Toán 11 Bài 5: Khoảng cách | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

(1)

Bài 5: Khoảng cách A. Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 115 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho điểm O và đường thẳng a.

Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a.

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là OH (H là hình chiếu vuông góc của O trên a)

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc suy ra khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a.

Hoạt động 2 trang 115 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho điểm O và mặt phẳng (α).

Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (α) suy ra OH bằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)

M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).

Tam giác OMH vuông tại H nên OH < OM.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Hoạt động 3 trang 116 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng

(2)

(α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).

Lời giải:

Lấy điểm A a , A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) Suy ra AA’ bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α)

Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ A tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).

Hoạt động 4 trang 116 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) và (β).

Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

Lời giải:

Hai mặt phẳng song song (α) và (β) nên có 1 đường thằng ^a^{ }

( )

và a // (β)

Suy ra khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (β) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (β).

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các

khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

Hoạt động 5 trang 116 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN⊥BC và

MN⊥AD (h.3.42).

Lời giải:

(3)

Tứ diện đều ABCD nên các mặt của tứ diện là các tam giác đều bằng nhau NB = NC vì là trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau

 BNC cân tại N

NM là đường trung tuyến của tam giác cân BNC MN BC

 ⊥

Lại có: Các tam giác ABD, ACD đều nên CN AD⊥ và BN AD⊥ . Từ đó ^AD^⊥

(

^BNC

)

^hay^{AD MN}^⊥ ^.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Hoạt động 6 trang 118 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.

Lời giải:

Ta có: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

Mà khoảng cách từ đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến (α) nên ta có điều phải chứng minh.

B. Bài tập

Bài tập 1 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Đường thẳng  là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu  vuông góc với a và  vuông góc với b;

b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung  của a và b luôn luôn vuông góc với (P);

c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, ) và (b, ) ;

N

M

B D

C

A

(4)

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b;

e) Đường vuông góc chung  của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Lời giải:

a) Sai vì phát biểu đúng là “Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời  ⊥a và  ⊥b”.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai vì thiếu điều kiện đường thẳng đó cũng phải vuông góc với a.

e) Sai vì nếu điều đó xảy ra thì a và b vuông góc nhưng giả thiết chưa cho a vuông góc b.

Bài tập 2 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

Lời giải:

a) Trong (ABC), gọi E=AHBC

H là trực tâm của tam giác ABC nên AE⊥BC (1)

( )

SA⊥ ABC SA⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BC^⊥

(

^SAE

)

^^BC^⊥^SE

K là trực tâm của tam giác SBC suy ra SE đi qua K

(5)

Suy ra AH, BC, SK đồng quy tại E.

b) Trong (ABC) gọi F=BHAC, trong (SBC) gọi D=BKSC. Khi đó

(

^BHK

) (

^ ^BDF

)

^.

Ta có:

( )

BF AC

SA ABC BF SA

 ⊥

 ⊥  ⊥

 ^^BF^⊥

(

^SAC

)

^^BF^⊥^SC

SC BF SC BD

 ⊥

 ⊥

 ^^SC^⊥

(

^BDF

)

^^SC^⊥

(

^BHK

)

Ta có:

( )

SC⊥ BHK SC⊥HK

( )

BC⊥ SAE BC⊥HK

( )

HK SBC

 ⊥

Cách khác:

Có thể chứng minh ^HK^⊥

(

^SBC

)

^{như sau:}

( )

( ) ( ) ( )

SC BHK

SBC BHK

SC SBC

 ⊥

 ⊥

 



( )

( ) ( ) ( )

BC SAE

SBC SAE

BC SBC

 ⊥

 ⊥

 



( ) ( )

(

^SBC^SBC

) (

^SAE^BHK

)

^HK

(

^SBC

)

BHK SAE HK

⊥

 ⊥  ⊥

  =



c) Vì

( )

SA ABC

AE SA

AE ABC

 ⊥

 ⊥

 



Ta có: AE SA AE BC

 ⊥

 ⊥



Suy ra AE là đường vuông góc chung của BC và SA.

Bài tập 3 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’ và D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải:

(6)

Gọi K là hình chiếu của B trên AC’.

Ta có ^AB^⊥

(

^{BCC B}^{' '}

)

^^AB^⊥^BC^'

C'

 AB vuông tại B.

Dễ thấy BC’ là đường chéo của hình vuông cạnh a BC' a 2

 =

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC’ có:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3

BK = BA + BC =a +(a 2) = 2a BK a 6

 = 3 Ta có:

ABC' C'CA ADC' AA'C' C'B'A C'D'A

 =  =  =  =  =  (cạnh – góc – cạnh)

Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau.

Vậy khoảng cách từ B, C, D, A’, B’, D’ tới AC’ đều bằng ^{a 6} 3 ^.

Bài tập 4 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.

Lời giải:

K

C

A B

C' D

D'

A' B'

(7)

a) Trong (ABCD) kẻ BH⊥AC

(

^H^^AC

)

⁽¹⁾

Ta có: ^CC'^⊥

(

^ABCD

)

^^CC'^⊥^BH⁽²⁾

Từ (1) và (2) suy ra ^BH^⊥

(

^{ACC'A '}

)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 a b

BH AB BC a b a b

= + = + = +

2 2

BH ab

a b

 =

+ Cách khác:

Ta có:

( ) ( )

AA ' (ABCD)

ACC'A ' (ABCD) AA ' ACC'A '

 ⊥

 ⊥

 



( )

ACC'A ' (ABCD) AC

BH (ABCD) BH ACC'A '

BH AC

 =

   ⊥

 ⊥



2 2 2 2

AC= AB +BC = a +b BH.AC = AB.BC

2 2

AB BC ab

BH AC a b

 =  =

+

b) Ta có: ^AC^'^

(

^{ACC A}^{' '}

)

^∥^BB^'

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

d BB',AC' d BB', ACC'A' d B, ACC'A' BH

 = = =

( )

₂^ab ₂

d BB';AC'

a b

 =

+ ^.

(8)

Bài tập 5 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Lời giải:

a) Ta có:

BB'⊥(A'B'C'D')BB'⊥A'C' A )

'C' B'D' (

A C BB D D A 'C' BB'

 ⊥

   ⊥  

 ⊥



A 'C' B'D

 ⊥

DC⊥(BCC'B')DC⊥BC' BC' B'C )

BC' (A 'B'CD BC' DC

 ⊥

 ⊥

 ⊥



BC' B'D

 ⊥

B'D A 'C' )

B'D BA 'C'

B'D BC (

'

 ⊥

 ⊥

 ⊥



Cách khác:

Ta có B’A’ = B’B = B’C’

Suy ra B’ thuộc trục của tam giác A’BC’ (1)

DA’ = DB = DC’ (đường chéo các hình vuông bằng nhau)

G H

O' O

C A B

C'

A' B'

D'

D

(9)

Suy ra D cũng thuộc trục của tam giác A’BC’ (2)

Từ (1) và (2)  B’D là trục của (BA’C’)B'D⊥( A'C'B ) b) Ta có:

BC' AD' A 'C' AC

BC', A 'C' BA 'C' AD', AC ACD

) ' (

( )



 









∥

 (BA’C’) // (ACD’)

Mà B'D⊥( A'C'B ) nên B D' ⊥(ACD') Gọi G=B'D(BA'C'); H=B'D(ACD')

( ) ( )

( )

d BA’C’ ; ACD’ GH

 =

Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D’ ta có:

BO’ // D’O nên O’G // D’H, mà O’ là trung điểm của B’D’

 G là trung điểm của B’H.

 GB’ = GH (3)

BO’ // D’O nên OH // GB, mà O là trung điểm của BD

 H là trung điểm của DG.

 HG = HD (4)

Từ (3) và (4) suy ra: GB’ = GH = HD 1 GH B'D

 =3

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên:

2 2

B'D= B'B +BD

2 2 2

B'B BA AD

= + +

2 2 2

a a a

= + +

=a 3 HG a 3

 = 3 .

Vậy d BA 'C' ; ACD'

( ( ) ( ) )

^{a 3}

= 3

c) BC'( A'C'B ); C 'D (ACD'), mà (BA’C’) // (ACD’)

 BC’ // CD’

 BC’ // (ACD’)

( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) a 3

d BC';CD' d BC'; ACD' d BA 'C' ; ACD'

 = = = 3

(10)

Vậy ^{d BC',CD'}

( )

d BA 'C' ; ACD'

( ( ) ( ) )

^{a 3}

= 3

= .

Bài tập 6 trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.

Lời giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Theo giả thiết IJ⊥AB, IJ⊥CD

Qua I kẻ đường thẳng d // CD, lấy trên d điểm E, F sao cho CD IE IF

= = 2 Ta có IJ⊥CD (giả thiết)  ⊥IJ EF, lại có IJ⊥AB (giả thiết)

IJ (AEBF)

 ⊥

Ta có CDFE là hình bình hành có IJ là đường trung bình CE (AEBF) CE BE

CE DF IJ

DF (AEBF) DF AF

⊥  ⊥

 ∥ ∥   ⊥  ⊥

Ta có: AIF = BIE (cạnh – góc – cạnh) suy ra: AF = BE Xét DFA và CEB có:

E=F (= 90^o) AF = BE DF = CE

DFA CEB

  =  (cạnh – góc - cạnh) Suy ra AD = BC

Chứng minh tương tự ta được BD = AC.

d

J I

B D

C A

E

F

(11)

Bài tập 7 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC).

Lời giải:

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC ta có SH⊥(ABC)

( )

d S, ABC SH

 =

Gọi N là trung điểm của BC.

BN NC 3a

 = = 2

Tam giác ABN vuông tại N nên:

2

2 2 2 3a 3a 3

AN AB BN (3a)

2 2

 

= − = −  =

  H là trọng tâm tam giác ABC 2

AH AN a 3

 = 3 =

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAH ta có:

2 2 2 2

SH= SA −AH = 4a −(a 3) =a Vậy ^{d S; ABC}

( ( ) )

⁼^SH⁼^a^.

Bài tập 8 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó.

Lời giải:

M H N

A C

B

S

(12)

Gọi K, I lần lượt là trung điểm của AD và BC Ta có: ABC= DBC (cạnh – cạnh - cạnh)

Suy ra AI = DI (hai đường trung tuyến tương ứng)

 AID cân tại I.

 Trung tuyến IK đồng thời là đường cao IK⊥AD Chứng minh tương tự, KBC cân tại K KI⊥BC

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường vuông góc chung của BC và AD.

( )

d AD;BC KI

 =

Tam giác ABI vuông tại I nên:

2

2 2 2 a a 3

AI AB BI a

2 2

= − = −    =

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AKI ta có:

2 2

2 2 3a a a 2

KI AI AK

4 4 2

= − = − =

Vậy ^{d AD;BC}

( )

^{a 2}

= 2 .