Bài tập cuối chương II A. Lý thuyết
I. Quan hệ chia hết và tính chất
1. Quan hệ chia hết
Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0).
Nếu có số tự nhiên k sao cho a = kb thì ta nói a chia hết cho b kí hiệu là a ⋮ b.
Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu là a b.
+ Ước và bội:
Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.
Ta kí hiệu Ư(a) là tập hợp các ước của a và B(b) là tập hợp các bội của b.
+ Cách tìm ước và bội:
Muốn tìm các ước của a (a > 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.
Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; … 2. Tính chất chia hết của một tổng
+ Tính chất 1
Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
- Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a + b) ⋮ m.
- Nếu a ⋮ m, b ⋮ m và c ⋮ m thì (a + b + c) ⋮ m.
+ Tính chất 2
Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.
- Nếu a ⋮ m và b m thì a b m.
- Nếu a ⋮ m, b ⋮ m và c m thì (a + b + c) m.
Chú ý: Hai số không chia hết cho một số đã cho thì chưa chắc tổng của chúng không chia hết cho số đó.
II. Dấu hiệu chia hết
1. Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
2. Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
Chú ý: Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9.
III. Số nguyên tố
1. Số nguyên tố và hợp số
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Mọi số đều có thể phân tích ra tích của các thừa số nguyên tố Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cây
Ví dụ. Phân tích 36 ra tích các thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây:
Vậy 36 2 .32 2.
+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cột
Ví dụ. Phân tích 36 ra tích các thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cột:
36 18 9 3 1
2 2 3 3
Vậy 36 2 .32 2.
IV. Ước chung, ước chung lớn nhất
A. Lý thuyết
1. Ước chung và ước chung lớn nhất
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Ta kí hiệu:
ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.
ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.
Nhận xét:
- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
Nếu a ⋮ b thì Ư CLN(a, b) = b.
- Số 1 chỉ có 1 ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:
ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.
2. Cách tìm ước chung lớn nhất
Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
3. Rút gọn về phân số tối giản
Vận dụng ƯCLN để rút gọn về phân số tối giản
Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác 1 (nếu có).
Phân số a
b được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1.
V. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất 1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Kí hiệu:
BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.
BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.
Nếu a ⋮ b thì BCNN(a, b) = a.
Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:
BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).
2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất
Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;
Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.
Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất
Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:
Bước 1. Tìm BCNN của các số đã cho.
Bước 2. Tìm các bội của BCNN đó.
3. Quy đồng mẫu các phân số
Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:
Để quy đồng mẫu số hai phân số a b và c
d, ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó.
Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.
B. Bài tập
Bài 1. Tìm x 25; 36; 1024; 2013; 2151 sao cho:
a) x – 10 chia hết cho 2;
b) x + 12 chia hết cho 3;
c) x + 50 chia hết cho 5;
d) x + 27 chia hết cho 9.
Lời giải
a) Vì 10 có tận cùng là 0 nên chia hết cho 2.
Do đó để x – 10 chia hết cho 2 thì x phải chia hết cho 2.
Mà x 25; 36; 1024; 2013; 2151 Suy ra x 36; 1024 .
Vậy x 36; 1024 .
Vậy x 36; 1024 thì x – 10 chia hết cho 2.
b) Vì 12 chia hết cho 3
Do đó để x + 12 chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3.
Mà x 25; 36; 1024; 2013; 2151 .
Ta có 2 + 5 = 7 không chia hết 3 nên 25 không chia hết cho 3;
3 + 6 = 9 chia hết cho 3 nên 36 chia hết cho 3;
1 + 0 + 2 + 4 = 7 không chia hết cho 3 nên 1024 không chia hết cho 3;
2 + 0 + 1 + 3 = 6 chia hết cho 3 nên 2013 chia hết cho 3;
2 + 1 + 5 + 1 = 9 chia hết cho 3 nên 2151 chia hết cho 3.
Suy ra x 36; 2013; 2151 .
Vậy x 36; 2013; 2151 thì x + 12 chia hết cho 3.
c) 50 có chữ số tận cùng là 0 nên 50 chia hết cho 5 Để x + 50 chia hết cho 5 thì x phải chia hết cho 5.
Mà x 25; 36; 1024; 2013; 2151 . Suy ra x = 25.
Vậy x = 25 thì x + 50 chia hết cho 5.
d) Vì 27 chia hết cho x
Để x + 27 chia hết cho 9 thì x phải chia hết cho 9.
Ta có 2 + 5 = 7 không chia hết 9 nên 25 không chia hết cho 9;
3 + 6 = 9 chia hết cho 9 nên 36 chia hết cho 9;
1 + 0 + 2 + 4 = 7 không chia hết cho 9 nên 1024 không chia hết cho 9;
2 + 0 + 1 + 3 = 6 không chia hết cho 9 nên 2013 chia hết cho 9;
2 + 1 + 5 + 1 = 9 chia hết cho 9 nên 2151 chia hết cho 9.
Suy ra x 36; 2151 .
Vậy x 36; 2151 thì x + 27 chia hết cho 9.
Bài 2. Tìm ƯCLN và BCNN của:
a) 54 và 72;
b) 70 và 105.
Lời giải
a) 54 = 33.2, 72 = 32.23
ƯCLN(54, 72) = 32.2 = 9.2 = 18.
BCNN(54, 72) = 33.23 = 216.
b) 70 = 2.5.7, 105 = 3.5.7.
ƯCLN(70, 105) = 5.7 = 35.
BCNN(70, 105) = 2.3.5.7 = 210.
Bài 3. Thực hiện phép tính a) 11 9
25 35; b) 4 1
16 36. Lời giải
a) 11 9 11.7 9.5 77 45 77 45 32
25 35 25.7 35.5 175 175 175 175;
b) 4 1 4.9 1.4 36 4 40 5
16 36 16.9 36.4 144 144 144 18.
