Chuyên đề bài tập trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong không gian - Đặng Việt Đông - Công thức nguyên hàm

(1)

(2)

VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Định nghĩa và các phép tốn

Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn tương tự như trong mặt phẳng.

Lưu ý:

+Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ:     AB BC AC

+Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: AB AD AC

  

+Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABCD, ta cĩ:      ' ' AB AD AA AC +Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta cĩ: IA IB   0

;   2

OA OB OI

+Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta cĩ:

0; 3

     

       

GA GB GC OA OB OC OG

+Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta cĩ:

0; 4

       

         

GA GB GC GD OA OB OC OD OG +Điều kiện hai vectơ cùng phương:   ( 0)  !  : 

a và b cùng phương a k R b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý. Ta cĩ:

; 1

  



 

   OA kOB MA k MB OM

k 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , ,

  

a b c, trong đĩ a và b^ ^ khơng cùng phương. Khi đĩ: , ,

  

a b cđồng phẳng  ! m, n  R:    c ma nb

Cho ba vectơ , ,

  

a b c khơng đồng phẳng,  x tuỳ ý.

Khi đĩ: ! m, n, p  R:     x ma nb pc 3. Tích vơ hướng của hai vectơ

Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:

 ⁰  ⁰

, ( , ) (0 180 )

     

     

AB u AC v u v BAC BAC

Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian:

+ Cho  , 0

u v . Khi đĩ:  .   . .cos( , )  u v u v u v + Với 0 0

u hoặc v . Qui ước:  . 0 u v +   . 0

u v u v

4. Các dạng tốn thường gặp:

a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.

b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng.

+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta cĩ thể chứng minh bằng một trong các cách:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu cĩ m, n  R: cma nb 

thì a b c, ,  đồng phẳng

+ Để phân tích một vectơ x

theo ba vectơ a b c, , 

khơng đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:

xma nb pc

c) Tính tích vơ hướng cuả hai véc tơ trong khơng gian d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.

(3)

+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở

2 2 2

a  a  a  a

   

. Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:

- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng _{a b c}_{, ,}

  

so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.

- Phân tích MNma nb pc 

   

-Khi đó ^MN^ ^MN^{} ^ ^MN^{}² ^



^{ma nb pc}^^ ^^ ^



²

     

2 2 2

2 2 2 2 cos , 2 cos , 2 cos ,

m a n b p c mn a b np b c mp c a

     

        

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.

Sử dụng các kết quả

 A B C D, , , là bốn điểm đồng phẳng DAmDB nDC

  

 A B C D, , , là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có ODxOA yOB zOC 

   

trong đó x y z  1. B – BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C.   , M là trung điểm của BB. Đặt CAa

, CBb

, AA c . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ¹

AM b c 2a

   

. B. ¹

AM a c 2b

   

. C. ¹

AM a c 2b

   

. D.

1 AM ba2c

    . Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta phân tích như sau:

1 AM ABBM CBCA2BB

     

1 1

2 2

b a AA b a c

     .

Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là

A. OA   OBOCOD0

. B. OAOCOBOD.

C. OA OB OC OD

2 1 2

1  

 . D. OA OC OB OD

2 1 2

1  

 .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:

BDBABC

  

.

Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D, ta có:

BDBABCOD OB OA OB OC  OB

        

OA OC OB OD

      .

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SAa

; SBb

; SCc

; SDd

 

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a c db

. B. abcd

. C. adbc

. D. ab c d 0 .

M B'

C'

A C

B A'

B

A D

C O

(4)

Chọn A.

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:

2 2 SA SC SO SB SD SO

  



 



  

   (do tính chất của đường trung tuyến) SA SC SB SD a c d b

            .

Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt ABb, ACc

 

, ADd

A. ^MP^^¹₂



^c^^^d^{ }^^b



^. ^B.^MP^^¹₂



^d^{  }^^b^^c



^.

C. ^MP^^¹₂



^c^^^b^^^d^



^. ^D.^MP^^¹₂



^c^^^d^{ }^^b



^.

Chọn A.

Ta phân tích:

 

1

MP2 MCMD

  

(tính chất đường trung tuyến)

   

1 1

2 AC AM AD AM 2 c d 2AM

          

   

1 1

2 c d AB 2 c d b

       .

Câu 5: Cho hình hộp ABCD A B C D.     có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC u , '

CA v

, BD x

, DB  y

A. ² ¹

 

OI 2 u   v xy

. B. ² ¹

 

OI 2 u   v xy .

C. ² ¹

 

OI 4 u   v xy

. D. ² ¹

 

OI 4 u   v xy . Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta phân tích:

   

²

u v ACCA  ACCC  CA AA  AA .

   

² ²

x yBD DB  BDDD  DB BB  BB AA .

4 4 4.2

u v x y AA A A OI

        

  

   

.

 

2 1

OI 4 u v x y

        .

Câu 6: Cho hình hộp ABCD A B C D.    . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A  và BCC B . Khẳng định nào sau đây sai?

A. ¹ ¹

2 2

IK  AC A C 

  

.

B.Bốn điểm I , K, C, A đồng phẳng.

C. BD2IK2BC

. D.Ba vectơ BD

; IK

; B C 

không đồng phẳng.

O B

A D

C S

a b

c d

M

P

B D

C A b

c

d

I K

D'

B' C'

A D

A'

O I

D'

B' C'

B

A D

C A'

u

v x

y

(5)

Chọn D.

A đúng do tính chất đường trung bình trong B AC và tính chất của hình bình hành ACC A .

B đúng do IK // AC nên bốn điểm I , K, C, A đồng phẳng.

C đúng do việc ta phân tích:

2

BD IKBCCDACBCCDADDC

        

2 BC BC BC

   

.

D sai do giá của ba vectơ BD

; IK

; B C 

đều song song hoặc trùng với mặt phẳng



^ABCD



^{. Do đó,}

theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi 0

GA   GBGCGD

”. Khẳng định nào sau đây sai?

A. G là trung điểm của đoạn IJ (I , J lần lượt là trung điểm AB và CD).

B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD. C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC. D. Chưa thể xác định được.

Chọn D.

Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

0 2 2 0 0

GA GB GC     GD  GI GJ  GI GJ 

G là trung điểm đoạn IJ .

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt xAB

; yAC

; zAD

A. ¹

 

AG3 xyz

   

. B. ¹

 

AG 3 x yz

   

.

C. ²

 

AG3 xyz

   

. D. ²

 

AG 3 x y z

    . Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi M là trung điểm CD. Ta phân tích:

 

2 2

3 3

AG ABBG AB BM AB AMAB

       

     

2 1 1 1

3 2 3 3

AB  AC AD AB AB AC AD x y z

          

 

          .

G J I

B D

C

A

G M

B D

C A

x

y ^z



(6)

Câu 9: Cho hình hộp ABCD A B C D.     có tâm O. Đặt ABa

; BCb

. M là điểm xác định bởi

 

1 OM 2 ab

A. M là tâm hình bình hành ABB A . B. M là tâm hình bình hành BCC B . C. M là trung điểm BB. D. M là trung điểm CC.

Chọn C.

Ta phân tích:

     

1 1 1 1

2 2 2 2

OM ab   ABBC   ABAD  DB

.

M là trung điểm của BB.

Câu 10: Cho ba vectơ a b c  , ,

không đồng phẳng. Xét các vectơx2a b y   ;  4a2 ;b z   3b2c . Chọn khẳng định đúng?

A. Hai vectơ  y z;

cùng phương. B.Hai vectơ x y ;

cùng phương.

C. Hai vectơ x z;

 

cùng phương. D.Ba vectơ x y z; ;

  

đồng phẳng.

Chọn B.

+ Nhận thấy: y 2x

 

nên hai vectơ x y;

 

cùng phương.

Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tạiO. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.Nếu ABCD là hình bình hành thì OA OB OC      OD0 . B.Nếu ABCD là hình thang thì OA OB  2OC2OD 0 C.Nếu OA OB OC      OD0

thì ABCD là hình bình hành.

D.Nếu OA OB  2OC2OD 0

thì ABCD là hình thang.

Chọn B.

Câu 12: Cho hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Chọn khẳng định đúng?

A. BD BD BC  , ₁, ₁

đồng phẳng. B. CD AD A B  ₁, , ₁ ₁

đồng phẳng.

C. CD AD A C  ₁, , ₁

đồng phẳng. D.   AB AD C A, , ₁

đồng phẳng.

Chọn C.

, , , M N P Q

 lần lượt là trung điểm của AB AA DD CD, ₁, ₁, . Ta có CD1/ /(MNPQ); AD/ /



MNPQ



; A C1 / /(MNPQ)

1, , 1

CD AD A C

  

đồng phẳng.

O

D'

B' C'

B

A D

C A'

a b



D

A1 B1

C1

D1

C

A B

(7)

Câu 13: Cho ba vectơ a b c  , ,

không đồng phẳng. Xét các vectơ x2a  b y; a b    c;z 3b2c . Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ x y z  ; ;

đồng phẳng. B.Hai vectơ x a ;

cùng phương.

C. Hai vectơ x b ;

cùng phương. D.Ba vectơ   x y z; ;

đôi một cùng phương.

Chọn A.

Ta có: ^^y ^¹₂



^x^{ }^^z



nên ba vectơ x y z  ; ;

đồng phẳng.

Câu 14: Cho hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

1 1 1 1

ABB C DD k AC

   

A. k 4. B. k 1. C. k0. D. k 2.

Chọn B.

+ Ta có:       ABB C₁ ₁DD₁ ABBCCC₁AC₁ . Nên k 1.

Câu 15: Cho hình hộp ABCD A B C D.     có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt  AC u , CA  v

, BD  x

,  DB  y

. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. 2 ¹( )

OI  4 u  v x y

    

. B. 2 ¹( )

OI 2 u     v x y .

C. 2 ¹( )

OI 2 u  v x y

    

. D. 2 ¹( )

OI 4 u     v x y . Hướng dẫn giải:

Chọn A.

+ Gọi J K, lần lượt là trung điểm của AB CD, . +Ta có:

 

1 1

2 ( )

2 4

OI  OJOK  OA OB    OCOD   u     v x y

D

A1 B1

C1

D1

C

A B

J

K

O D

A’ B’

D’ C’

C

A B

(8)

Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ₁ ₁ ₁. Đặt        AA₁ a AB, b AC, c BC, d,

trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. a b c d       0

. B. a b c     d

. C. b c d     0

. D. a   b c . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

+ Dễ thấy:    ABBC CA   0 b d    c 0 .

Câu 17: Cho hình hộpABCD EFGH. . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hànhBCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. BD AK GF, ,

  

đồng phẳng. B. BD IK GF, ,

  

đồng phẳng.

C. BD EK GF, ,

  

đồng phẳng. D. BD IK GC, ,

  

đồng phẳng.

Chọn B.

+

//( )

BD (ABCD)

IK ABCD GF ABCD





 



, , IK GF BD

  

đồng phẳng.

+ Các bộ véctơ ở câu A C D, , không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.Nếu giá của ba vectơ a b c, ,

  

cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

B.Nếu trong ba vectơ a b c, ,

  

có một vectơ 0

thì ba vectơ đó đồng phẳng.

C.Nếu giá của ba vectơ a b c, ,

  

cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D.Nếu trong ba vectơ a b c, ,

  

có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

A

B

C

B1

A1 C1

I

K D

E F

H G

C

A B

(9)

Chọn A.

+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.

Câu 19: Cho hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.  AC₁A C₁ 2AC

. B.  AC₁CA₁2C C ₁ 0 . C.   AC₁A C₁ AA₁

. D. CA  ₁ACCC₁ . Hướng dẫn giải:

Chọn A.

+ Gọi O là tâm của hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu     ABBCCDDAO . B.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu  ABCD

. C. Cho hình chóp S ABCD. . Nếu có SB   SDSA SC

thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu  ABACAD . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

. SBSDSA SC SAABSAADSA SA AC

          

. AB AD AC

   

 ABCD là hình bình hành

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD EFGH. có cạnh bằng a. Ta có  AB EG.

bằng?

A. a² 2. B. a². C. a² 3. D.

2 2

2 a . Hướng dẫn giải:

Chọn B.

 

. . . .

AB EGAB EFEH AB EFAB EH

       

2 . ( )

AB AB AD EH AD

     a2

 (Vì ABAD )

O D

A1 B1

C1

D1

C

A B

(10)

Câu 22: Trong không gian cho điểm O và bốn điểmA B C D, , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A B C D, , , tạo thành hình bình hành là:

A. ¹ ¹

2 2

OA OB OC OD

. B. ¹ ¹

2 2

OA OCOB OD

   

. C. OA OC    OB OD

. D. OA OB OC      OD0 . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

  

   

OA OC OB OD             OA OA AC OA AB OA BC

    AC AB BC

Câu 23: Cho hình hộp ABCD A B C D.    . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A’ ’ và BCC B . Khẳng định nào sau đây sai ?

A.Bốn điểm I , K, C, A đồng phẳng B. ¹ ¹

2 2

IK  AC A C 

  

C.Ba vectơ   BD IK B C; ;  

không đồng phẳng. D. BD2IK2BC

Chọn C.

A.Đúng vì IK AC,

 

cùng thuộc



^{B AC}^



B.Đúng vì   ^IK ^^IB^^^{B K}^' ^¹₂



^a ^^b



^¹₂



^{ }^a ^c



^¹₂



^b ^^c



^ ¹₂ÂC^¹₂^{A C}^{ }^. C.Sai vì ÎK  ^ÎB^^^{B K}^' ^ ¹₂



^a ^^b



^¹₂



^{ }^a ^c



^¹₂



^b ^^c



^.

2 2 2

BD IK b c b c c B C 

           

 ba véctơ đồng phẳng.

D.Đúng vì theo câu C BD2IK     b c b c    2c2B C 2BC.

Câu 24: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M N, sao cho AM 3MD, 3

BN  NC. Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.Các vectơ   BD AC MN, ,

đồng phẳng. B.Các vectơ MN DC PQ  , ,

đồng phẳng.

C.Các vectơ   AB DC PQ, ,

đồng phẳng. D.Các vectơ   AB DC MN, ,

đồng phẳng.

Chọn A.

A.Sai vì

3 3 3 3

MN MA AC CN MN MA AC CN MN MD DB BN MN MD DB BN

       

 

 

     

 

 

       

       

4 3 1

MN AC BD 2BC

     

 BD AC MN, ,

  

B.Đúng vì

 

2 1

2 MN MP PQ QN

MN PQ DC MN PQ DC MN MD DC CN

   

      

   



   

     

   

MN DC PQ, ,

  

: đồng phẳng.

(11)

C.Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ

tương tự như trên ta có ^PQ^^¹₂



^{ }^AB^^DC



^.

D.Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có ¹ ¹

4 4

MN  AB DC

  

.

Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A.     AD CB BCDA0

B.

2

. 2

AB BC a

 

. C.    AC AD.  AC CD. .

D. ABCD hay  AB CD. 0 . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC BCD CDA ABD, , , là các tam giác đều.

A. Đúng vì         AD CB BCDADAADBCCB0 . B.Đúng vì

2

. . . .cos 600 .

2 AB BC BA BC a a a

    

   

C.Sai vì

2 2

0 0

. . .cos 60 ; . . . .cos 60 .

2 2

a a

AC ADa a  AC CD CA CD a a  

     

D.Đúng vì ABCD AB CD. 0.

Câu 26: Cho tứ diện ABCD. Đặt ABa AC    , b AD, c,

gọi G là trọng tâm của tam giácBCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A.    AG  a b c

. B. ^^AG^¹₃



^a^{  }^{ }^{b c}



^.

C. ^^AG^¹₂



^{a b c}^{  }^{ }



^. ^D. ^^AG^¹₄



^{a b c}^{  }^{ }



^.

Chọn B.

Gọi M là trung điểm BC.

 

2 2 1

3 3 2.

AGABBGa BM a BCBD

       

     

1 1 1

2 .

3 3 3

a AC AB AD AB a a b c a b c

                 

Câu 27: Cho hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

(12)

A. B M   ₁ B B₁ B A₁ ₁B C₁ ₁

. B. ₁ ₁ ₁ ₁ ¹ ₁ ₁

C M C CC D 2C B

   

. C. ₁ ₁ ¹ ₁ ₁ ¹ ₁ ₁

2 2

C M C C C D C B

. D.   BB₁B A₁ ₁B C₁ ₁2B D₁ . Hướng dẫn giải:

Chọn B.

A.Sai vì ^{B M}   ¹ ^^{B B}¹ ^^BM ^^BB¹^¹₂



^BA ^^BD



^^BB¹^¹₂



^{B A} ¹ ¹^^{B D}¹ ¹



 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2 .

BB B A B A B C BB B A B C

        

B.Đúng vì

   

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2

C M   C CCM C C CA CD  C C C A C D

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2 .

C C C B C D C D C C C D C B

        

C.Sai. theo câu B suy ra

D.Đúng vì BB     ₁B A₁ ₁B C₁ ₁BA₁BCBD₁ .

Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA GB GC      GD0

(G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G_O là giao điểm của GA và mp (BCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. GA 2G G₀

. B. GA4G G₀

. C. GA3G G₀

. D. GA2G G₀ . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Theo đề: G_O là giao điểm của GA và mp



^BCD



G0là trọng tâm tam giác BCD.

0 0 0 0

G A G B G C

     

Ta có: GA GB GC      GD0

  

³ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰



³ ⁰ ³ ⁰

GA GB GC GD GG G A G B G C GG G G

                 

Câu 29: Cho tứ diện ABCD. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD BC, . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.Các vectơ AB DC MN, ,

  

đồng phẳng. B.Các vectơ AB AC MN, ,

  

C.Các vectơ   AN CM MN, ,

đồng phẳng. D.Các vectơ   BD AC MN, ,

đồng phẳng.

(13)

Chọn C.

A.Đúng vì ^MN^{}^¹₂



^{ }^AB^^DC



^.

B.Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN

thì MN

không nằm trong mặt phẳng



^ABC



^.

C.Sai. Tương tự đáp án B thì AN

không nằm trong mặt phẳng



^CMN



^.

D.Đúng vì ^MN^{}^¹₂



^{ }^AC^^BD



^.

Câu 30: Cho tứ diệnABCD. Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi 0

GA GB GC      GD

”. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. G là trung điểm của đoạn IJ ( , I J lần lượt là trung điểm AB vàCD ) B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC D. Chưa thể xác định được.

Chọn D.

Ta có:



^GA^{ }^^GB

 

^ ^GC^{ }^^GD



^⁰^^ ²^GI^^²^GJ^^⁰^

G là trung điểm IJ nên đáp án A đúng Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.

Câu 31: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

A. ^^AO^¹₃



  ÂB^ÂD^ÂA¹



B. ^^AO^¹₂



  ÂB^ÂD^ÂA¹



C. ^^AO^¹₄



  ÂB^ÂD^ÂA¹



D. ^^AO^²₃



  ÂB^ÂD^ÂA¹



. Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Theo quy tắc hình hộp: AC₁   ABADAA₁

Mà ¹ ₁

AO 2AC

 

nên ^^AO^¹₂



  ÂB^ÂD^ÂA¹



.

(14)

Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Từ AB3AC

ta suy ra BA 3CA

B.Nếu ¹

AB 2BC

 

thì B là trung điểm đoạnAC. C.Vì AB 2AC5AD

nên bốn điểm , , , A B C D đồng phẳng D.Từ AB 3AC

ta suy ra CB2AC . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: AB 2AC5AD Suy ra:   ^{AB AC AD}^, ^,

hay bốn điểm , , , A B C D đồng phẳng.

Câu 33: Cho tứ diệnABCD. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD, và G là trung điểm của MN. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. MA MB    MCMD4MG

B. GA GB GC     GD C. GA GB GC      GD0

D. GM  GN 0 . Hướng dẫn giải:

Chọn B.

, ,

M N G lần lượt là trung điểm của AB CD MN, , theo quy tắc trung điểm :

2 ; 2 ; 0

GA GB   GM GC  GD GN GM   GN  Suy ra: GA GB GC      GD0

hay GA GB   GC  GD

.

Câu 34: Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng a. Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:

A. 2    ABB C CDD A 0

B.  AD AB.  a² C.  AB CD.  0

D. AC a 3 . Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có : 2ABB C CDD A 0

    

   

⁰

AB AB CD B C  D A 

      

0 0 0 0

AB AB

      (vô lí)

Câu 35: Cho hình hộp ABCD A B C D.     với tâm O. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:

A.   ABBCCC  ADD O OC

B.    ABAA ADDD C.    ABBCCDD A 0

D. AC  ABADAA .

(15)

Chọn B.

Ta có : ABAA ADDD ABAD

(vô lí) Câu 36: Cho ba vectơ a b c , ,

không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ x a b  2 ;c y 2a3b6 ;c z    a 3b6c

đồng phẳng.

B.Các vectơ x a2b4 ;c y 3a3b2 ;c z 2a3b3c

đồng phẳng.

C. Các vectơ x a b    c y; 2a3b  c z;   a 3b3c

đồng phẳng.

D. Các vectơ x a b c y     ; 2a b  3 ;c z    a b  2c

đồng phẳng.

Chọn B.

Các vectơ x y z, ,

  

đồng phẳng m n x, : m ynz

  

Mà : x m ynz

   

2 4 3 3 2 2 3 3

a b c m a b c n a b c

           3 2 1

3 3 2

2 3 4

m n m n m n

 



    

  



(hệ vô nghiệm) Vậy không tồn tại hai số m n x, : m ynz

  

Câu 37: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn:

0 GS     GA GB GC  GD

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. G S O không thẳng hàng., , B. GS4OG

C. GS5OG

D. GS3OG

Chọn B.

0 GS    GA GB GCGD

 

4 0

GS GO OA OB OC OD

         

4 0

GS GO

 

4 GS OG

 

Câu 38: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C.    có AA a AB    , b AC, c

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC

qua các vectơ a b c  , , . A. BC      a b c

B. BC    a b c  

C. BC    a b c  

D.    BC   a b c . Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: BC  BAAC   ABACAA      b c a   a b c   .

Câu 39: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?

(16)

A. GA GB   GCGD0

B. ^OG^ ^¹₄



ÔA   ^ÔB^ÔC^ÔD



C. ^^AG^ ²₃



  ÂB^ÂC^ÂD



D. ^^AG^ ¹₄



  ÂB^ÂC^ÂD



Chọn C.

G là trọng tâm tứ diện ABCD

 

0 4 0 1

GA GB GC GD GA AB AC AD AG 4 AB AC AD

                   .

Câu 40: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: ^MN^{}^^{k AC}



^{ }^^BD



A. ¹.

k 2 B. ¹.

k 3 C. k 3. D. k2.

Chọn A.

 

1

MN 2 MCMD

  

(quy tắc trung điểm) ^¹₂



^MA   ^^AC^^MB^^BD



Mà MA MB   0

(vì M là trung điểm AB) ^^MN^{}^¹₂



^{ }^AC^^BD



^.

Câu 41: Cho ba vectơ a b c, ,

  

. Điều kiện nào sau đây khẳng định a b c, ,

  

đồng phẳng?

A.Tồn tại ba số thực m n p, , thỏa mãn m n p0 và manb pc0

   

. B.Tồn tại ba số thực m n p, , thỏa mãn m n p0 và manb pc 0

. C.Tồn tại ba số thực m n p, , sao cho manb pc 0

. D.Giá của a b c, ,

  

đồng qui.

Chọn B.

Theo giả thuyết m n p0  tồn tại ít nhất một số khác 0 .

Giả sử m0. Từ 0 n p

ma nb pc a b c

m m

      

      

. , ,

a b c

  

đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).

Câu 42: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C.    có AA a AB, b AC, c

     

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ B C



qua các vectơ a b c, ,

   . A. B C      a b c.

B. B C    a b c  .

C.    B C   a b c.

D. B C    a b c  . Hướng dẫn giải:

Chọn D.

B C B B B C 

  

(qt hình bình hành) . AA BC a AC AB a b c

             

(17)

Câu 43: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Nếu ¹

AB 2BC

 

thì B là trung điểm của đoạn AC. B.Từ AB 3AC

ta suy ra CB  AC. C. Vì AB 2AC5AD

nên bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc một mặt phẳng.

D. Từ AB3AC

ta suy ra BA 3CA. Hướng dẫn giải:

Chọn C.

A. Sai vì ¹

AB 2BC

 

A là trung điểm BC.

B.Sai vì AB3AC

4 CB  AC

.

C.Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ.

D.Sai vì AB3ACBA3CA

(nhân 2 vế cho 1).

Câu 44: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A. Ba véctơ a b c, ,

  

đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.

B.Ba véctơ a b c, ,

  

đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 . C. véctơ luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a

và b . D. Cho hình hộp ABCD A B C D. ’ ’ ’ ’ ba véctơ   AB C A DA,  , 

đồng phẳng Hướng dẫn giải:

Chọn C.

A.Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.

B.Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.

C.Sai D.Đúng vì

DA AA AD a c

AB a b AB DA CA

C A CA b c

    



    



      



    

     

    3

vectơ  AB C A DA,  , 

đồng phẳng.

Câu 45: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD EFGH. có cạnh a. Ta có  AB EG.

bằng:

A. a². B. a 2 C. a 3. D. ².

2 a Hướng dẫn giải:

Chọn A.

x  a b c

   

(18)

  

2

2 2 2

.

. . . . .

0 0 0 0 . 0

AB EG EF EH AE EF FB

EF AE EF EF FB EH AE EH EF EH FB

a EH EA a a

   

     

        

      

         

 

Câu 46: Cho hình chóp S ABCD. . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.Nếu SA SB  2SC2SD6SO

thì ABCD là hình thang.

B.Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB    SCSD4SO

. C.Nếu ABCD là hình thang thì SA SB  2SC2SD6SO

. D.Nếu SA SB    SCSD4SO

thì ABCD là hình bình hành.

Chọn C.

A.Đúng vì SA SB  2SC2SD6SO

2 2 0

OA OB OC OD

      .

Vì O A C, , và O B D, , thẳng hàng nên đặt OAkOC OB; mOD

  



^k ¹



^OC



^m ¹



^OD ⁰

      . Mà OC OD,

�