Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax A. Lý thuyết
1. Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
a. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox
Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.
Khi đó, Max là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x + 3. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox.
Lời giải:
Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3
+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A (0; 3).
+ Cho y = 0 thì x = −3 ta được điểm B (−3; 0).
Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 3); B(−3; 0).
Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 3 với trục Ox là α, ta có ABO= . Xét tam giác vuông OAB, ta có OA 1
O tan 3
B 3
= = = (1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 3)
Khi đó số đo góc α là α = 45°.
Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là 45°.
2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
− Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.
Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.
Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.
Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a.
Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.
Chú ý. Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.
Ví dụ 2. Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.
Lời giải:
Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0.
(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1.
Vậy a = 1, b = 0.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; 2) và có hệ số góc là 3.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng có hệ số góc 3 (tức là a = 3) có phương trình dạng:
y = 3x + b.
Vì phương trình này đi qua điểm M(1; 2) nên có:
2 = 3.1 + b
b = 2 − 3
b = −1.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 3x – 1.
Bài 2.
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1).
b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; −2).
Lời giải
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b.
a) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm A(2; 1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Ta có: 1 = a . 2 a = 1 2.
Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1) là a = 1 2. b) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1; −2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Ta có: − 2 = a . 1 a = − 2.
Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; − 2) là a = − 2.
Bài 3. Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(4; 0) và B(0;
3). Khi đó, hãy tính:
a) Vẽ đồ thị hàm số (d) vừa tìm được và tính góc α tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox.
b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).
c) Tính diện tích tam giác OAB.
Lời giải:
a) Vì (d) đi qua A(4; 0) nên tọa độ A phải thỏa mãn phương trình:
y = ax + b
4a + b = 0 (1)
Tương tự (d) đi qua B(0; 3) nên tọa độ B phải thỏa mãn phương trình:
y = ax + b
3 = a . 0 + b
b = 3.
Thay b = 3 vào (1) ta được a = 3
−4. Do đó đồ thị hàm số tìm là: y 3x 3
= −4 + .
* Vẽ đồ thị hàm số
+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A(4; 0).
+ Cho y = 0 thì x = 4 ta được điểm B(0; 3).
Do đó, đồi thị hàm số đi qua 2 điểm A(4; 0) và B(0; 3).
Ta có đồ thị như sau:
− Xét tam giác AOB vuông tại O, ta có:
o '
OB 3
tan OAB tan 36 52 OA 4
= =
o ' OAB 36 52
o o o
180 36 52' 143 8'
= − =
Vây góc tạo bởi (d) và trục hoành Ox (tức đường thẳng y = 0) là α = 143o8'.
b) Vẽ OH ⊥ AB.
Tam giác OAB là tam giác vuông tại O, ta có OH ⊥ AB nên:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 25
OH = OA + OB = 4 +3 =144
144 12
OH 2, 4
25 5
= = = .
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng (d) là 2,4 (đvđd).
c) Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên ta có:
OAB
1 1
S OA . OB .4 . 3 6
2 2
= = = .
Vậy diện tích tam giác OAB là 6 (đvdt).
