Các dạng bài tập phương trình đường thằng trong không gian – Đặng Ngọc Hiền, Lê Bá Bảo - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Các tác giả: ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP VŨNG TÀU) LÊ BÁ BẢO (TP Huế)

Chủ đề 3:

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I-LÝ THUYẾT:

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ a0

 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng dnếu giá của  vectơ a

 song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Đường thẳng d đi qua M x y z0



0; 0; 0



 và có 1 vectơ chỉ phương a



a a a1; ;2 3



+Phương trình tham số của đường thẳng d là:

0 1

0 2

0 3

( ) x x a t

y y a t t R z z a t

  

   



  



(1) 

+Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

0 0 0

1 2 3

: x x y y z z

d a a a

  

  (2)



a a a1. .2 3 0



3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d₁  và d₂. Đường thẳng d₁ có 1 vectơ chỉ phương a

. Đường thẳng d₂ có 1 vectơ chỉ phương b

.

Cách 1: Xét vị trí tương đối của d₁ và d₂theo chương trình cơ bản, ta xét theo các bước sau: 

Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của a  và b

. Bước 2: Nhận xét:  

+ Nếu a  và b

cùng phương thì:  ^{1 2}

1 2

/ / d d d d



 

 + Nếu a

 và b

  không cùng phương thì hoặc d₁ cắt d₂hoặc d₁ và d₂ chéo nhau. 

a' d

a

M₀ a

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

M0

d₂

d₁ M0

TH1:   d₁ cắt d₂. 

Điều kiện 1: a  và b

 không cùng phương .  Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: 

d (*) có nghiệm duy nhất 



^{t k}₀^; ₀



^. 

Kết luận: d₁ cắt d₂ tại điểm . 

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra



t k và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì 0; 0

 

t k là 0; 0



nghiệm, ngược lại thì không). 

TH2: d₁ và d₂ chéo nhau.

Điều kiện 1: a  và b

 không cùng phương .  Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: 

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

(1) (2) (3)

/ / /

x a t x b k y a t y b k z a t z b k

   

   



   



 (*) vô nghiệm. 

TH3: d₁ và d₂ song song nhau.

Điều kiện 1: a  và b

 cùng phương. 

Điều kiện 2: Chọn điểm M x y z₀( ;_{0 0}; )₀ d₁. Cần chỉ rõ M₀d₂. 

TH4: d₁ và d₂ trùng nhau.

Điều kiện 1: a  và b

 cùng phương. 

Điều kiện 2: Chọn điểm M x y z0



0; 0; 0



d1. Cần chỉ rõ M₀d₂. 

Đặc biệt: d₁ d₂ a b.0a b_{1 1}a b_{2 2}a b_{3 3}0

d₁

d₂ M₀

d₁ d₂

Cách 2: Xét vị trí tương đối của d₁ và d₂ chương trình nâng cao theo sơ đồ sau: 

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u_d vµ M₀d.



- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương u_d/ vµ M₀^/d.



II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG + Vectơ a0

là 1 vectơ chỉ phươngcủa đường thẳng d nếu giá của  vectơ a

song song hoặc trùng  với đường thẳng d. 

+ Nếu a

là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng dthì ka k,( 0)

 cũng là 1 vectơ chỉ phương của d.  +  Gọi u



là  1  vectơ  chỉ  phương  của  đường  thẳng d.  Nếu  có  2  vectơ  a b,

 

không  cùng  phương  và  u a

u b

 

 



 

  thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng dlà ua b, 

 

  

 hoặc u k a b  , , k0

 

  

. 

Ví dụ 1: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  các  điểm  ^A



^{1 1 2; ;}



^{, B}



^{2 3 1; ; ,}



^C



^{4 2 0; ;}



^{;  các} 

đường  thẳng  1

 

1 2 3 3 4 :

x

y t t R

z t

 

    

  



,  ₂ ^{1 3}

3 3 2

:x y z

  

 ;  các  mặt  phẳng  ( ) :P x3y2z 1 0,  

3 0

( ) :Q x z  . Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau: 

a) Đường thẳng ₁. 

b) Đường thẳng d₁ đi qua A và song song với ₂.  c) Đường thẳngAB . 

d) Đường thẳng d₂qua B và song song vớiOy.  e) Đường thẳng d₃qua C và vuông góc với ( )P . 

Tính u u_d, _d'

 

 

' 0

d, d

u u  

 

  

' 0

d, d

u u  

 

  

0 0

0 0

' /

, ,

d d

d

u u u M M

  

 



  

 



  



 

0 0

0 0

' /

, ,

d d

d

u u u M M

  

 



  

 



  



 

0 0

0

0

'

/ '

, ,

d d

d d

u u

u u M M

  

 

  

 



  



 

0 0

0

0

'

/ '

, ,

d d

d d

u u

u u M M

  

 

  

 



  



 

Trùng nhau Song song Cắt nhau Chéo nhau

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN f) Đường thẳng d₄quaB, vuông góc với Ox và ^₁. 

g) Đường thẳng d₅ ( )Q qua O và vuông góc với ^₂. 

h) Đường thẳng d₆là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ),( )P Q . 

i) Đường thẳng d₇ qua B vuông góc với ₂và song song với mặt phẳng (Oxy).  j)Đường thẳng d₈ quaA, cắt và vuông góc với trục Oz. 

Bài giải:

a) Đường thẳng ₁có 1 vectơ chỉ phương là a( ;0 3 4; ) .   b)  Đường  thẳng  ₂có  1  vectơ  chỉ  phương  là b ( ;3 3 2 ; )

.  Ta  có: d₁/ /₂ nên  b( ;3 3 2 ; ) cũng là 1 vectơ chỉ phương của d₁. 

c) Đường thẳng ABcó 1 vectơ chỉ phương là AB( ; ;1 4 1)



.  d) Đường thẳng d₂/ /Oy nên có 1 vectơ chỉ phương là j( ; ; )0 1 0



.  e) Mặt phẳng ( )P  có 1 vectơ pháp tuyến là n₁( ; ;1 3 2 )

. Đường thẳng d₃ ( )P  nên có 1 vectơ  chỉ phương là n₁( ; ;1 3 2 )

.  f) Gọi u₄

 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d₄.   Ta có: ^_^{i a ,  }_



^{0; 4; 3}



^{,  4}

4

u i u a

 

 

 



 

   chọn u4 



0 4 3; ;



. 

g) Mặt phẳng ( )Q có 1 vectơ pháp tuyến là n2 



3 0; ;1



. Gọi u₅

là 1 vectơ chỉ phương của  đường thẳng d₅. Ta có: n b₂,      ( 3 9; ; 9)

 

,  ^{5 2}

4

u n

u b

 

 

 



 

   chọn u₅ ( ; ; )^{1 3 3} .  h) Gọi u₆

 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d₆. Ta có: n n1, 2    



3 5; ; 9



  ,  

6 1

6 2

u n

u n

 

 

 



 

   chọn u6 



3 5 9; ;



.  i) Gọi u₇

 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d₇. Mặt phẳng (Oxy) có 1 vectơ pháp tuyến  là ^k



^{0 0 1; ;}



^.Ta có: n k2,   



3 3 0; ;



 

 

,  ^{7 2}

7

u n

u k

 

 

 



 

   chọn u7 



1 1 0; ;



. 

j)Gọi H d₈Oz. Ta có  ⁸

8

d Oz A d H

 

 

 



 là hình chiếu của A lên ^OzH



^{0 0 2; ;}



^. Vậy d8 có 1  vectơ chỉ phương là ^{OA}



^{1 1 0; ;}



^. 

Ví dụ 2: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  hai  mặt  phẳng 

 

^{ : x3ky z  2 0 và} 

 

^{ : kx y 2z 1 0. Tìm k} để giao tuyến của 

   

^{ , }

a) vuông góc với mặt phẳng 

 

^{P : x y 2z 5 0.} 

b) song song với mặt phẳng 

 

^{Q :   x y 2z 1 0.} 

Bài giải:

Gọi u

 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là giao tuyến của 

   

^{ ,  .} 

Mặt phẳng của 

 

^  có 1 vectơ pháp là ⁿ 



^{1 3; k;}¹



^.

Mặt phẳng của 

 

^  có 1 vectơ pháp là ⁿ 



^k;^{1 2;}



^.

Ta có:  u n u n





 

 

 



 

  chọn ^{u }_^{n n , }_^



^{6k  1; k 2;3k21}



^. 

a)  Mặt  phẳng  (P)  có  1  vectơ  pháp  tuyến nP 



^{1 1 2;} ^;



.  Đường  thẳng d vuông  góc  với  mặt 

phẳngu n , _P

 cùng phương u n, _P0

  

3 2 2 3 0 11 4 0 1 5 0

k k

k k

   

   

  



 (vô nghiệm). 

Vậy không tồn tại giá trị k thỏa yêu cầu bài toán. 

b) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến nQ    



^{1 1 2; ;}



.  Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳngu n . _P ⁰

2 2

0

6 1 2 3 1 0 3 7 0 7

3 k

k k k k k

k

 

           

 

. 

LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bước 1: Xác định M x y z0



0; 0; 0



d.

Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương a



a a a1; ;2 3



 của đường thẳng d.  Bước 3: Áp dụng công thức, ta có: 

+Phương trình tham số của

0 1

0 2

0 3

: ( )

x x a t

d y y a t t R z z a t

  

   



  



+Phương trình chính tắc của ^{0 0 0}



1 2 3



1 2 3

0

: x x y y z z ; , ,

d a a a

a a a

  

  

Ví dụ 3: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  các  đường  thẳng  ₁ ^{1 2}

1 1 2

: x y z

  

 và 

2

2 2 1 3 :

x t

y t

z t

  

    

 

. 

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng ₁.  b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ^₂. 

Bài giải:

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN a) Đường thẳng ^₁ qua ^M



^{1 2 0; ;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^u



^{1 1 2; ;}



, có phương trình tham số 

là: 

1 2 2

x t

y t

z t

  

   



 

. 

b) Đường thẳng ₁ qua ^N



^{2;1 0;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^u



^{2;1 3;}



, có phương trình chính tắc 

là:  ^{2 1}

2 1 3

y

x  z

 

 . 

Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng đều được.

Ví dụ 4: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  các  điểm  ^A



^{2 0; ;1}



^{,  B}



^{2 3 3; ;}



^{,  C}



^{1 2 4; ;}



^, 



^{1 2 1; ;}



D  ; đường thẳng thẳng  ₁ 1 2 :

x t

y t

z t

 

    

 

; mặt phẳng 

 

^{ : 3x5y z  1 0}. Viết phương trình  của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: 

a) Qua A và có 1 vectơ chỉ phương ^{u }



^{1 3 5; ;}



^. 

b) Qua 2 điểm B C, . 

c) QuaM0



1 2 3; ;



 và song song với trục tung. 

d) Qua C và song song với ₁.  e) Qua B và vuông góc với 



^Oxz



^. 

f) Qua D và vuông góc với 

 

^{ .} 

Bài giải:

a)  Đường  thẳng  d  qua  ^A



^{2 0; ;1}



và  có  1  vectơ  chỉ  phương  ^{u  }



^{1 3 5; ;}



,  có  phương  trình 

tham số là: 

2 3

1 5 .

x t

y t

z t

  

 



   



b) Đường thẳng d qua ^B



^{2 3 3; ;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^{BC  }



^{1 1 7; ;}



, có phương trình 

tham số là: 

2 3

3 7 .

x t

y t

z t

  

  



   



c) Đường thẳng d qua M0



1 2 3; ;



Ox và song song với trục Ox nên nhận ^{i }



^{1 0 0; ;}



^làm 1 

vectơ chỉ phương, có phương trình tham số: 

1 2 3

x t

y z

  

 



  . 

d)Đường  thẳng  d đi  qua  điểm  ^C



^{1 2 4; ;}



.  Đường  thẳng  ^₁ có  1  vectơ  chỉ  phương  là 



^{1 1 2; ;}



u 

.  Ta  có: d/ / ₁ d có  1  vectơ  chỉ  phương  là ^{u }



^{1 1 2; ;}



.  Vậy  phương  trình  chính  tắc  của đường thẳng d là:  ^{1 2 4}

1 1 2

x y z

 

 . 

e)  Đường  thẳng  d đi  qua  điểm  ^B



^{2 3 3; ;}



.  Mặt  phẳng 



^Oxz



có  1  vectơ  pháp  tuyến  là 



^{0 1 0; ;}



j 

 . 

Đường  thẳng d vuông  góc  với 



^Oxz



^{nên  nhận  j( ; ; )0 1 0} làm  1  vectơ  chỉ  phương.  Vậy 

phương trình tham số của đường thẳng d là: 

2 3 3 x

y t

z

 

  



  



. 

f)Đường  thẳng  d đi  qua  điểm  ^D



^{1 2 1; ;}



.  Mặt  phẳng 

 

^ có  1  vectơ  pháp  tuyến  là 



^{3 5; ; 1}



n 

. Đường thẳng d vuông góc với 

 

^{  nên nhận n}



^{3 5; ;1}



 làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy  phương trình chính tắc của đường thẳng d là:  ^{1 2 1}

3 5 1

x y z

 

 . 

Ví dụ 5: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  các  điểm  ^A



^{1 1 1; ;}



^{,  B}



^{2;1 3;}



^{,  C}



^{1 2 2; ;}



^, 



^{1 2 1; ;}



D   ;  các  đường  thẳng  thẳng  ₁

2 : 1

x t

y t

z t

  

    

 

,  ₂ ^{1 1}

2 1 1

:x y z

   ;  các  mặt  phẳng 

 

^{ : x2y z  1 0,} 

 

^{ : x y 2z 3 0}.  Viết  phương  trình  của  đường  thẳng  d trong  mỗi  trường hợp sau: 

a) Qua A và vuông góc với các đường thẳng ₁,AB .  b) Qua B và vuông góc với đường thẳng AC và trục Oz.   c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng 

  

^{ , Oyz}



^. 

d) Qua C, song song với 

 

^  và vuông góc với ^₂.  e) d là giao tuyến của hai mặt phẳng 

   

^{ ,  .} 

Bài giải:

a)  Đường  thẳng  d qua  ^A



^{1 1 1; ;}



.  Đường  thẳng  ₁ có  1  vectơ  chỉ  phương  u1



1 1 1; ;



; 



^{1 2 4; ;}



AB 

 ^_^{u AB;}_^{   }



^{2; 3 1;}



^{. Gọi u} là 1  vectơ chỉ phương  của d. Ta có:  u u¹ u AB

 

 

 



 

  chọn 



^{2 3 1; ;}



u

. Vậy phương trình chính tắc của d là  ^{1 1 1}

2 y3 1 .

x  z

    

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN b)  Đường  thẳng d qua  ^B



^{2;1 3;}



^{; AC}



^{0 1 3; ;}



^{; k}



^{0 0 1; ;}



^_^{AC k,}_^



^{1 0 0; ;}



^{.  Gọi u là  1} 

vectơ chỉ phương của d. Ta có:  u AC u k

 

 

 



 

  chọn ^u



^{1 0 0; ;}



^.  

Vậy phương trình tham số của d là  2

1 3

x t

y z

  

  



    

c) Đường thẳng d qua ^O



^{0 0 0; ;}



^; n1



1 2; ;1



 là 1 vectơ pháp tuyến của 

 

^{ ; i}



^{1 0 0; ;}



 ^là 1 

vectơ pháp tuyến của 



^Oyz



^;Ta có: n i1,  



0; 1 2;



 

.  Gọi u

là  1  vectơ  chỉ  phương  của d.  Ta  có:  u n¹ u i

 

 

 



 

  chọn  ^{u }



^{0 1 2; ;}



.  Vậy  phương  trình 

tham số của d là  0

2 . x y t z t

 

 



    

d) Đường thẳng d qua ^C



^{1 2 2; ;}



^; n2 



1 1 2; ;



 là 1 vectơ pháp tuyến của 

 

^{ ;} u2 



2 1 1; ;



 là 1  vectơ  chỉ  phương  của  ₂;Ta  có:  n u₂, ₂   ( ; ;1 3 1)

  .Gọi u

là  1  vectơ  chỉ  phương  của  d.  Ta  có: 

2 2

u n u u

  

 



 

   chọn u ( ; ;1 3 1)

. Vậy phương trình chính tắc của d là  ^{1 2 2}

1 y3 1 .

x  z

 

    

e) Chọn điểm trên giao tuyến d:  Xét hệ phương trình:  ^{2 1 0}

2 3 0 (I) x y z

x y z

    

    



. Cho z0, giải được:  ⁵ 2 x y

  

 

 ^A



^{5 2 0; ;}



^d. 

+  Xác  định  vectơ  chỉ  phương  của d:  Gọi u

là  1  vectơ  chỉ  phương  của d.  Ta  có:  ¹

2

u n u n

  

 



 

 

chọn un n1, 2



5; 3; 1



  

. Vậy phương trình tham số của d: 

5 5 2 3

x t

y t

z t

   

  



  



. 

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua ^A



^{2;1 1;}



cắt và vuông góc với đường thẳng  : 1 x t

y t

z t

 

    

 

. 

Bài giải:

a) Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là ^u



^{1 1 1; ;}



^. 

Gọi B d  . Ta có: B  B t( ; 1 t t; ); AB(t2;t t; 1); uABu AB. 0 t 1

   

. 

Suy ra: ^B



^{1 2 1; ;}



. Đường thẳng d đi qua ^A



^{2;1 1;}



 và có 1 vectơ chỉ phương là ^{AB}



^{1 1 0; ;}



 ^nên có 

phương trình tham số là: 

2 1 1

x t

y t

z

  

   



 

. 

Ví dụ 7: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz, cho  điểm  ^A



^{3 2; ;4}



^{và  d: 2 4 1}

3 2 2

x y z

 

 và 

mặt phẳng (P): 3x2y3z 7 0.Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song với  (P) và cắt đường thẳng d. 

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Bước 1: Xác định điểm B d  :AB/ /mp( )P .  Ta có: 

2 3 4 2 1 2 :

x t

d y t

z t

  

   



  



. Gọi ^B



^{2 3 t; 4 2 1 2t;  t}



^d

Lúc đó: ^{AB}



^{3t 1 2; t6 2; t5}



. Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp ^n_P ^



^{3 2; ; 3}



     

⁶

3 3 1 2 2 6 3 2 5 0 7 6 0 mp 7

/ / ( ) . _P

AB P  AB n  t   t  t   t   t

Bước 2: Đường thẳng  AB.  Vì vậy  32 40 19

7 ; 7 ; 7

B 

  

 

11 54 47 7 ; 7 11;

AB  

   

 



. 

Đường  thẳng  AB đi  qua  A  và  có  1  vectơ  chỉ  phương  là ^{u }



^{11 54 47; ;}



nên  có  phương  trình 

tham số: 

3 11 3 54 4 47

x t

y t

z t

  

  



   



. 

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P): 

Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q),   AB. 

Ví dụ 8: (Khối A- 2007) Trong không gian  với  hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình  đường thẳng d  vuông  góc  với  mp(P),  đồng  thời  cắt  cả  hai  đường  thẳng  d₁,  d₂ với 

1 2

1 2

1 2

1 7 4 0

2 1 1

3

: ; : ; ( ) : .

x t

y

x z

d d y t P x y z

z

   

  

       

  

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Q B

P A A B

P

[…Chuyờn đề Trắc nghiệm Toỏn 12…] HèNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN

d₁

d₂ d

A



P

N M

d₁

d₂ d

P

1 2

Bước 1: Viết phương trình mp( ) chứa d và vuông góc với (P).

Bước 2: Viết phương trình mp( ) chứa d và vuông góc với (P).

Bước 3: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mp( ) và mp( ) Kiểm





 

tra sự cắt nhau. (Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương)

P

 d 

d₂ d₁

Cỏch 2:

1 2

Bước 1: Viết phương trình mp( ) chứa d và vuông góc với (P).

Bước 2: Xác định giao điểm A của d và mp( )

Bước 3: Đường thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc với mp(P) Kiểm tra sự cắt nhau. (





Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương)

Cỏch 3: Sử dụng kỹ năng khỏi niệm “thuộc” (Tỡm ra 2 giao điểm M, N)  Ta cú:  ₁

2 1 2

1 1

2 3

; d2

: :

x m x t

d y m y t

z m z

     

 

   

 

     

 

Mặt phẳng (P) cú 1 vectơ phỏp tuyến là nP 



^{7 1 4; ;}



. 

Gọi N d d M₁,  d d₂. Ta cú:N



2m;1m; 2 m



d1, M



 1 2 1t; t;3



d2. 



^{2 2 1; ;5}



NM t m t m m

     



.  

Lỳc đú ta cú NM



 và n_P

cựng phương 

4 3 5 0

0 8 15 31 0 2 5 9 1 0 1 , _P

t m

AB n t m t

t m m

   

  

  

        

  



^{2 0; ; 1}



^,



^{5; 1 3;}



N M

    . 

Đường thẳng dNM, qua ^N



^{2 0; ;1}



và cú 1 vectơ chỉ phương là ^n_P ^



^{7 1 4; ;}



, cú phương trỡnh 

tham số: 

2 7

1 4

x t

y t

z t

  

 



   



. 

Vớ dụ 9: Trong  khụng  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  viết  phương  trỡnh  mp

 

^{ đi  qua  A}



^{3;2 1;}



^và 

vuụng gúc với  ¹

2 1 3

: x y z

  

 . 

Bài giải:

Đường thẳng  cú 1 vectơ chỉ phương là ^{u }



^{2 1 3; ;}



^. 

Mặt  phẳng 

 

^{ đi  qua  A}



^{3;2 1;}



và  vuông  góc  với   nên  nhận ^{u }



^{2 1 3; ;}



làm  1  vectơ  pháp  tuyến, có phương trình: ²



^x3

 

^{1 y2}



^3



^z1



^{02x y 3z 1 0.} 

Ví dụ 10: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  viết  phương  trình  mp

 

^ và  mặt  cầu  ( )S có  phương trình như sau: 

 

^{ :x y z   5 0, ( ) :S}



^x2

 

^{2 y1}



^{2z2 25.} 

a)Chứng minh: 

 

^{  cắt ( )S}  theo một đường tròn có tâm H.  b)Gọi I là tâm mặt cầu ( )S . Viết phương trình đường thẳng IH. 

Bài giải:

a)Mặt cầu ( )S có tâm I( ;2 1 0; ), bán kính R5. Ta có:  6 ( ,( )) 3

d I   R

 

^{ cắt ( )S theo} 

một đường tròn có tâm H. 

b)Đường  thẳng  IH đi  qua  I( ;2 1 0; ) và  nhận  VTPT  của 

 

^{ là  n( ; ; )1 1 1} làm  vectơ  chỉ  phương nên có phương trình chính tắc:  ^{2 1}

1 1 1

y

x  z

  . 

LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết.

Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: 

a)  _{1 2}

1 2 2

2 3 4

3 5 2

;

/ / /

: :

x t

x t

y t y t

z t z t

  

  

 

      

     

 

.  b)  _{1 2}

4 2 3

3 5

1 1 2 5 3

3 6

: ; :

x t

y

x z

y t

z t

  



  

      

 

  



1 2

2 2 2

1 3

1 3 1 2

1 3

c) : ; :

x t

y

x z

y t

z t

  



  

       

   

1 2

2 1 3

1 3 2 2

1 2

d) ;

/ / /

: :

x t

x t

y t y t

z t z t

  

  

         

    

 

Bài giải:

a) Đường thẳng ₁ đi qua điểm ^M



^{1 0 3; ;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^a



^{1 2; ;1}



^. 

Đường thẳng ₂ đi qua điểm ^N



^{2 3 5; ;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^b



^{2 4; ;2}



^. 

Ta có: a b,   0

 

 ,^{MN}



^{1 3 2; ;}



^,a MN,  



7;3 1;



0 1/ /2

 

 

 . 

b) Đường thẳng ₁ đi qua điểm ^M



^{3 4 5; ;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^{a }



^{1 1 2; ;}



^. 

Đường thẳng ^₂ đi qua điểm ^N



^{2 5 3; ;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^{b }



^{3 3 6; ;}



^. 

Ta có: a b,  0

 

 

 ,^{MN }



^{1 1 2; ;}



^,a MN,      0 1 2

 

 

 . 

c) Đường thẳng ₁ đi qua điểm ^M



^{1 2; ;3}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^a



^{1 3 1; ;}



^. 

Đường thẳng ^₂ đi qua điểm ^N



^{2;2 1;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^{b }



^{2 1 3; ;}



^. 

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Ta có: ^_^{a b, }_



^{10;1 7;}



^{0,MN}



^{1 4 4; ;}



^,a b MN, . 350 1, 2

 



 

 chéo nhau. 

d)Đường thẳng ₁ đi qua điểm ^M



^{0;1 0;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^a



^{2 3 1; ;}



^. 

Đường thẳng ₂ đi qua điểm ^N



^{1 2 1; ;}



 và có 1 vectơ chỉ phương ^b



^{3 2 2; ;}



^. 

Ta có: ^_^{a b, }_



^{4; 1 5;}



^{0,MN}



^{1 1 1; ;}



^,a b MN, . 0 1, 2

 



 

 cắt nhau. 

Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau 

theo ^A



^{4 2 2; ;}



^{, B}



^{0 0 7; ;}



 ^với 

1 2

1 3

:

m

x mt

d y m t

z m t

  

  



   



và 

2

1

/

/ /

/

: .

m

x m t d y mt

z m t

  

 



   

 Bài giải:

Đường thẳng d_m qua điểm ^A



^{1; ;m1m}



 và có 1 vectơ chỉ phương là d₂. 

Đường thẳng d^/_m qua điểm ^{B m}



^{; ;0 1m}



 và có 1 vectơ chỉ phương là u2  



2; ;m1



.  Ta có: u u1, 2 



2 3 m;6m m; ²4



0

  

 do (m² 4 0 m) và ^{AB}



^{m 1; m;0}



^. 

Xét u u1, 2.AB



2 3 m m



1



m



6m



4m²7m2

  

.  TH 1: _{1 2}

2

, . 0 1

4 m u u AB

m

 

    

    



  

dm và d^/_m cắt nhau. 

TH 2: _{1 2}

2

, . 0 1

4 m u u AB

m

 

    

 

  



  

dm và d^/_m chéo nhau. 

Ví dụ 13: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz, cho  hai  đường  thẳng  ₁

5 :

2

x t

d y at

z t

  

 



  



và 

/ / 2

/

1 2

: 4

2 2

x t

d y a t

z t

  

  



  



. Xác định a để:  

a) d₁ vuông góc với d₂.  b) d₁ song song với d₂.  Bài giải:

Đường thẳng d₁ có 1 vectơ chỉ phương là u1



1; ; 1a 



.  Đường thẳng d₂ có 1 vectơ chỉ phương là ^u₂ ^



^{2; 4; 2}



^. 

a) d₁ vuông góc với d₂ u₁u₂ u u ₁. ₂ 02 4 a2 0 a 1.

b) d₁ song song với d₂u u₁, ₂

 cùng phương u u1, 2  



2a4; 0; 0



0a2.

  

Kiểm tra lại: Với a2 thì  ₁

5

: 2

2

x t

d y t

z t

  

 



  



 và 

/ / 2

/

1 2

: 2 4

2 2

x t

d y t

z t

  

  



  



. 

Chọn A



5; 0; 2



d1, thấy A d ₂ (do hệ phương trình 

/ / /

5 1 2 0 2 4 2 2 2 t

t t

  

  



  



 vô nghiệm) 

Vậy khi a2 thì d₁ song song với d₂. 

Ví dụ 14: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz, cho  hai  đường  thẳng  ₁

1

: 2

3

x t

y t

z t

  

  

  



và 

/ / 2

/

2 2

: 3 4

5 2

x t

y t

z t

  

   

  



. 

a) Chứng minh ₁ và ₂ cùng thuộc một mặt phẳng. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ₁ và ₂.  Bài giải:

Đường thẳng ₁ qua điểm ^A



^{1; 0; 3}



 và có 1 vectơ chỉ phương là u1



1; 2; 1



.  Đường thẳng ₂ qua điểm ^B



^{2; 3; 5}



 và có 1 vectơ chỉ phương là ^u₂ ^



^{2; 4; 2}



^. 

a) Ta có: u u₁, ₂  0

  

 và ^{AB}



^{1; 3; 2}



^. 

Xét ^_^{AB u,}₁^{  }_



^{7; 3; 1}



^0.  Từ  đó  suy  ra, ₁ và  ₂ song  song,  tức  là ₁ và ₂ cùng  thuộc  một  mặt phẳng. 

b) Gọi n_P

 là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có: 

1 P P

n AB

n u

 

 

 



 

  chọn ^n_P ^_^{AB u,}₁^_^{ }



^{7; 3; 1 .}



Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua ^A



^{1; 0; 3}



^{ }₁ và có 1 vectơ pháp tuyến là ^n_P ^{ }



^{7; 3; 1 .}



(P): ^7



^x1



^3



^y0



^1



^z3



^{0 7x3y z 10 0 .} 

Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường  thẳng  ^  ^  ^

1 

2 2 1

: 1 3 1

x y z

 và  ₂

2 2

: 2 .

1 3

x t

y t

z t

  

    

  



Bài giải:

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Ta có:  ₁

2

: 2 3

1

x t

y t

z t

  

    

  



Đường thẳng ^₁ qua điểm ^A



^{2; 2;1}



 và có 1 vectơ chỉ phương là u1



1; 3; 1



.  Đường thẳng ₂ qua điểm ^A



^{2; 2;1}



 và có 1 vectơ chỉ phương là ^u₂ ^{ }



^{2;1; 3}



^. 

a) Ta có: u u1, 2 



10; 1; 7



0

  

 và    1 2

 

A .  Từ đó suy ra, ₁ và ₂ cắt nhau. 

b) Gọi n_P

 là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có:  ¹

2 P P

n u n u

 

 

 

 

  chọn ^n_P ^{ }_^{u u }₁^, ₂^{ }_



^{10; 1; 7 .}



Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A



2; 2; 1



 1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 



^{10; 1; 7 .}



(P): ¹⁰



^x2



^1



^y2



^7



^z1



^{010x y 7z29 0 .} 

Ví dụ 16: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz, cho  hai  đường  thẳng:  ₁:^{3 1 1}

7 2 3

x y z

 

   và 

2

8

: 5 2

8

x t

y t

z t

  

   

  



. 

a) Chứng minh ^₁ và ^₂ chéo nhau. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ^₁ và song song với ^₂.  Bài giải:

Đường thẳng ₁ qua điểm ^A



^3;1;1



 và có 1 vectơ chỉ phương là u1 



7; 2; 3



.  Đường thẳng ₂ qua điểm ^B



^{8; 5; 8}



 và có 1 vectơ chỉ phương là ^u₂ ^



^{1; 2; 1}



^. 

a) Ta có: u u1, 2    



8; 4; 16



0

  

 và ^{AB}



^{5; 4; 7}



^. 

Xét u u₁, ₂.AB 40 16 112   1680

  

. Từ đó suy ra, ₁ và ₂ chéo nhau. 

b) Gọi n_P

 là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có:  ¹

2 P P

n u n u

 

 

 

 

  chọn ^n_P ^{ }_^{u u }₁^, ₂^{    }_



^{8; 4; 16 .}



Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua ^A



^3;1;1



^{ }₁ và có 1 vectơ pháp tuyến là ^n_P ^{   }



^{8; 4; 16 .}



(P): ^8



^x3



^4



^y1



^16



^z1



^{02x y 4z11 0 .} 

Ví dụ 17: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz, cho  2  đường  thẳng  ₁

8

: 5 2

8

x t

d y t

z t

  

  



  



và 

2

3 1 1

: 7 2 3

x y z

d   

  . 

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d d₁, ₂ chéo nhau. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với d₁và d₂.  c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d₁ và d₂. 

Bài giải:

Đường thẳng d₁ qua điểm ^A



^{8; 5; 8}



 và có 1 vectơ chỉ phương là ^u₁^



^{1; 2; 1}



^. 

Đường thẳng d₂ qua điểm ^B



^{3; 1;1}



 và có 1 vectơ chỉ phương là u2  



7; 2; 3



.  a) Ta có: u u1, 2 



8; 4;16



0

  

 và ^{AB  }



^{5; 4; 7}



^. 

Xét u u₁, ₂.AB 40 16 112   1680

  

. Từ đó suy ra, d₁ và d₂ chéo nhau. 

b) Gọi n_P

 là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.  

Ta có:  ¹

2 P P

n u n u

 

 

 

 

  chọn n_P  u u1, 2 



8; 4; 16 .



  

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua ^O



^{0; 0; 0}



 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 



^{8; 4;16 ,}



có phương trình: 

(P): ⁸



^x0



^4



^y0



^16



^z