50 bài toán về bất phương trình mũ (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Bất phương trình mũ và cách giải bài tập I. LÝ THUYẾT

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

a 1

f x g x

a a

0 a 1 f x g x

 

 

    

 



.

Tương tự với bất phương trình dạng:

( ) ( )

f x g x

a a

 

 



 

• Trong trường hợp cơ sốa có chứa ẩn số thì: ^a^M ^^a^N ^

(

^{a 1 M}⁻

)(

⁻^N

)

^⁰ ^.

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơn điệu:

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì: ^{f u}

( ) ( )

^^{f v} ^{ }^u ^v

Hàm số y = f(x) đồng biến biến trên D thì: ^{f u}

( ) ( )

^^{f v} ^{ }^u ^v

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản

A. Phương pháp

Xét bất phương trình có dạng:

a^x b.

- Nếu b0, tập nghiệm của bất phương trình là , vì a^x   b, x .. - Nếu b0 thì bất phương trình tương đương với a^x a^{log b}^a .

(2)

+Với a 1 , nghiệm của bất phương trình là x log b._a +Với 0 a 1, nghiệm của bất phương trình là xlog b._a Chú ý

+ Xét bất phương trình: ^a^{f x}^{( )} ^^{b 1}

( )

Nếu 0 a 1

b 0

  

 

 thì

( )

¹ luôn đúng.

Nếu b 0

0 a 1

 

  

 thì

( )

1 f x

( )

log ba

Nếu b 0 1 a

 

  thì

( )

1 f x

( )

log ba

+ Xét bất phương trình: ^a^{f x}^{( )} ^^{b 2}

( )

Nếu 0 a 1

b 0

  

 

 thì

( )

2 vô nghiệm.

Nếu b 0

0 a 1

 

  

 thì

( )

2 f x

( )

log ba

Nếu b 0 1 a

 

  thì

( )

² ^{f x}

( )

^{log b}_a : °aABC B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x 3^{x 1}⁺ là A.

(

−;log 32



. B. ₂

3

;log 3

 

− 

 .

C. . D. ₂

3

log 3;

 

 +

 . Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

x

x x 1 x x

2 3

2 3 2 3.3 2 3 x log 3

3

+  

         .

(3)

Vậy tập nghiệm của BPT là ₂

3

S  ;log 3

= − 

 .

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x +2^{x 1}⁺ 3^x +3^{x 1}⁻

A. ^x^



^2;^+

)

^. ^B.^x^

(

^2;^+

)

^. ^C.^x^{ −}

(

^;2

)

^. ^D.

(

^2;+

)

^.

Hướng dẫn giải

x x 1 x x 1

2 +2 ⁺ 3 +3 ⁻ ^x 4 ^x 3.2 .3

  3

3 x 9

2 4

   

   x 2 Vậy tập nghiệm của BPT là ^S⁼



^2;^+

)

^.

Chọn D.

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình

x x

3 3

3 2

− là:

A.

3

x 1

x log 2

 

  . B. x log 2₃ . C. x 1 . D. log 2₃  x 1. Hướng dẫn giải

x x x

3

x 1

3 3

3 3 3

3 0

x log 2

3 2 3 2 3 2

   

  −    

− −   

Chọn A.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9^{x 2} 3^x ^x ².3^{2 x 1} 0 3

− + + − +  là:

A. ^S^{= + }



^1;

)  

⁰ ^. ^B.^S^{= +}



^1;

)

^.

C. ^S⁼



^0;^+

)

^. ^D.^S⁼



^2;^{+ }

)  

⁰ ^.

Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x 0 . BPT

x

x x 2 x

9 2

81. 3 .3 .3.3 0

81 3

 + −  .

( )( )

( )

2 x x x 2 x x x x x

x x x x

3 3 .3 2.3 0 3 3 3 2.3 0

3 3 0 do 3 2.3 0, x 0

 + −   − + 

 −  +   

x x x 1 x 1

3 3 x x

x 0 x 0

   

       = Vậy tập nghiệm cảu BPT là ^S^{= + }



^1;

)  

⁰ ^.

(4)

Chọn A.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x +4.5^x − 4 10^x là:

A. x 0 x 2.

 

  B. x0.

C. x2. D. 0 x 2.

x x x

2 +4.5 − 4 10

( ) ( ) ( )( )

x x x x x x x x

2 10 4.5 4 0 2 1 5 4 1 5 0 1 5 2 4 0

 − + −   − − −   − − 

x x

1 5 0 5 1

2 4 0 2 4

1 5 0 5 1

2 4 0 2 4

 −   

 

−  

 

 

  −−    

( ) ( )

x 2

x ;0 2;

x 0

 

    −  +

Chọn A.

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số A. Phương pháp

Xét bất phương trình a^{f (x )} a^{g(x )}

 Nếu a > 1 thì a^{f ( x )} a^{g( x )} f (x)g(x) (cùng chiều khi a > 1)

 Nếu 0 < a < 1 thì a^{f ( x )} a^{g( x )} f (x)g(x)(ngược chiều khi 0 < a < 1)

 Nếu a chứa ẩn thì ^a^{f (x)} ^a^g(x)  −(a 1) f (x)



−g(x)



0(hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

1

x 1 1 x

2 16

−  

  

  . A. ^S⁼

(

^2;^{+ }

)

^. ^B.^S^{= −}

(

^;0

)

^.

C. ^S⁼

(

^0;^{+ }

)

^. ^D.^S^{= − + }

(

^;

)

^.

Hướng dẫn giải Chọn C.

1 4 2

x 1 1 x x 1 x 4 x x 4

2 2 2 x 1 0 x 0

16 x x

−    −  −  −  −  − +    .

(5)

Vậy tập nghiệm của BPT là ^S⁼

(

^0;^{+ }

)

^.

Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

x2 2 x

1 1

5 125

  − 

   .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có

( )( )

x2 2x

1 1 2

x 2x 3 x 1 x 3 0 1 x 3

5 125

  −   −   + −   −  

  

Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là ^x⁼



^1;2;3



^.

Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên dương của BPT.

Câu 3: Giải bất phương trình

3x2

2 x 1

1 3

3

−

   +

   ta được tập nghiệm:

A. ; ¹ 3

− − 

 

 . B.

(

^1;^+

)

^.

C. ¹;1 3

− 

 

 . D. ^; ¹

(

^1;

)

3

− −  +

 

  .

Ta có

3x2

2 x 1 2

1 1

3 3x 2x 1 x 1

3 3

−

   +   +  −  

   .

Vậy tập nghiệm của BPT là S ¹;1 3

 

= − .

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình

x

x 2 1

2 4

+  

  

  là

A. ; ² 3

− − 

 

  B.

(

^0;^+

)  

^{\ 1} ^.

C.

(

^−^;0

)

^D. ²^;

3

− +

 

 . Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

x

x 2 1 x 2 2x 2

2 2 2 x 2 2x x

4 3

+      +  −  +  −   − .

3. 4. 5. 6.

(6)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ; ² 3

 

= − − . Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

2x 1 3x 2

1 1

2 2

+ −

   

   

    . A. ^S^{= −}

(

^;3

)

^. ^B.^S⁼

(

^3;^+

)

^.

C. ^S^{= − −}

(

^{; 3}

)

^. ^D.^S ¹^;3

2

 

= − . Hướng dẫn giải

Chọn A Ta có

2x 1 3x 2

1 1

2x 1 3x 2

2 2

+ −

     +  −

   

    (vì 1

0 1

 2 )  x 3. Vậy tập nghiệm của BPT có dạng ^S^{= −}

(

^;3

)

^.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ A. Phương pháp giải:

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 3^{2x 1}⁺ −10.3^x + 3 0 là

A.



⁻^1;0

)

^. ^B.

(

⁻^1;1

)

^. ^C.

(

^0;1



^. ^D.



⁻^1;1



^.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Tập xác định: D= .

( )

²

2x 1 x x x

3 ⁺ −10.3 +  3 0 3. 3 −10.3 + 3 0. Đặt t=3^x, t0

BPT 3t² 10t 3 0 ¹ t 3 3 ¹ t 3 3 ¹ 3^x 3¹ 1 x 1 3

− −

 − +            −   . Vậy tập nghiệm của BPT là ^S^{= −}



^1;1



^.

Câu 2: Nghiệm của bất phương trình ^x ^x 5

e e

2 + −  là A. 1

x 2 hoặc x2. B. 1

x 2

2  .

C. −ln 2 x ln 2. D. x −ln 2 hoặc xln 2.

(7)

Ta có

( )

²

x x x x x x

x

5 1 5 1

e e e 2 e 5e 2 0 e 2 ln 2 x ln 2

2 e 2 2

+ −   +   − +      −   . Câu 3: Nghiệm của bất phương trình9^{x 1}⁻ −36.3^{x 3}⁻ + 3 0là

A. x 1 . B. x3. C. 1 x 3. D. 1 x 2. Hướng dẫn giải

Chọn D.

x x

x 1 x 3 9 36.3

9 36.3 3 0 3 0

9 27

− − − +   − + 

2

 

x x x

2 x

3 4.3 3

3 0 t 4t 3 0 t t 1;3 3 3 9 1 x 2.

3 3 3

   

  − +   − +   =        

   

Câu 4: Bất phương trình 9^x −3^x − 6 0 có tập nghiệm là

A.

(

^−^;1

)

^. ^B.

(

^{− − }^{; 2}

) (

^3;^+

)

^. ^C.

(

^1;^+

)

^.

D.

(

⁻^2;3

)

^.

Hướng dẫn giải Chọn A.

( )

²

x x x x x

9 −3 −  6 0 3 −3 −   − 6 0 2 3   3 x 1. Vậy tập nghiệm của BPT là ^S^{= −}

(

^;1

)

^.

Câu 5: Tập hợp nghiệm của bất phương trình 3^{3x 2} ¹_x ² 27 3

− +  là

A.

( )

^{0;1 .} ^B.

( )

^{1; 2 .} ^C. ¹ ^.

3

  

  D.

( )

^{2;3 .}

Ta có ^{3x 2} x ^3x 3x

( )

^3x ² ^3x

1 2 3 1 2

3 3 6.3 9 0

27 3 9 3 3

− +   +   − + 

(

³^3x ³

)

² ⁰ ³^3x ³ ⁰ ^x ¹^.

 −   − =  = 3 Vậy tập nghiệm của BPT là S ¹ .

3

=   

 

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình _x¹ _{x 1}¹ 3 5 3 ⁺ 1

+ − là:

(8)

A. −  1 x 1. B. x −1. C. x 1. D. 1 x 2.

Đặt t=3^x (t0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 3t 1 0

1 1 1

t 3 1 x 1.

3t 1 t 5

t 5 3t 1 3

 − 

  −  +     −  

+ − 

Chọn A.

Dạng 4. Phương pháp logarit hóa A. Phương pháp

Xét bất phương trình dạng: a^{f ( x )} b^{g( x )}(*) với 1 a;b 0

 Lấy logarit 2 vế với cơ số a > 1 ta được:

f ( x ) g( x )

a a a

(*)log a log b f (x)g(x)log b

 Lấy logarit 2 vế với cơ số 0 < a < 1 ta được:

f ( x ) g( x )

a a a

(*)log a log b f (x)g(x)log b

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập S của bất phương trình: 3 .5^x ^x² 1. A.

(

−log 3;05



. B.



log 5;03

)

.

C.

(

−log 3;05

)

. D.

(

log 5;03

)

. Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: 3 .5^x ^x² 1^^{log 3 .5}⁵

(

^x ^x²

)

^{ }⁰ ^x² ⁺^{x log 3}⁵ ^{  −}⁰ ^{log 3}⁵ ^{ }^x ⁰^nên

(

5

)

S= −log 3;0

Câu 2: Cho hàm số f (x)=2 .3^x ^x². Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ₁ ²

3

f (x) 1 x log 2−x 0 B. f (x) 1  +x x log 3² ₂ 0 C. f (x) 1 x log 2₃ +x² 0 D. f (x) 1 x ln 2+x ln 3² 0 Hướng dẫn giải:

(9)

Chọn B.

Ta có

2

x x 2

1 1 1

3 3 3

x x 2

2 2 2

x x 2

3 3 3

x x 2

log (2 .3 ) log 1 x log 2 x 0 log (2 .3 ) log 1 x x log 3 0 f (x) 1

x log 2 x 0 log (2 .3 ) log 1

x ln 2 x ln 3 0 ln(2 .3 ) ln1

   − 

 

   + 

   

   + 

 

   + 

 Đáp án sai là B.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình

x x 2

x x

2.3 2

3 2 1

− + 

− là:

A. ₃

2

x 0;log 3 .

 

  B. ^x^

( )

^{1;3 .}

C. ^x^

(

^{1;3 .}



^D. 3

2

x 0;log 3 .

  

 

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 4^x +4^{x 2}⁺ +4^{x 4}⁺ 5^x +5^{x 2}⁺ +5^{x 4}⁺ là:

A. ₄

5

T ;log 31 .

13

 

= − 

  B. ₄

5

T log 31; .

13

 

= + 

 

C. ₄

5

T ;log 31 .

13

 

= − 

  D. ₄

5

T log 31; .

13

 

= + 

 

Câu 3: Cho bất phương trình: ³^x ⁺³^{x 1}⁺ ⁺³^{x 2}⁺ ^⁴^x ⁺⁴^{x 1}⁺ ⁺⁴^{x 2}⁺

( )

¹

Tập nghiệm của bất phương trình

( )

¹ ^là:

A. ₃

4

log 21; 13

 

 + 

 . B. ₃

4

;log 21 13

 

− 

 .

C. ₃

4

log 21; 13

 

 + 

 . D. ₃

4

;log 21 13

 

− 

 .

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 3 .x^x ² +54x+5.3^x 9x²+6x.3^x +45 là:

A.

(

^{− }^;1

) (

^2;^+

)

^B.

(

^{− }^;1

) ( )

^2;5

C.

(

^{− }^;1

) (

^5;^+

)

^D.

( ) (

^1;2 ^ ^5;^+

)

(10)

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình

(

²^x ⁻^{4 x}

)(

² ⁻^2x^{− }³

)

⁰^là

A.

(

^{− − }^{; 1}

) ( )

^2;3 ^. ^B.

(

^{− }^;1

) ( )

^2;3 ^.

C.

( )

^2;3 ^. ^D.

(

^{− − }^{; 2}

) ( )

^2;3 ^.

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 3^{x 2} ¹ 9

+  là:

A. x −4. B. x0. C. x0. D. x4. Câu 7: Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình: 2 ^x ¹

8

−  .

A. x3 hoặc x −3. B. −  3 x 3. C. x −3. D. x3. Câu 8: Giải bất phương trình 2^{− +}^x² ^3x 4

A. ^{x 2}_{x 1}^_ . B. 2 x 4. C. 1 x 2. D. 0 x 2.

Câu 9: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 0,3^x²⁺^x 0,09.

A.

(

^{− −}^; ²

)

^. ^B.

(

^{− −}^; ²

) (

^ ^1;^{+ }

)

^.

C.

(

⁻^{2; 1}

)

^. ^D.

(

^1;^{+ }

)

^.

Câu 10: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

1 3

x x 5

3 3

  +

   

   

    . A. S ; ²

5

 − 

= − . B. ^S ^; ²

(

^0;

)

^.

5

 − 

= −  +

C. ^S⁼

(

^0;^+

)

^. ^D.^S ²^; ^.

5

− 

= +

Câu 11: Tập các số x thỏa mãn

4x 2 x

3 3

2 2

    −

   

    là:

A. ;² 3

− 

 

  B. ²;

3

 

− + 

  C. ;² 5

− 

 

  D. ²; 5

 

 +  Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình

(

⁵⁻²

) (

^{x 1}^2x⁻ ^ ⁵⁺²

)

^x^là:

A.

(

^{− − }^{; 1}

  

^0;1 ^. ^B.



⁻^1;0



^.

C.

(

^{− − }^{; 1}

) 

^0;^+

)

^. ^D.



⁻^1;0



^{ +}

(

^1;

)

^.

Câu 13: Nghiệm của bất phương trình

9 x2 17 x 11 7 5x

1 1

2 2

− + −

   

   

    là

(11)

A. x ²

 3. B. x ²

 3. C. x ²

 3 . D. x ²

= 3. Câu 14: Tậpnghiệmcủabấtphươngtrình ₂

x x 2x

1 2

2 0 2 ⁻

−  là

A.



^{0; 2}



^. ^B.

(

^−^{; 1}



^. ^C.

(

^−^{; 0}



^. ^D.



^2;^+

)

^.

Câu 15: Bất phương trình 2.5^{x 2}⁺ +5.2^{x 2}⁺ 133. 10^x có tập nghiệm là ^S⁼

 

^a;b ^thì

b−2a bằng

A. 6. B. 10. C. 12. D. 16.

Câu 16: Bất phương trình 2.5^{x 2}⁺ +5.2^{x 2}⁺ 133. 10^x có tập nghiệm là ^S⁼

 

^a;b ^thì

b−2a bằng

A. 6 B. 10 C. 12 D. 16

Câu 17: Giải bất phương trình

4x 1 2 2x

2x 1 2x 1

2 2 1.

− −

+  + +

A.

x 1 2 x 1

  −



 

. B. 1

2 x 1

−   . C. x 1 D. 1 x −2. Câu 18: Tìm m để bất phương trình m.9^x −(2m 1).6+ ^x +m.4^x 0 nghiệm đúng với mọi ^x^

( )

^0;1 ^.

A. 0 m 6 B. m6. C. m6. D. m0. ĐÁP ÁN

1A 2A 3A 4D 5A 6A 7B 8C 9C

10B 11C 12D 13D 14D 15B 16B 17B 18B