =a2, SA2 =SB2−AB2= 3a2−a2= 2a2 ⇒SA=a√ 2. Do đó VS.ABCD = 1
3SABCD·SA= 1 3a2a√
2 =
√2 3 a3.
S
A
B C
a D a√
3
Chọn phương án D
Câu 5. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông cân tạiA,cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Biết AB = 2a và SB = 2√
2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC? A V = 8a3
3 . B V = 4a3
3 . C V = 4a3. D V = 8a3.
Lời giải.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
∆SAB vuông tại A có SA2 =SB2−AB2 = 4a2 nên SA= 2a. Có SABC = 1
2AB·AC = 2a2. Có V = 1
3SA·S∆ABC = 1
32a·2a3= 4 3a3.
S
B
A C
Chọn phương án B
Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB= 1. Thể tích khối chópS.ABC bằng
A 1
6. B 1
3. C 1. D 2
3. Lời giải.
Ta có SABC = 1
2AB·AC = 1
2 ⇒VS.ABC = 1
3SA·SABC = 1 3.
A S
B
C
Chọn phương án B
Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối chóp D0.ABCD.
A V = a3
4 . B V = a3
6 . C V = a3
3 . D V =a3.
Lời giải.
Diện tích đáy ABCD là SABCD =a2, chiều caoD0D=a. Do đó VD0.ABCD= 1
3SABCD·D0D = 1
3a2·a = a3 3 . Chọn phương án C
Câu 8. Diện tích đáy của khối chóp có chiều cao bằng h và thể tích bằng V là A B = 6V
h . B B = 3V
h . C B = 2V
h . D B = V
h. Lời giải.
Ta có: V = 1
3Bh ⇒B = 3V h . Chọn phương án B
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A 3a3. B 9a3. C a3. D a
3
3.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Lời giải.
Ta có thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = 1
3SA·SABCD = 1
3 ·3a·a2 =a3.
D
A C
S
B
Chọn phương án C
Câu 10. Cho khối chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và cạnh đáy bằng 20 cm, 21 cm, 29 cm. Tính thể tích khối chóp này.
A 7 000√
2 cm3. B 6 000 cm3. C 6 213 cm3. D 7 000 cm3. Lời giải.
Diện tích đáy S =
…20 + 21 + 29 2
20 + 21 + 29
2 −20 20 + 21 + 29
2 −21 20 + 21 + 29
2 −29
= 210 cm2. Thể tích khối chóp
V = 1
3 ·S·h= 1
3 ·210·100 = 7 000 cm3. Chọn phương án D
Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = 2 cm; AD = 5 cm; AA0 = 3 cm. Tính thể tích khối chóp A.A0B0D0
A 5 cm3. B 10 cm3. C 20 cm3. D 15 cm3. Lời giải.
Ta có VA.A0B0D0 = 1
3 ·AA0· 1
2 ·A0B0·A0D0= 5 cm3.
D C
B0
A0
C0
D0
A
B Chọn phương án A
Câu 12. Cho khối chóp có thể tích V = 36 cm3 và diện tích mặt đáy B = 6 cm2. Tính chiều cao của khối chóp.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
A h= 18 cm. B h = 1
2 cm . C h= 6 cm . D h= 72 cm .
Lời giải.
Từ công thức thể tích khối chóp, ta suy ra h= 3V
S = 3·36
6 = 18 cm.
Chọn phương án A
Câu 13. Thể tích của khối chóp có diện tích mặt đáy bằng B, chiều cao bằng h được tính bởi công thức
A V = 1
3Bh. B V =Bh. C V = 1
2Bh. D V = 3Bh. Lời giải.
Công thức tính thể tích chóp.
Chọn phương án A
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA ⊥(ABCD) và SA=a√
3. Khi đó, thể tích của khối chóp bằng A a
3√ 3
3 . B a
3√ 3
4 . C a3√
3. D a
3√ 3 6 . Lời giải.
S
A
B C
D
VS.ABCD = 1
3×SA×SABCD = 1 3 ×a√
3×a2= a3√ 3 3 . Chọn phương án A
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB= 2a, AC = 3a, SA vuông góc với đáy và SA=a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A 2a3. B 6a3. C 3a3. D a3. Lời giải.
Ta có SABC = 1
2AB·AC = 1
22a·3a= 3a2.
⇒V = 1
3SABC ·SA= 1
3 ·3a2·a=a3.
A S
B
C
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Chọn phương án D
Câu 16. Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạnSA, SB,SC lần lượt lấy ba điểmA0, B0, C0 sao cho SA0 = 1
2SA, SB0 = 1
3SB; SC0 = 1
4SC. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A0B0C0 và S.ABC bằng
A 1
2. B 1
12. C 1
24. D 1
6. Lời giải.
Ta có V
0 SA0BC
VSABC = SA0 SA · SB0
SB · SC0 SC = 1
2 · 1 3· 1
4 = 1 24. Chọn phương án C
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có A0, B0 lần lượt là trung điểm của SA, SB. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối chóp S.A0B0C0 và S.ABC. Tính tỷ số V1
V2. A 1
8. B 1
4. C 1
2. D 1
3. Lời giải.
Ta có V1
V2 = SA0 SA · SB0
SB = 1 2· 1
2 = 1 4.
B
C S
A B0
A0
Chọn phương án B
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAvuông góc với mặt đáy (ABCD), SA= 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
A a
3
3 . B a
3
6 . C a
3
4. D 2a
3
5 . Lời giải.
Ta có VS.ABC = 1
3 ·SABC ·SA= 1 3· a2
2 ·2a= a3 3 .
D S
A
B C
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Chọn phương án A
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB= 3a, BC =a, cạnh bên SD = 2a và SD vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A a3. B 2a3. C 6a3. D 3a3. Lời giải.
Ta có thể tích khối chóp S.ABCD là V = 1
3 ·SD·AB·BC = 1
3 ·2a·3a·a= 3a3. Chọn phương án D
Câu 20. Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA= 6. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A 24√
3. B 8√
3. C 6√
3. D 4√
3. Lời giải.
Ta có V = 1
3.SA.SABC = 1
3.6.42√ 3 4 = 8√
3. Chọn phương án B
B MỨC ĐỘ 2
Câu 21. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 30◦. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A a
3√ 2
18 . B a
3√ 2
36 . C a
3√ 3
18 . D a
3√ 3 36 . Lời giải.
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC). Khối chóp S.ABC đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC.
Xét tam giác ABI ta có AI =p
AB2−BI2 =
…
a2−a 2
2
= a√ 3 2 . Vì H là trọng tâm của tam giác ABC nên
AH = 2
3AI = 2 3
a√ 3
2 = a√ 3 3 .
S
B
H I
A C
Lại có AH là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC). Suy ra (SA,¤(ABC)) =Ÿ(SA, AH) = 30◦. Xét tam giác SAH ta có
SH = tan 30◦·AH =
√3 3
a√ 3 3 = a
3. Diện tích tam giác ABC là
SABC = 1
2AB·BC = 1 2
a√ 3
2 a= a2√ 3 4 .
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Vậy
VS.ABC = 1
3SABCSH = 1 3
a2√ 3 4
a
3 = a3√ 3 36 . Chọn phương án D
Câu 22. Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60◦. Thể tích khối chóp đó là
A a
3√ 3
12 . B a
3√ 3
36 . C a
3
12. D a
3
36. Lời giải.
Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là SAH‘ = 60◦. AH = 2
3AM = 2 3 · a√
3
2 = a√ 3 3 . SH =AH·tan 60◦ = a√
3 3 ·√
3 =a. Do đó SABC = a2√
3
4 ⇒V = 1
3·a· a2√ 3
4 = a3√ 3 12 .
A
D B
H
C
Chọn phương án A
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, biếtAB= 4a, SB = 6a. Thể tích khối chópS.ABC làV. Tỉ số 4a
3
3V có giá trị là A
√5
10. B 3
√5
8 . C
√5
8 . D
√5 160. Lời giải.
Ta có SA=√
SB2−AB2=√
36a2−16a2 = 2a√ 5
⇒AC = AB
√2 = 4a
√2 = 2a√ 2.
Do đó SABC = 1
2AC2 = 1 2(2a√
2)2 = 4a2. Vậy V = 1
3SA·SASC = 1 3 ·2a√
5·4a2 = 8√ 5
3 a3 ⇒ 4a3 3V =
√5 10.
S
A B
C Chọn phương án A
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh 2a, tam giác SAB vuông cân tại S. Tính thể tích hình chóp S.ABC.
A a
3√ 3
3 . B a
3√ 3
6 . C 2a
3√ 3
3 . D a
3√ 3 12 . Lời giải.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
S
H A
C B
2a
Kẻ SH ⊥AB⇒SH ⊥(ABC) Vì (ABC)∩(ABC) = AB và (ABC)⊥(ABC). Ta có: SH = AB
2 =a (Do SAB là tam giác vuông cân tại S cạnh huyền AB= 2a).
Diện tích tam giác ABC là S4ABC = (2a)2
√3 4 =√
3a2. Vậy thể tích khối chóp SABC là: VSABC = 1
3.SH.S4ABC = 1 3.a.√
3a2= a3√ 3 3 . Chọn phương án A
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a√
3. Thể tích của khối chóp S.ABC là A a
3√ 3
3 . B a3√
3. C 2a
3√ 3
3 . D 2a3√
3. Lời giải.
S
B C
A D
a
2a a√
3
Ta có: VS.ABC = 1
3 ·SA· 1
2AB·BC = a3√ 3 3 . Chọn phương án A
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA ⊥ (ABC) và SA=a√
3. Tính thể tích khối chóp S.ABC. A 2a
3
3 . B 1
4. C a
3
4. D 3a
3
4 . Lời giải.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Ta có: S4ABC = a2√
3 4 .
SA ⊥ (ABC) ⇒ Thể tích khối chóp là V = 1
3.S4ABC.SA = 1
3.a2√ 3 4 .a√
3 = a3 4 .
S
B
A C
Chọn phương án C
Câu 27. Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 3 lần thì thể tích của nó tăng lên
A 18 lần. B 54 lần. C 9 lần. D 27 lần.
Lời giải.
Phương pháp:
Công thức tính thể tích khối chóp: V = 1 3Sh. Cách giải:
Giả sử hình chóp có chiều cao là h và cạnh đáy là a. Thể tích khối chóp là: V = 1 3.a2.h. Khi chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 3 lần thì thể tích của khối chóp là:
V0= 1
3(3a)2.3h= 27.1
3.a2.h= 27V.
Vậy thể tích tăng 27 lần.
Chọn phương án D
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD. GọiA0, B0, C0, D0 theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp A.A0B0C0D0 và S.ABCD.
A 1
16. B 1
4. C 1
8. D 1
2. Lời giải.
Ta có VS.A0B0D0
VS.ABCD = SA0 SA.SB0
SB.SD0 SD = 1
8 ⇒ VS.A0B0D0 VS.ABCD = 1
16. Và VS.B0D0C0
VS.ABCD +VS.B0D0C0 VS.ABCD = 1
16+ 1 16 = 1
8 ⇒ VS.A0B0C0D0 VS.ABCD = 1
8. Chọn phương án C
Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a√
6, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC?
A V = 9a3. B V = 2a3. C V = 3a3. D V = 6a3. Lời giải.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Ta có hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a√
6 ⇒ AB = BC =CD =AD=a√
6. Ta có BD=√
DC2+CB2 = 2√
a⇒OB = BD 2 =a√
3. Diện tích ∆ABC là S∆ABC = 1
2AB·BC = 3a2.
Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60◦ ⇒SBO‘ = 60◦. Ta có SO =OB ·tanSBO‘ = 3a.
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC = 1
3SO·S∆ABC = 1
3·3a·3a2 = 3a3.
S
A
D
B
C O
Chọn phương án C
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a√
3, AD = a, cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.BCD.
A 2a
3
3 . B a
3√ 3
3 . C 2a
3√ 3
3 . D a
3
3. Lời giải.
Diện tích tam giác BCD là SBCD = 1
2SABCD = 1 2a2√
3. Đường cao của khối chóp là SA= 2a.
Thể tích khối chóp S.BCD là VS.BCD= 1
3·SBCD ·SA= 1 3a3√
3.
S
A
B C
D
Chọn phương án B
Câu 31. Lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích bằngV. Khi đó, thể tích khối chópA.BCC0B0 bằng
A V
2. B 3V
4 . C 2V
3 . D V
3. Lời giải.
Ta có VA.A0B0C0 = 1 3V.
Suy ra VA.BCC0B0 =V −VA.A0B0C0 = 2 3V.
A C
A0 C0
B0 B
Chọn phương án C
Câu 32. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 A 4
√2a3
3 . B 8a
3
3 . C 8
√2a3
3 . D 2
√2a3 3 . Lời giải.
Diện tích đáy SABCD = (2a)2 = 4a2. Đường chéo đáy AC= 2√
2a nên AO=a√ 2, do đó chiều cao SO=√
SA2−AO2=√
4a2−2a2 =a√ 2. Vậy thể tích là V = 1
3SABCD·SO = 1
34a2a√
2 = 4√ 2a3 3 . Chọn phương án A
Câu 33. Cho khối chópS.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnha, tam giácABD đều,SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = 2a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
A a
3√ 3
6 . B a
3√ 3
3 . C a
3√ 3
12 . D a3√
3. Lời giải.
Ta có h=SO = 2a, S =SABCD = 2SABD = 2·a2√ 3
4 = a2√ 3 2 . VậyVS.ABCD = 1
3Sh= 1
3·SABCD·SO = 1 3·a2√
3
2 ·2a= a3√ 3 3 .
S
A
B C
O
D
Chọn phương án B
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a√
2. Biết SA vuông góc với đáy và SC =a√
5. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A V = 2a3
3 . B V = 2a3. C V = a3
3 . D V = a3√
3 3 . Lời giải.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a√
2 nên AC =√
AB2+BC2 = 2a. Tam giác SAC vuông tại A có SA=√
SC2−AC2=a. Thể tích của khối chóp
VS.ABCD = 1
3SA·SABCD = 1 3a·Ä
a√ 2ä2
= 2a3 3 .
A D
B C
S
Chọn phương án A
Câu 35. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
A V = a3
8 . B V = a3√
3
3 . C V = a3√
3
4 . D V = a3
4 . Lời giải.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH⊥(ABCD). Ta có VS.ABC = 1
3 ×SH×S∆ABC = 1 3 ×a√
3
2 × a2√ 3 4 = a3
8. Chọn phương án A
Câu 36. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy một góc 45◦. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A a
3
8 . B a
3
24. C a
3
12. D a
3
4. Lời giải.
Phương pháp:
Tính diện tích đáy và chiều cao rồi áp dụng công thức V = 1
3Sh tính thể tích.
Cách giải:
A C
B H M
S
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC suy ra SH là đường cao.
Góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa SM và AM vơí M là trung điểm của BC. Tam giác ABC đều cạnh a nên AM = a√
3
2 ⇒M H = 1
3AM = a√ 3 6 Tam giác vuông SHM có M H = a√
3
6 , SM H = 45◦ nên SH =HM = a√ 3 6 . Vậy thể tích VS.ABC = 1
3SABC ·SH = 1 3· a2√
3 4 · a√
3 6 = a3
24. Chọn phương án B
Câu 37. Cho hình chópS.ABC cóSAvuông góc với đáy, SA=a√
3, AB=a,BC = 2a, AC =a√ 5. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
A 2a3√
3. B 2a
3√ 3
3 . C a
3
√3 . D a3√ 3. Lời giải.
Phương pháp:
Tính diện tích đáy và chiều cao rồi áp dụng công thức V = 1
3Sh tính thể tích.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Cách giải:
A
B
C S
a√ 3
a√ 5
a
2a
Xét tam giác ABC có AB2+BC2 =a2+ 4a2 = 5a2 =AC2. Nên tam giác ABC vuông tại B (Định lí Pytago đảo).
Thể tích V = 1
3·SABC ·SA= 1 3· 1
2 ·BA·BC·SA= 1
6 ·a·2a·a√
3 = a3
√3. Chọn phương án C
Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.M N P Q là 1.
A 16. B 8. C 2. D 4.
Lời giải.
Phương pháp: Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích đối với khối chóp tam giác: VS.M N P VS.ABC = SM
SA · SN SB · SP
SC với M, N, P lần lượt thuộc SA, SB, SC. Cách giải:
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
A B
D
C S
M N
Q P
Ta có VS.M P Q
VS.ADC = SM SA · SP
SC · SQ SD = 1
2 · 1 2· 1
2 = 1 8
VS.M P N
VS.ACB = SM SA · SP
SC · SN SB = 1
2· 1 2 ·1
2 = 1 8 Suy ra 1
8 = VS.M N P
VS.ADC = VS.M P N
VS.ACB = VS.M P N +VS.M P N
VS.ADC +VS.ACB = VS.M N P Q VS.ABCD
⇒VS.ABCD = 8VS.M N P Q = 8.
Chú ý: Công thức tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng đối với chóp tam giác.
Chọn phương án B
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45◦. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
A a
3√ 3
12 . B a
3√ 3
9 . C a
3√ 5
24 . D a
3√ 5 6 . Lời giải.
Gọi H là trung điểm của AB.
(SAB)⊥(ABCD),(SAB)∩(ABCD) = AB, mà SH ⊥AB ⇒SH ⊥(ABCD).
Do đó (SC,(ABCD)) =SCH’= 45◦. Xét tam giác vuông BHC có HC =√
BC2+BH2= a√ 5 2 . Xét tam giác vuông SHC có SH =HC = a√
5 2 . Suy ra VS.ABCD = 1
3SH ·SABCD = a3√ 5 6 .
45◦
S
A
B H
D
C Chọn phương án D
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC =a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A a
3√ 3
3 . B a
3√ 2
12 . C a
3√ 3
9 . D a
3√ 3 12 . Lời giải.
Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích bằng a
2√ 3 4 . Đường cao của hình chóp là SC =a.
Thể tích khối chóp S.ABC là 1
3SC ·SABC = 1
3a·a2√ 3
4 = a3√ 3
12 (đvdt)
S
A
C B
Chọn phương án D C MỨC ĐỘ 3
Câu 41. Cho khối chóp S.ABC có AB = 5 cm, BC = 4 cm, CA= 7 cm. Các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 30◦. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A 4
√2
3 cm3. B 4
√3
3 cm3. C 4
√6
3 cm3. D 4
√3 4 cm3. Lời giải.
Gọi H là chân đường cao của khối chóp S.ABC.
Lần lượt gọi hình chiếu củaH lên các cạnh AB, BC, CA làD, E, F. Khi đó ta có góc giữa các mặt phẳng (SAB),(SBC),(SCA) với mặt đáy (ABC) lần lượt là SDH,’ ’SHE,SF H’
⇒SDH’ =SDH’ =’SEH =’SF H = 30◦. Từ đó suy ra DH =HE =HF.
Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có p= AB+BC+CA
2 = 8 (cm).
S
B H
A C
E F D
⇒SABC =p
p(p−5)(p−4)(p−7) = 4√ 6. Mà SABC =pr⇒r=
√6
2 (cm).
Do đó SH =
√6
2 ·tan 30◦ =
√2
2 (cm).
Vậy VS.ABC = 1 3
√2 2 4√
6 = 4√ 3
3 (cm3).
Chọn phương án B Câu 42.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Có một khối gỗ dạng hình chópO.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA= 3 cm,OB = 6 cm, OC = 12 cm. Trên mặt(ABC)người ta đánh dấu một điểm M sau đó người ta cắt gọt khối gỗ để thu được một hình hộp chữ nhật có OM là một đường chéo đồng thời hình hộp có 3 mặt nằm trên3 mặt của tứ diện (xem hình vẽ). Thể tích lớn nhất của khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng
A
M
B
O C
A 8 cm3. B 24 cm3. C 12 cm3. D 36 cm3. Lời giải.
Gọi khoảng cách từ điểm M đến các mặt bên (OAB),(OBC),(OCA) lần lượt là a, b, c.
Khi đó VO.ABC =VM.OAB+VM.OBC+VM.OAC. Hay 1
6 ·3·6·12 = 1 3 ·a· 1
2·3·6 + 1 3 ·b· 1
2·6·12 + 1 3 ·c· 1
2·3·12
⇒12 =a+ 4b+ 2c.
Thể tích khối gỗ hình hộp chữ nhật theo đề bài là V =abc. Ta có abc = 1
8a·4b·2c ≤ 1 8
Åa+ 4b+ 2c 3
ã3
= 1 8 · 123
27 = 8 (Theo bất đẳng thức Cô-si).
Vậy V =abc đạt giá trị lớn nhất bằng 8 cm3. Khi a= 4b = 2c⇔a= 4 cm, b= 1 cm, c= 2 cm.
A
M
B
O C
Chọn phương án A
Câu 43. Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy góc 30◦ và tạo với mặt phẳng (SAD) góc 30◦. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A a
3
3 . B a
3√ 3
3 . C a
3√ 3
6 . D a
3
6. Lời giải.
Đặt SA=x >0. Ta cóBD ⊥(SAD)⇒’BSD= 30◦,SBA‘ = 30◦. AB=SA·tan 30◦=x√
3.
SB =√
SA2+AB2 = 2x.
BD=√
AB2−AD2 =√
3x2−a2. Xét tam giác vuông SBD, ta có sinBSD= BD
SB = 1
2 ⇔2√
3x2−a2 = 2x⇔x= a√ 2 2 . Khi đó SA= a√
2
2 , BC = 2BD= 2
… 3·a2
2 −a2 =a√ 2. Vậy V = 1
3 ·SA·SABC = 1 3 ·a√
2
2 ·12·a·a√ 2 = a3
6 .
S
B
A C
D
Chọn phương án D
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 44. Cho hình chóp đều S.ABC có AB = 2a, khoảng cách từ A đến (SBC) là 3a
2 . Tính thể tích hình chóp S.ABC.
A a3√
3. B a
3√ 3
2 . C a
3√ 3
6 . D a
3√ 3 3 . Lời giải.
S
B
G M
A C
H
2a
Đáp án là D
Gọi M là trung điểm của BC và G là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên SG⊥(ABC) và G là trọng tâm 4ABC. Ta có:
®AM ⊥BC
SG⊥BC ⇒BC ⊥(SAM) hay (SBC)⊥(SAM) theo giao tuyến SM. Trong (SAM), kẻ AH ⊥SM, H ∈SM ⇒AH ⊥(SBC).
Vậy d(A,(SBC)) =AH = 3a 2 .
Vì 4ABC là tam giác đều cạnh 2a nên AM = 2a.√ 3 2 =a√
3 và S4ABC = (2a)2.√ 3
4 =a2√ 3. Đặt SG=x. Ta có: GM = 1
3AM = 1 3.a√
3 = a√ 3 3 . Xét 4SGM vuông tại G ta có: SM =√
SG2+GM2 =
x2+ Åa√
3 3
ã2
Xét 4SAM ta có: S4SAM = 1
2SG.AM = 1
2AH.SM ⇒x.a√
3 = 3a 2 .
…
x2+ a2 3
⇔4x2 = 3 Å
x2+ a2 3
ã
⇔x=a. Do đó: SG=a. Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC = 1
3SG.S4ABC = 1 3a.a2√
3 = a3√ 3 3 . Chọn phương án D
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD). Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng(SBC) và (ABCD)bằng 60◦. Thể tíchV của khối chóp S.ABCD.
A a3√
3. B a
3√ 3
3 . C a
3√ 3
12 . D a
3√ 3 24 . Lời giải.
Nhĩm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Gĩc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là SBA‘ = 60◦. Ta cĩ: Diện tích đáy: SABCD =a2.
Tam giácSABvuơng tạiA⇒SA=AB·tanÄ SBA‘ä
=a·tan 60◦ = a√
3.
Thể tích khối chĩp S.ABCD là:
V = 1
3SABCD·SA= 1
3a2·a√
3 = a3√ 3 3 .
S
A
B C
D
Chọn phương án B
Câu 46. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O, AB = a,BAD’ = 60◦, SO ⊥ (ABCD) và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một gĩc 60◦. Tính thế tích khối chĩp S.ABCD.
A
√3a3
12 . B
√3a3
8 . C
√3a3
48 . D
√3a3 24 . Lời giải.
Phương pháp - Xác định gĩc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). - Tìm giao tuyến ∆ của(α) và (β).
- Xác định một mặt phẳng (γ)⊥∆.
- Tìm các giao tuyến a = (α)∩(γ);b= (β)∩(γ).
- Gĩc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là: ((α),ÿ(β)) =(a, b)‘.
(α) (β)
a ∆ b
Cách giải: I
A D
K
B C
O S
H
Kẻ OH ⊥CD,(H ∈CD). Ta cĩ:
(CD ⊥OH CD ⊥SO
⇒CD ⊥(SOH)⇒((SCD); (ABCD)) =¤ ’SHO = 60◦.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 ABCD là hình thoi tâm O, ’BAD= 60◦ ⇒∆BCD đều nên OH = 1
2d(B, CD) = 1 2.a√
3
2 = a√ 3 4 .
∆SOH vuông tại O ⇒SO =OH.tan’SHO= a√ 3
4 .tan 60◦ = 3a 4 . Diện tích hình thoi ABCD là SABCD = 2SABC = 2.a2√
3
4 = a2√ 3 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = 1
3 ·SO·SABCD = 1 3.3a
4 .a√ 3
2 = a3√ 3 8 . Chọn phương án B
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là một tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy(ABCD)và có diện tích bằng 27
√3
4 (đvdt). Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam giác (SAB) và song song với mặt đáy (ABCD) chia khối chóp (S.ABCD) thành hai phần, tính thể tích V của phần chứa điểm S?
A V = 24. B V = 8. C V = 12. D V = 36. Lời giải.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥AB ⇒SH ⊥(ABCD).
S∆SAB = x2√ 3
4 = 27√ 3
4 ⇔x2 = 27⇔x= 3√ 3. Vậy SH = x√
3
2 = 3p 3·√
3
2 = 9
2. Suy ra SS.ABCD = 1
3SH ·SABCD = 1 3 · 9
2 3√ 32
= 81 2 . Dễ thấy mặt phẳng đi qua G song song với mặt đáy cắt hình chóp theo thiết diện là hình vuôngM N P Q như hình vẽ.
Ta có M Q
AB = SG SH = 2
3 ⇒M Q= 3√ 3·2 3 = 2√
3 và SG= 2
3SH = 2· 9
2 3 = 3. Vậy V = 1
3SG·SM N P Q = 1
3 ·3· 2√ 32
= 12.
S
C H
A
B
Q P D
G
M N
Chọn phương án C
Câu 48. Cho hinh chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA=AC = 2a. Thể tích V của khối chóp S.ABC là
A V = 2a3
3 . B V = a3
3 . C V = 2a3. D V = 4a3
3 . Lời giải.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Do tam giác ABC vuông cân tại B nên AB=AC = AC
√2 =a√ 2. VS.ABC = 1
3SA· 1
2BA·BC = 1
3·2a· 1 2a√
2·a√
2 = 2a3 3 .
A C
B S
Chọn phương án A
Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích bằng V. Gọi M là trung điểm cạnh BB0 điểm N thuộc cạnh CC0 sao cho CN = 2C0N. Tính thể tích V0của khối chóp A.BCN M theo V.
A V0 = 7V
12. B V0= 7V
18. C V0= V
3. D V0 = V
2. Lời giải.
Gọi h= d(B0, CC0). Khi đó ta có SBCC0B0 =h·CC0 và SBM N C = (BM +CN)·h
2 = 1
2h·1
2CC0+ 2 3CC0
= 7
12h·CC0. Ta có V
0
VABCC0B0 = SBM N C SBCC0B0 = 7
12. Măt khác ta có VABCC0B0 = 2
3V. Vậy V0= 7
12· 2
3V = 7V 18.
C A0
B0
C0
; A
B M
N
Chọn phương án B
Câu 50. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 45◦. Thể tích V của khối chóp S.ABCD là
A V = a3
3 . B V = a3√
2
6 . C V = a3
6 . D V = a3√
2 3 . Lời giải.
Gọi O =AC∩BD. Ta có SO⊥(ABCD).
⇒(SA,(ABC)) = (SA,(ABCD)) =SAO‘
⇒SO=OA= a√ 2 2 .
⇒VS.ABCD = 1
3SO·SABCD= 1 3· a√
2
2 ·a2 = a3√ 2 6 .
A
B C
D S
O
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Chọn phương án B
Câu 51. Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho N S = 2N C. Thể tích V của khối chóp A.BM N C là
A V = 10. B V = 30. C V = 5. D V = 15. Lời giải.
Ta có: VS.AM N
VS.ABC = SA SA · SM
SB · SN SC = 1
2 ·2 3 = 1
3 ⇒VS.AM N = 1
3VS.ABC Suy ra: VA.BM N C = 2
3VS.ABC = 2 3 · 1
3·5·9 = 10
A
C S
B
M N
Chọn phương án A
Câu 52. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, BC =a√ 3, mặt bênSAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng(ABC). Thể tích V của khối chóp S.ABC là
A V = 2a3√ 6
12 . B V = a3√ 6
6 . C V = a3√
6
12 . D V = a3√
6 4 . Lời giải.
Gọi K là trung điểm của đoạn AB. Ta có ∆SAB đều ⇒SK ⊥AB.
Mà (SAB)⊥(ABC) theo giao tuyến AB
⇒SK ⊥(ABC)⇒VS.ABC = 1
3SK·S∆ABC Ta có ∆ABC vuông tại A có AB =a, BC =a√
3
⇒AC =√
BC2−AB2 =√
3a2−a2 =a√ 2
⇒S∆ABC = 1
2AB·AC = 1 2a·a√
2 = a2√ 2 2
∆SAB đều cạnh AB =a ⇒ đường cao SK = a√ 3 2 . VS.ABC = 1
3· a√ 3 2 · a2√
2
2 = a3√ 6 12 .
A K
B S
C
Chọn phương án C
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60◦, SA = SB = SC =a√
2. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A V = a3√ 5
6 . B V = a3√
5
2 . C V = a3√
2
3 . D V = a3√
5 3 . Lời giải.