MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc 3
1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ 3
A Tóm tắt lí thuyết 3
B Một số dạng toán 4
C Bài tập ôn luyện 16
D Bài tập trắc nghiệm 25
2 Hai đường thẳng vuông góc 32
A Tóm tắt lí thuyết 32
B Một số dạng toán 32
C Bài tập ôn luyện 39
D Bài tập trắc nghiệm 45
3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 56
A Tóm tắt lí thuyết 56
B Phương pháp giải toán 58
C Bài tập ôn luyện 72
D Bài tập trắc nghiệm 82
4 Hai mặt phẳng vuông góc 93
A Tóm tắt lí thuyết 93
B Một số dạng toán 95
C Bài tập ôn-luyện 105
D Bài tập trắc nghiệm 118
5 Khoảng cách 133
A Tóm tắt lí thuyết 133
B Một số dạng toán 134
C Bài tập ôn luyện 144
D Bài tập trắc nghiệm 153
Ôn tập chương 166
A Bộ đề số 1 166
B Bộ đề số 2 176
C Bộ đề số 3 188
D Bộ đề số 4 197
E Bộ đề số 5 206
F Bài tập tự luận ôn tập chương 217
CHƯƠNG 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Vectơ trong không gian.
1 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A,B,Cta có # »
AB+BC# »= AC.# » 2 Quy tắc hình bình hành: NếuOABClà hình bình hành thì # »
OA+OC# » =OB.# » 3 Quy tắc phân tích một vectơ thành hiệu của hai vectơ cùng gốc:
# »
AB=OB# »−OA,# » với mọi điểmO.
4 Ilà trung điểm đoạn thẳng ABkhi và chỉ khi I A# »+# »IB= #»0 ⇔OI# »=
# » OA+OB# »
2 , với mọi điểm O. (i)
5 Glà trọng tâm tam giácABCkhi và chỉ khi
# »
GA+GB# »+GC# »= #»0 ⇔OG# »=
# »
OA+OB# »+OC# »
3 , với mọi điểm O. (ii) Lưu ý.Khi gặp tổng hai vectơ cùng gốc hoặc tổng ba vectơ cùng
gốc ta thường sử dụng(i),(ii).
6 Quy tắc hình hộp (để cộng ba vectơ khác #»
0 không đồng phẳng):
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0.Khi đó:
# »
AC0 = AA# »0+AB# »+AD.# » 7 #»a cùng phương #»
b (#»
b 6= #»0)⇔ ∃k ∈R: #»a =k#»
b.
2. Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.
Định nghĩa 1. Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Định lí 1 (Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng).
Cho ba vectơ #»a, #»
b, #»c, trong đó #»a và #»
b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để #»a,#»
b, #»c đồng phẳng là có các sốm,nsao cho #»c =m#»a +n#»
b.Hơn nữa, các sốm,nlà duy nhất.
Chú ý 1. Ba vectơ # » OA, # »
OB, # »
OCđồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểmO, A,B,Cđồng phẳng, tức là ba đường thẳngOA,OB,OCcùng nằm trong một mặt phẳng.
Định lí 2 (Biểu thị một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng).
Nếu #»a,#»
b, #»c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ #»
d, luôn tồn tại các số m,n,p sao cho
#»d =m#»a +n#»
b +p#»c.Hơn nữa các sốm,n,plà duy nhất.
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức vectơ. Biểu thị một vectơ theo các vectơ không đồng phẳng.
Phương pháp.Dựa vào các quy tắc, tính chất và các hệ thức vectơ thường dùng.
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Hãy biểu diễn các vectơ # » AC0, # »
BD0, # » CA0, # »
DB0, # » BC0, # »
A0D theo các vectơ # »
AB= #»a, # »
AD= #»b, # » AA0 = #»c. LLời giải
Ta có# »
AC# »0 = # »AB+BB# »0+B# »0C0 = #»a +#»c +#»b. BD# »0 =BA# »+AD# »+DD# »0 =−#»a +#»b +#»c. CA# »0 =CD# »+DA# »+AA# »0 =−#»a −#»b +#»c. DB# »0 =DC# »+CB# »+BB# »0 = #»a −#»b +#»c. BC# »0 = BC# »+CC# »0 = #»b +#»c.
A0D= A# »0D0+D# »0D = #»b − #»c.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD vàO là trung điểm đoạn thẳngAG. Chứng minh rằng:
a) 3# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »= #»0 . b) 3# »
MA+MB# »+MC# »+MD# »=6# »
MO(Mlà điểm bất kì trong không gian). LLời giải
a) VìGlà trọng tâm của tam giácBCDnên # »
3OG=OB# »+OC# »+OD.# » VìOlà trung điểm đoạn thẳngAGnên # »
OA+OG# »= #»0 .Do đó 3# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »=3(OA# »+OG# ») = #»0 . b) Theo quy tắc ba điểm ta có
3# »
MA+MB# »+MC# »+MD# »
=3(MO# »+OA# ») +MO# »+OB# »+MO# »+OC# »+MO# »+OD# »
=6# »
MO+3# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »=6# » MO.
Lưu ý.Có thể giải câub)như sau: DoGlà trọng tâm∆BCDnên
# »
MB+MC# »+# »MD=3# » MG.
Do đó
3# »
MA+MB# »+MC# »+MD# »=3# »
MA+3# »
MG=3# »
MA+MG# »
=6# » MO.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt
# »
AB= #»b,# »
AC = #»c,# »
AD = #»d. Phân tích # »
MGtheo #»
b, #»c,#»
d.
Ta có
# » MG= 1
3(MB# »+MC# »+# »MD)
= 1 3
1 2
# »
AB+ (MA# »+AC# ») + (MA# »+AD# »)
= 1 3
1 2
#»b −1 2
#»b +#»c − 1 2
#»b +#»d
=−1 6
#»b +1 3
#»c +1 3
#»d. Bài 4. Cho hình chópS.ABCD.
a) Chứng minh rằng nếu ABCDlà hình bình hành thì SB# »+SD# » =SA# »+SC.# » Điều ngược lại đúng không?
b) GọiO là giao điểm của AC vàBD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi # »
SA+SB# »+SC# »+SD# » =4SO.# » LLời giải
a) Ta có sự tương đương:
SB# »+SD# » =SA# »+SC# »⇔SB# »−SA# »=SC# »−SD# »
⇔AB# »= DC# » ⇔ ABCD là hình bình hành (do ABCDđã là tứ giác rồi).
Vậy nếu ABCDlà hình bình hành thì # »
SB+SD# »=SA# »+SC.# » Chiều ngược lại cũng đúng.
b) Giả sửABCDlà hình bình hành. Khi đó:
# »
SA+SB# »+SC# »+SD# »
=SO# »+OA# »+SO# »+OB# »+SO# »+OC# »+SO# »+OD# »
=4# »
SO+ (OA# »+OC# ») + (OB# »+OD# ») =4# » SO.
Giả sử # »
SA+SB# »+SC# »+SD# » =4# »
SO.GọiI,Jtheo thứ tự là trung điểm củaAC,BD.Khi đó:
# »
SA+SB# »+SC# »+SD# »
=4# »
SO+ (OA# »+OC# ») + (OB# »+OD# ») = 4# »
SO+2(OI# »+2# » OJ). Bởi vậy: # »
OI +OJ# » = #»0 . Suy ra O là trung điểm I J. Suy ra I ∈ BD và J ∈ AC. Do đó I ≡ J ≡ O. Vậy hai đường chéo AC và BD có cùng chung trung điểm. Suy ra ABCD là hình bình hành.
Cách khác.Ta có # »
OC =k# » OA, # »
OD=m# »
OB. Do đó:
# »
SA+SB# »+SC# »+SD# »=4SO# »
⇔(SO# »+OA# ») + (SO# »+OB# ») + (SO# »+OC# ») + (SO# »+OD# ») = 4# » SO
⇔OA# »+OB# »+OC# »+OD# »= #»0 ⇔OA# »+OB# »+k# »
OA+m# » OB= #»0
⇔(1+k)OA# »+ (1+m)OB# »= #»0
⇔
1+k =0 1+m =0
do # »
OAvà # »
OBkhông cùng phương
⇔
k=−1 m=−1 ⇔
( # »
OC =−OA# »
# »
OD =−OB# » ⇔
Olà trung điểm AC Olà trung điểmBD
⇔ABCDlà hình bình hành.
Ta có điều phải chứng minh.
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0tâmO. Chứng minh:
a) OA# »+OB# »+OC# »+OD# »+OA# »0+OB# »0+OC# »0+OD# »0 = #»0.
b) GọiD1,D2,D3lần lượt là điểm đối xứng của điểmD0 quaA,B0,C.
Chứng tỏ rằng # »
BD1+BD# »2+BD# »3+BD# »0 = #»0. LLời giải
a) DoOlà trung điểm ba đoạn thẳng AC0, A0C, BD0, B0D nên ta có:
# »
OA+OC# »0 = #»0, # »
OB+OD# »0 = #»0,
# »
OC+OA# »0 = #»0, # »
OD+OB# »0 = #»0.
Cộng lại ta được điều phải chứng minh.
b# »)Đặt:
AA0 = #»a, # »
AB= #»b, # » AD= #»c. Khi đó:
# »
BD1+BD# »2+BD# »3+BD# »0 =BD# »1+BD# »0
+BD# »2+BD# »3
. Mà
# »
BD1+BD# »0 =2# »
BA =−2#»
b,
# »
BD2= BB# »0+B# »0D2= #»a + (−#»c + #»b),
# »
BD3= BC# »+CD# »3 = #»c − #»a + #»b nên ta có:
# »
BD1+BD# »0
+BD# »2+BD# »3
=−2#»
b +#»a + (−#»c +#»b) +#»c −#»a +#»b = #»0 .
Dạng 2. Xác định vị trí các điểm thỏa điều kiện vectơ, chứng minh các điểm trùng nhau, các điểm thẳng hàng.
Phương pháp.
Thường đưa về các hệ thức quen thuộc liên quan đến các điểm như trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác. . .
Lưu ý rằng:
∗ AB# » = #»0 ⇔ A ≡B.
∗ Ba điểm A,B,Cthẳng hàng⇔ AB# » và # »
AC cùng phương.
∗ Khi gặp tổng hai vectơ cùng gốc ta thường dùng:
# »
MA+MB# »=2# » MI
∗ Khi gặp tổng ba vectơ cùng gốc ta thường dùng:
# »
MA+# »MB+# »MC=3# » MG vớiGlà trọng tâm tam giácABC.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD.
a) Xác định điểmOthỏa mãn # »
OA+OB# »+OC# »+OD# »= #»0. (1)
(ĐiểmOthỏa điều kiện trên gọi là trọng tâm của tứ diệnABCD). b) Xác định điểmPđể |PA# »+PB# »+PC# »+PD# »| có giá trị nhỏ nhất.
LLời giải
a) GọiMvàNlần lượt là trung điểm của ABvàCD. GọiI là trung điểmMN.Ta có:
# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »=2# »
OM+2# »
ON =2(OM# »+ON# »). Vậy điểmOthỏa mãn (1) khi và chỉ khi:
# »
OM+ON# »= #»0 ⇔2# »
OI = #»0 ⇔O≡ I.
Do đóOlà trung điểm MN.
b) GọiOlà trọng tâm của tứ diệnABCD.Ta có:
PA# »+PB# »+PC# »+PD# »
=PO# »+OA# »+PO# »+OB# »+PO# »+OC# »+PO# »+OD# »
=4# »
PO+OA# »+OB# »+OC# »+OD# »=4# » PO.
Do đó điều kiện cần và đủ để |PA# »+PB# »+PC# »+PD# »| đạt giá trị nhỏ nhất là:
# »
PO = #»0 ⇔P≡O.
Bài 7. Cho tứ diệnABCD,MvàNlà hai điểm lần lượt thuộcABvàCDsao cho # »
MA =−2# »
# » MB,
ND = −2# »
NC. Các điểm I, J, Klần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho # »
I A = k# » ID, # »
J M = k# »
# » JN,
KB=k# »
KC(k 6=1). a) Biểu diễn #»
I J theo # » AM, # »
DN; biểu diễn # »
JKtheo # » MB, # »
NC.
b) Chứng minh rằng các điểm I, J,Kthẳng hàng.
LLời giải a)
Ta có:#»
I J#» =I A# »+AM# »+MJ# » I J =ID# »+DN# »+N J.# » k #»
I J =k# »
ID+k# »
DN+k# » N J k #»
I J = I A# »+k# »
DN+MJ.# » (1−k)I J#»= AM# »−k# » DN.
Suy ra:
I J#» = 1 1−k
# » AM− k
1−k
# » DN.
Chứng minh tương tự như trên ta có: # »
JK= 1 1−k
# » MB− k
1−k
# » NC.
b) Do # »
MA=−2# » MB, # »
ND =−2# »
NCnên #»
I J = 2 1−k
# »
MB− 2k 1−k
# » NC.
Như vậy #»
I J =2# »
JK, suy ra ba điểm I, J,Kthẳng hàng.
Dạng 3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng. Chứng minh bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng, đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng.
Phương pháp.
Từ định nghĩa 1 suy ra ba vectơ #»a, #»
b, #»c đồng phẳng nếu chúng nằm trên ba mặt phẳng đôi một song song hoặc trùng nhau.
Bốn điểm A,B,C,Dđồng phẳng⇔ba vectơ # » AB,# »
AC,# »
ADđồng phẳng.
Từ định lí 1 suy ra nếu #»c =m#»a +n#»
b thì ba vectơ #»a, #»
b,#»c đồng phẳng.
Để chứng minhAB k CDta chứng minh # »
AB=k# »
CDvà điểmAkhông nằm trên đường thẳngCD.
Để chứng minhMN k (ABC)ta chứng minh ba vectơ # »
MN, # »
AB, # »
AC đồng phẳng và M (hoặcN) không thuộc(ABC).
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
# »
AM =3# » MD, # »
NB =−3# »
NC. Chứng minh rằng ba vectơ # » AB, # »
DC, # »
MNđồng phẳng.
LLời giải Ta có # »
MN = MA# »+AB# »+BN.# » Theo giả thiết ta có:
# »
MA =−3# » MD, # »
BN =3# » NC. Vậy:
# »
MN =−3# »
MD+AB# »+3# » NC
= AB# »−3# »
MC+CD# »
+3# » NC
= AB# »+3# »
DC+3# »
NC+CM# »
= AB# »+3DC# »+3N M.# » Suy ra4# »
MN = # »AB+3# »
DC ⇔ MN# »= 1 4
# » AB+3
4
# » DC.
Do đó ba vectơ # » AB, # »
DC, # »
MNđồng phẳng.
Lưu ý.Ta có cách làm ngắn gọn hơn như sau: Trên cạnh AClấy điểm K sao cho # »
AK = 3KC.# » Khi đó:
# »
MN =MK# »+KN# » = 3 4
# » DC+1
4
# » AB.
Suy ra # » AB, # »
DC, # »
MNđồng phẳng.
Bài 9. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Hãy chứng tỏ ba vectơ # » AC0, # »
BA0, # »
CB0 không đồng phẳng và biểu thị vectơ # »
AA0theo ba vectơ đó.
Đặt # »
AA0 = #»x, # »
AB = #»y, # »
AC = #»z. Ta sẽ biểu diễn các vectơ
# » AC0, # »
BA0, # »
CB0theo #»x, #»y, #»z. Ta có:
# »
AC# »0 = #»x +#»z. (1)
BA# »0 = #»x −#»y. (2)
CB0 = #»x + #»y −#»z. (3) Giả sử phản chứng rằng ba vectơ # »
AC0, # » BA0, # »
CB0 đồng phẳng. Khi đó do # »
BA0 và # »
CB0không cùng phương nên tồn tại các sốα,βsao cho:
# »
AC0 =α# »
BA0+β# » CB0
⇔#»x + #»z =α(#»x −#»y) +β(#»x + #»y − #»z)
⇔(α+β−1)#»x + (−α+β)#»y + (−β−1) #»z = #»0 . (4) Do #»x, #»y, #»z không đồng phẳng nên từ (4) ta phải có:
α+β−1 =0
−α+β =0
−β−1=0.
(5)
Dễ thấy hệ (5) vô nghiệm. Vậy ba vectơ # » AC0, # »
BA0, # »
CB0không đồng phẳng. Từ (1), (2), (3) ta có:
# »
AC0+ BA# »0+CB# »0 =3#»x =3# »
AA0 ⇒ AA# »0 = 1 3
# »
AC0+ BA# »0+CB# »0 .
Lưu ý.Khi gặp hình lăng trụ tam giác, ta thường chọn một bộ ba vectơ có chung điểm đầu và không đồng phẳng (trong lời giải bài tập 9 là #»x, #»y, #»z) làm cơ sở và biểu diễn các vectơ liên quan theo ba vectơ đó.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểmAB, CD. Xét Plà một điểm thuộc AC, Nlà một điểm thuộcBDsao cho PA
PC = NB
ND. Chứng minh rằng:
a) 2#»
I J = AC# »+BD.# »
b) Bốn điểm I, J, P, Nthuộc cùng một mặt phẳng.
LLời giải a)Ta có: # »
AC = AI# »+I J#»+# »JC, # »
BD= BI# »+I J#»+JD. Do đó:# »
# »
AC+BD# »=AI# »+BI# » +2#»
I J+JC# »+JD# »
=2#»
I J.
b)Giả sử # »
AC=k# » AP, # »
BD=h# »
BN. Khi đó:
k= AC
AP = AP+PC
AP =1+ PC
AP =1− PC
PA. (1)
h= BD
BN = BN+ND
BN =1+ ND
BN =1− ND
NB. (2)
Từ giả thiết PA
PC = NB
ND và từ (1), (2) suy rah=k.
Theo câua)ta có:
I J#»= 1 2
# »
AC+BD# »
= k 2
# »
AP+BN# »
= k 2
# »
AI+# »IP+BI# »+I N# »
= k 2
h# »
AI+BI# »
+IP# »+I N# »i
= k 2
# »
IP+I N# » .
Từ #»
I J = k 2
# »
IP+I N# »
,suy ra ba vectơ #»
I J, # » IP, # »
I Nđồng phẳng, suy ra bốn điểmI, J,P,Nđồng phẳng.
Bài 11. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Giả sử điểm M thuộc AC, điểm N thuộc DC0 và
# »
AM =x# »
AC, # »
DN =y# » DC0. a) Biễu diễn các vectơ # »
BD0, # »
MN theo # »
BA= #»a, # »
BC = #»b, # » BB0 = #»c. b) Tìmxvàysao cho MN k BD0, khi đó tính tỉ số MN
BD0. LLời giải
a)Ta có # »
BA = #»a, # »
BC = #»b, # »
BB0 = #»c. Khi đó theo quy tắc hình hộp ta có:# »
BD0 = #»a +#»b +#»c. Ta có # »
MN =BN# »−BM.# » Từ # »
DN =y# » DC0 ta có
# »
BN−BD# »=y# »
BC0−BD# »
,suy ra
# »
BN−#»a +#»b
=y#»
b + #»c −#»a −#»b
# » .
BN = (1−y)#»a + #»b +y#»c. Từ # »
AM =x# »
ACsuy ra # »
BM−BA# »=x# »
BC−BA# » .Vậy
# »
BM−#»a =x#»
b − #»a
⇒BM# »= (1−x)#»a +x#»
b. Do đó
# »
MN = BN# »−BM# » = (1−y)#»a +#»b +y#»c −(1−x)#»a −x#»
b
= (x−y)#»a + (1−x)#»b +y#»c. b)Điều kiện đểMN k BD0là # »
MN =k# » BD0hay k#»a + #»b + #»c
= (x−y)#»a + (1−x)#»b +y#»c. (*) Do #»a, #»
b, #»c không cùng phương nên từ (*) suy ra
k =x−y k =1−x k =y
⇔(x;y;k) = 2
3;1 3;1
3
.
Vậy MvàN được xác định bởi # » AM = 2
3
# » AC, # »
DN = 1 3
# »
DC0. Lúc này
# » MN = 1
3
# »
BD0 ⇒ MN
BD0 =|k| = 1 3.
Bài 12. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Gọi G vàG0 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A0B0C0. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB0 và A0B. Đặt # »
AA0 = #»a,
# »
AB= #»b, # » AC = #»c.
a) Hãy tính các vectơ # » GI, # »
CG0 theo #»a,#»
b, #»c.
LLời giải
a)Gọi Mlà trung điểmBC. Khi đó:
# » AG= 2
3
# » AM = 2
3.1 2
# »
AB+AC# »
= 1 3
#»
b +#»c . AI# » = 1
2
# » AB0 = 1
2
#»a + #»b . GI# »= AI# »−AG# »= 1
2
#»a +#»b
−1 3
#»
b +#»c .
Vậy # » GI = 3
#»a +#»b −2#»c
6 . (1)
Ta có# » AG0 = 1
3 # »
AA0+AB# »0+AC# »0
= 1 3
#»a +#»a +#»b +#»c + #»a
= #»a +1 3
#»
b +#»c . Do đó: # »
CG0 = AG# »0−# »AC = #»a +1 3
#»
b + #»c
−#»c = 3
#»a +#»b −2#»c
3 . (2)
b)Từ (1) và (2) suy ra # »
CG0 =2# »
GI. Ngoài ra điểmGkhông thuộc đường thẳngCG0. VậyGI và CG0là hai đường thẳng song song.
Bài 13. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của của CD và DD0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A0D0MN và BCC0D0. Đặt # »
AB = #»a,
# »
AD= #»b, # » AA0 = #»c. a) Hãy tính # »
GG0theo #»a, #»
b, #»c.
b) Chứng minh rằng đường thẳngGG0và mp(ABB0A0)song song với nhau.
LLời giải
a)VìG0 là trọng tâm của tứ diệnBCC0D0nên
# » AG0 = 1
4 # »
AB+AC# »+AC# »0+AD# »0
vàGlà trọng tâm của tứ diệnA0D0MNnên
# » AG= 1
4 # »
AA0+AD# »0+AM# »+AN# »
.Từ đó
# »
GG0 = AG# »0−AG# »= 1 4
# »
A0B+D# »0C+MC# »0+ND# »0
= 1 4
#»a −#»c +#»a −#»c + 1 2
#»a +#»c +1 2
#»c
= 1
8(5#»a −#»c). b)Theo câua)ta có: # »
GG0 = 1 8
5# »
AB−AA# »0
. Điều này chứng tỏ # » AB, # »
AA0, # »
GG0 đồng phẳng.
Mặt khácGkhông thuộc mặt phẳng(ABB0A0)nên đường thẳngGG0và mặt phẳng(ABB0A0) song song với nhau.
Bài 14. Trong không gian cho tam giácABC.
a) Chứng minh rằng nếu điểmMthuộc(ABC)thì có ba sốx,y,zmàx+y+z=1sao cho
# »
OM =x# »
OA+y# »
OB+z# »
OC, với mọi điểm O.
b) Ngược lại, nếu có một điểmOtrong không gian sao cho
# »
OM =x# »
OA+y# »
OB+z# » OC, trong đóx+y+z=1thì điểmMthuộc mặt phẳng(ABC). LLời giải
a) Vì Mthuộc mặt phẳng(ABC) nên ba vectơ # » CM, # »
CA,# »
CBđồng phẳng. Do đó tồn tại các số x,ysao cho:
# »
CM =x# »
CA+y# »
CB⇔OM# »−OC# » =x(OA# »−OC# ») +y(OB# »−OC# »)
⇔OM# »=x# »
OA+y# »
OB+ (1−x−y)OC.# »
Đặtz=1−x−ykhi đóx+y+z =1và ta có điều phải chứng minh.
b) Giả sử # »
OM =x# »
OA+y# »
OB+z# »
OC,trong đóx+y+z=1.Khi đó:
# »
OM =x# »
OA+y# »
OB+ (1−x−y)OC# »
⇔OM# »−OC# » =x(OA# »−OC# ») +y(OB# »−OC# »)
⇔CM# »= x# »
CA+y# »
CB. (*)
Vì # »
CA và # »
CBkhông cùng phương nên từ (*) suy ra # » CM, # »
CA và # »
CBđồng phẳng, do đó M thuộc mặt phẳng(ABC).
Lưu ý.
Kết quả bài tập 14 rất quan trọng, dùng nó ta sẽ giải được nhiều bài tập khác, chẳng hạn như 15, 30, 31, 32.
Đối với câua), khiMthuộc mặt phẳng(ABC)thì sẽ có rất nhiều lựa chọn những bộ ba vectơ đồng phẳng để suy ra điều cần chứng minh, chẳng hạn như:
# » MA, # »
MB, # »
MC; # »
CA, # » CB, # »
CM; # » MA, # »
MB, # » AB...
Nhưng dễ thấy rằng tốt nhất nên chọn những bộ 3 vectơ đồng phẳng trong đó điểmM chỉ xuất hiện 1 lần và vectơ có chứa điểmMmang hệ số 1 như đã trình bày ở lời giải câu a).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB, SC, SG (G là trọng tâm
∆ABC)lần lượt tại A0,B0, C0,G0. Chứng minh rằng SA
SA0 + SB
SB0 + SC
SC0 =3SG SG0. LLời giải
Đặt SA
SA0 =a, SB
SB0 =b, SC
SC0 =c, SG
SG0 =d. Ta phải chứng minha+b+c =3d. VìGlà trọng tâm tam giác ABCnên
# »
SA+SB# »+SC# »=3SG# » ⇔a# »
SA0+b# »
SB0+c# »
SC0 =3d# »
SG0. (1) VìA0,B0,C0,G0 cùng thuộc mặt phẳng(P)nên theo bài tập 14a) ở trang 11 suy ra có các sốm, n, pmàm+n+p =1sao cho
Thay (2) vào (1) ta được a# »
SA0+b# »
SB0+c# »
SC0 =3dm# »
SA0+3dn# »
SB0+3dp# »
SC0. (3)
Tóm lại ta đã có # » SA0, # »
SB0, # »
SC0 không đồng phẳng và 3d# »
SG0 =a# »
SA0+b# »
SB0+c# » SC0 3d# »
SG0 =3dmSA# »0+3dnSB# »0+3dpSC# »0. Vậy theo định lí 2 ở trang 3, suy ra
a=3dm, b=3dn, c=3dp ⇒a+b+c =3d(m+n+p) = 3d (đpcm).
Dạng 4. Dùng vectơ để chứng minh đẳng thức về độ dài.
Phương pháp.Sử dụng công thức: AB2= AB# »2.
Bài 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật. Chứng minh SA2+SC2 =SB2+SD2.
LLời giải
GọiOlà tâm của hình chữ nhật ABCD. Ta có
# » OA
=
# » OB
=
# » OC
=
# » OD
SA2=SA# »2
=SO# »+OA# »2
=SO2+OA2+2# » SO.# »
OA SB2 =SB# »2
=SO# »+OB# »2
=SO2+OB2+2# » SO.# »
OB SC2 =SC# »2
=SO# »+OC# »2
=SO2+OC2+2# » SO.# »
OC SD2 =SD# »2
=SO# »+OD# »2
=SO2+OD2+2SO.# » # » OD SA2+SC2−SB2−SD2 =2# »
SO# »
OA−OB# »+OC# »−OD# »
. (1)
VìABCDlà hình chữ nhật nên # »
BA+DC# »= #»0, bởi vậy
# »
OA−OB# »+OC# »−OD# »=BA# »+DC# » = #»0 . Do đó từ (1) ta có
SA2+SC2−SB2−SD2=0⇔SA2+SC2 =SB2+SD2. Cách khác.GọiI, Jlà trung điểm AB,CD.
Ta có sự tương đương sau:
SA2+SC2=SB2+SD2
⇔SA2−SB2 =SD2−SC2
⇔SA# »2−SB# »2 =SD# »2−SC# »2
⇔SA# »−SB# » # »
SA+SB# »
=SD# »−SC# » # »
SD+SC# »
⇔BA.2# » # »
SI =CD.2# » # »
SJ ⇔ BA.# » # »
SI =CD.# » # » SJ
⇔BA.# » # »
SI =BA.# » # »
SJ ⇔BA# »(SI# »−SJ# ») = #»0 ⇔ BA.# » #»
J I = #»0 (đúng).
Bài 17. Cho tứ diệnABCD. GọiE,Flần lượt là trung điểm của AB,CD. GọiGlà trung điểm củaEF.
a) Chứng minh # »
GA+GB# »+GC# »+GD# »= #»0.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm Mtrong không gian, ta có
# »
MA+MB# »+MC# »+MD# » =4# » MG.
c) Chứng minh rằng với mọi điểm Mtrong không gian ta có "công thức Lep-nhit" sau:
MA2+MB2+MC2+MD2 =4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2.
d) Xác định vị trí của điểmMđể đại lượngMA2+MB2+MC2+MD2đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
LLời giải a) Ta có # »
GA+GB# »=2# » GE, # »
GC+GD# »=2# » GF. Vậy
# »
GA+GB# »+GC# »+GD# »=2(GE# »+GF# ») =2.#»0 = #»0 . b) Với mọi điểm Mtrong không gian, ta có:
# »
MA+MB# »+MC# »+MD# »
=MG# »+GA# »+MG# »+GB# »+MG# »+GC# »+MG# »+GD# »
=4# »
MG+GA# »+GB# »+GC# »+GD# »
=4# »
MG+GA# »+GB# »+GC# »+GD# »=4# » MG.
c) Theo công thức bình phương vô hướng(#»a)2 =|#»a|2ta có:
MA2+MB2+MC2+MD2
=(# »MA)2+ (MB# »)2+ (MC# »)2+ (MD# »)2
=(# »MG+GA# »)2+ (MG# »+GB# »)2+ (MG# »+GC# »)2+ (MG# »+GD# »)2
=4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2+2# »
MG# »
GA+GB# »+GC# »+GD# »
=4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2+2MG.# » #»
0 (theo câu a)
=4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2. d) Theo câuc)ta có:
MA2+MB2+MC2+MD2=4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2.
Do đóMA2+MB2+MC2+MD2bé nhất khi và chỉ khi MGnhỏ nhất, tức là MG=0⇔ M ≡ G. Vậy MA2+MB2+MC2+MD2nhỏ nhất là bằngGA2+GB2+GC2+GD2, đạt được khi và chỉ khi Mtrùng vớiG.
Bài 18. Chứng minh rằng diện tíchScủa tam giác ABCcó thể tính theo công thức:
LLời giải
Gọiαlà góc giữa hai vectơ # » AB,# »
AC. Ta có:
AB2.AC2−AB.# » # » AC2
=AB2.AC2−AB# » .
# » AC cosα
2
=AB2.AC2
1−cos2α
=AB2.AC2sin2α =4 1
2AB.ACsinα 2
=4S.
Suy raS= 1 2
r
AB2.AC2−AB.# » # » AC2
.
Bài 19. Chứng minh rằng diện tích của tứ giác lồi ABCDlà:
SABCD = 1 2
r
AC2.BD2−AC.# »BD# »2. LLời giải
Gọiαlà góc giữa hai đường chéoACvàBD. Khi đó:
1 2
r
AC2.BD2−AC.# » # » BD2
= 1 2
r
AC2.BD2−hAC.BD. cos# » AC,# »
BDi2
= 1 2
r
AC2.BD2h
1−cos2AC,# » # » BDi
= 1 2
r
AC2.BD2sin2# » AC, # »
BD
= 1 2
pAC2.BD2sin2α
= 1
2AC.BD. sinα. (1)
Mặt khác:
SABCD =SI AD+SIBC+SI AB+SICD
= 1
2[I A.ID+IB.IC+I A.IB+ID.IC]sinα
= 1
2[I A(ID+IB) +IC(IB+ID)]sinα
= 1
2[I A.BD+IC.BD]sinα
= 1
2BD(I A+IC)sinα = 1
2AC.BD. sinα. (2) Từ (1) và (2) suy ra:SABCD = 1
2 r
AC2.BD2−AC.# » # » BD2
.
Bài 20. Cho tứ diện ABCD. GọiNlà điểm thuộc cạnhCD(N khácC,D)sao choN A =NB.
Chứng minh rằng:
NC ND =
CA2−CB2
|DA2−DB2|. LLời giải
Ta có:
CA2−CB2=N A# »−NC# »2
−NB# »−NC# »2
= N A2−2# » N A.# »
NC+NC2−NB2−2# » NB.# »
NC+NC2
=2# » NC# »
NB−N A# »
=2# » AB.# »
NC.
Tương tự, ta có:
DA2−DB2 =N A# »−ND# »2
−NB# »−ND# »2
= N A2−2# » N A.# »
ND+ND2−NB2−2# »
NB.# »
ND+ND2
=2# » ND# »
NB−N A# »
=2# » AB.# »
ND.
Mặt khác, doN,C,Dthẳng hàng nên:
NC.ND = NC.ND⇒ ND.# »
NC =−NC.# »
ND ⇒NC# » =−NC ND.# »
ND.
Từ đó:
CA2−CB2=2# » AB.# »
NC =−2.NC ND.# »
AB.# »
ND =−NC ND
DA2−DB2 . Suy ra:
CA2−CB2
DA2−DB2 =−NC
ND ⇒ NC ND =
CA2−CB2
|DA2−DB2|. Cách khác.Ta có:
CA2−CB2 DA2−DB2
=
# »
CA2−CB# »2
# »
DA2−DB# »2
=
# »
CN+N A# »2
−CN# »+NB# »2
# »
DN+N A# »2
−DN# »+NB# »2
=
CN2+2# » CN.# »
N A+N A2−CN2+2# » CN.# »
NB+NB2 DN2+2# »
DN.# »
N A+N A2−DN2+2# » DN.# »
NB+NB2
=
2# » CN# »
N A−NB# » 2# »
DN# »
N A−NB# »
=
# » CN.# »
# »BA DN.# »
BA
=
CN.BA. cos# » CN, # »
BA DN.BA. cos# »
DN,# » BA
.
VìN,C,Dcùng nằm trên một đường thẳng nên:
cos# » CN, # »
BA
=cos# » DN,# »
BA .
Vậy từ (*) suy ra:
CA2−CB2 DA2−DB2
= CN DN. Lưu ý.Sẽ là sai lầm nếu biến đổi
# » CN.# »
# »BA DN.# »
BA
=
# » CN# » DN
= CN
DN, vì không có phép chia vectơ.
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN 1. Đề bài
Bài 21. Ba vectơ #»a,#»
b,#»c có đồng phẳng hay không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra?
b) Có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
Bài 22. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng # »
AC+BD# »=AD# »+BC.# » Bài 23. Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm Gsao cho
# »
GA+GB# »+GC# »+GD# »= #»0 . Hãy xác định vị trí điểmGđó.
b) Chứng minh rằng ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện đồng quy tại một điểm.
Bài 24. Cho ba tiaOx, Oy, Oz không đồng phẳng. Chứng minh rằng các đường phân giác của góc’zOx,’zOyvà đường phân giác của góc kề bù với góc’xOyđồng phẳng.
Bài 25. Cho hai tứ diệnABCDvàA0B0C0D0. GọiGvàG0lần lượt là trọng tâm của hai tứ diện đó. Chứng minh rằng:
GG0 ≤ 1
4 AA0+BB0+CC0+DD0 .
Bài 26. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. GọiG0là trọng tâm của tam giác A0B0C0. Đặt
# »
AA0 = #»a, # »
AB= #»b, # » AC = #»c. a) Hãy biểu thị vectơ # »
AG0theo các vectơ #»a, #»
b, #»c.
b) GọiG,Ilần lượt là trọng tâm của tam giácABCvàACC0. Chứng minh(GG0I) k (BB0C0C). Bài 27. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Đặt:
# »
AB= #»a, # »
AD= #»b,# » AA0 = #»c. Các điểmM, N, Plần lượt là trung điểmAD,BB0,C0D0.
a) Chứng minh (BDA0) k (B0D0C). b) Chứng minh:2# »
MP=DD# »0+AC# »0, 2# »
MN = AB# »+DB# »0. Biểu diễn # »
MN+MP# »theo ba vectơ #»a, #»
b, #»c. c) Chứng minh ba vectơ # »
C0D, # » MN, # »
MPđồng phẳng, từ đó suy ra rằngC0Dk (MNP). Bài 28. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Điểm M chia đoạn AD theo tỉ số−1
4, điểm N chia đoạnA0Ctheo tỉ số−2
3
ĐiểmEgọi là chia đoạnPQtheo tỉ sốk 6=−1nếu # » OE=
# »
OP−k# » OQ 1−k , với mọi điểmO
. Đặt
# »
BA = #»a, # »
BB0= #»b, # » BC = #»c. a) Hãy tính # »
MN theo #»a, #»
b,#»c. b) Chứng minh rằng MN k (BC0D).
Bài 29. Cho tứ diện ABCD. Kí hiệu M,Nlần lượt là trung điểm củaAB,CD. Trên các đường thẳngCMvà BN ta chọn các điểm tương ứng I vàKsao cho IK k AD. Đặt # »
IK = x# » AD. Tìm giá trị củax.
Bài 30. Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi B0, D0 là trung điểm các cạnhSB,SD. Mặt phẳng(AB0D0)cắtSCtạiC0.
a) Trình bày cách dựng điểmC0. b) Chứng minh rằngSC =3SC0.
Bài 31. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. GọiK là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng quaAKcắt tiaSB,SDlần lượt tạiMvàN. Chứng minh rằng SB
SM+SD SN =3.
Bài 32. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Một mặt phẳng (P)cắt các tiaSA,SB,SC,SDtheo thứ tự tạiK,L, M, N. Chứng minh rằng: SA
SK + SC
SM = SB
SL + SD SN. Bài 33. Cho tứ diệnS.ABCvà các điểm M,N,Plần lượt thay đổi trên các tiaSA, SB,SC sao cho SA
SM +2SB
SN +3SC
SP =10. Chứng minh rằng mặt phẳng(MNP)luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 34. Cho tứ diện gần đều ABCD(AB = CD, BC = AD, AC = BD). Gọi G là trọng tâm của tứ diện(GA# »+GB# »+GC# »+GD# »= #»0).
a) Chứng minh rằngGcách đều4đỉnhA,B,C,D.
b) TìmMsao cho MA+MB+MC+MDđạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 35. Chứng minh rằng với sáu số thựca,b,c,x,y,ztùy ý ta có:
ax+by+cz+ q
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥ 2
3(a+b+c) (x+y+z).
2. Lời giải, hướng dẫn
Câu 21.
a) Nếu trong ba vectơ #»a,#»
b,#»c có một vectơ bằng #»
0, chẳng hạn #»a = #»0 thì ba vectơ #»a,#»
b,#»c đồng phẳng vì đẳng thức sau luôn đúng
1.#»a +0.#»
b +0.#»c =0.
Cách khác.Từ điểmOtùy ý, vẽ # »
OB = #»b, # »
OC = #»c, # »
OA = #»a. Nếu #»a = #»0 thì Atrùng với O. Như vậy các điểm O, A, B,C cùng thuộc một mặt phẳng, tức là ba vectơ #»a, #»
b,#»c đồng phẳng.
b) Nếu hai trong ba vectơ #»a, #»
b,#»c cùng phương, chẳng hạn #»
b và #»c thì #»
b = k#»c (xét #»c 6= #»0 vì nếu #»c = #»0 thì theo câua), ba vectơ #»a, #»
b,#»c đồng phẳng). Khi đó ba vectơ #»a, #»
b,#»c đồng phẳng vì đẳng thức sau luôn đúng
0.#»a +1.#»
b −k#»c = #»0 . Cách khác.Nếu #»
b và #»c là hai vectơ cùng phương, từ điểmOtùy ý, vẽ # »
OB = #»b, # » OC = #»c,
# »
OA = #»a thì hai đường thẳngOBvàOCtrùng nhau. Khi đó các điểmO,A,B,Ccùng thuộc
#» #» #»
Câu 22. Ta có # »
AC+BD# »= AD# »+DC# »+BD# »= AD# »+BD# »+DC# »
= AD# »+BC.# » Câu 23.
a) GọiE,Flần lượt là trung điểm của AB,CD. GọiGlà trung điểm của EF. Khi đó
# »
GA+GB# »+GC# »+GD# »=2(GE# »+GF# ») = 2.#»0 = #»0 . Giả sử # »
G0A+G# »0B+G# »0C+G# »0D = #»0. Khi đó
2(G# »0E+G# »0F) = #»0 ⇔ G# »0E+G# »0F= #»0 .
Vậy G0là trung điểm EF, suy raG0trùng vớiG. Vậy tồn tại duy nhất điểmGsao cho
# »
GA+GB# »+GC# »+GD# »= #»0 . ĐiểmGchính là trung điểm củaEF.
b) GọiP, Qlần lượt là trung điểm củaBCvàAD. Gọi Ilà trung điểm của PQ. Khi đó I A# »+IB# »+IC# »+ID# »= (I A# »+ID# ») + (# »IB+IC# ») =2(IQ# »+IP# ») =2.#»0 = #»0 .
Suy ra Itrùng với G. Gọi M, Nlần lượt là trung điểm của AC vàBD. Gọi J là trung điểm của MN. Tương tự như trên ta chứng minh được J trùng với G. Vậy ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện đồng quy tại một điểm.
Chú ý 2. Điểm G duy nhất thoả mãn điều kiện # »
GA+GB# »+GC# »+GD# »= #»0 gọi là trọng tâm của tứ diện.
Câu 24.
Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt xét các vectơ #»
i, #»
j,
#»k có độ dài bằng 1 và lần lượt cùng hướng với các tia Ox,Oy,Oz. Khi đó tia phân giácOacủa góc’zOycùng hướng với #»
α = #»j + #»k, tia phân giácObcủa góc’zOx cùng hướng với #»
β = #»i +#»k, tia phân giácOccủa góc kề bù với góc ’xOycùng phương với #»
λ = #»j −#»i. Do
#»λ = #»α − #»β nên ba vectơ #»
α, #»
β, #»
γ đồng phẳng. Do đó các tiaOa, Ob, Oc đồng phẳng. Điều phải chứng minh.
Câu 25. VìGvàG0là trọng tâm của tứ diệnABCDvàA0B0C0D0 nên:
# »
GA+GB# »+GC# »+GD# »= #»0 , # »
G0A0+G# »0B0+G# »0C0+G# »0D0 = #»0 . (1) Mặt khác ta có:
# »
GG0 =GA# »+AA# »0+A# »0G0 (2)
# »
GG0 =GB# »+BB# »0+B# »0G0 (3)
# »
GG0 =GC# »+CC# »0+C# »0G0 (4)
# »
GG0 =GD# »+DD# »0+D# »0G0. (5)
Cộng (2), (3), (4), (5) và sử dụng (1) ta được:
4# »
GG0 = AA# »0+BB# »0+CC# »0+DD# »0 ⇒GG# »0 = 1
4
# »
AA0+BB# »0+CC# »0+DD# »0 .
Từ đó suy ra:GG0 ≤ 1
4(AA0+BB0+CC0+DD0). Câu 26.
a)GọiM0 là trung điểm củaB0C0. Ta có
# » A0G0 = 2
3
# » A0M0 = 1
3(A# »0B0+A# »0C0)
= 1
3(#»b +#»c). Vậy # »
AG0 = AA# »0+A# »0G0 = #»a +1
3(#»b + #»c).
b) Gọi hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của BC và CC0. Ta có GG0 k BB0 ⊂ (BB0C0C), GG0 6⊂ (BB0C0C), suy ra GG0 k (BB0C0C). (1) Mặt khác AG
AM = AI AN = 2
3, suy raGI k MN.
MàMN ⊂(BB0C0C)vàGI 6⊂ (BB0C0C), nên GI k (BB0C0C). (2) Lại cóGG0∩GI =GvàGG0,GI cùng nằm trong(GG0I)nên từ (1) và (2) suy ra(GG0I) song song với(BB0C0C).
Câu 27.
a)Ta có
BDk B0D0⊂(B0D0C) BD6⊂ (B0D0C).
Suy raBD k(B0D0C). (1)
Ta có
A0B kCD0 ⊂(B0D0C) A0B 6⊂(B0D0C).
Suy ra A0Bk (B0D0C). (2)
Mà A0B và BD là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (A0BD)nên từ (1) và (2) suy ra(BDA0) k (B0D0C).
b)Theo giả thiết # »
AB = #»a, # »
AD= #»b, # »
AA0 = #»c. Ta có:
# »
MP= MD# »+DD# »0+D# »0P. (3)
# »
MP= MA# »+AC# »0+C# »0P. (4)
Cộng (3) và (4) ta được:
2# »
MP= DD# »0+AC# »0 ⇒ MP# »
= 1 2
h#»c +#»a +#»b +#»ci
= 1 2
#»a +#»b +2#»c
. (5)
Ta có:
# »
MN = MA# »+AB# »+BN.# » (6)
# » # »
Cộng (6) và (7) ta được 2# »
MN = AB# »+DB# »0 ⇒ MN# »= 1 2
h#»a +#»a − #»b + #»ci
= 1 2
2#»a −#»b +#»c
. (8)
Cộng (5) và (8) ta được
# »
MP+MN# »= 1 2
#»a +#»b +2#»c +1
2
2#»a −#»b + #»c
= 3
2(#»a +#»c). (9) c)Ta có
# »
C0D=C# »0D0+C# »0C=−#»a −#»c =−(#»a +#»c). (10) Từ (9) và (10) suy ra # »
C0D = −2 3
# » MP−2
3
# »
MN. Vậy ba vectơ # » C0D, # »
MN, # »
MPđồng phẳng. Do đó ba đường thẳngC0D, MN, MPnằm trên ba mặt phẳng đôi một song song hoặc trùng nhau.
Nhưng do MN, MP đồng phẳng và điểm C0 không thuộc mặt phẳng (MNP) nên C0D k (MNP).
Câu 28.
a)Ta có # »
BD = #»a +#»c, # »
BC0 = #»b + #»c,
# »
BA0 = #»a +#»b, # » BM =
# » BA+1
4
# » BD 1+1
4 ,
# » BM = 4
# » BA+BD# »
5 = 5
#»a +#»c
5 .
# » BN =
# » BA0+2
3
# » BC 1+2
3
= 3
# »
BA0+2# » BC
5 .
Từ đó # » BN = 3
#»a +3#»
b +2#»c
5 . Suy ra
# »
MN =BN# »−BM# »= 3
#»a +3#»
b +2#»c
5 −5
#»a + #»c
5 = −2#»a +3#»
b +#»c
5 .
b)Trước hết ta chứng minh ba vectơ # »
MN, # »
BD, # »
BC0đồng phẳng, tức là tồn tại hai sốm, nsao cho # »
MN =m# »
BD+n# »
BC0, tức là
−2#»a +3#»
b +#»c
5 =m(#»a + #»c) +n#»
b +#»c
⇔−2#»a +3#»
b +#»c
5 =m#»a +n#»
b + (m+n)#»c ⇔(m;n) =
−2 5; 3
5
.
Vậy ta có # »
MN = −2 5
# » BD+ 3
5
# »
BC0, suy ra ba vectơ # »
MN, # »
BD, # »
BC0 đồng phẳng. Mà điểm M không thuộc(BDC0)nên suy raMN k (BDC0).
Câu 29.
