Chuyên đề tứ giác nội tiếp ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2023 do thuvientoan.net biên soạn

(1)

Chuyên đề hình học ôn thi vào chuyên Toán năm 2023

https://thuvientoan.net/

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

***********

A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn điểm nằm trên cùng một đường tròn.

2. Tính chất

Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi một trong những điều sau xảy ra:

a) Tổng hai góc đối bằng 180 . Nghĩa là ⁰ BADBCD180⁰ hay ABCADC180 .⁰

b) Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau. Chẳng hạn DAC DBC.

c) Gọi P là giao điểm của AB và CD. Khi đó PA PB PD PC . Phương tích của điểm P/(O) d) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó IA IC IB ID .

C D

A

B

I P

C A

B

D D C

A

B

(2)

3. Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

Từ các tính chất trên, để chứng minh một tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh:

a) Tổng hai góc đối bằng 180 .⁰ Hay cũng có thể chứng minh một hệ quả của nó là xAB BCD.

b) Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau.

c) Gọi P là giao điểm của AB và CD. Khi đó PA PB PD PC . d) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó IA IC IB ID . B. Ví dụ

Bài toán 1.

Cho tam giác ABC vuông tại A và AD là phân giác trong của góc HAC. Phân giác trong của góc ABC cắt ,

AH AD lần lượt tại M N, . Chứng minh rằng BND90 .⁰ Bài toán 2.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

^O ^, có đường kính AD. Đường thẳng d vuông góc với AD cắt CD BD, lần lượt tại E F, . Chứng minh rằng tứ giác BFEC nội tiếp.

Bài toán 3.

Cho tam giác ABC nhọn, trên cạnh BC lấy hai điểm D E, sao cho BAD CAE. Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của B lên AD AE, và P Q, lần lượt là hình chiếu của C trên AD AE, . Chứng minh rằng tứ giác PMQN nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của BC.

Bài toán 4.

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BC CD, lấy điểm M N, sao cho MAN45 .⁰ Đường thẳng BD cắt ,

AM AN lần lượt tại P Q, .

a) Chứng minh rằng các tứ giác ADNP ABMQ, nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác MNQP nội tiếp.

Bài toán 5. Đường thẳng Simpson

 

^O ^.^GọiM là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi A B C, ,  lần lượt là hình chiếu của M lên BC CA AB, , .

(3)

a) Chứng minh rằng ba điểm A B C, ,  thẳng hàng.

b) Tìm vị trí của M để B C  lớn nhất.

Bài toán 6.

 

^O ^.^Gọi^P là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi X Y Z, , lần lượt là hình chiếu của P lên BC CA AB, , . Giả sử AD là phân giác trong của BAC. Chứng minh rằng PD là phân giác của BPC khi và chỉ khi X là trung điểm của YZ.

Bài toán 7. Đường thẳng Steiner

 

^O ^.^GọiM là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi A B C₁, ₁, ₁ lần lượt là điểm đối xứng của M qua BC CA AB, , .

a) Chứng minh rằng ba điểm A B C₁, ₁, ₁ thẳng hàng. Đường thẳng đi qua ba điểm này có tên là Steiner.

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường thẳng Steiner luôn đi qua một điểm cố định.

c) Tìm vị trí của M để B C₁ ₁ lớn nhất.

Bài toán 8.

Cho tam giác ABC có AH là đường cao và M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CHN tại E khác H.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMEN nội tiếp.

b) Chứng minh rằng HE chia đôi MN. Bài toán 9.

Cho hình bình hành ABCD có tâm O và góc và ABC90 .⁰ Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu của D trên

, , .

AC AB BC Chứng minh rằng tứ giác OMPN nội tiếp.

Bài toán 10. Chuyên Khánh Hòa năm 2019

Cho đường tròn  O đường kính BC và H là một điểm nằm trên đoạn thẳng BO (điểm H không trùng với hai điểm B và O). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn  O tại A và D. Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N.

a) Chứng minh rằng tứ giác MNBA nội tiếp.

b) Tính giá trị

2

2 BO OH.

P AB BH

 

   

c) Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn  O , cắt hai đường thẳng AC và AN lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AH khi H di động trên đoạn thẳng BO. Bài toán 11. Chuyên Hưng Yên 2020

Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB



^M ^khác^O^và^B



^. Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD và D.Đường tròn

 

^I và đường tròn

 

^J cắt nhau tại điểm thứ hai là N.

(4)

a) Chứng minh rằng năm điểm A N B C D, , , , cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh ba điểm C M N, , thẳng hàng.

Bài toán 12. Chuyên Ninh Bình 2020

Cho đường tròn

 

^T ^tâm^O và dây cung AB cố định với O AB. Gọi P là điểm di động trên AB sao cho P khác A B, và P khác trung điểm của AB. Đường tròn

 

T1 tâm C đi qua P và tiếp xúc với đường tròn

 

^T ^tại

.

A Đường tròn

 

T2 tâm D đi qua P và tiếp xúc với đường tròn

 

^T ^tại^B^. Hai đường tròn

 

T1 và

 

T2 cắt nhau tại N với N khác B. Gọi

 

d1 là tiếp tuyến chung của

 

^T ^và

 

T1 tại A,

 

d2 là tiếp tuyến chung của

 

^T ^và

 

T2 tại B. Gọi Q là giao điểm của

 

d1 và

 

d2 . a) Chứng minh rằng tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng ^ANPBNP^ và bốn điểm O C D N, , , cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh rằng đường trung trực của ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên AB với P khác A B, và P khác trung điểm của AB.