Chuyên đề bài tập trắc nghiêm quan hệ vuông góc có đáp án và lời giải chi tiết - Công thức nguyên hàm

(1)

TUYỂN CHỌN 124 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Câu 1: Cho ba vectơ a b c  , ,

không đồng phẳng. Xét các vectơx=2a b y  − ; = − +4a 2 ;b z = − −3b 2c . Chọn khẳng định đúng?

A.Hai vectơ  y z;

cùng phương. B.Hai vectơ x y ;

cùng phương.

C.Hai vectơ x z ;

cùng phương. D.Ba vectơ x y z  ; ;

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải + Nhận thấy: y = −2x

nên hai vectơ x y ;

cùng phương.

Câu 2: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tạiO . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.Nếu ^ABCD là hình bình hành thì OA OB OC    + + +OD=0 . B.Nếu ABCD là hình thang thì OA OB + +2OC+2OD =0 C.Nếu OA OB OC    + + +OD=0

thì ABCD là hình bình hành.

D.Nếu OA OB + +2OC+2OD =0

thì ABCD là hình thang.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Câu 3: Cho hình hộp ABCD A B C D. 1 1 1 1. Chọn khẳng định đúng?

A.   BD BD BC, ₁, ₁

đồng phẳng. B. CD AD A B  ₁, , ₁ ₁

đồng phẳng.

C. CD AD A C  ₁, , ₁

đồng phẳng. D.   AB AD C A, , ₁

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

, , , M N P Q

+ lần lượt là trung điểm của AB,AA , DD ,1 1 CD.

D

A1 B1

C1

D1

C

A B

QUAN HỆ VUÔNG GÓC CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

(2)

( )

1

/ /( ).

/ / .

/ /( ).

CD MNPQ AD MNPQ A C MNPQ +

+ +

1, , 1

CD AD A C

⇒  

đồng phẳng.

Câu 4: Cho ba vectơ a b c  , ,

không đồng phẳng. Xét các vectơ x =2a b y      + ; = − −a b c;z= − −3b 2c . Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ x y z  ; ;

đồng phẳng. B. Hai vectơ x a ;

cùng phương.

C. Hai vectơ x b ;

cùng phương. D. Ba vectơ x y z  ; ;

đôi một cùng phương.

Hướng dẫn giải Ta có: ^^y⁼ ¹₂

( )

^x^{ }⁺^z nên ba vectơ x y z  ; ;

đồng phẳng.

Câu 5: Cho hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

1 1 1 1

AB+B C +DD =k AC

   

A.k = 4 B. k = 1

C. k = 0 D. k = 2.

+ Ta có:

1 1 1

1 1

AB B C DD AB BC CC AC

+ +

= + +

=

  

  

 .

Nên k =1. Chọn B

Câu 6: Cho hình hộp ABCD A B C D. ’ ’ ’ ’ có tâmO . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt '

AC =u

 

,CA '=v

,  BD'=x

,  DB'=y

. đúng?

A. 1

2 ( )

OI= −4 u   + + +v x y

. B. 1

2 ( )

OI = −2 u   + + +v x y . D

A1 B1

C1

D1

C

A B

(3)

C. 1

2 ( )

OI=2 u   + + +v x y

. D. 1

2 ( )

OI =4 u+ + +v x y

    

. Hướng dẫn giải

+ Gọi J K, lần lượt là trung điểm của AB CD, .

+ Ta có:

( )

2 OJ

1 2

1( )

4

OI OK

OA OB OC OD u v x y

= +

= + + +

= − + + +

  

   

   

Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. 1 1 1. Đặt        AA1 =a AB, =b AC, =c BC, =d,

trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. a b c    + + + =d 0

. B. a b c   + + =d

. C. b c   − + =d 0

. D. a  = +b c . Hướng dẫn giải

A

B

C

B1

A1 C1

J

K

O D

A’ B’

D’ C’

C

A B

(4)

+ Dễ thấy:

0 0 AB BC CA

b d c

+ + =

⇒ + − =

   

    .

Câu 8: Cho hình hộp^{ABCD EFGH}^. . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hànhBCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.   BD AK GF, ,

đồng phẳng. B. BD IK GF  , ,

đồng phẳng.

C.   BD EK GF, ,

đồng phẳng. D. BD IK GC  , ,

đồng phẳng.

+

/ /( )

BD (ABCD)

IK ABCD GF ABCD



 ⊂



, ,

IK GF BD

⇒  

đồng phẳng.

+ Các bộ vecto ở câu ^{A C D}^{, ,} không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu giá của ba vectơ a b c  , ,

cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

B. Nếu trong ba vectơ a b c  , ,

có một vectơ 0

thì ba vectơ đó đồng phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ a b c  , ,

cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu trong ba vectơ a b c  , ,

có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Hướng dẫn giải + Nắm vững khái niệm ba vecto

đồng phẳng.

Câu 10: Cho hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.  AC₁+A C₁ =2AC

. B.  AC₁+CA₁+2C C ₁ =0 . C.   AC₁+A C₁ = AA₁

. D. CA  ₁+AC=CC₁ . I

K D

E F

H G

C

A B

(5)

Hướng dẫn giải + Gọi O là tâm của hình hộp ABCD A B C D. 1 1 1 1.

+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

Câu 11: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCDlà hình bình hành nếu     AB BC CD+ + +DA O= . B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB =CD

. C. Cho hình chóp S ABCD. . Nếu có SB SD   + =SA SC+

thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ^ABCD là hình bình hành nếu  ^{AB AC}⁺ ⁼^AD . Hướng dẫn giải

. SB SD+ =SA SC+ ⇔SA AB SA AD+ + + =SA SA AC+ +

          

. AB AD AC

⇔  + =

⇔ ABCD là hình bình hành

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD EFGH. có cạnh bằng a.Ta có  AB EG.

bằng?

A. a² 2. B. a². C. a² 3. D.

2 2

2 a . Hướng dẫn giải

A

D C

B

O D

A1 B1

C1

D1

C

A B

(6)

. .( )

. .

AB EG AB EF EH AB EF AB EH

= +

    

  

2 . ( )

AB AB AD EH AD

= +   = a2

= (Vì AB ⊥AD )

Câu 13: Trong không gian cho điểm O và bốn điểmA B C D, , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A B C D, , , tạo thành hình bình hành là:

A. 1 1

2 2

OA+ OB =OC+ OD

. B. 1 1

2 2

OA+ OC =OB+ OD

. C. OA OC   + =OB OD+

. D. OA OB OC    + + +OD=0 . Hướng dẫn giải

+ = +

   

OA OC OB OD

⇔      + + = + + + OA OA AC OA AB OA BC

⇔  = + AC AB BC

Câu 14: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A’ ’ và

’ ’

BCC B . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng B. ¹ ¹ ' '

2 2

IK = AC= A C

  

C. Ba vectơ ^{BD IK B C}  ^; ^; ^' ^'

không đồng phẳng. D. BD+2IK=2BC

Hướng dẫn giải A. Đúng vì  

,

IK AC cùng thuộc

(

^{B AC}^′

)

B. Đúng vì

( ) ( )

( )

1 1

' 2 2

1 1 1

2 2 2 .

IK IB B K a b a c b c AC A C

= ′+ = + + − +

= + = = ′ ′

      

   

C. Sai vì

A

D C

B

F

H G E

B

D C A

(7)

( ) ( ) ( )

1 1 1

' .

2 2 2

IK=IB′+B K = a b+ + − +a c = b c+

        

2 2 2 .

BD IK b c b c c B C′ ′

⇒+ = − + + + =    = 

⇒ ba véctơ đồng phẳng.

D. Đúng vì theo câu C

2 2 2 2 .

BD IK b c b c c B C′ ′ BC

⇒+ = − + + + =    = = 

Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M N, sao cho

3 ; 3

AM = MD BN = NC. Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ BD AC MN  , ,

đồng phẳng. B. Các vectơ MN DC PQ  , ,

đồng phẳng.

C. Các vectơ   AB DC PQ, ,

đồng phẳng. D. Các vectơ   AB DC MN, ,

đồng phẳng.

A. Sai vì

3 3 3 3

MN MA AC CN MN MA AC CN MN MD DB BN MN MD DB BN

 = + +  = + +

 ⇒

 

= + + = + +

 

 

       

       

4 3 1

MN AC BD 2BC

⇒  = − + 

⇒ BD AC MN  , ,

không đồng phẳng.

B. Đúng vì

( )

2 1 .

2 MN MP PQ QN

MN PQ DC MN PQ DC MN MD DC CN

 = + +

 ⇒ = + ⇒ = +

 = + +



   

     

   

⇒ MN DC PQ  , ,

: đồng phẳng.

C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ

tương tự như trên ta có ^PQ^⁼¹₂

(

^{ }^AB⁺^DC

)

^.

D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có 1 1

4 4

MN = AB+ DC

  

.

Câu 16: Cho tứ diện ^ABCD có các cạnh đều bằng ^a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A.     AD CB BC DA+ + + =0

B.

2

. 2

AB BC= −a

 

. C.    AC AD. =AC CD. .

D. AB⊥CD hay  AB CD. =0 .

Q

P

N

M

D

C B

A

(8)

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC BCD CDA ABD, , , là các tam giác đều.

A. Đúng vì         + + + = + + + =0 AD CB BC DA DA AD BC CB .

B. Đúng vì . . . .cos 60⁰ ².

2 AB BC = −BA BC= −a a = −a

   

C. Sai vì

2 0

. . .cos60 .

2

. . . .cos60 .

2 AC AD a a a

AC CD CA CD a a a

= =

= − = − = −

 

   

D. Đúng vì  AB⊥CD⇒ AB CD. =0.

Câu 17: Cho tứ diện ^ABCD. Đặt      AB=a AC, =b AD, =c,

gọi G là trọng tâm của tam giácBCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A.    AG= + +a b c

. B. ^^AG⁼¹₃

(

^{a b c}^{  }^{+ +}

)

^.

C. ^^AG⁼¹₂

(

^{a b c}^{  }^{+ +}

)

^. ^D.^^AG⁼¹₄

(

^{a b c}^{  }^{+ +}

)

^.

Gọi M là trung điểm BC.

G M

D

C B

A

D B C

(9)

( )

2 3 2 1.

3 2

AG AB BG a BM

a BC BD

= + = +

= + +

    

  

( )

( ) ( )

1 3

1 1

2 .

3 3

a AC AB AD AB a a b c a b c

= + − + −

= + − + + = + +

    

      

Câu 18: Cho hình hộp ABCD A B C D. ₁ ₁ ₁ ₁. Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng A.    B M₁ =B B₁ +B A₁ ₁+B C₁ ₁

. B. ₁ ₁ ₁ ₁ 1 ₁ ₁

C M  =C C+C D +2C B

.

C. ₁ ₁ 1 ₁ ₁ 1 ₁ ₁

2 2

C M =C C+ C D+ C B

. D. BB  ₁+B A₁ ₁+B C₁ ₁=2B D₁ . Hướng dẫn giải

A. Sai vì

( )

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1

2 1 2

1 .

2

B M B B BM BB BA BD BB B A B D

BB B A B A B C BB B A B C

= + = + +

= + +

= + + +

= + +

     

  

   

  

B. Đúng vì

B₁

D₁ C₁

A₁

B

D C A

M

(10)

( )

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1

2 1 2

1 .

2

C M C C CM C C CA CD C C C A C D

C C C B C D C D C C C D C B

= + = + +

= + +

= + + +

= + +

     

  

   

  

C. Sai. theo câu B suy ra

D. Đúng vì BB     ₁+B A₁ ₁+B C₁ ₁=BA₁+BC=BD₁ .

Câu 19: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA GB GC    + + +GD=0

(G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G_O là giao điểm của GA và mp (BCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. GA= −2G G₀

. B. GA=4G G₀

. C. GA=3G G₀

. D. GA=2G G₀ . Hướng dẫn giải

Theo đề: G_O là giao điểm của GA và mp

(

^BCD

)

G0

⇒ là trọng tâm tam giác ^BCD.

0 0 0 0

G A G B G C

⇒   + + = Ta có: GA GB GC    + + +GD=0

( )

(

⁰ ⁰ ⁰ ⁰

)

0 0

3

3 3

GA GB GC GD

GG G A G B G C GG G G

⇒ = − + +

= − + + +

= − =

   

   

 

Câu 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD BC, . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ   AB DC MN, ,

đồng phẳng. B. Các vectơ   AB AC MN, ,

không đồng phẳng.

G0

G

M

D

C B

A

(11)

C. Các vectơ   AN CM MN, ,

đồng phẳng. D. Các vectơ BD AC MN  , ,

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải A. Đúng vì ^MN^{}⁼¹₂

(

^{ }^AB⁺^DC

)

^.

B. Đúngvì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN

thì MN

không nằm trong mặt phẳng

(

^ABC

)

^.

C. Sai. Tương tự đáp án B thì ^^AN không nằm trong mặt phẳng

(

^CMN

)

^.

D. Đúng vì ^MN^{}⁼¹₂

(

^{ }^AC⁺^BD

)

^.

Câu 21: Cho tứ diệnABCD. Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi 0

GA GB GC    + + +GD=

”. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. G là trung điểm của đoạn IJ ( , I J lần lượt là trung điểm AB vàCD ) B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC D. Chưa thể xác định được.

Ta có:

(

^{GA GB}^{ }⁺

) (

⁺ ^GC^{ }⁺^GD

)

^{= ⇔}⁰^ ²^GI^⁺²^GJ^{ }⁼⁰

Glà trung điểm IJ nên đáp án A đúng Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.

N

M

D

C B

A

(12)

Câu 22: Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1. Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

A. ^^AO⁼¹₃

(

  ÂB⁺ÂD⁺ÂA¹

)

B. ^^AO⁼ ¹₂

(

  ÂB⁺ÂD⁺ÂA¹

)

C. ^^AO⁼¹₄

(

  ÂB⁺ÂD⁺ÂA¹

)

D. ^^AO⁼ ²₃

(

  ÂB⁺ÂD⁺ÂA¹

)

Theo quy tắc hình hộp:    AC₁ = AB+ AD+ AA₁

Mà : 1 ₁

AO= 2AC

 

Nên ^^AO⁼ ¹₂

(

  ÂB⁺ÂD⁺ÂA¹

)

.

Câu 23: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Từ AB=3AC

ta suy raBA= −3CA

B. Nếu ¹

AB= −2BC

 

thì B là trung điểm đoạnAC . C. Vì AB= −2AC+5AD

nên bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng D. Từ AB= −3AC

ta suy raCB=2AC .

Ta có: AB= −2AC+5AD Suy ra:   ^{AB AC AD}^, ^,

hay bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng.

Câu 24: Cho tứ diệnABCD . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD, và G là trung điểm củaMN. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. MA MB   + +MC+MD=4MG

B. GA GB GC   + + =GD C. GA GB GC    + + +GD=0

D. GM  +GN =0 . Hướng dẫn giải

, ,

M N G lần lượt là trung điểm của AB CD MN, , theo quy tắc trung điểm :

2 ; 2 ; 0

GA GB + = GM GC  +GD= GN GM   +GN = Suy ra: GA GB GC    + + +GD=0

Hay GA GB  + +GC = −GD

.

Câu 25: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:

G B

C

D A

M

N

(13)

A. 2    AB+B C′ ′+CD+D A′ ′=0

B.  AD AB′. ′ =a² C.  AB CD′. ′ =0

D. AC′ =a 3 . Hướng dẫn giải

Ta có : 2    AB+B C′ ′+CD+D A′ ′=0

( ) ( )

⁰

AB AB CD B C′ ′ D A′ ′

⇔+  + +  + =

0 0 0 0

AB AB

⇔   + + = ⇔ = (vô lí)

Câu 26: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:

A. AB BC CC     + + ′= AD′+D O′ +OC′

B.    AB+AA′= AD+DD′ C.     AB+BC′+CD+D A′ =0

D. AC   ′= AB+AD+AA′ . Hướng dẫn giải

Ta có :   AB+ AA′= AD+DD′⇔  AB= AD

(vô lí)

Câu 27: Cho ba vectơ a b c , , không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ x  = + +a b 2 ;c y =2a−3b−6 ;c z = − +a 3b+6c

đồng phẳng.

B. Các vectơ ^x^{ }^{= −}â ²^b^⁺^{4 ;}^{c y}^{ }⁼³â^⁻³^b^⁺^{2 ;}^{c z}^{ }⁼²â^⁻³^b^⁻³^c^ đồng phẳng.

C. Các vectơ ^x    = + +â ^b ^{c y}^; =²â−³^b  +^{c z}^; = − +â ³^b+³^c

đồng phẳng.

D. Các vectơ x    = + −a b c y; =2a b − +3 ;c z = − − +a b  2c

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải Các vectơ ^{x y z}^{  }^{, ,} đồng phẳng^{⇔ ∃}^{m n x}^{, :}^ ⁼^{m y}^⁺^nz^ Mà : x =m y+nz

( ) ( )

2 4 3 3 2 2 3 3

a b c m a b c n a b c

⇔ − + = − +  + − − 

3 2 1

3 3 2

2 3 4

m n m n m n

+ =



⇔ − − = −

 − =



(hệ vô nghiệm)

D' C'

B' A'

A B

D C

D' C'

B' A'

A B

D C

(14)

Vậy không tồn tại hai số m n x, : =m y+nz

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn:

0 GS     +GA GB GC+ + +GD=

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. G S O không thẳng hàng. , , B. GS=4OG

C. GS=5OG

D. GS=3OG

0 GS     +GA+GB+GC+GD=

( )

4 0

GS GO OA OB OC OD

⇔+ +    + + + =

4 0

GS GO

⇔+  = 4

GS OG

⇔= 

Câu 29: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. ’ ’ ’ có      AA'=a AB, =b AC, =c

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ '

BC

qua các vectơ a b c  , , . A.    BC'= + −a b c

B. BC′ = − + −a b c  

C. BC′ = − − +a b c  

D. BC   '= − +a b c . Hướng dẫn giải

Ta có: BC  '=BA+AC'= −  AB+ AC+AA'= − + + = − +b     c a a b c . Câu 30: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâmG. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. GA+G B   +GC+GD=0

B. ^OG^⁼ ¹₄

(

ÔA   ⁺ÔB⁺ÔC⁺ÔD

)

C. ^^AG ⁼ ²₃

(

  ÂB⁺ ÂC⁺ÂD

)

D. ^^AG⁼ ¹₄

(

  ÂB⁺ÂC⁺ÂD

)

Glà trọng tâm tứ diệnABCD

( )

0 4 0 1

GA GB GC GD GA AB AC AD AG 4 AB AC AD

⇔+    + + = ⇔     + + + = ⇔ =   + + . Câu 31: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: ^MN^{}⁼^{k AC}

(

^{ }⁺^BD

)

C'

B' A'

A

B

C O

B C

D A

S

(15)

A. 1 2.

k= B. 1

3.

k= C. k=3. D. k=2.

( )

1

MN = 2 MC+MD

  

(quy tắc trung điểm)

( )

1

2 MA AC MB BD

=    + + + Mà MA MB  + =0

(vì M là trung điểm AB)

( )

1

MN 2 AC BD

⇒=  +

. Chọn A Câu 32: Cho ba vectơ a b c  , ,

. Điều kiện nào sau đây khẳng định a b c  , ,

đồng phẳng?

A. Tồn tại ba số thực m n p, , thỏa mãn m+ + =n p 0 và ma+nb+ pc =0 . B. Tồn tại ba số thực m n p, , thỏa mãn m+ + ≠n p 0 và ma+nb+ pc =0

. C. Tồn tại ba số thực m n p, , sao cho ma+nb+pc =0

. D. Giá của a b c  , ,

đồng qui.

Theo giả thuyết m+ + ≠n p 0 ⇒ tồn tại ít nhất một số khác 0. Giả sử m≠0.

Từ 0 n p

ma nb pc a b c

m m

+ + = ⇒ = − −

      

. , ,

a b c

⇒  

đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ). Chọn B.

Câu 33: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. ′ ′ ′ có      AA′ =a AB, =b AC, =c

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ '

B C

qua các vectơ a b c  , , . A.    B C′ = + −a b c.

B. B C′ = − + +a b c  .

C. B C   ' = + +a b c.

D. B C′ = − − +a b c  . Hướng dẫn giải

B C′ =B B′ +B C′ ′

  

(qt hình bình hành)

. AA′ BC a AC AB a b c

= − + = − +  − = − − +   Chọn D.

Câu 34: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

C'

B'

A'

C

B

A

(16)

A. Nếu 1 AB= −2BC

 

thì B là trung điểm của đoạn ^AC. B. Từ AB= −3AC

ta suy ra CB =AC. C. Vì AB= −2AC+5AD

nên bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc một mặt phẳng.

D. Từ AB=3AC

ta suy ra BA= −3CA.

Hướng dẫn giải A. Sai vì 1

AB= −2BC⇒

 

A là trung điểm BC.

B. Sai vì AB−3AC⇒

4 CB= − AC

 

.

C. Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ.

D. Sai vì AB=3AC⇒BA=3CA

(nhân 2 vế cho −1).

Câu 35: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A. Ba véctơ a b c  , ,

đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương. B. Ba véctơ a b c  , ,

đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ ⁰^. C. véctơ x a b c   = + +

luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ ^a^ và b . D. Cho hình hộp ABCD A B C D. ’ ’ ’ ’ ba véctơ   AB C A DA′ ′ ′, , ′

đồng phẳng Hướng dẫn giải

A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.

B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.

C. Sai D. Đúng vì

DA AA AD a c

AB a b AB DA CA

C A CA b c

 ′= ′− = −

 ′= + ⇒ ′= ′−

 ′ ′ = = − −



    

     

   

⇒3 vectơ  AB C A DA′ ′ ′, , ′

đồng phẳng.

b c a

D'

C' B'

A'

D B C

A

C A B

(17)

Câu 36: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ^{ABCD EFGH}^. có cạnh ^a. Ta có  AB EG.

bằng:

A. a². B. a 2 C. a 3. D. 2

2 . a Hướng dẫn giải

( )( )

2 2

.

. . . . .

0 0 0 0 .

0

AB EG EF EH AE EF FB

EF AE EF EF FB EH AE EH EF EH FB

a EH EA

a a

= + + +

= + + + + +

= + =

      

         

 

Chọn A.

Câu 37: Cho hình chóp .S ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu^{SA SB}^{ }⁺ ⁺²^SC^⁺²^SD^⁼⁶^SO^ thì ABCD là hình thang.

B. Nếu ABCD là hình bình hành thìSA SB   + +SC+SD=4SO

. C. Nếu ^ABCD là hình thang thì SA SB + +2SC+2SD=6SO

. D. NếuSA SB   + +SC+SD=4SO

thì ABCD là hình bình hành.

A. Đúng vì SA SB + +2SC+2SD=6SO

2 2 0

OA OB OC OD

⇔ + + +  = . Vì O, A, C và O B D, , thẳng hàng nên đặt ^OA^⁼^{kOC OB}^^; ⁼^mOD^.

(

^k ¹

)

^OC

(

^m ¹

)

^OD ⁰

⇒ + + +  = .

O

B C

D S

A

H F G

E

D B C

A

(18)

Mà OC OD ,

không cùng phương nên 2

k= − và m= −2.

⇒ OA OB 2 / / . AB CD OC =OD = ⇒

B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.

C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD BC, thì sẽ sai.

D. Đúng. Tương tự đáp án A với k= −1, m= − ⇒1 Olà trung điểm 2 đường chéo.

Câu 38: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?

A. Từ hệ thức ÂB=²ÂC−⁸ÂD

ta suy ra ba véctơ   AB AC AD, ,

đồng phẳng. B. Vì NM  +NP=0

nên N là trung điểm của đoạn MP.

C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có ^OI^ ⁼¹₂

(

^{OA OB}^{ }⁺ ^.

)

D. Vì     AB+BC+CD+DA=0

nên bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc một mặt phẳng. Hướng dẫn giải

A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ.

B. Đúng

C. Đúng vì ^{OA OB}     ⁺ ⁼^OI⁺^{IA OI}⁺ ⁺^IB Mà IA  +IB=0

(vì I là trung điểm AB) 2

OA OB OI

⇒ + = 

.

D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.

Câu 39: Cho hình hộp ABCD A B C D. ’ ’ ’ ’ có tâm O. Đặt  AB=a

;BC =b

. M là điểm xác định bởi

( )

1 OM= 2 a b −

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M là trung điểm BB′. B. M là tâm hình bình hành BCC B′ ′. C. M là tâm hình bình hành ABB A′ ′. D. M là trung điểm ^CC′^.

A. M là trung điểm ^BB′ ^⇒²^OM  ⁼^{OB OB}⁺ ^′^{= −}¹₂

(

^{B D} ^′ ⁺^BD^′

)

(quy tắc trung điểm).

( )

1 '

2 B B b a BB′ b a

= −      + − + + −

(quy tắc hình hộp).

( )

1 2 2

2 a b a b

= − − +  = −  .

⇒ A. Đúng.

Câu 40: Cho hai điểm phân biệt A B, và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm ^M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  =OA OB+ . B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM =OB=k BA

.

(19)

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi ^OM^{} ⁼^kOA^^{+ −}

(

¹ ^{k OB}

)

^^.

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi ^OM^{ }⁼^OB⁼^{k OB OA}

(

^{ }⁻

)

^.

Hướng dẫn giải A. Sai vì OA OB + =2OI

(I là trung điểm AB) 2

OM OI

⇒= ⇒

,O M I, thẳng hàng.

B. Sai vì OM =OB⇒M ≡B

; Và OB=k BA⇒

, ,O B A thẳng hàng: vô lý

C. ^OM^{}⁼^kOA^^{+ −}

(

¹ ^{k OB}

)

^^⇔^OM^{ }⁻^OB⁼^{k OA OB}

(

^{ }⁻

)

^.

BM k BA

⇔= 

, ,

B A M

⇒ thẳng hàng.

D. Sai vì ^{OB OA}  ⁻ ⁼^AB^⇒^OB⁼^{k OB OA}

(

 ⁻

)

⁼^{k AB}

, , O B A

⇒ thẳng hàng: vô lý.

BẢNG TỔNG HỢP ĐÁP ÁN 1-40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B B C A B A C B A A C B C C A C B B C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

D B C B A B B B D C A B D C C A C D A C

Câu 41: Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diệnABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: ^PI^⁼^{k PA}

(

   ⁺^PB⁺^PC⁺^PD

)

A.k =4 . B. ¹

k =2. C. ¹

k = 4. D. k =2 . Hướng dẫn giải :

Ta có PA +PC =2PM

, PB +PD=2PN

nên PA  +PB PC+ +PD=2PM+2PN=2(PM +PN)=2.2.PI =4PI

Vậy ¹

k = 4

Câu 42: Cho hình hộp ABCD A B C D. 1 1 1 1. Chọn đẳng thức sai?

A. BC   +BA=B C₁ ₁+B A₁ ₁

. B.    AD+D C₁ ₁+D A₁ ₁ = DC . C. BC   +BA+BB₁ =BD₁

. D. BA   +DD₁+BD₁ =BC .

(20)

D1

D

C1 A1

A

B B1

C

Hướng dẫn giải : Ta có : BA        +DD₁ +BD₁ =BA+BB₁+BD₁ = BA₁ +BD₁ ≠BC

nên D sai.

Do BC =B C₁ ₁

và  BA=B A₁ ₁

nên    BC+BA=B C₁ ₁+B A₁ ₁

. A đúng Do         AD+D C₁ ₁ +D A₁ ₁ = AD+D B₁ ₁ = A D₁ ₁ +D B₁ ₁ = A B₁ ₁ = DC

nên

1 1 1 1

AD+D C +D A =DC

   

nên B đúng.

DoBC     +BA+BB₁ =BD+DD₁ =BD₁

nên C đúng.

Câu 43: Cho tứ diệnABCD . Gọi P Q, là trung điểm của AB vàCD . Chọn khẳng định đúng?

A. ^PQ^ ⁼ ¹₄

(

^BC^{ }⁺^AD

)

^.^B.^PQ^ ⁼ ¹₂

(

^{ }^BC⁺ ^AD

)

^.C.^PQ^ ⁼ ¹₂

(

^{ }^BC⁻ ^AD

)

^D.  ^PQ⁼^BC⁺^AD . Hướng dẫn giải :

Ta có : PQ   = PB+BC+CQ

và    PQ=PA+AD+DQ nên

( ) ( )

2PQ=  PA+PB +BC +AD+ CQ +DQ =BC +AD

. Vậy ^PQ^⁼ ¹₂

(

^BC^{ }⁺ ^AD

)

Câu 44: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. M là điểm trên AC sao choAC=3MC . Lấy N trên đoạn '

C D sao cho xC D' =C N' . Với giá trị nào của x thìMN BD’ .

A. ²

x= 3. B. ¹

x= 3. C. ¹

x= 4. D. ¹ x= 2. Hướng dẫn giải :

N D'

D

C' A'

A

B B'

M C

Câu 45: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

' ' ' '

BD−D D−B D =k BB

   

A. k =2. B. k =4. C.k =1 . D. k =0.

Hướng dẫn giải :

(21)

D'

D

C' A'

A

B B'

C

Ta có    BD+DD'+D B' '= BB'

nên k =1 Câu 46: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: ^OI^ ⁼ ¹₂

(

^OA^{ }⁺^OB

)

^.

B. Vì     AB+BC+CD+DA=0

nên bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng.

C. Vì NM  +NP=0

nên N là trung điểm đoạnNP. D. Từ hệ thức AB =2AC−8AD

ta suy ra ba vectơ   ^{AB AC AD}^, ^,

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải : Do     AB+BC+CD+DA=0

đúng với mọi điểm A B C D, , , nên câu B sai.

Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ a b c  , ,

đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng B. Ba tia Ox Oy Oz, , vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b

. Khi đó ba véctơ a b c  , ,

đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m n, sao cho c ma nb= + 

, ngoài ra cặp số m n, là duy nhất.

D. Nếu có ma nb pc+ +  =0

và một trong ba số ^{m n p}^{, ,} khác 0 thì ba véctơ a b c  , ,

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải : Ba véctơ a b c  , ,

đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộcmột mặt phẳng. Câu A sai

Câu 48: Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diệnABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: IA+(2k−1)IB+k IC  +ID =0

A. k =2 . B. k =4. C.k =1 . D. k =0.

Hướng dẫn giải : Ta chứng minh được     IA+IB+IC+ID =0

nên k =1

Câu 49: Cho ba vectơ a b c  , , . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu a b c  , ,

không đồng phẳng thì từ ma+nb+ pc =0

ta suy ra m= = =n p 0 . B. Nếu có ^ma +^nb+ ^pc =⁰

, trong đó m² +n² + p² >0 thì , ,a b c  

đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m+ + ≠n p 0 ta có ma +nb+ pc =0

thì a b c  , , đồng phẳng.

D. Nếu giá của ^{a b c}^{  }^{, ,} đồng qui thì ^{a b c}^{  }^{, ,} đồng phẳng.

(22)

Hướng dẫn giải :

Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Câu 50: Cho hình lăng trụABC A B C. ’ ’ ’ , M là trung điểm củaBB’ . Đặt CA =a

,CB =b

,  AA'=c . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ¹

AM = + −a c 2b

   

B. ¹

AM = + −b c 2a

   

. C. ¹

AM = − +b a 2c

   

. D. ¹

AM = − +a c 2b

    . Hướng dẫn giải :

A

B

C

A' C'

B'

M

Ta có ¹ ' ¹

2 2

AM = AB+BM =CB−CA+ BB = − +b a c

        

Câu 51: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C′ ′ ′. Đặt        AA′ =a AB, =b AC, =c BC, =d

. Trong các biểu thứcvéctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. a  = +b c

. B. a b c d    + + + =0

. C. b c d  − + =0

. D. a b c   + + =d . Hướng dẫn giải:

Ta có: b c d        − + = AB−AC+BC=CB+BC=0 . Chọn C.

Câu 52: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

A. 6SI   =SA SB+ +SC

. B. SI   =SA SB+ +SC . C. ^SI^⁼³

(

^{SA SB}  ⁻ ⁺^SC

)

. D. ¹ ¹ ¹

3 3 3

SI = SA+ SB+ SC

   

. Hướng dẫn giải:

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên 3 ¹ ¹ ¹

3 3 3

SA SB+ +SC= SI ⇔SI = SA+ SB+ SC

       

. Chọn D.

Câu 53: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba véctơ a b c  , ,

đồng phẳng thì có c=ma+nb

với m n, là các số duy nhất.

C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có ^d=^ma+^nb+^pc với d

là véctơ bất kì.

D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.

Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ ^{a b}^{ }^, không cùng phương.

(23)

Câu C sai vì d=ma+nb+ pc với d

là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ ^{a b c}^{  }^{, ,} đồng phẳng.