Tuyển tập đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

(1)



Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TUY ỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO L ỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN

Thanh Hóa, Tháng 11 năm 2019

(2)

TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN

VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi vào lớp 10 môn

Sơn tỉnh Thanh Hóa. Đây là bộ đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi vào lớp 10 có một tài liệu bám sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập đề thi toán vào lớp 10 chuyên lam sơn này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này!

toán, website thuvientoan.net giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi vào lớp 10 chuyên Lam

(3)

Câu I: (2,0) điểm

1. Chứng minh rằng:

1 1 1 44

... 45

2 1 1 2+3 2 2 3+ +2025 2024 2024 2025 =

+ + +

2. Cho x là số thực âm thỏa mãn x² ¹₂ 23

+ x = . Tính giá trị của biểu thức:

3 3

A x 1

= +x Câu II: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2

1 1

2 x 2 x

+ =

− 2. Giải hệ phương trình:

( )

2

2 2 2 2

2x 0

6 3 0

x y y x

x y x y x

 + − + =



+ − + =



Câu III: (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x²−xy−5x+5y+ =2 0

2. Cho biểu thức: ^A⁼

(

^a²⁰²⁰⁺^b²⁰²⁰⁺^c²⁰²⁰

) (

⁻ ^a²⁰¹⁶⁺^b²⁰¹⁶⁺^c²⁰¹⁶

)

với a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho 30.

Câu IV: (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC

(

^AB^<^AC

)

nội tiếp đường tròn

( )

^O có tâm là O. Các đường cao ,

BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường phân giác ngoài của BHC cắt các cạnh ,

AB AC lần lượt tại M N, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác của BAC tại điểm I khác A IM, cắt BE tại điểm P và IN cắt CF tại điểm Q.

1. Chứng minh tam giác AMN cân tại A. 2. Chứng minh HPIQ là hình bình hành.

3. Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng HI và AO thuộc đường tròn

( )

^O . Câu V: (1,0 điểm)

Với các số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c+ + =3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

² ²

)(

² ²

)(

² ²

)

S = a + b + c +

--- Hết---

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ………

Chữ khú giám thị 1: ... Chữ ký giám thị 2: ………..

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 01 trang Đề số 1

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 06 tháng 6 năm 2019

(4)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang

Đề số 2

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 06 tháng 6 năm 2019 Câu I: (2,0) điểm

1. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

1 1 1 1

a b c

ab a +bc b +ca c =

+ + + + + +

2. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab bc+ +2ca=0. Hãy tính giá trị của biểu

thức: ₂ ₂ ₂

8a

bc ca ab A= +b +c . Câu II: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2x²+ + +x 1 x²− + =x 1 3x. 2. Giải hệ phương trình

1 1 9

2

1 5

x y

x y x y xy xy y x

 + + + =



 + + + =



Câu III: (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên

( )

^{x y}^; thỏa mãn: y²+ =y x⁴+x³+x²+x.

2. Cho hai số nguyên dương x y, với x>1 và thỏa mãn điều kiện: 2x²− =1 y¹⁵. Chứng minh rằng x chia hết cho 15.

Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

( )

^O với AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC AM, cắt

( )

^O tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC tại ^E khác C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ^MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B.

1. Chứng minh rằng hai tam giác BDF CDE, đồng dạng.

2. Chứng minh rằng ba điểm E M F, , thẳng hàng và OA⊥EF.

3. Đường phân giác của BAC cắt ^EF tại điểm N . Đường phân giác của CEN cắt CN tại P, đường phân giác của BFN cắt BN tại Q. Chứng minh rằng PQ song song với BC.

Câu V: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt sao cho không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là tam giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674.

--- Hết---

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...

Chữ khú giám thị 1: ... Chữ ký giám thị 2: ...

(5)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Đề số 3

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2018-2019

Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút

Câu 1

1) Tính giá trị biểu thức 1 ¹ 1 ¹ ... 1 ¹

1 2 1 2 3 1 2 3 .... 2018

P= − +  − + +   − + + + +  2) Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn biểu thức ³₃ ³ ₂² ⁵ ¹⁷ ⁰

3 5 11 0

a a a

b b b

 − + − =



− + + =



Chứng minh rằng a b+ =2 Câu 2

1) Giải phương trình : ^x²^{− − =}^x ⁴ ^{2 1}

(

⁻^x

)

^x⁻¹

2) Giải hệ phương trình : ² ²

2 2

1 1

1

1 1 2

x y

x y xy

 + =



 − + − = +

 Câu 3

1) Tính tất cả các cặp số nguyên dương

( )

^{x y}^; thỏa mãn: x²⁰¹⁹ = y²⁰¹⁹−y¹³⁴⁶−y⁶⁷³+2 2) Cho n số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên kta đặt S_k = +1^k 2^k +...+n^k

Chứng minh rằng S₂₀₁₉S₁

Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AB<AC. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A B C, , của tam giác, P là giao điểm các đường BCvà EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các cạnh AB AC CF, , tại Q, R, S

1) CMR: tứ giác BQCRlà tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ^PB ^DB

PC = DCvới D là trung điểm QS

3) Khi B, C cố định và A thay đổi thù chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 Trong một giải đấu thể thao có n độ tham dự n≥2, luật đấu như sau: Hai đội bất kỳ luôn đấu với nhau đúng 1 trận. Sau một trận, đội thắng được 2 điểm, đội thua 0 điểm và hòa nhau cả hai đội được 1 điểm. Sau giải đấu các đội xếp hạng théo thứ tự từ cao xuống thấp (bằng điểm xếp cùng hạng). Hỏi điểm chênh lệch lớn nhất có thể giữa các đội xếp thứ hạng liền nhau là bao nhiêu ?

_________________Hết_______________

(6)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Đề số 4

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2018-2019

Môn thi: CHUYÊN TIN Thời gian: 150 phút

Câu 1: (2,0 điểm)

1. Tính giá trị biểu thức =2 − + x y

A x y , biết x²−2y² =xy và y≠0,x+ ≠y 0 2. Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình x²− −x 1,tính ₅ ₅

1 2

1 1

= + . B x x Câu 2: (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình

( )

2

1 2 1 2

 + = −



 + = −



x y

y x

2. Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình 2x²−2mx m+ ²− =2 0có hai nghiệm x¹ và x² thỏa mãn 0≤ ≤x₁ x₂,khi đó xác định giá trị lớn nhất của x².

Câu 3: (2,0 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ⁹^x²⁺⁶^{x y}

(

^{− +}¹

)

³^y²⁺²^y⁼^35.

2. Tìm các số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn ₂ ₂ 9 41. + = + a b a b Câu 4: (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên đường tròn (BC không đi qua O), A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N. Gọi Q là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường (O), P là giao điểm của AQ và BC, E là giao điểm của CI với MN.

1. Chứng minh tam giác BIQ cân

2. Chứng minh bốn điểm B, I, M, E cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh AI. PQ = IP. IQ và tìm vị trí của A để tích AI. PQ đạt giá trị lớn nhất Câu 5: (1,0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy z² ²+x z² + =y 3 .z² Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( )

4

4 4 4 .

=1

+ +

M z

z x y --- Hết---

Chữ ký giám thị 1: ... Chữ ký giám thị 2: ...

(7)

Câu 1: ( 2 điểm )

Cho biểu thức: A = _









− +

1 1

x

x : _









+

− + +

−

− +

6 5

2 3

2 2

3

x x

x Với x ≥0 ; x≠4 ; x ≠9

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2 : ( 2 điểm )

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ; cho ba đường thẳng (d¹) : y = -5(x + 1) ; (d²) : y = 3x – 13 ; (d³) : y = mx + 3 ( Với m là tham số ) Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường (d¹) và (d²) với giá trị nào của m thì đường thẳng (d³) đi qua điểm I ?

b) Giải hệ phương trình







=

−

− +

= + +

−

5 1 2

. 3

5 2 2 1

x y

y x

Câu 3 : ( 2 điểm )

a) Tìm m để phương trình (m – 1).x² -2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x¹ và x² khác 0 thỏa mãn điều kiện

1 2 2 1

x x x

x + + 2 5 = 0 ? b) Giải phương trình x x−2 = 9 − 5x

Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) với tâm O có bán kính R đường kính AB cố định, M là một điểm di động trên (O) .sao cho M không trùng với các điểm A và B .Lấy C là điểm đối xứng với O qua A .Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E .các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F

a / Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng và tứ giác MENF nội tiếp b / Chứng minh : AM .AN = 2R²

c / Xác định vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để tam giác BNF có diện tích nhỏ nhất

Câu 5 : ( 1 điểm ) Cho a; b ; c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh rằng ab

c b a

2

2 2

2 + − +

bc a c b

2

2 2

2 + − +

ca b a c

2

2 2

2 + − > 1 ---Hết---

Họ và tên thí sinh : ……….. SBD :………

Giám thị coi thi thứ 1: ………. Giám thị coi thi thứ 2 :……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn: TOÁN (Chung) Thời gian làm bài: 120 phút

( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi :02 tháng 6 năm 2017

(8)

Đề thi gồm 01 trang Đề số 6 ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Câu 1: (2,0 điểm)

a/ Tính tổng 1 1 1

... .

1.2.3 2.3.4 2016.2017.2018

= + + +

A

b/ Cho các số thức m, n, p, x, y, z thỏa mãn điều kiện:

; ; ; 0.

= + = + = + + + ≠

x ny pz y mx pz z mx ny x y z Chứng minh rằng: 1 1 1

1 +1 +1 =2.

+m +n + p Câu 2: (2,0 điểm)

a/ Giải phương trình: ³ ³ ² 5 ² 2

5 1 .

6 + − = x −

x x

b/ Giải hệ phương trình:

3

x 2 y 2 1 3 x x

y y

x xy 9x 12 0

 + = + −



 − − + =

 Câu 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a thì biểu thức: A a⁵ a⁴ 7a³ 5a² a 120 12 24 12 5

= + + + +

cũng là một số tự nhiên.

b) Tìm tất cả số nguyên (x, y) thỏa mãn: 5x²+8y² =20412.

Câu 4: (3, 0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính R cố định và D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác. Gọi E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh  AEO =ADC và tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác OEF là tam giác cân.

c) Khi B, C cố định và A di động trên (O) (A ≡ B, A ≡ C), chứng minh tứ giác AEOF có diện tích không đổi.

Câu 5: (1, 0 điểm)

Trong mặt phẳng có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường trong số các đường thẳng đó cắt được đúng 2018 đường thẳng khác?

---Hết---

(9)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề )

Câu I (2.0 điểm) Cho biểu thức 2 1 3 11

3 3 9

x x x

A x x x

+ −

= + +

+ − − (Với x≥0;x≠9)

a/ Rút gọn A

b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A≥0 Câu II (2.0 điểm)

a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): ^y⁼

(

^m²⁻¹

)

^x⁺²^m (m là tham số) và (d2): y=3x+4. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau b/ Cho phương trình: ^x²⁻²

(

^m⁻¹

)

^x⁺²^m^{− =}⁵ ⁰ (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm x¹; x² thỏa mãn

(

^x¹²⁻²^mx¹⁺²^m⁻¹

) (

^x²⁻²

)

^≤⁰

Câu III (2.0 điểm) a/ Giải hệ phương trình

2 2

2 3

3 2 1

x y x y

 + =



− =



b/ Giải phương trình: ^x²⁺⁴^x^{− =}⁷

(

^x⁺⁴

)

^x²⁻⁷

Câu IV (3.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD với BAD<90^o, tia phân giác góc BCD<90^o cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O (Khác C), kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) cắt đường thẳng CB, CD lần lượt tại M và N.

a/ Chứng minh OBM  = ODC

b/ Chứng minh ∆OBM = ∆ODC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

c/ Gọi K là giao điểm của OC và BD, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng: ^ND ^{IB – IK}² ₂ ²

MB = KD

Câu V (1.0 điểm): Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z ³

≤2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

1 1 1

x yz y zx z xy

P z zx x xy y yz

+ + +

= + +

+ + +

---Hết---

(10)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Môn: TOÁN (CHUYÊN) Thời gian làm bài: 120 phút

( không kể thời gian giao đề )

Câu 1: (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: ¹ ¹ ... ¹ ¹⁹³¹ 2 1+3 2+ +2016 2015 >1975

b) Với a > 8/3, chứng minh rằng: ³3a− +1 a 8a− +3 ³3a− −1 a 8a− =3 1 Câu 2: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình ₂ ⁴ ₂ ⁵ ³

3 5 3 2

+ = −

+ + − +

x x

x x x x

( )

( ) ( )

8 8 4

2 1

1 1 2

 + =



+ = +



x y y x x x y xy Câu 3: (2,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên (x, y) của phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 8)(x + 9) = y² b) Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn phương trình: 2016^x+2017^x =2018^x Câu 4: (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = 2R, BC là đường kính quay quanh O sao cho đường thẳng BC không đi qua A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt OA tại I khác A. Các đường thẳng AB, AC cắt (O) lần lượt tại D và E. K là giao điểm của DE và OA.

a/ Chứng minh bốn điểm K, E, C, I cùng thuộc một đường tròn b) Tính độ dài AI theo R

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A khi đường kính BC quay quanh (O)

Câu 5: (1, 0 điểm)

Một số tự nhiên được gọi là số thú vị nếu chữ số đó có 10 chữ số đôi một khác nhau và là bội của 11111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị.

---Hết---

(11)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức: : ¹ ( 0, 4)

2 2 4 4

a a a

M a a

a a a a a

+

 

= − + −  − + > ≠ Rút gọn biểu thức M.

Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0.

Câu 2: (2,5 điểm)

Giải hệ phương trình:

2 3 3

2 5 x y x y

 + =



 − =



Cho phương trình: x²+2(m− −2) m² =0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân việt x¹;x² thỏa mãn x₁<x₂;|x₁|−| x | 6₂ =

Câu 3: (1,5 điểm)

Giải phương trình: 5 x³+ =1 2(x²+2) Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A và (C) là đường tròn tâm C bán kính CA. Lấy điểm D thuộc đường tròn (C) và nằm trong tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho

1

BDM =2ACD; N là giao điểm của đường thẳng MD với đường cao AH của tam giác ABC; E là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn (C). Chứng minh rằng:

MN song song với AE.

BD.BE = BA² và tứ giác DHCE nội tiếp.

HA là đường phân giác của góc DHE và D là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: ₂ ₂ ₂

1 1 1

x y z

S = y + z + x

+ + +

_______________Hết________________

(12)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Môn: TOÁN (Chuyên Tin) Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. a) Chứng minh 2 2+ 3 = 6+ 2

b) Cho x²− − =x 1 0=. Tính ⁶₄ 3₃⁵ 3₂⁴ ³ 2015

3 3 2015

− + − +

= − − − +

x x x x

P x x x x

Bài 2. a) Cho phương trình ²^x²⁺

(

²^m⁻¹

)

^{x m}^{+ − =}^{1 0}, với m là tham số. Khi phương trình có hai nghiệm x x₁, ₂ hãy viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x x₁, ₂ không phụ thuộc vào m.

( ) ( )

2 2

4

1 2

 + + + =

 + + + =



x y x y x x y y y

Bài 3. a) Tìm số nguyên dương bé nhất để F =n³+4n²−20n−48 chia hết cho 125

b) Cho dãy số tự nhiên 2; 6; 30; 210; ... được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên

(

^k⁼^{1; 2;3;...}

)

. Biết rằng có hai số hạng của dãy số đó có hiệu bằng 30000. Tìm hai số hạng đó.

Bài 4. Cho nửa đường tròn có hai đường kính AB=2R. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn đó, D là hình chiếu của C trên AB. Tia phân giác của ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác của ABC tại H

a) Chứng minh AE song song với BH

b) Tia phân giác BAC cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai F, cắt CE tại I.

Tính diện tích tam giác FDI khi BAC 60 = ⁰.

c) Trên đoạn thẳng BH lấy điểm K sao cho HK=HD. Gọi J là giao điểm cuae AF và BH. Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và xác định vị trí của C để để tổng khoảng cách tứ I, J, K đến đường thẳng AB lớn nhất.

Bài 5. Cho ba số thực x, y, x thỏa mãn xyz 1= . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

xy yz zx

T= z x z y x y x z y z y z+ +

+ + +

____________Hết____________

(13)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Bài 1. Cho biểu thức:

( )

− + − − − +

=

− − −

1 x 2 x 2 1 x 1

M x 1 2 x 1

a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 2. a) Giải phương trình: 5x² + 8₂ = - x4 x 4-

9 x 3 3 x

 

 

  b) Giải hệ phương trình:

2 2 2

x + x - 1 = y y + y - 1 = z z + z - 1 = x







Bài 3. a) Tìm số nguyên dương n sao cho n⁶+n⁴−n³+1 là số chính phương

b) Cho các số 1; 2; 3; ...; 100. Viết một cách tùy ý 100 số đó nối tiếp nhau theo hàng ngang ta được một số tự nhiên. Hỏi số tự nhiên đó có chia hết cho 2016 hay không?

Bài 4. Gọi BC là dây cung cố định có độ dài bằng R 3 của đường tròn tâm I, bán

kính R và A là điểm thay đổi trên đường tròn sao cho BAC^ nhọn. Gọi M là điểm đối xứng của B qua AC; N là điểm đối xứng của C qua AB; H là giao điểm của BM với CN. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và ACN cắt nhau tại P khác A

a) Tính BAC^ và chứng minh 5 điểm B, H, I, C, P cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng và hai tam giác ABH, APC đồng dạng.

c) Xác định vị trí của A để diện tích tam giác BPC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.

Bài 5. Trên một đường thẳng cho n điểm liên tiếp M , M , M , ..., M (n Z, n 3) ₁ ₂ ₃ _n ∈ ≥ thỏa mãn M M₁ ₂ =M M₂ ₃ = M M₃ ₄ =... M M= _{n 1}₋ _n ≠ 0. Một đoạn thẳng được gọi là "đẹp" nếu hai đầu mút cùng với trung điểm của nó là ba trong số các điểm đã cho. Tìm n biết rằng đường thẳng đó có tất cả 2209 đoạn thẳng "đẹp".

__________________Hết_________________

(14)

Câu 1: ( 2.0 điểm)

Cho biểu thức:

3 16 7 1 3

P 2 3 3 1

x x x x

+ − + −

= − −

+ − + −

( Với x > 0)

1. Rút gọn biểu thức P

2. Tính giá trị của biểu thức P khi

x = 2 2 + 3

. Câu 2: (2.0 điểm)

1. Cho phương trình: 2013x² – (m – 2014)x – 2015, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x¹, x² thoả mãn

x

₁²

+ 2014 − = x

₁

x

₂²

+ 2014 + x

₂

2.Giải phương trình:

1

₂

1

₂

(2 x 1) + (2 x 2) = 3

+ +

Câu 3: (2.0 điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x³ + y³ –x²y – xy² = 5

Câu 4: (3.0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm thuộc cung AB (M

≠

A, M

≠

B) và I là điểm thuộc đoạn OA( I

≠

O, I

≠

A). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM, đường thẳng này cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM với IC, F là giao điểm của BM với ID. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác MEIF là tứ giác nội tiếp 2. EF//AB

3. OM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM và DFM.

Câu 5: (1.0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:

x

²

+ y

² +

y

²

+ z

² + z² +x² = 2014 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x²

y+z ⁺

y

2

z + x

⁺ z2

x+ y

____________________Hết__________________

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh: ………

Chữ ký của giám thị 1: ……… Chữ ký của giám thị 2: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

(15)

Câu 1(2.0 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 ... 1

1 2 2 3 2013 2014

S = + + + + + + + + +

Câu 2(2.0 điểm):

1. Giải phương trình: (x + 1) 2x² −2x = 2x² – 3x – 2 2. Giải hệ phương trình:

(

² ²

) (

²

)

⁶

( 1) 1 xy y x x y

 − + = −



+ = −



Câu 3(2.0 điểm)

1. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1)(p-1) chia hết cho 24.

2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x³ + y³ – 3xy – 3 = 0.

Câu 4 (3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC ngoại tiếp đường tròn (O).

gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; I là giao điểm của BO với EF, M là điểm di động trên đoạn CE.

1. Tính số đo góc BIF

2. Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O); P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài PQ lớn nhất.

Câu 5 (1.0 điểm) Trên bảng cho 2014 số tự nhiên từ 1 đến 2014. Thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau: Mỗi lần xoá đi hai số bất kỳ a, b có trên bảng rồi viết thêm số a + b -

1

2

^{ab vào}

bảng. Khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số thì dừng lại. Tìm số còn lại đó.

_____________________Hết____________________

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 phút

(16)

Bài 1: (2,0 điểm): Cho biểu thức a 2 2 C=a 16− a 4− a 4

− − +

1. Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.

2. Tính giá trị của biểu thức C khi a= +9 4 5 . Bài 2: (2,0 điểm):

Cho hệ phương trình

(

^{m 1 x}

)

^y ²

mx y m 1

− + =



+ = +

 (với m là tham số)

1.Giải hệ phương trình khi m = 2.

2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : x + 2y ≤ 3

Bài 3: (2,0 điểm):

1) Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 2 cắt Parabol (P): y = 2x² tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.

( )

2 2 2 2

1 2 3 1 2 4

A=x x + x +x − 2) Giải hệ phương trình

3

3 x 2y 4 x 2y (1) 2x 6 2y 2 (2)

 + = − −



+ + =



Bài 4: (3,0 điểm): Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên đường tròn (A khác B và C). Gọi AH là đường cao của ∆ABC, đường tròn tâm I đường kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E.

1. Chứng minh rằng : góc DHE bằng 90⁰ và AB. AD = AC . AE

2. Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F. Tính số đo góc GIF

3. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất Bài 5: (1,0 điểm): Cho ba số thực x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức

( )

( ) ( )

2 2 2

xyz x y z x y z

S x y z xy yz zx

+ + + + +

= + + + +

________________H ết______________

(17)

Câu 1: (2 điểm) :

Cho biểu thức: P =

2

3 1 a : 3 1

1 a 1 a

 

+ −  + 

 

 +   − 

a) Rút gọn A;

b) Tìm a sao cho P =

2

1 1 a− Câu 2: (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y=x² và đường thẳng y = mx - (m - 2)² Với m là tham số .

1) Xác định m để đường thẳng và parabol có điểm chung.

2) Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x¹; x² tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : Q = x¹x² + 2x¹ + 2x²

Câu 3:(2 điểm)

Giải phương trình : (x² + 3x + 3)²+( x²+ 3x + 5)⁴= 82 Câu 4 :(3 điểm )

Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm M,N,P Sao cho BM=CN=AP

1) Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau.

2) Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng

3) Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất.

Câu 5: (1 điểm)

Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện : x²⁰¹³ + y²⁰¹³ = 2x¹⁰⁰⁶y¹⁰⁰⁶

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = 1- xy

_________Hết_________

THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn: TOÁN (

chuyên tiếng Nga và Pháp)

(18)

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠ NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn: TOÁN (

chuyên toán)

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho (a – 1) và (1 – b) thỏa mãn phương trình x 2x 2013 0.³+ − = Tính a + b.

Câu 2: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình

(

x 2 x 6x 11−

) (

² + −

) (

² = 5x 10x 1²− +

)

²

2. Giải hệ phương trình:

2

1 1 1 3 x y z

2 1 9

xy z

 + + =



 − =



Câu 3: (2,0 điểm)

Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 36= ^x−5 .^y Câu 4: (3,0 điểm)

Cho ∆ABC cân tại C có CD là đường trung tuyến. Gọi

(

O ;R1 1

)

là đường tròn đường kính AD và

(

O ;R2 2

)

là đường tròn đi qua A, tiếp xúc với CD tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai (khác A) của

(

O ;R1 1

)

với

(

O ;R .2 2

)

1. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đước được.

2. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm A, E, I thẳng hàng. Tính số đo góc BCE biết CD = 2AD

3. Gọi H là giao điểm của O O₁ ₂ và AE . Chứng minh rằng: ¹ ²

1 2

O O

ID ,

IH= R R

+ từ đó

suy ra: E là trọng tâm của ∆ACD khi và chỉ khi 1 2

(

1 2

)

O O 3 R R .

= 2 + Câu 5: (1.0 điểm)

Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm bất kì không cùng nằm trên một đường thẳng. Xét tất cả các đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của P. Chứng minh rằng luôn có ít nhất một đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm của P.

____________Hết___________

(19)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠ NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn: TOÁN (

chuyên tin)

Bài 1: (2,0 điêm)

Tính giá trị biểu thức: P 1 2x 1 2x

1 1 2x 1 1 2x

+ −

= +

+ + − − vớix 3.

= 4 Bài 2: (2,0 điểm)

1. Cho phương trình ^mx²−

(

m 3 x 2m 1 0+

)

+ + = với m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x¹, x² thỏa mãn hệ thức:

(

2 x x 2 x x+ −1 2

)(

− +1 2

)

=0.

2. Giải phương trình:

( )

2 2

2

x 25x 11.

+ x 5 = + Bài 3: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu m là số nguyên và a là nghiệm nguyên của phương trình

( )

4 3 2

x 4x− + +3 m x x m 0− + = thì a là một số chẵn.

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thức tự đó thỏa mãn điều kiện AB < AC.

Trong nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC dựng các nữa đường tròn đường kính AC, AB, BC có tâm lần lượt O,O ,O . Đường thẳng qua B vuông góc với AC cắt nữa đường ₁ ₂ tròn đường kính AC ở D. Các điểm E,F phân biệt lần lượt nằm trên các nữa đường tròn đường kính AB và BC sao cho đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai nữa đường tròn đó. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác AEFC nội tiếp trong một đường tròn 2. OD EF⊥

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 5x 4y 3z 2xyz 60.² + ²+ ²+ = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x y z.= + +

_______________Hết_______________

(20)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang)

Đề số 18

KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn thi : TOÁN

(Môn chung cho tất cảc thí sinh)

Thời gian làm bà :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17 tháng 6 năm 2012

Câu 1(2.0 điểm ) : Cho biểu thức ¹ ¹ 4 ¹

1 1 2

a a

P a

a a a a

 + − 

= − − + +  , (Với a > 0 , a ạ 1) 1. Chứng minh rằng : ²

P 1

= a

− 2. Tìm giá trị của a để P = a

Câu 2(2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x² và đờng thẳng (d) : y = 2x + 3

1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phơng trình : x² + 2mx + m² – 2m + 4 = 0

1. Giải phương trình khi m = 4

2. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 4(3.0 điểm) : Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đờng tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đờng thẳng AC tại C. CD là đờng kính của (I). Chứng minh rằng

1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng 2. Tam giác COD là tam giác cân

3. Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đờng tròn (O)

Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dơng không âm thoả mãn : a²+b²+c² =3

Chứng minh rằng : ₂ ₂ ₂ ¹

2 3 2 3 2 3 2

a b c

a b +b c +c a ≤

+ + + + + +

--- Hết ---

(21)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang)

Đề số 19

KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn thi : TOÁN (Chuyên Tin)

Thời gian làm bà :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 18 tháng 6 năm 2012

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho

1 1 1

, , ,

a x b y c xy

x y xy

= + = + = +

với các số thực

x y ,

thỏa mãn

xy ≠ 0.

Chứng minh

A = a

²

+ + − b

²

c

²

abc

không phụ thuộc vào

x y , .

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x²−(2m+1)x+m² + − =m 6 0. Tìm các giá trị của

m

để phương trình đã cho có hai nghiệm

x x

₁

,

₂ thoả mãn

x

₁³

− x

₂³

= 35.

b) Giải hệ phương trình: 3 2 1

0

x y x y

 + − + = −



+ + − =

 ^.

Câu 3: (2,0 điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

y

³

= + + 1 x x

²

+ x

³. Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác

ABC

có ba góc nhọn,

AK

là đường cao và

H

là trực tâm của tam giác.

Gọi

I

là trung điểm cạnh

BC

. Đường tròn đường kính

BC

và đường tròn đường kính

AI

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

E

và

F

. Chứng minh rằng:

a)

KA

là phân giác của EKF.

b) Đường tròn đi qua ba điểm

E K H , ,

tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. c) Ba điểm

E H F , ,

thẳng hàng.

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho x y, là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:

x + = y 1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

x y

P= x + y

− − ^.

--- Hết---

Họ tên và chữ ký của giám thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2 ... ...

(22)

Câu 1: (2.0 điểm )

Cho biểu thức : ² : ²

2 2

 

= + +  +

x x

P x x x x (Với x > 0 )

1. Rút gọn biểu thức P 2. Tìm giá trị của x để P = 3 Câu 2: (2.0 điểm )

Cho hệ phương trình: x my 3m₂

mx y m 2

+ =

 − = −

 1. Giải hệ phương trình với m = 3

2. Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất thỏa mãn x² – x – y > 0 Câu 3: (2.0 điểm )

Giải phương trình:

2 2 2

2

x 1 x 1 x 1

4 3 0

x 2 x 2 x 2

−  −  +

  − +   =

 +   −   − 

     

Câu 4: . (3.0 điểm ) Cho ba điểm A; B; C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó, sao cho: AB

≠ BC. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các hình vuông ABDE và BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng đi qua I và vuông góc với EF cắt đường thẳng BD và AB lần lượt tại M và n. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác AEIN và EMDI là các tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

2. ba điểm A; I; D thẳng hàngvà năm điểm B; N; E; N; F cùng nằm trên một đường tròn.

3. Các đường thẳng AK, EF, CD đồng quy.

Câu 5: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ₂

x

³ ₂ ₂

y

³ ₂ ₂

z

³ ₂

S = x xy y + y yz z + z zx x

+ + + + + +

__________________Hết_________________

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

(23)

Môn: TOÁN (Chuyên Nga Pháp) Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2.0 điểm )

Cho biểu thức : ² ³ ² : 2

5 6 2 3 1

x x x x

A x x x x x

 + + +   

= − + − − − −     − +  1/ Rút gọn biểu thức A.

2/ Tìm các giá trị của x để ¹ ⁵ 2 A≤ − Câu 2 (2,0 điểm )

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax²

( a ≠ 0 )

và đường thẳng (d): y

= bx + 1

1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

Câu 3 (2.0 điểm)

1/ Cho phương trình:

x

²

− (2 m + 1) x m +

²

+ − = m 6 0

(m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

2/ Giải hệ phương trình:

1 1 2

1 1 1

x y

 − + − =



 + =



Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.

1/ Chứng minh rằng: MO = MA

2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:

a)

AB + AC − BC

không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC Câu 5 (1.0 điểm)

Cho x, y là các số thực dương thoả mãn :

1 2

x + = y 2

. Chứng minh rằng :

2 2

5 x + − y 4 xy + y ≥ 3

--- Hết ---

(24)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Câu 1: (2.0 điểm)

Cho

𝑎 = 𝑥 +

¹_𝑥

, 𝑏 = 𝑦 +

¹_𝑦

, 𝑐 = 𝑥𝑦 +

_𝑥𝑦¹, với các số thực x,y thỏa mãn xy ≠ 0.

Tính giá trị biểu thức A = a²+b² +c² – abc.

Câu 2: (2.0 điểm)

Cho phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) = mx² (m là tham số).

Giả sử m nhận các giá trị sao cho phương trình có 4 nghiệm x^1,x^2,x^3,x⁴ đều khác 0.

Chứng minh rằng biểu thức 1

𝑥₁

+

_𝑥¹

2

+

_𝑥¹

3

+

_𝑥¹

4 không phụ thuộc m.

Câu 3: (2.0 điểm)

Tìm số nguyên dương n sao cho 𝑛(2𝑛−1)

26 là số chính phương.

Câu 4: (3.0 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (I), (K) lần lượt là các đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH. Đường thẳng KI cắt cạnh AB tại M và cạnh AC tại N.

a) Chứng minh 𝐼𝐻

𝐾𝐻

=

^𝐵𝐻_𝐴𝐻^.

b) Chứng minh rằng AM = AN.

2) Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trên cạnh AB (D ≠ A,B), trung tuyến AM cắt CD tại E. Chứng minh rằn nếu

𝐷𝐵𝑀 �

+

𝐷𝐸𝑀 �

= 180⁰ thì BC < AC

√2

^.

Câu 5: (1.0 điểm)

Cho x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn:

�𝑥 > 1, 𝑦 > 1 𝑥 + 𝑦 ≤ 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 𝑥⁴

(𝑦−1)³

+

_(x−1)^𝑦⁴ ₃^.

...Hết...

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh:...

Họ tên và chữ ký của giám thị 1 Họ tên và chữ kí của giám thị 2

(25)

Câu I (2,5 điểm)

1. Giải phương trình: 2−x=⁴17−4 2x³ −8 2x

2. Chứng minh rằng: 2

2

2 12 17 2 12

17 ⁴

4

− = + +

Câu II: (2 điểm) Giải phương trình:

(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) = 12x² Câu III (1,5 điểm)

Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: x² +x+2y² +y=2xy² +xy+3 Câu IV : (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC tại I. CMR :

a) Tam giác DIE vuông

b) Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định.

Câu V: (1 điểm)

Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 19 6 2011( 4 4)

2

2 a b

b a

ab + +

+ +

____________Hết___________

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

(26)

Câu 1: (2.0đ)

Cho biểu thức:

3 3 2 1

2 3 3 2

11 15

+

− +

− + −

− +

= −

x x x

x x

x A x

1/ Rút gọn biểu thức (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) 2/ Chứng minh ²

A≤ 3 Câu 2: (2.0đ)

Cho parabol (P) y = ² 2

1x và đường thẳng y = mx –m + 2 (m là tham số) 1/ Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4.

2, Chứng minh với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm.

Câu 3: (2.0đ)

1, Giải hệ phương trình

2 3 12 5 2

19 x y

x y

 + =



 + =



2, Giải phương trình :

2

3 6 2

9 x x

x

+ =

− Câu 4: (3.0đ)

Gọi C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB. ( C ≠ A, C ≠ B). Trên nữa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I ≠ A. Đường thẳng vuộng góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đương kính CI cắt IK tại P.

1, CM:

a, Tg CPKB nội tiếp được trong một đường tròn.

b, ∆ APB vuông tại P.

2, A, I, B cố định . XĐ vị trí của C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) sao cho tg ABKI có diện tích lớn nhất?

Câu 5: (1.0đ)

Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P biết

b ac

ca a

bc bc c

ab P ab

2 2

2 + +

+ +

= +

____________Hết___________

(27)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Môn: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2,0 điểm)

1. Giải phơng trình:

x

³

+ 3 x − 140 = 0

_.

2. Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức:

P =

³

70 + 4901 +

³

70 − 4901

. Câu 2: (2,5 điểm)

1. Cho parabol (P):

1

²

= 4

y x

và đờng thẳng (d): y = -1. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (P). Tìm trên trục tung tất cả các điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm đó bằng khoảng cách từ M đến đờng thẳng (d).

2. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b + c ≥ 16abc. Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 3: (1,5 điểm)

Giải hệ phơng trình sau (với x > 0, y < 0):

2 2

1 10 10 1

3 3

82 9

 + + − + = + +

 

 + =



x x y y

y y

x y

Câu4: (3,0 điểm)

Tam giác ABC có

BAC  = 105

⁰, đờng trung tuyến BM và đờng phân giác trong CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Gọi H là chân đờng cao hạ từ A của tam giác ABC.

1. Chứng minh rằng: HA = HB.

2. Tính số đo các góc

 ABC

_và

 ACB

_.

Câu 5: (1,0 điểm)

Ký hiệu [x] là phần nguyên của số thực x. Tìm các số thực x thoả mãn:

8 1 4 1 16 7

6 3 9

x + x − x −

   +  =

   

   

_.

--- Hết ---

(28)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Môn: TOÁN (Tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I: ( 2 điểm )

Cho biểu thức: A =

6 1 10

: 2

4 3 6 2 2

 − +   − + − 

 − − +   + 

   

x x

x x x x x x x

1) Rút gọn biểu thức A 2). Tìm x sao cho A < 2

Câu II : ( 2 điểm ) Cho x¹ và x² là hai nghiệm của phương trình : x² – 7x + 3 = 0 1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x¹ -x² và 2x² -x¹

2) Tính giá trị của biểu thức : B =

2 x

₁

− x

₂

+ 2 x