Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Thái Bình có lời giải chi tiết

(1)



T rịnh Bình sưu tầm tổng hợp

BỘ ĐỀ THI VÀO LỚP 10

CHUYÊN MÔN TOÁN THÁI BÌNH

Thanh Hóa, ngày 31 tháng 3 năm 2020

(2)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 1

Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức: ₌^ ² _{+ +}¹ ¹^_⋅

(

⁺

)

⁻

 

  +

 

xy x y xy

P xy x y x x y y ^(vớix>0;y>0).

1. Rút gọn biểu thức P.

2. Biết xy =16. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 2. (1,0 điểm) Hai lớp 9A và 9B của một trường quyên góp sách ủng hộ. Trung bình mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 5 quyển, mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 6 quyển nên cả hai lớp ủng hộ 493 quyển. Tính số học sinh mỗi lớp biết tổng số học sinh của hai lớp là 90.

Câu 3. (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

2

( ) :d1 y=(m +1)x−2m và (d₂) :y=(m+3)x− −m 2 (m là tham số).

1. Tìm m để ( )d₁ song song với (d₂).

2. Chứng minh: với mọi m đường thẳng (d₂) luôn đi qua một điểm cố định.

3. Tìm m để ( ), (d₁ d₂) cắt nhau tại M x( _M;y_M) thỏa mãn A=2020x_M(y_M +2) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

3 3 2 2

2

( 1) ( 1) 0

4 4 2 7

 − + − − + =



+ + = + +



x y x y y x

x y x y

Câu 5. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, vẽ AH vuông góc với BC tại H, vẽ đường kính AD cắt BC tại I, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho IM song song với CD.

1. Chứng minh: Tứ giác AHIM nội tiếp một đường tròn.

2. Chứng minh: AB AC. = AH AD. .

3. Chứng minh: HM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH.

4. Chứng minh: AB CD. + AC BD. <4R².

Câu 6. (0,5 điểm) Xét các số thực a b c a; ; ( ≠0) sao cho phương trình bậc hai

2+ + =0

ax bx c có hai nghiệm m n; thỏa mãn: 0≤ ≤m 1;0≤ ≤n 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 ²−₂ −2 +

= − +

a ac ab bc

Q a ab ac

---Hết---

Họ và tên ...Số báo danh ...

Đề chính thức

(3)

MÔN THI: TOÁN

(Dành cho học sinh chuyên toán tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 2

Câu 1. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b khác 0 thỏa mãn: 1 1 a + =b 1.

1. Tính giá trị biểu thức

(

² ²

)

²

4 4

4 . a b

A a b ab

= − +

2. Chứng minh rằng:

(

^a^{+ −}^b ²

) (

³⁻ ^a⁻¹

) (

³⁻ ^b⁻¹

)

³⁻³

(

^a⁺^b

)

^{+ =}⁶ ^0.

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: ^x^{+ −}² ² ^x^{− =}¹ ³^x⁻³

(

^x⁺²

)(

^x⁻¹

)

2. Giải hệ phương trình:

( ) ( )

2 2 4 3

3 4 4 1 2 0

y x y x

x y y x

 + + = +



− + + − − + =



Câu 3. (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Trên cung nhỏ AD lấy điểm E bất kì (E không trùng với A và D). Tia EB cắt các đường thẳng AD, AC lần lượt tại I và K. Tia EC cắt các đường thẳng DA, DB lần lượt tại M và N. Hai đường thẳng AN, DK cắt nhau tại P.

1. Chứng minh: Tứ giác EPND nội tiếp một đường tròn 2. Chứng minh: ∠EKM = ∠DKM.

3. Khi M là trung điểm của AD, tính độ dài đoạn thẳng AE theo R.

Câu 4. (1,0 điểm)

Tìm các nghiệm nguyên (x, y) của phương trình x+ y = 2020.

Câu 5. (1,5 điểm)

1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn

0 , b, c 1 2

2 3 4 3

a

a b c

 < <



 + + =



. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

(

³ ²⁴ ²

) (

⁴ ⁹⁸ ³

) (

² ⁸³ ¹

)

P= a b c +b a c +c a b

+ − + − + −

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm ^{M a b}

( )

^; được gọi là điểm nguyên nếu cả a và b đều là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại điểm I trong mặt phẳng tọa độ và 2019 số thực dương R R₁; ₂;....R₂₀₁₉sao cho có đúng k điểm nguyên nằm trong đường tròn

(

I R^; k

)

với mọi k là số nguyên dương không vượt quá 2019.

---Hết---

(4)

MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh)

Câu 1. Cho biểu thức: ⁴ ^{1 :} ¹

(

^0; ^1; ⁴

)

3 2 2 3 1

 − 

= − + +  − + ≥ ≠ ≠

P x x x x

x x x x

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tìm x sao cho P = 2019.

3) Với x ≥ 5, tìm giá trị nhỏ nhất của T = +P ¹⁰. x

Câu 2. Cho hai đường thẳng (d¹): y = mx + n và (d²): y= − ¹ x+ ¹

m m ( với m là tham số, m ≠ 0). Gọi là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d¹ và d². Tính T =x₀²+ y₀².

Câu 3.

Gọi x¹, x² là hai nghiệm phương trình: ^x²^{+ −}

(

² ^{m x}

)

^{− − =}¹ ^m ⁰

( )

¹ (với m là tham số) a) Tìm m để : x₁−x₂ =2 2

b) Tìm m để :

(

1

) (

² 2

)

²

1 1

= +

+ +

T

x x đạt giá trị nhỏ nhất Câu 4.

a) Giải phương trình :

4 x + 8072 + 9 x + 18162 = 5

_.

b) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2

3 6 3 4 0

3 1

 − + + − + =

 

+ − =



x y x x y

x y x

Câu 5: Cho đường tròn O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là giao điểm của MN và JO.

a) Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK.

b) Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a.

c) JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r.

d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Câu 5:Cho x y z, , là ba số thực không âm thỏa mãn :

12 x + 10 y + 15 z ≤ 60

.Tìm giá trị

lớn nhất của .

---Hết---

2 2 2

4 4

T = x + y + z − x − y − z

(5)

MÔN THI: TOÁN

Câu 1. (2,0 diểm)

1) Cho phương trình x²−2mx+m²−2m+ =4 0 (1)(với m là tham số). Tìm mđể phương trình (1) có hai nghiệm không âm x x₁; ₂. Tính theo m giá trị của biểu thức

1 2

P= x + x và tìm giá trị nhỏ nhất của P 2) Cho hàm số ² 2

2 . y x

x

= +

+ Tìm tất cả các giá trị xnguyên.

Câu 2 (2 điểm)

1) Cho các số a b c; ; thỏa mãn điều kiện a+2b+5c=0.Chứng minh phương trình

2 0

ax +bx+ =c có nghiệm

2) Giải phương trình:

(

⁴^x³^{− +}^x ³

)

³⁼ ^x³^:³₂

Câu 3. (1 điểm) Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với tốc độ đều trong 3 giờ, cây nến thứ hai cháy hết với tốc độ đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều để 4 giờ chiều phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất?

Câu 4. (1,0 điểm) Cho biểu thức

(

^x⁺ ¹⁺^x²

)(

^y⁺ ¹⁺^y²

)

⁼^2018.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= +x y

Câu 5 (3,5 điểm)

1) Cho tam giác ABCcó AB=4,AC =3,BC =5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F.

a) Tính diện tích nửa đường tròn đườn kính BH

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH

2) Cho nửa đường tròn đường kính AB=2 .R Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc đường tròn , hai đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho điện tích MNPQ lớn nhất

Câu 6 (0,5 điểm) Cho a,b,c là ba số thức dương thỏa mãn điều kiện : 1₂ 1₂ 1₂ a +b +c =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

1 1 1

5 2 2 5 2 2 5 2 2

P

a ab b b bc c c ca a

= + +

+ + + + + +

---Hết---

(6)

MÔN THI: TOÁN (Dành cho mọi thí sinh)

Câu 1. (2.0 điểm). Cho 1 3 5



¹



²

1 1 4 1

x x

A x x x x x x

 

 

   

  

          

với x 0;x 1. a) Rút gọn biểu thức A.

b) Đặt ^B ^



^x ^ ^x ^¹



^A. Chứng minh rằng B1 với x 0;x 1. Câu 2. (2.0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y x² và đường thẳng (d):

2 2 8

y  x  m (với m là tham số).

a) Khi m = – 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) .

b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x₁; ₂. Tìm các giá trị m thỏa mãn điều kiện x₁ 2x₂ 2.

Câu 3. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2 2 2 3

4 1 0

xy y x x

x y y

    

    

Câu 4. (1.0 điểm) Cho quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất 

phát từ A đến B, xe ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút.

Câu 5. (3.5 điểm) Cho đường tròn

 

^{O R}^; có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kỳ trên

 

^O , C không trùng với A, B. Tiếp tuyến tại C của

 

^{O R}^; cắt tiếp tuyến tại A, B của

 

^{O R}^;

lần lượt tại P, Q. Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP.BQ MN². b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ.

c) Chứng minh rằng PMNQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất.

Câu 6. (0.5 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 8t² mt 1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

     

2 2 2 2 2 2

y z z x x y

P  x y z y z x z x y

   .

---Hết---

(7)

MÔN THI: TOÁN

Câu 1(2.0 điểm).

1) Cho a, b là hai số thực bất kỳ. Chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình ẩn x sau vô nghiệm:

2 2 2

2 2

2 2 1 0

2 3 0

x ax a b

x bx b ab

    

   

2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x   y z 0và x² Tính giá trị biểu thức: P ₂ ^x²₂ ₂ ₂ ^y²₂ ₂ ₂ ^z²₂ ₂

y z x z x y x y z

  

     

Câu 2(2.5 điểm).

1) Giải phương trình 4x² 1₂ 2 2x 1 20 0 x x

   

       

   

 

   

2) Giải hệ phương trình ² ²

 

2 2

4 2 1 4 4

3 2 1 2 3

x y xy xy

x y

x y y y y x

  

 

      

  

   

       



Câu 3(1.0 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên

 

^{x y}^; thỏa mãn phương trình x³ y³ 6xy 3

Câu 4(3.0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có hai tia BA và CD cắt nhau tại E, hai tia AD và BC cắt nhau tại F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Các đường phân giác trong của các gócBEC^và gócBFA^cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rằng DEFDFE ABC và tam giác EKF là tam giác vuông b) Chứng minh rằng EM.BDEN.AC

c) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng Câu 5(1.5 điểm).

1) Cho các số thực dương a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:

1 1 1 3

3 2 3 2 3 2 5

a a b b b c c c a  abc

  

2) Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại. Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5

---Hết---

(8)

MÔN THI: TOÁN

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình ⁵^x⁻

(

^x⁺³

)

²^x^{− − =}^{1 1} ⁰

2) Cho hai số thực a, b bất kì. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: ^x² ⁺²^ax⁺³^ab⁼⁰

( )

¹ ^x²⁺²^bx⁻⁸^ab⁼⁰

( )

²

Câu 2 (2,5 điểm)

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 9x² +3y² +6xy−6x+2y−35=0

2) Cho P(x) là đa thức bậc ba có hệ số bậc cao nhất nhất bằng 1 và thỏa mãn:

P(2016) = 2017, P(2017) = 2018. Tính giá trị của -3P(2018) + P(2019) Câu 3 (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình: ³ ⁴

(

⁴

)

2 2

8 2 2 2 3

2 2 2 9 2 19

y x y x

x x y x y x x y

 + − = +



 + + + + = − +

 Câu 4 (3,0 điểm)

Từ một điểm I nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến IA, IB (A, B là các tiếp điểm) và vẽ tiếp tuyến ICD (không qua tâm O) với đường tròn (C nằm giữa I và D).

1. Chứng minh rằng: AC.BD = AD.BC

2. Gọi K là giao điểm của CD và AB, E là trung điểm của OI.

Chứng minh rằng KA.KB = OE² – EK².

3. Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh: ∠ADH = ∠IDB Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số thực x≥1,y≥1,z≥1và thỏa mãn 3x² +4y² +5z² =52 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x + y + z.

---Hết---

(9)

MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh)

Bài 1 (3,0 điểm).

Cho biểu thức:

x x x

x x

x x x P x

+

− +

− + −

=2 +2 1 ²

(

x>0;x≠1

)

.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi x=3−2 2

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P 7 chỉ nhận một giá trị nguyên.

Bài 2 (2,0 điểm).

Cho phương trình x² – 2mx + (m – 1)³ = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = –1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.

Bài 3 (1,0 điểm).

Giải phương trình: 1 0.

9 2

2 9

2 2 − =

+ +

x x x

Bài 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC.

a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

c) Chứng minh  HAM =HBO

d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.

Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

2 3 1 1 1 1 1 1

2 2

2

≥

+ + + +

+ b c

a

---Hết---

(10)

MÔN THI: TOÁN

(Dành cho học sinh chuyên toán, tin) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề số 9

Bài 1 (1,5 điểm) Cho phương trình: 2x² −mx− =1 0 (với m là tham số).

a) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x¹, x² thỏa mãn x₁² −4x₂² =0 b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x <1 Bài 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: ² 17 1

18 2 9 0.

3 3

x − x− + x− = b) Tìm các số nguyên x, y với x y, ≥0thỏa mãn:

2 2

3 4 4 10 12 0.

x + y + xy+ x+ y− =

Bài 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

( )

²

( )

2

1 1 4 3

4 2 1

x y x y x y

x xy

 − + + = − + −



+ =



Bài 4. (1,0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x² +y² −4x− =2 0. Chứng minh:

2 2

10 4 6− ≤x + y ≤4 6 10.+

Bài 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M (M khác A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại N (N khác C). Gọi K là giao điểm MN với BC.

a) Chứng minh tam giác KCN cân.

b) Chứng minh OK vuông góc BM.

c) Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng.

Bài 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài AB = 3a, AC = 4a và góc ∠BAC =60^o . Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H. Tính độ dài đoạn AH theo a.

Bài 7. (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

( )

2 2 2

9 9

2 2.

b c a

a + b + c + ab bc ca ≥ + +

---Hết---

(11)

MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh)

Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 3 5 7 2 3 :

2 2 1 2 3 2 5 10

x x

A

x x x x x x

 −  +

= − + + − − −  − (x > 0, x ≠ 4) 1, Rút gọn biểu thức A.

2, Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

Bài 2. (2, 5 điểm) Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + 2 ( m là tham số, m ∈ℝ).

1, Với m = –5 tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).

2, Chứng minh rằng: với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.

3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m Bài 3. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2₂² 3 2₂² 5(2 ) 0

2 3 15 0

x xy y x y

x xy y

 + − − − =



− − + =



Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A.

1, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT.

2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC

3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm.

4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC.

Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1)

≤ 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1

1 1 1

B= x y + y z +z x

+ + + + + +

---Hết---

(12)

MÔN THI: TOÁN (Dành cho chuyên toán, tin)

Bài 1. (3,0 điểm)

1) Giải phương trình: 5x− +6 10 3− x =2x²− −x 2 2) Giải hệ phương trình:

3 2

2 2

8 96

32 48

x xy y

x y

 + =



+ =



Bài 2. (2,0 điểm)

1) Cho phương trình x² – 2x – 4 = 0 có hai nghiệm x¹; x². Tính S =x₁⁷ +x₂⁷

2) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a² + ab + b²= c² + cd + d². Chứng minh a + b + c + d là hợp số.

Bài 3. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1.

Chứng minh: ³

2 a bc b ca c ab a bc b ca c ab

− + − + − ≤

+ + +

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD với A, C cố địnhvà B, D di động. Đường phân giác của góc BCD cắt AB và AD theo thứ tự tại I và J (J nằm giữa A và D). Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ.

1) Chứng minh AO là phân giác góc IAJ.

2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đường tròn.

3) Tìm đường tròn cố định luôn đi qua M khi B, D di động.

Bài 5. (1,0 điểm)

Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chi hết cho 11

---Hết---

(13)

MÔN THI: TOÁN (Dành cho chuyên toán, tin)

Bài 1.(2 điểm) Cho biểu thức 1 1

( 4)

2 2 4

P x x

x x x

 

= + + − + −  − ^vớix≥0;x≠4 1) Rút gọn biểu thưc P

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 2. (2 điểm) Cho hệ phương trình : 1(1) 6(2) mx y

x my m

 − =

 + = +

 (với m là tham số)

1) giải hệ phương trình với m=1

2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn 3x− =y 1 Bài 3 (2 điểm)

1) Cho phương trình bậc hai :x²−(2m−1)x+m²− − =m 6 0 (với m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x x₁; ₂với mọi giá trị của m. Tìm m để :

1 2

5 x x 5

− < < <

2) Giải phương trình: (x+2)(x−3)(x²+2x−24) 16= x²

Bài 4. (3.5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên đường thẳng BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC sao cho MB >MC và hình chiếu vuông góc của M trên AB là điểm P ( P giữa A và B). Kẻ MQ vuông góc với đường thẳng AC tại Q.

1.Chứng minh bốn điểm A,P,Q,M cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

2.Chứng minh BA.BP = BM.BH 3. Chứng minh OH vuông góc với PQ 4. Chứng minh PQ >AH

Bài 5. (0.5 điểm) Giải phương trình: ³ ³

2 2

2013 1 2013 1

2 2014 2013 1

2 2

x x

x x x

x x

− −

+ − − = + − +

− −

---Hết---

(14)

MÔN THI: TOÁN (Dành cho chuyên toán, tin)

Câu 1. (2,5 điểm)

a) Tính ^A⁼

(

⁴⁺ ¹⁵

)(

¹⁰⁻ ⁶

)

⁴⁻ ¹⁵

b) Giải hệ phương trình

( )

2 2

1 2

2 2 1

x y x y

y x y y

 + + = +

 − = +



Câu 2. (1,5 điểm)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

a b c

P= b a + c b+ a c

+ − + − + −

Câu 3. (2,0 điểm) Cho m, n là hai số nguyên dương thỏa mãn m + n – 1 là số nguyên tố và m + n – 1 là ước của ²

(

^m² ⁺ⁿ²

)

⁻¹

Chứng minh m = n.

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O). Đường tròn tâm J đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và AEF. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

a) Tiếp tuyến tại A của (O) song song với EF b) Ba điểm A, I, H thẳng hàng.

c) KH,EF, IJ đồng quy

Câu 5: (1,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, CD là một dây cung của đường tròn (A, B, C, D là bốn điểm phân biệt). M là điểm bất kì di động trên công nhỏ CD, gọi I, J lần lượt là giao điểm của MA, MB với dây cung CD.

Xác định vị trí của điểm M để đoạn IJ có độ dài lớn nhất

---Hết---

(15)

HƯỚNG DẪN GIẢI Đề số 1

Câu 1:

a) Ta có:

( )

( )( )

( )

²

2 2 1

. .

. 1

xy x y xy

xy x y xy x y

P xy x y x y xy xy x y

x y x y

xy x y xy

+ + + − + +

= =

+ + − +

+ +

= =

+

b) Với x > 0; y > 0 xy = 16 ta có:

2 1

4 4 2

x y xy

x y

P +

= ≥ = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = y = 4.

Câu 2:

Gọi số học sinh lớp 9A là x (0 < x < 90) Suy ra số học sinh lớp 9B là 90 – x

Theo bài ra ta có: 5x + 6.(90 – x) = 493 nên x = 47

Kết luận: số hoc sinh lớp 9A là 47, số học sinh lớp 9B là 43.

Câu 3.

1) Điều kiện (d¹) //(d²) là ² ²

1 3 2 0 2

1 1

2 2 2

2

m m m m m

m m

m m m

m

 =

 + = + ⇔ − − = ⇔ = − ⇔ = −

− ≠ − −  ≠ 

   ≠

2) Gọi M x y

(

0; 0

)

là điểm cố định mà đường thẳng (d²) luôn đi qua

( )

0 3 0 2

m R y m x m

∀ ∈ ⇒ = + − − đúng ∀ ∈m R

(

0 1

)

3 0 2 0 0

m x x y

⇔ − + − − = đúng ∀ ∈m R

0 0

0 0 0

1 0 1

3 2 0 1

x x

x y y

 − =  =

⇔ − − = ⇔ =

Vậy với mọi m đường thẳng (d²) luôn đi qua M(1;1) cố định.

3) Phương trình hoành độ giao điểm (d¹) và (d²):

(

^m² ⁺¹

)

^x⁻²^m⁼

(

^m⁺³

)

^x^{− − ⇔}^m ²

(

^m⁺¹

)(

^m⁻²

)

^x^{= −}^m ²

Để (d¹), (d²) cắt nhau tại M(x^M,y^M) thì 1 2 m

m

 ≠ −

⇔  ≠

(16)

Khi đó: ¹

(

³

)

¹ ² ² ² ¹

1 1 1

M M

m m

x y m m

m m m

− − +

= ⇒ = + − − =

+ + +

( )

( ) ( )

2 2

3 2 6

2020 2 2020 1010.

1 1

2 1 4 1 4 4 4 2

1010. 1010. 2 1010 1 3 3030

1 1

M M

m m

A x y

m m

− − +

= + = =

+ +

   

− + + + +  

= + = − + + + + =  + +  − ≥ − Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là -3030 khi m = -3

Câu 4.

Điều kiện: y≥ −4

Từ

( )

¹

(

² ²

) (

¹

)

⁰ ² ² ⁰

1 0 x y x y x y

x y

 + =

⇒ + − − = ⇔  − − = Trường hợp 1: x² +y² = ⇔ = =0 x y 0

Trường hợp 2: x− − = ⇒ = −y 1 0 y x 1

Thay vào (2) ta có: ^x² ⁺⁴ ^x^{+ =}³ ³^x⁺⁶

(

^x^{≥ −}³

)

( ) ( )

2 2 2

2 1 3 4 3 4

1 3 2

x x x x

x x

⇔ − + = + − + +

⇔ − = + −

( ) ( )

2 2

2

1 1 3 2 0 3

3 2 1

3 2 1 3 2 2

x x x x

x x

x L do x

⇔ − = − + + > ∀ ≥ −

+ +

 =

⇔

 + + = + + ≥



Vậy hệ có nghiệm

( ) ( )

^{x y}^, ⁼ ^{1; 0}

Câu 5:

(17)

1) Ta có ∠ACD=90⁰ (góc nội tiếp chắn nử đường tròn) Vì IM //CD nên ∠AMI = ∠ACD=90^o

Nên ∠AMI+ ∠AHI =180^o ⇒tứ giác AHIM nội tiếp 2) Xét hai tam giác AHB và ACD có

90^o AHB ACD

∠ = ∠ =

ABH ADC

∠ = ∠ (2 góc nội tiếp cùng chắn một cung) Suy ra hai tam giác AHB và ACD đồng dạng.

. .

AB HA

AB AC AH AD AD CA

⇒ = ⇒ =

3) Gọi đường tròn O’ ngoại tiếp tam giác ABH

Vì tam giác ABH vuông nên O’ là trung điểm của AB Tam giác AO’H cân tại O’ nên ^∠^{O HA}^' ^{= ∠}^{O AH}^'

( )

¹

AHM AIM

∠ = ∠ (2 góc nội tiếp cùng chắn một cung)

AIM ADC

∠ = ∠ (đồng vị)

ADC ABH

∠ = ∠ (2 góc nội tiếp cùng chắn một cung) Nên^∠^AHM ^{= ∠}^ABH

( )

²

Từ (1) và (2) ⇒ ∠O HA' + ∠AHM = ∠O AH' + ∠ABH =90^o '

MH O H HM

⇒ ⊥ ⇒ Là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH.

4) Ta có hai tam giác AHB và ACD đồng dạng

. .

AB CD BH AD

⇒ =

Chứng minh tương tự như trên ta có hai tam giác AHC và ABD đồng dạng

. .

AC BD AD HC

⇒ =

( )

. . . .

AC BD AB CD AD HC BH AD AD HC HB AD BC

⇒ + = + = + =

2 ; 2 . . 4 2

Do BC< R AD= R⇒ AC BD+AB CD< R

(18)

Câu 6.

2 0

ax +bx+ =c Có nghiệm m, n nên

m n b a mn c

a

 + = −



 =



( )( ) ( )( )

2

2 2

1 2

2 1 2

2 2

1 1

b c

a b a c m n mn

a ac ab bc a a

Q a ab ac a ab ac b c m n mn

a a

 −  − 

  

− − + + −

− − +   

= = = =

+ + +

− + − + − +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1; 0 1 1

1 1 1 0

1 1 3

1 1 1 4

1 1

3 3

Do m n mn

m n n m mn

mn m n

Q Q

mn m n

m n m n

 ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ⇒  − + − + − ≤

 ≤

 + +

⇒ ≤ + + ⇒ ≥ + + + + + ⇔ ≥



Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 3

4khi a b c 0 a c + + =

 =



Đề số 2

Câu 1.

1) Ta có:

2 2

2 2 2 2

2

4 1 1 4

1 1 1 1 4

1 1 4

1 1 1

a b

A a b ab a b ab

a b a b ab

a b ab a b

 −   

=  + = −  +

 

  

= −  +  +

 

= −  +

 

= + 

=

2) Từ giả thiết:

( )( )

1 1

1 a b ab ab a b 1 1 a 1 b 1 1

a+ = ⇒ + =b ⇒ − − + = ⇔ − − = Áp dụng hằng đẳng thức:

(

^x⁺ ^y

)

³ ⁼ ^x³ ⁺^y³ ⁺³^{xy x}

(

⁺^y

)

(19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

2 3 3

3 3 3

1 1 1 1 3 1 1 1 1

2 1 1 3 2

2 1 1 3 6 0

a b a b a b a b

a b a b a b

⇒ − + −  = − + − + − −  − + − 

⇒ + − = − + − + + −

⇔ + − − − − − − + + =

Câu 2.

1) Điều kiện x≥1

( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 1 3 3 2 1

2 2 1 2 2 1 3 2 1

x x x x x

x x x x x x

+ − − = − + −

⇔ + − − = + + − − + −

Đặt ^a⁼ ^x⁺^2;^b⁼ ^x⁻¹

(

^{a b}^; ^≥⁰

)

Ta được phương trình:

( )( )

2 2 2

2 2 3 2 1 0

1 a b

a b a b ab a b a b

a b

 =

− = + − ⇔ − − − = ⇔  = +

Với a=2b⇒ x+ =2 2 x− ⇔ =1 x 2

Với a= + ⇒b 1 x+ =2 x− + ⇔ + = +1 1 x 2 x 2 x− ⇔ =1 x 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

2) Điều kiện x≥1;y≥ −4;x² + ≥y 0 Biến đổi phương trình (1):

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2

2

1 2 1 4 4

1 2 1

3 1

x y x y x x

x y x

x y x L x

⇔ + + + + = + +

 + = +

⇔ + + = + ⇔

 + = − − ≥



Với x² + = + ⇔ =y x 1 y 2x+1thay vào (2) ta được:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

3 2 5 2 3 1 2 0

3 2 5 3 2 3 1 1 5 10 0

3 2 4 2 3 2

5 2 0

2 5 3 1 1

2 6 2 3

2 5 0

2 5 3 1 1

x x x x

x x x x x

x x x x

x

x x

x x x

− + + − − + =

⇔ − − − + − − − + − =

− − − −

⇔ + + − =

+ + − +

 − − 

⇔ −  + + + − + + =

( )

2 6 2 3

2 2 3 0

2 5 3 1 1

2 2 2 5 2 3 1

2 0

2 5 3 1 1

2

x x

x

x x

x x x x

x

x x

x

 − − 

⇔ −  + + + + − + + =

 + + + − 

⇔ −  + =

+ + − +

 

⇔ =

(20)

2 2 2 5 2 3 1

0 1

2 5 3 1 1

x x x x

Do x

x x

+ + + −

+ > ∀ ≥

+ + − +

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (2; 5) Câu 3.

1) Ta có PNE  NAC  NCA 2 NCAsdEA Chứng minh∠PAD= ∠ABE

Suy ra ∠PDE = ∠PAD+ ∠ADE = ∠ABE+ ∠ADE = ∠2 ABE =sd EA^

Xét tứ giác EPND có PNE^ PDE^và hai đỉnh N; D là hai đỉnh liên tiếp nên EPND là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2) Ta thấy tứ giác AKME là tứ giác nội tiếp do MEK^ MAK^ 45^o Suy ra MEA^ MKA^ 90^o

Do đó MK / /BD MKD^ KDB^ KBD^ EKM^ 3) Chứng minh MDCđồng dạng ^^{MEA g g}

 

^.

Suy ra . . ² ²

4

MD ME MC ME MD MA MD CD

MC  MA    

Mặt khác ta có ² ² ² ² ² ⁵ ²

4 4

CD CD

MC CD MD CD  

Suy ra: 5 5

2 10

CD CD

MC  ME 

Mà . 5 10

5 5

EA AM AM CD

EA CD R

CD  MC   MC  

Câu 4.

1) Điều kiện: x≥0,y≥0

Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

(21)

( )

¹ ²⁰²⁰ ²⁰²⁰ ^{2 2020}

2020 4 5.101

x y x y y

x y y

⇔ = − ⇔ = + −

⇔ = + −

Do x, y nguyên nên 5.101ynguyên hay 5.101y là số chính phương.

Suy ra 5.101y=k² ⇒ =y 5.101.a² =505a² (a là số nguyên) Tương tự x=5.101b² =505b² (b là số nguyên)

Thay x; y theo a; b vào (1) ta được:

505 505 2 505 2

a + b = ⇔ a + b =

a b x=505b² y=505a²

0 2 2020 0

1 1 505 505

2 0 0 2020

Vậy phương trình có các nghiệm là: (2020;0);(505;505);(0;2020) Câu 5.

2) Ta có:

(

^{1 2}²

) (

^{1 2}³

) (

^{1 2}⁴

)

P= a a +b b +c c

− − −

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 3 4

1 2 1 2 1 2

a b c

a a b b c c

= + +

− − −

Áp dụng bất đẳng thức AG – GM ta có: ²

(

^{1 2}

)

^{1 2} ³ ¹

3 27

a a a

a − a ≤ + + −  = Tương tự : ²

(

^{1 2}

)

¹ ^; ²

(

^{1 2}

)

¹

27 27

b − b ≤ c − c ≤ Suy ra: ^P^≥^{27 2}

(

^a⁺³^b⁺⁴^c

)

⁼⁸¹

Dấu “=” xảy ra khi ¹ a= = =b c 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 81.

3) Xét điểm ^I

(

^{2; 3}

)

. Ta chứng minh khoảng cách từ I đến hai điểm nguyên khác nhau là khác nhau.

Xét hai điểm nguyên ^{M a b}

( )

^; ^;^M^'

(

^a^{'; b'}

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

' IM'

2 3 ' 2 ' 3

' ' 2 ' 2 2 ' 3 0

IM IM IM

a b a b

a b a b a a b b

= ⇔ =

⇔ − + − = − + −

⇔ + − − + − + − =

(22)

Nhận xét nếu các số nguyên m, n, p thỏa mãn m+n 2+ p 3=0thì m = n = p = 0

2 2 2

2; 3; 6 ; , , p Q

2 2 3 2

2 3 2 3

2 6 2 3

2 3 0

Q m n

mn p m n

mp n m p

pm m n p

m n p

 ∉ ∈

 = − −



= − −



= − −

 + + =



0 0

2 3 0

mn np pm

m n p

= = =

⇒ ⇒ = = =

+ + =



Ta có:

( )

2 2 2 2

2 2 '

' ' 0

IM' IM ' 2 ' 0 '

2 ' 0 '

a b a b

b b

IM IM a a M M

a a b b

 + − − =

 =

= ⇔ = ⇔ −− == ⇔ = ⇔ ≡

Xét tất cả các khoảng cách từ các điểm nguyên I, các khoảng cách này đôi một phân biệt. Gọi S là tập hợp các số thực bằng các khoảng cách cách từ tất cả các điểm nguyên đến I. Ta có thể chọn 2020 số dương nhỏ thuộc S và được sắp theo thứ tự tăng dần, nghĩa là tồn tại các số dươngs s₁; ₂;...s₂₀₂₀ thuộc tập S thỏa mãn s_p <s_qnếu p < q, các số thuộc S \

{

s s1; 2;....s2020

}

đều lớn hơn s s₁; ₂;...s₂₀₂₀. Đặt

1, 1; 2;3;...2019 2

k k

k

s s

R + ⁺ k

= =

.

Ta có điều phải chứng minh.

Đề số 3

Câu 1.

a)

b)

c)

=21 ( Do và côsi) Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 21 khi

( 2)( 2)

1 .(2 1)( 1)

( 1)( 2)

x x

P x x

x x

 − + 

= +  − −

− −

 

2 1

(2 1)( 1)

1

P x x x

x

= + − −

−

4 1

P = x −

2019 4 1 2019 P = ⇔ x − =

505 x =

10 10 10 2 18

4 1 ( ) 1

5 5

x x

T P x

x x x

= + = + − = + + −

10 2 18 10 2 18

( ) 1 2 . .5 1

5 5 5 5

x x x

T = x + + − ≥ x + −

x ≥ 5

5

x =

(23)

Câu 2.

Hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình .

Chú ý: Ý trên học sinh có thể dùng quỹ tích I là đường tròn R = 1.

Câu 3.

a) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo viét

b)

( Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác -1 với mọi m)

T nhỏ nhất là 1 khi m = 0 Câu 4.

a) Đk ta có

b)

Với thế vào ta có

Vậy hệ có hai nghiệm là Câu 5.

2 2

1 1 1

1

x mx m x m

m m m

− + = + ⇔ = − +

2

2 2

1 2

1 1

m m

do x y

m m

= − ⇒ =

+ +

2

2 2

1 2

( ; )

1 1

m m

I m m

⇒ −

+ +

2

2 2

1 2

( ) ( ) 1

1 1

m m

T m m

= − + =

+ +

2

8 0

m m

∆ = + > ∀

1 2

2 1

x x m

x x m

+ = −

 = − −



2 2

1 2

2 2 (

1 2

) 8 (

1 2

) 4 .

1 2

8

x − x = ⇔ x − x = ⇔ x + x − x x =

2 2

( m − 2) − − − 4( 1 m ) 8 = ⇔ m = ⇔ = 0 m 0

2 2 2

2 1 1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( 1) ( 1) 2 ( ) 2 . 2( )

( 1) .( 1) ( . 1)

x x x x x x x x

T x x x x x x

+ + + + + − + +

= =

+ + + + +

2 4

4 1 T = m + ≥

2018

x ≥ − 4( x + 2018) + 9( x + 2018) = 5 2 x + 2018 + 3 x + 2018 = ⇔ 5 x + 2018 = 1

2017 x = −

3 3 2 3 3

3 6 3 4 0 [( 1) ] 3( 1) 3 0

x − y + x + x − y + = ⇔ x + − y + x + − y =

2 2

( x + − 1 y )[( x + 1) + + ( x 1) y + y + = ⇔ = + 3] 0 y x 1

1

y = + x x

²

+ y

²

− 3 x = 1

²

0

2 0 1

2 x x x

x

 =

− = ⇔ 

 =  (0;1),( ; ) 1 3

2 2

(24)

a) Do MK và ON vuông góc JN (1) NK và OM vuông góc JM (2)

Nên từ (1) và (2) có Tứ giác OMKN là hình bình hành(3), suy ra H là trung điểm OK.

b) Do OM = ON (4) . Từ (3)&(4) có tứ giác OMKN là hình thoi (5) Mặt khác OJ = 2OM = 2a suy ra (6)

Từ(5)và(6) đều

K thuộc đường tròn tâm O.

c) Do (M;r) nhận OJ là tuyến tuyến mà

Ta có

( hoặc dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông)

d) Gọi IE,IF là hai tiếp tuyến với (O) tại E,F và Suy ra tứ giác IEOF là hình vuông

Tính (Không đổi)(1)

Do O cố định (2)

Từ (1) và (2) tập hợp I nằm trên đường tròn tâm O bán kính Câu 6.

Do là ba số thực không âm thỏa mãn : .

Ta có (*)

Từ điều kiện trên ta có

/ / / / MK ON NK OM

 ⇒



60

0

∠ MOJ = 60

0

MOK OMK

⇒ ∠ = ⇒ 

OK OM R a

⇒ = = = ⇒

MH ⊥ JO = H ⇒ = r MH

2 2 2 2

1 1 1 4

3

MH = OM + JM = a

_⇒

3

2 r = a

IE ⊥IF

2

OI = a

2 a

, ,

x y z 12 x + 10 y + 15 z ≤ 60

, , 0 5 6 4 x y z x y z

 ≥

 ≤

 ≤

 ≤

2 2 2

4 4

T = x + y + z − x − y − z

E

M

K

J

N

F I

O

H

(25)

Vậy GTLN của T bằng 12 đạt được khi

Đề số 4

Câu 1 1)

Phương trình có hai nghiệm không âm

Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho, ta có:

(định lý Vi-et)

Với ta có:

Dấu xảy ra

Vậy khi

2) Ta có:

Để

-1 1 -2 2 -3 3 -6 6

-3 -1 -4 0 -5 1 -8 4

tm tm tm tm tm tm tm tm

Vật tập hợp các giá trị của để y nguyên là Câu 2

( 5) ( 6) ( 4) 2 3

12 60

2 3 2 3 12

5 5

x x y y z z x y z

x y z x y z

= − + − + − + + +

≤ + + ≤ + + ≤ =

0 0

6 or 0

0 4

x x

y y

z z

= =

 

 =  =

 

 =  =

 

( )

2 2

' 0 2 4 0 2

0 2 0 0 2

0 2 4 0 1 3 0 ( ... )

m m m m

S m m m

P m m m luon dung

 

∆ ≥ − + − ≥ ≥

  

 

⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔  ≥ ⇔ ≥

 ≥  − + ≥ 

   − + ≥

1; 2

x x

1 2

2 1 2

2

2 4

x x m

x x m m + =

 = − +



2 2

1 2 0 1 2 2 1 2 2 2 2 4

P= x + x ≥ ⇒P = + +x x x x = m+ m − m+ 2

m≥

( ) ( )

2 2

2 2 2 4 2 2 2 2 4 8

8 2 2

P m m m

P P

= + − + ≥ − + =

⇒ ≥ ⇔ ≥

"=" ⇔m=2 2 2

Min P= m=2

2 2

2 4 6 6

2 2 2 2

x x

y x

x x x

+ − +

= = = − +

+ + +

(

²

) ( ) {

⁶ ^{1; 2; 3; 6}

}

y∈ ⇒ x+ ∈U = ± ± ± ± 2

x+ x

x

{

− − −3; 1; 4;0; 5;1; 8; 4− −

}

(26)

<