Tuyển tập đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Sở GD&ĐT Nghệ An có lời giải chi tiết

(1)



Sưu tầm và tổng hợp

BỘ ĐỀ THI

VÀO LỚP 10 CHYÊN TỈNH NGHỆ AN

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 3 năm 2020

(2)

PHẦN 1: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN

Câu 1 (6,0 điểm).

a) Giải phương trình x³ x² 12x x 1 200. b) Giải hệ phương trình (₂ 1)(₂ 1) 6

( 1) 7.

x xy x y y

  



  

 Câu 2 (3,0 điểm)

a) Cho đa thức P x( )ax² bxc



^a^{ }^*



^{thỏa mãn}^P

 

⁹ ^^P

 

⁶ ^^2019.

Chứng minh ^P

 

¹⁰ ^^P

 

⁷ là một số lẻ.

b) Tìm các cặp số nguyên dương

 

^{x y}^; ^{sao cho}^{x y}² ^{ }^x ^y chia hết cho xy²  y 1. Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc   a b c 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

1 1 1

. P

a b b c c a

  

  

Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC



^AB^ ^AC



nội tiếp đường tròn

 

^O ^{. Gọi}

E là điểm nằm chính giữa của cung nhỏ BC. Trên cạnh AClấy điểm M sao cho EM EC, đường thẳng BM cắt đường tròn

 

^O ^tại^N⁽^N^khác^B). Các đường thẳng EA_vàEN cắt cạnh BC lần lượt tại D_vàF_.

a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED. b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN.

c) Gọi I là trung điểm của AN, tia IM cắt đường tròn

 

^O ^tại^K. Chứng minh đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK_.

Câu 5 (2,0 điểm). Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH

Năm học 2019-2020

Đề số 1

Môn thi chuyên: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề chính thức

(3)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

Năm học 2018-2019

Đề số 2

Câu 1.

a) Giải phương trình : x 2 4 x 2x²5x1 b) Giải hệ phương trình:

2

2 2

3 4

2 7 7 8

xy y x

y y x x

  



   



Câu 2.

a) Tìm các số nguyên x y z; ; sao cho x²y²  z² 6 xy3x4z

b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m n 1là một ước nguyên tố của



² ²



2 m n 1. CMR m n. là số chính phương

Câu 3. Cho a b c, , thực dương thỏa mãn abc1.Chứng minh rằng:

4 3 4 3 4 3

1 1 1

3

2 2 2

a a ab b b bc c c ac

  

        

Câu 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A



^AB^^AC



nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N (N khác B)

a) Chứng minh AN BI. DH BK.

b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP

c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M. Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M và cắt OD tại Q (Q khác D). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O) Câu 5 Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu). Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a b c, , mà a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc17

---Hết---

Họ và tên ...Số báo danh ...

(4)

Năm học 2017-2018

Đề số 3

Câu 1 (7.0 điểm).

a) Giải phương trình ^{3x 7 x 4}^ ^{ }^{14 x 4 20}^{ } b) Giải hệ phương trình

 

2 2

6x 4y 2 x 1 6y 4x 2 y 1

    



   



Câu 2 (2.0 điểm).

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn ^{S n}

 

^ⁿ² ^^{2017n 10}^ ^với^{S n}

 

là tổng các chữ số của n.

Câu 3 (2.0 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn c a . Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c 3

a b b c 4 c a 2

     

  

        

     

Câu 4 (7.0 điểm).

Cho hai đường tròn

 

^O ^và

 

^{O '} cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn

 

^{O '} (C, D là tiếp điểm và

Dnằm trong đường tròn tâm O).

a) Chứng minh rằng AD.BCAC.DB.

b) Các đường thẳng AC, AD cắt đường tròn

 

^O lần lượt tại E và F (E, F khác A).

Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của EF.

c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi M thay đổi.

Câu 5 (2.0 điểm).

Trong đường tròn

 

^O có bán kính 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì A , A ,..., A₁ ₂ ₃₉₉. Chứng minh rằng tồn tại vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn

 

^O và không chứa điểm nào trong 399 điểm A , A ,..., A₁ ₂ ₃₉₉.

---Hết---

(5)

Năm học 2016-2017

Đề số 4

Câu 1 (7.0 điểm).

a) Giải phương trình 5 3x x 1 3x² 4x 4. b) Giải hệ phương trình 2 ₂ 4₂ 3 6 0

4 12 4 9 0

xy x y

x y x y .

Câu 2 (3.0 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y; sao cho x² 2 xy 2 . Câu 3 (2.0 điểm).

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2 2 4

a b c

P a b b c a

Câu 4 (6.0 điểm).

Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn O . Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của O (E, F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DE DF, D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của O cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.

a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OB, OC. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn.

b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDFvà tia phân giác OI của góc BOC EF;I BC

K . Chứng minh rằng OI song song với DK.

c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (2.0 điểm).

Mỗi điểm trong mặt phẳng được gắn với một trong hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài cạnh bằng 3 hoặc 3.

---Hết---

(6)

Năm học 2015-2016

Đề số 5

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình

x

²

 5x   4 2 x   5 2 x   4 x

²

 4x  5.

b) Giải hệ phương trình

2 2

1 1

x y 2

y x .

2x y xy 4xy 2x y

     

     

 

    



Câu 2 (2,0 điểm).

Cho

a, b

là các số nguyên dương thỏa mãn

a

²

 b ab

² . Tính giá trị của biểu thức

2 2

a b A 2ab

  

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho

a, b,c

là các số thực. Chứng minh

2

2 2 2

3(a b c)

(a 1)(b 1)(c 1) .

4

     

Câu 4 (7,0 điểm).

Cho đường tròn

(O;R)

có BC là dây cố định

(BC  2R)

; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC (A khác B). Trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED = EC. Tia BD cắt đường tròn

(O;R)

tại điểm thứ hai là F.

a) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF.

b) Gọi H là trực tâm của tam giác DEC; DH cắt BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (2,0 điểm).

Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc A. Tìm tất cả các phần tử của A.

---Hết---

(7)

Năm học 2014-2015

Đề số 6

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình x 1 2x x 3 2x x²4x3.

2 2

1

( 1) ( 1) 2

3 1.

x y

y x

xy x y

  

  

    



Câu 2 (3,0 điểm).

a) Tìm các số nguyên

x

và

y

thoả mãn phương trình 9x 2 y²  y. b) Tìm các chữ số a, b sao cho

ab

²

  a  b 

³

.

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho các số a, b, c không âm. Chứng minh rằng

 

²

 

2 2 2

3

2 .

a  b  c  abc  ab  bc  ca

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4 (6,0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng:

a) OB vuông góc với EF và

BH 2 EF BO  AC

.

b) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.

Câu 5 (2,0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC có

BAC  60 ,

^o

BC  2 3

cm. Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm.

---Hết---

(8)

Năm học 2013-2014

Đề số 7

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình:



²^x^{ }³ ²



^x^{ }⁶ ^x^{ }¹



⁵^.

b) Giải hệ phương trình:

3 3

2 3

(3 2) 1 x y y y x

  



 



Câu 2 (2,0 điểm).

Cho hai số nguyên x y, . Chứng minh rằng: (xy x)( 2 )(y x3 )(y x4 )y y⁴2 không phải là số chính phương.

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn a0,b0,c1 và a b c  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  (6 a² b² c²)(2abc).

Câu 4 (7,0 điểm).

Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B. Kẻ các tiếp tuyến AD, AE của (O) ( D, E là các tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc với EC tại H. Gọi K là trung điểm của DH, Gọi I là giao điểm của AC và DE. CK cắt (O) tại Q khác C, AQ cắt (O) tại M khác Q.

Chứng minh rằng:

a) AB.CI = AC.BI

b) QD vuông góc với QI.

c) DM song song với OC.

Câu 5 (2,0 điểm).

Trên mặt phẳng cho bảy điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là đội dài lớn nhất của các đoạn thẳng nối hai trong bảy điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có các đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho thỏa mãn diện tích của nó nhỏ hơn

2(4 3 3)

24 h 

---Hết---

(9)

Năm học 2012-2013

Đề số 8

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình: ( x 1 1)(5x)2 .x

2

2 2

2 2 3 0

2 2 2 0.

x xy x y

y x xy x

    



    



Câu 2 (3,0 điểm).

Tìm các số tự nhiên

x

và

y

thoả mãn

2

^x

  1 y

²

.

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho ba số dương

x y z , ,

thoả mãn

1 1 1

x    y z 1.

. x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z

Câu 4 (6,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và

DAB  60 .

0 Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng.

b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC.

Câu 5 (2,0 điểm).

Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

---Hết---

(10)

Năm học 2011-2012

Đề số 9

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình: 3x 15 3 x 8x5. b) Giải hệ phương trình:

2 2

3

1 1 2

2 2 3

xy x y

x x y y

  

 

   

  



Câu 2 (3,0 điểm).

Tìm các số nguyên

x

và

y

thỏa mãn:

5 x

²

 2 xy  y

²

 4 x  40  0

.

Câu 3 (6,0 điểm). Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung). M là điểm di động trên d. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng:

a)

IC BC

IA = BD

và IA = IB.

b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho các số thực dương

a b c , , .

 a b

²

 b c

²

 c a ab

²



²

 bc

²

 ca

²

  abc 

³

 a

³

 abc b 

³

 abc c 

³

 abc 

^.

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 5 (2,0 điểm).

Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1

4 chứa đa giác đó.

---Hết---

(11)

Năm học 2010-2011

Đề số 10

Câu 1. (7,0 điểm)

a) Giải phương trình: ^x²^⁸^x^{ }³ ² ^x



⁸^^x



 

3 3

2 2

4 2

1 3 1

x y x y

x y

   

   



Câu 2. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n để n⁴n³n² là số chính phương.

Câu 3. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong. Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N (M, N khác A và D) sao cho ABN CBM . Đường thẳng BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai là F.

Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M khác B, C). Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại điểm M (với R’ < R). Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’) tại điểm thứ hai là D, E, F. Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O’; R’) trong đó I, J, K là các tiếp điểm.

Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK.

Câu 5 (4,0 điểm)

a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a b c  3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a bb cc a abc .

b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua 3 điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại.

---Hết---

(12)

Năm học 2009-2010

Đề số 11

Bài 1: (3.5 điểm)

a. Giải phương trình ³

x   2

³

7   x 3

b. Giải hệ phương trình

3

2 3 8

2 6 x y

x y

  



  



Bài 2: (1.0 điểm)

Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2

2 0

x  ax    a

.

Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.

Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.

Bài 5: (2.0 điểm)

a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.

b. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:

a    b c 3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

P ab bc ca

a b c

a b b c c a

 

   

 

---Hết---

(13)

Năm học 2008-2009

Đề số 12

Bài 1: ( 2 điểm)

Tìm số tự nhiên có hai chữ số xy , biết rằng xxyy = xx² + yy² . Bài 2: ( 2 điểm)

Giải phương trình : 10 x³+1 = 3(x² + 2 ) Bài 3: ( 2 điểm)

Cho đa thức f^(x) = ax² + bx + c ( a = 0) . Biết rằng phương trình f^(x) = x

vô nghiệm . Chứng minh rằng phương trình : a *f^(x) ]² + bf^(x) + c = x vô nghiệm . Bài 4: ( 1 điểm)

Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = xyz . Chứng minh rằng : ₂ ₂ x₂ 1₂ 1₂ 1₂

y z 3

x y z x y z

 

      

 

Bài 5 : ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi O là trung điểm của BC . Đường tròn (O;R) tiếp xúc với AB ở E , tiếp xúc với AC ở F . Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( H khác E, F) . Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N .

a) Chứng minh : ∆MOB đồng dạng ∆ONC.

b) Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất . Bài 6 : ( 1 điểm )

Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng . Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là các điểm đã cho . Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ?

---Hết---

(14)

PHẦN 2: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2018-2019

Đề số 13

Câu 1 Cho phương trình ^x²^



²^m^³



^x^³^m^{ }^{1 0}⁽^mlà tham số)

a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x₁; ₂thỏa mãn điều kiện x₁²x₂²x x_{1 2} 7

b) Tìm tất cả các số nguyên mđể phương trình đã cho có nghiệm nguyên Câu 2 a) Giải phương trình x x 3 2x²4x3

2 2

1 1

3

1 1

5

x y

    



    



Câu 3: Cho số tự nhiên n2và số nguyên tố pthỏa mãn p1chia hết cho nđồng thời

3 1

n  chia hết cho p. Chứng minh rằng nplà một số chính phương

Câu 4 Cho các số thực không âm a b, thỏa mãn:



^{a b}^



² ^{  }^{a b} ². Chứng minh rằng:

   

3 3

1 1 9

1 1

a b

b a

  

  

  

    

  

Câu 5. Cho 2 đường tròn ( ; )O R và



^{O r}^';



cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Avà B



^R^^r^'



^sao

cho O và O’ ở 2 phía của AB, Gọi K là điểm sao cho OAO K' là hình bình hành a) CMR: ABK là tam giác vuông

b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt ( ; )O R và ( '; )O r theo thứ tự tại M và N (khác A).

Chứng minh rằng ABM ABN

c) Trên đường tròn



^{O R}^;



lấy C thuộc cung AM không chứa B (C khác A, M). Đường thẳng CA vuông góc với



^{O r}^',



tại D. CMR: KCKD

Câu 6: Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp



0;1; 2;3; 4



. Chứng minh rằng ta có thể chọn được 5 số trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này chia hết cho 5.

---Hết---

(15)

Đề số 14

Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1)

Câu 1 (2,0 điểm). Giải các phương trình

1 3 8

) 1 2 1 2;

a x  x  x

  

    

) 2 1 3 3 5.

b x x x

Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình       

2 2

2 2 ( , ).

5 x x y y x y x y

Câu 3 (1,5 điểm). Cho hai số thực a b, thỏa mãn a b 3,ab 1. Tính giá trị của biểu

thức _



^

 

^





2 2

a b a b . P a a b b

Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB AC. Phân giác góc BAC cắt BC tại D. Đường tròn tâm I đường kính AD cắt AB, AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh rằng AD EF.

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của AD và (O). Chứng minh rằng ABD ~AKC. c) Kẻ EH AC tại H. Chứng minh rằng HE AD. EAEF. .

d) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c  3. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức ₂ ₂ ₂ .

1 1 1

a b c

P  b  c  a

  

---Hết---

(16)

Đề số 15

Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau

a) ₂ 1 ₂ 2 3

2 ;

2 1 1 x

x x  x x 

   

b) 3x  1 x   3 x 1.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên 3x² y² 2xy 7.

Câu 3 (1,5 điểm). Tìm các số nguyên tố p q, thỏa mãn ^{p q}^{ }²



^{p q}^



²^.

Câu 4 (3,5 điểm). Cho hai đường tròn

   

^O ^, ^O^' cắt nhau tại A và B. Từ điểm C thuộc tia đối của tia AB kẻ hai tiếp tuyến đến

 

^O tại D và E, E nằm trong

 

^O^{' .} Các đường thẳng AD, AE cắt

 

^O^' tại điểm thứ hai tương ứng là M, N. Gọi I là giao điểm của DE và MN.

a) Chứng minh rằng tứ giác BEIN nội tiếp và BIN ~BDA. b) Chứng minh rằng

2 2

CA CD DA .

CB CB DB

   

   

    c) Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a b c, , _{thỏa mãn}a b c   2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

1 2

ab bc ca P a b c

a b c

 

    

 

---Hết---

(17)

Đề số 16

Câu 1 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức

. 2 ,

( )

x x y y x y

A xy

x y

   

     với x y, 0 và x y.

Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x² 2(4m1)x16m²  11 0 (1), với m là tham số.

a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình (1) có các nghiệm là x x₁, ₂ thỏa mãn (2x₁1)(2x₂ 1) 9.

Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình

2 2

2

3 3 4

x x xy x x xy y

   



   



Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x² 4y8. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 10

. P x y

x y

  



Câu 5 (4,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB, D là điểm thuộc cung nhỏ BC (D khác B và C). Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E sao cho

. AEBD

a) Chứng minh rằng ACE BCD.

b) Gọi F là giao điểm của OC và BD. Chứng minh rằng DC là phân giác của ADF. c) Tiếp tuyến của (O) ở A cắt BC tại I. Chứng minh rằng IE//BD.

---Hết---

(18)

Đề số 17 (không lời giải)

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b sao cho

1 1

1966 2013 1

a b 

  .

Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình x²2mx m m (  1) 0(1). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm bé là x₁, nghiệm lớn là x₂ thỏa mãn điều kiện x₁2x₂ 0.

Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1. Đặt 1 S xy

  xy. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của S

b) Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không ? Vì sao?

Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Gọi M, N, P tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.

a) Chứng minh rằng, điểm N nằm giữa hai điểm M và P.

b) Tính diện tích các tam giác APB, ABN và ABM.

---Hết---

(19)

Đề số 18 (không lời giải)

Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử n là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng

2013 2 3 8

n 

là số nguyên dương.

Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức

3 3

2 5 2 5.

A    Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình

2 2

2

6 17

6 5 1 0

x y xy y xy x y

   



    



Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có BCa CA b AB,  , cvà A B C. Chứng minh rằng 9ab(a b c  ) .²

Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A, biết rằng H nằm trên đoạn thẳng BC và không trùng với B hoặc C. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tại D phân biệt với A. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A.

a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, J, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của EHD.

c) Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.

---Hết---

(20)

Đề số 19

Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

a a b b a a b b a b a b a b

A a b b a a b b a b a a b a b

  

   

          

trong đó a b, là các số thực dương phân biệt.

Câu 2. (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi tham số m bất kì thì phương trình 4x22(m1)x m  3 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 3. (1,5 điểm). Giải hệ phương trình 3 4 10 0

5 2 8 0.

x y xy x y xy

  

   

 Câu 4.(2,0 điểm)

1. Tìm hai số nguyên dương p q, sao cho p²q² 7.

2. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương lớn hơn 1 thì n⁴4ⁿ không phải là số nguyên tố.

Câu 5. (4 điểm). Cho đường tròn ( , )O R có đường kính ABcố định và đường kính CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại

A của ( ; )O R . Các đường thẳng BC và BD cắt dtương ứng tại E và F . 1.Chứng minh rằng CDEF là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi M là trung điểm của EF, chứng minh rằng BM CD.

3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF. Chứng minh rằng MKR. 4. Gọi H là trực tâm của tam giác DEF, chứng minh rằng H luôn chạy trên một đường tròn cố định.

---Hết---

(21)

Đề số 20

Câu 1.(1,5 điểm).

Giả sử a, b, c là các số nguyên sao cho a²b²c² chia hết cho 4. Chứng minh rằng a, b, c đồng thời chia hết cho 2.

Câu 2. (1,5 điểm).

Giải phương trình x⁴|2x²3|20. Câu 3. (1,0 điểm).

Tìm các số nguyên dương p, q, r sao cho (p²1)(q²4)(r²9)48pqr. Câu 4.(1,0 điểm)

Giải hệ phương trình



















zx x z

yz z

y

xy y

x

5 ) ( 12

11 ) ( 30

9 ) ( 20

Câu 5. (1,5 điểm).

Chứng minh rằng 2.

2012 2013

1 2011

2012 ... 1

2 3

1 1 2

1     

Câu 6 (3,5 điểm).

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) sao cho CA > CB. Các tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại D. Vẽ hình bình hành BODE.

a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, E thẳng hàng.

b) Gọi F AEOD và HOECD. Chứng minh rằng HF//AC.

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng OC, DE, HF đồng qui.

---Hết---

(22)

Đề số 21

Câu 1. Cho biểu thức ( 1) ( 1) , y x

y x y

y x

x y P x



 



  trong đó x, y là các số thực

dương phân biệt. Tính giá trị của biểu thức khi x5 21, y5 21. Câu 2. Cho các hàm số y ax² 2a² 1 ( )P và y 2ax2a² (d).

1. Tìm các giá trị của a sao cho ( )P đi qua điểm A(2;15).

2. Với các giá trị nào của a thì ( )d tiếp xúc với Câu 3. Giải hệ phương trình .

85 55

2

 2











 y x

xy y x

Câu 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức abc3. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 3 .

3 1 3 1

1 



 

 



 

 



 

 

 a b c

P

Câu 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho .

25cm

OA Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O).

1.Tính độ dài đoạn BC.

2. Điểm M thuộc cung nhỏ BC(M  B, M C), tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BC cắt OE,OF lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng tỷ số

EF

PQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC(M  B,M C).

---Hết---

).

(P Đề chính thức

(23)

Đề số 22

Câu 1. Cho phương trình x² 4x m² 3m 0 (1).

1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.

2. Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm các giá trị của m sao cho x₁ x₂² 4x₂.

Câu 2. Tìm các số nguyên không âm a,b sao cho a²b²5a3b4 là số nguyên tố.

Câu 3. Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn hệ thức x yz 8. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Px³yy³zz³x.

Câu 4. Cho nửa đường tròn



O;R



đường kính AB. M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Gọi H thuộc AB sao cho MH AB. Tia phân giác của góc HMB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH tại điểm thứ hai I và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH tại điểm thứ hai J.

1. Gọi E, F là trung điểm của MA, MB. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

2. Gọi K là trung điểm của IJ. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF theo R.

Câu 5. Bên trong hình lục giác đều có cạnh bằng 2 cho 81 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình vuông có cạnh bằng 1 (kể cả biên) chứa ít nhất 6 điểm trong số các điểm đã cho.

---Hết---

(24)

Đề số 23

Câu I.

1. Tính giá trị của biểu thức .

3 2

1 3

2 7

3 3 8

 



  P

2. Tìm các giá trị nguyên của x để

1 1 3



 x

x

là số nguyên.

Câu II.

1. Giải phương trình

x  3  2 x  2 3 x  1 .

2. Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình

x

²

 2 ( m  1 ) x  2 m  5  0 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A  x

₁²

 x

₂²

.

Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R2 và có các góc B, C nhọn. Biết

BAC  60

⁰

,

đường cao AH của tam giác

ABC

bằng 3.

1. Tính diện tích tam giác ABC.

2. Gọi P là một điểm di động trên cung nhỏ BC; M, N lần lượt là các điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC. Xác định vị trí của P sao cho độ dài MN lớn nhất.

Tính độ dài lớn nhất đó.

---Hết---

(25)

Đề số 24

Câu I.

1. Giải phương trình

. 2 1 2 3 2

4 12

2





 



 x x

x x

2. Tìm số nguyên dương n sao cho

n

¹³

 n

⁵

 1

là số nguyên tố.

Câu II. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

1 2

2

4 x

²

 y

²

 xy  x  y 

Câu III. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn

x

³

 y

³

 z

³

 3 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 . 3 1 3 1 3

3 3

3

 

 

x z z

y y

P x

Câu IV. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Đường tròn ( I ) tiếp xúc với AB tại C và tiếp xúc trong với (O) tại D. Giả sử BD cắt ( I ) tại E (E khác D) và tiếp tuyến của ( I ) tại E cắt (O) tại F.

1. Chứng minh rằng

EF  AB .

2. Chứng minh rằng FC là phân giác của góc AFE.

---Hết---

(26)

Đề số 25

Câu 1 (2 điểm).

Cho phương trình x²(2m3)xm(m3)0, với m là tham số.

1. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

2. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm u,v thỏa mãn hệ thức u²v²17.

Câu 2 (4 điểm).

1. Giải hệ phương trình













11

23 ) (

2 2

2

xy y x

y x y x

2. Cho các số thực x,y thoả mãn x8y0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức )

8 (

1 y x x y

P   . Câu 3 (4 điểm).

Cho hai đường tròn (O₁,R₁) và (O₂,R₂) cắt nhau tại hai điểm I,P. Cho biết R₁  R₂ và O₁,O₂khác phía đối với đường thẳng IP. Kẻ hai đường kính IE,IF tương ứng của

) ,

(O₁ R₁ và (O₂,R₂).

1. Chứng minh E,P,F thẳng hàng.

2. Gọi K là trung điểm EF. Chứng minh O₁PKO₂ là tứ giác nội tiếp.

3. Tia IK cắt (O₂,R₂) tại điểm thứ hai là B, đường thẳng vuông góc với IK tại I cắt (O₁,R₁) tại điểm thứ hai là A. Chứng minh IABF.

---Hết---

(27)

Đề số 26

Câu 1.

1. Giải phương trình: 3x4 x3 x2.

2. Cho biết (x₁,y₁) và (x₂,y₂) là các nghiệm của hệ phương trình













20 4

5x² y² m y x

Tìm m để biểu thức (x₁x₂)²(y₁y₂)² đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 2.

1. Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn

) 1 ( 8 ) 8 )(

(x²y² x y  xy

2. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn abc3. Chứng minh rằng

2 3 3 3

3 

 

 a

c c

b b

a .

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A,B,C cùng nằm trên một đường thẳng (điểm B nằm giữa A và C). Gọi (O₁),(O₂),(O₃) tương ứng là các nửa đường tròn đường kính AB,BC,CA và chúng cùng nằm về một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC. Đường thẳng qua B vuông góc với AC cắt (O₃) tại điểm D.

1. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của (O₁),(O₂)( khác BD) song song với tiếp tuyến của (O₃) tại điểm D.

2. Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài (O₁),(O₂)và nằm trong (O₃) theo BD

a .

---Hết---

(28)

Đề số 27

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức

1 ), )( 1

( 2

y x y x y y x

A 

 





với .

4 21 , 5

4 21

5 

 

 y

x

Câu 2: Giải phương trình

. 12 ) 2 )(

1

(x² x x² x 

Câu 3: Tìm m để phương trình x²2mx2m20 có hai nghiệm x₁,x₂ thoả mãn điều kiện x₁²x₂²x₁x₂ 10.

Câu 4: Cho a,b là hai số thực dương. Chứng minh rằng 2 1 2

1

2 2 2

2    

b a

a b .

Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

Câu 5: Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn nội tiếp của nó. Gọi M₀,N₀,P₀ lần lượt là tiếp điểm giữa các cạnh AB,AC và BC với (O). Trên các cạnh AB,AClần lượt lấy các điểm M,N sao cho BMCN BC.

a) Chứng minh rằng ( ).

2 1

0 0

0M N A B

P   



b) Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác cân.

c) Xác định vị trí của M trên AB sao cho đoạn MN ngắn nhất.

---Hết---

(29)

Đề số 28

Câu 1:

Giải các phương trình

a) 2.

5 4 4 10

2

2 

<