Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian.
A. Lý thuyết
I. Phương trình tham số của đường thẳng - Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a
a ;a ;a1 2 3
làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn:
0 1
0 2
0 2
x x a t
y y a t
z z a t
. - Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a
a ;a ;a1 2 3
làm vectơ chỉ phương là
0 1
0 2
0 2
x x a t
y y a t
z z a t
Trong đó, t là tham số.
- Chú ý:
Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
.
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là u (1;2; 1)
Lời giải:
Phương trình tham số của ∆ là:
x 1 t y 2 2t
z 2 t
.
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2;
1).
Lời giải:
Đường thẳng AB nhận AB (2;1; 1) làm vecto chỉ phương.
Phương trình tham số của AB là:
x 2t y 1 t z 2 t
.
II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.
Gọi a (a ; a ;a );a ' (a ' ; a ' ;a ' )1 2 3 1 2 3 lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.
Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d.
Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi a k.a ' M d '
. Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: a k.a '
M d '
.
Ví dụ 3. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:
x 3 2t x 1 4t
d : y 2 3t ; d ' : y 2 6t
z 2 t z 2t
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương u (2; 3;1) đi qua M(3; 2; 2).
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là v( 4; 6; 2) Ta thấy: v 2u; M d ' .
Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x ta x ' t '.a ' y ta y ' t '.a ' z ta z ' t '.a '
(I) Có đúng một nghiệm.
- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.
Ví dụ 4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
x 3 t x 3 t '
d : y 2 t ; d ' : y 2 t '
z 2 t z 3
Lời giải:
Xét hệ phương trình:
3 t 3 t ' t t '
2 t 2 t ' t t ' t 1; t ' 1
2 t 3 t 1
Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi a; a ' không cùng phương và hệ phương trình
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x ta x ' t '.a ' y ta y ' t '.a ' z ta z ' t '.a '
vô nghiệm.
Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
x 3 t x 1 4t '
d : y 2 3t ; d ' : y 2 6t '
z 2 t z 2t '
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương a (1; 3;1) Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là a '( 4; 6; 2)
Ta thấy, không tồn tại số thực k để a k a ' nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
3 t 1 4t ' (1) 2 3t 2 6t ' (2)
2 t 2t ' (3)
(I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
- Nhận xét:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
0 1
0 2
0 2
x x a t
y y a t
z z a t
.
Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1) - Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.
Vậy d// (P).
- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).
- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).
Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng
x 1 2t d : y t
z 2 t
và mặt phẳng (P):
2x – y – z = 0.
Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:
2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0
2 + 4t + t + 2 – t = 0
4t + 4 = 0t = - 1.
Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp:
a) Đi qua hai điểm A( -2; 0; 1) và B(1; 1; 1).
b) Đi qua A( -2; 1; 1) và song song với đường thẳng
x 1 2t
y t
z 2 t
.
c) Đi qua M(0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0.
Lời giải:
a) Đường thẳng AB đi qua điểm A(-2; 0; 1) và nhận vecto AB(3; 1; 0) làm vecto chỉ phương nên có phương trình:
x 2 3t
y t z 1
.
b) Đường thẳng đã cho có vecto chỉ phương là a (2; 1;1) .
Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng đã cho nên vecto chỉ phương của d là a (2; 1;1)
Phương trình tham số của d là
x 2 2t
y 1 t
z 1 t
c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: n(1;2; 1)
Vì d vuông góc với (P) nên vecto chỉ phương của d là n(1;2; 1) Phương trình tham số của d là
x t
y 2 2t
z 1 t
.
Bài 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a)
x 2 2t x 2 t '
d : y 1 t ; d ' : y t '
z 1 t z 3 t '
;
b)
x 2 2t x 2 t '
d : y 1 2t ; d ' : y 3 t '
z 1 4 t z 3 2 t '
.
Lời giải:
a) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là:
a ( 2; 1; 1) ; a ' (1;1;1)
Không tồn tại số thực k để a k.a ' nên hai đường thẳng trên sẽ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
2 2t 2 t ' (1)
; 1 t t ' (2)
1 t 3 t ' (3)
(I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: 5 2 t ; t '
3 3
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho chéo nhau.
b). Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là:
a ( 2;2; 4) ; a ' (1; 1; 2)
Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1;1)
Ta thấy: a 2.a 'và điểm M không thuộc đường thẳng d’ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.
Bài 3. Tìm số điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:
a) d:
x 1 t
y 2t
z 4
và (P): x – y + 2z = 0
b) d:
x 2 t
y 2 t
z 2t
và (P): x +2z – 4 = 0
Lời giải:
a) Lấy điểm M( 1+ t; -2t; 4) thuộc d.
Thay tọa độ M vào (P) ta được:
1 + t – (- 2t) + 2. 4 = 0.
1 + t + 2t + 8 = 0 3t 9 0
t = -3
Suy ra đường thẳng d cắt (P) tại M( -2; 6; 4).
b) Lấy điểm M( - 2- t; - 2 + t; 2t) thuộc d.
Thay tọa độ M vào (P) ta được:
- 2 – t + 2.2t – 4 = 0
3t – 6 = 0t = 2.
Suy ra, đường thẳng d cắt (P) tại M( -4; 0; 4).
