Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT Quốc gia

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 1

CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

(3 Tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác

Cho (^{OA OM}, ). Giả sử ^{M x y}( ; ).

  x OH

y OK

AT k

BS k

cos sin tan sin

cos 2

cot cos

sin





 

  



  



 

 

 

     

 

  

Nhận xét:

 ^{, 1 cos}   ^{1; 1 sin}   ¹

 tan xác định khi k k Z, 2

      cot xác định khi  k k Z, 

 ^sin( ^{k2 ) sin}    ^tan( ^k^{) tan}  cos(^k2 ) cos   cot(^k) cot  2. Dấu của các giá trị lượng giác

Phần tư

Giá trị lượng giác I II III IV

cos + – – +

sin + + – –

tan + – + –

cot + – + –

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

cosin O

cotang

sin tang

H A

K M B S



T

0 6



4



3



2

 2

3

 3

4

  ³

2

 ₂

0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 120⁰ 135⁰ 180⁰ 270⁰ 360⁰

sin 0 ¹

2 ₂² ₂³ 1 ³

2

2

2 0 –1 0

cos 1 ³

2

2 2

1

2 0 ¹

2 ²

 2 –1 0 1

tan 0 ³

3 1 _{3  3} –1 0 0

cot ₃ 1 ³

3 0 ³

 3 –1 0

4. Hệ thức cơ bản:

2 2

sin  cos  1; tan .cot   1; 1 tan^{2 1}₂ ; 1 cot^{2 1}₂

cos sin

 

 

   

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau

cos() cos  sin(  ) sin  sin cos

 2 

 

 

 

 

sin() sin cos(  ) cos cos sin

 2 

 

 

 

 

tan() tan tan(  ) tan tan cot

 2 

 

 

 

 

cot()  cot cot(  )  cot cot tan

 2 

 

 

 

 

Góc hơn kém ^ Góc hơn kém

2



sin(  ) sin sin cos

 2 

 

 

 

 

cos(  )  cos cos sin

 2 

 

  

 

 

tan(  ) tan  tan cot

 2 

 

  

 

 

cot(  ) cot  cot tan

 2 

 

  

 

 

II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng

sin(a b ) sin .cos a b sin .cosb a sin(a b ) sin .cos a bsin .cosb a cos(a b ) cos .cos a b sin .sina b cos(a b ) cos .cos a b sin .sina b

tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

  



tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

  



2. Công thức nhân đôi

sin 2 2sin .cos 

2 2 2 2

cos2  cos sin  2 cos   1 1 2sin 

tan2 2tan₂ ; cot 2 cot² 1 1 tan 2cot

 

 

 

  



2 2 2

1 cos2

sin 2

1 cos2

cos 2

1 cos2 tan 1 cos2

 

 

 



 

 

 



3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos

3tan tan

tan3 1 3tan

  

  

 

 

 

 

 



3. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a b   

cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a b  

  

sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

a b  

 

sin sin 2cos .sin

2 2

a b a b

a b  

 

sin( ) tan tan

cos .cos a b a b

a b

  

sin( ) tan tan

cos .cos a b a b

a b

  

sin( ) cot cot

sin .sin a b a b

a b

   a b b a

a b sin( ) cot cot

sin .sin

  

sin cos 2.sin 2.cos

4 4

 

     

       

   

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

 

     

        

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos .cos 1 cos( ) cos( )

21

sin .sin cos( ) cos( )

21

sin .cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

 

     

 

     

 

     

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:

+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.

+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của cung ^ và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục nằm (Ox) là trục cosin; khi ^ thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+;

-/+= -

2. Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:

+ Nếu biết trước sin thì dùng công thức: sin²cos² 1 để tìm ^cos, lưu ý:xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. ^{tan sin}

os c

 

  ; ^{cot os} sin c 

 ^  hoặc cot 1

 tan

 

+ Nếu biết trước ^tan thì dùng công thức: ^{1 tan2 1}₂ os

 c

   để tìm ^cos, lưu ý:

xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. ^sin ^{tan . os} ^c , ^{cot 1}

 tan

 

3. Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:

Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia.

biến đổi một vế thành vế kia)

2 2

sin cos 1

tan .cot 1 ,

k2 k

     

2

2

1 tan 1 ,

os 2 k k

c

   



 

     

 

2

2

1 cot 1 ,

sin k k

  

    

tan sin

os c

 

  ; ^{cot os} sin c 

 ^ 





^{a b} ^{3 a33a b2 3ab2b3}

   

3 3 2 2

a b  a b a ab b

 

 

3 3 2 2

a b  a b a ab b

   

2 2

a b  a b a b 

4. Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:

+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai ^”

+ Chú ý: Với ^k ta có:

 

sin  k2 sin ^cos^k2^cos

 

tan k tan ^cot^{ k} ^cot

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1:

Bài tập 1.1: Cho

  2   . Xác định dấu của các giá trị lượng giác:

a) ^sin³₂^{  } b) ^cos^₂^ c) ^tan^{ }  d) ^cot^{ }₂^ Giải

a) 2

    3

2 2 2

  

   

          vậy ^{sin 3 0} 2 

  

 

 

Dạng 2:

Bài tập 2.1: Tính các giá trị lượng giác của góc ^ biết:

a) ^{sin 3}

 5 với

  2   b) ^{os 4 ,0}

13 2

c     

c) ^{tan 4 3, 2}

5 2

      

d) ^{cot 3,3 2}

2

      

e) ^{sin 2,0}

5 2

     

f) ^{cos 0,8} với ^{3 2} 2

   

g) ^{tan 13, 0}

8 2

    

h) ^{cot 19,} 7 2

      

i) ^{os 1, 3}

4 2

c        j) ^{sin 2,}

3 2

     

k) ^{tan 7,0}

3 2

    

l) ^{cot 4 3, 2}

19 2

       Giải

a) Do 2

    nên ^{cos 0, tan 0, cot 0}

 

 

2 2 2 2

os 4

16 5

sin os 1 os 1 sin

4

25 os

5

c loai

c c

c nhan



   



 

       

  



sin 3

tan cos 4

 

    ; ^{cot 4}

  3

c) Do ^{3 2}

2    nên ^{sin 0, osc  0, cot 0}

 

 

2 2

2

os 5

1 25 41

1 tan os

5

os 41

os 41

c nhan

c c

c loai



 

 

 



    

  



sin os .tan 4 c 41

      ; cot ^{1 41}

tan 4

    

Các bài tập còn lại làm tương tự.

Bài tập 2.2: Biết ^{sin 1} a3 và

2 a

  . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc: ^{2 ;} 2

 

a) Do 2 a

   nên cos 0 cos ^{2 2} a  a  3

sin 2 2sin cos 4 2 a a a  9

2 2 7

os2 os sin

c a c a a9

4 2 7

tan 2 ;cot

7 4 2

a a

b) 2  a  os 0,sin 0

4 2 2 c 2 2

    

     

2 1 cos 1 cos 3 2 2

sin sin

2 2 2 2 6

a  a a  a  

1 cos 3 2 2

os2 2 6

a a

c    

t an 3 2 2;cot 3 2 2

2 2

a   a  

Bài tập 2.3: Tính cos2 ,sin 2 , tan 2a a a biết:

a) ^{cos 5 , 3}

13 2

a    a  ; ^{cos 5 ,}

a 13 2  a  ; ^{cos 4, 0}

5 2

a  a

   

b) ^{sin 3, 3}

5 2

a    a 

c) ^{sin cos 1} a a 2 và ³

4  a  Hướng dẫn:

a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi.

sin 12

a 13 ; ^{sin 2 120}

a169; ^{os2 os2 sin2 119}

c a c a a 169 hoặc cos2a2cos²a1; tan 2 120

a 169

c) sin cos ¹ sin cos ^{2 1} 1 sin 2 ¹ sin 2 ³

2 4 4 4

a a  a a    a  a  3

4  a  3

2 2 os2 0

2 a  c a

     ; _{os2 1 sin 2}^{2 7}

c a  a  4 tan 2 3

a  7

Bài tập 2.4: Cho ^{sin 2 5} a 9 và

2 a

   . Tính sina, cosa

+ Vì 2 a

   nên ^{sina0, cosa0}

+ 2  a    2a2 nên cos2a có thể dương và có thể âm

2 2 14

os2 1 sin 2

c a   a   9 TH1: os2 ^{2 14}

c a 9

1 os2 2 14

cos 2 6

c a

a  

    ;sin ^{1 os2 14 2}

2 6

c a

a  

 

TH2: os2 ^{2 14} c a  9

1 os2 14 2

cos 2 2

c a

a     ;sin ^{1 os2 2 14}

2 6

c a

a   

Dạng 3:

Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:

a) ^{sin3 os3} 1 sin cos sin cos

a c a

a a

a a

  

 Biến đổi:

 

 

3 3 2 2

sin a c os a sinacosa sin asin cosa a c os a b) ^{sin2 os2 tan 1}

1 2sin cos t ana 1

a c a a

a a

  

  Biến đổi: ^{sin2a c os2a}^sinacosa ^sinacosa, chia tử và mẫu cho ^cosa

c) sin⁴a c os⁴asin⁶a c os⁶asin²acos²a Biến đổi:

   

6 6 2 2 4 2 2 4

sin a c os a sin acos a sin asin acos a c os a d) ^{t ana tan tan a tan}

cot cot

b b

b a

 

 Biến đổi: ^{cot cot 1 1}

t anb t ana

b a 

e) ²









   

     

6 6 2 2 4 2 2 4

4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2

sin os 2 os sin sin cos os 1

2 sin os 1 2sin cos 2 sin os sin os 2sin cos

VT a c a sin a c a a a a c a

a c a a a a c a a c a a a VP

      

         

f) ^{3 sin}



 



Sử dụng ^{a2b2 }^{a b} ^22ab và a³b³ g) tan²asin²atan .sin²a ²a

 

2

2 2 2

2

sin sin sin 1 tan 1

os

VT a a a a VP

c a

     

h) ^{sin 1 cos 2}

1 cos sin sin

a a

a a a

  



 

   

2 2 2 2

sin 1 cos sin 1 2 cos os

sin 1 cos sin 1 cos

a a a a c a

VT VP

a a a a

    

  

 

i) cos⁴asin⁴a2 cos²a1 Sử dụng a²b²

j) 1 2 tan^{2 1 sin2}₂ 1 sin a a

a

  

 ( nếu sina 1)

2 2

2 2 2

1 sin 1 sin

os os os ...

a a

VP VT

c a c a c a

     

k) ^{sin2 os2 1 cot} 1 2sin cos 1 cot

a c a a

a a a

  

 

   

 ²

sin cos

sin cos sin cos sin

sin cos sin cos

sin

a a

a a a a a

VT VP

a a

a a

a

  

  

 

l) cot²a c os²acot²acos²a

 

2 2

2 2

2 2

cos 1 sin

os os

sin sin

a a

c a

VT c a VP

a a

    

m) tan²asin²atan a sin^{2 2}a n) ^{t ana sin cos}

sin cot

a a

a a  o) ^{1 sin2}₂ 1 2 tan²

1 sin

a a

a

  



p) ^os₂^{2 sin2}₂ sin . os^{2 2} cot tan

c a a

a c a

a a

 



Bài tập 3.2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ^{sin4 os4 1 1sin 22 3 1 os4}

2 4 4

a c a  a  c a

 

4 4 2 2 2 2 1 2

sin os sin os 2sin cos 1 2. sin cos 1 sin 2 1

a c a a c a  a a  a a  2 a

 

1 2 1 1 os4a 1 1 3 1

1 sin 2 1 1 os4 os4 2

2 2 2 4 4 4 4

a  c  c a c a

         

 

Từ (1) và (2) suy ra đpcm b) ^{sin6 os6 5 3 os4}

a c a 8 8c a

Hướng dẫn: ^{x3y3 }^{x y x} 





c) ^{sin cos5 cos sin5 1sin 4}

a a a a 4 a

     

5 5 4 4 2 2 2 2

sin cosa acos sina asin cosa a cos asin a sin cosa a cos asin a cos asin a ...

d) ^{os8 sin8 os2 1}sin 4 sin 2 c a a c a4 a a

Sử dụng ^{a2b2 }^{a b a b}   ^  sau đó sử dụng ^{a2b2 }^{a b} ^22ab

e) ^{os2 cos sin} 1 sin 2 cos sin

c a a a

a a a

 

 

 

2 2 2 2

2

os sin os sin

1 2sin cos sin cos ...

c a a c a a

VT a a a a

 

  

 

f) ^{cot t anx 2} sin 2

x  x

Hướng dẫn:

2 2

cos sinx os sin

sinx cos sin x cos ...

x c x x

x x

   

g) cotxt anx 2cot 2 x phân tích như trên h) ^{sin 2 t anx}

1 os2 x c x 

 Hướng dẫn: 2

2sin cos os ...

x x VT  c x 

i) ^{1 os2 tan2} 1 os2

c x c x x

 

 Hướng dẫn: ^2sin2₂ ...

2 cos VT x

 x 

j) ^{os a sin3 sin3 cos 1sin 4}

c a a a4 a

Hướng dẫn: Tương tự như câu c k) ^{sin3 os3} 1 ^{sin 2}

sin cos 2

a c a a

a a

  

 Sử dụng hằng đẳng thức a³b³ l) ^{cos sin cos sin 2 tan 2}

cos sin cos sin

a a a a

a a a a a

   

 

Hướng dẫn: Quy đồng mẫu m) ^{sin 2 2sin tan2}

sin 2 2sin 2

a a a

a a

  



Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng ^{1 cos 2sin2} 2 a a

 

n) ^{1 sin cot2}

1 sin 4 2

a a

a



    

  

2

2

1 os 2 cos

2 4 2

1 os 2sin

2 4 2

c a a

VT VP

c a a

 

 

   

      

   

  

   

      

   

0) ^{sin 2 sin t ana} 1 os2 cos

a a

c a a

 

 

Hướng dẫn: 2

2sin cos 2 cos cos ...

a a

VT  a a 