I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ

O x y

M x y -1 1

1. Định nghĩa

Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn α = xOM. Giả sử M(x; y).

sinα = y (tung độ) cosα = x (hoành độ) tanα ^{= y tung độ}

x hoành độ

 

 

  (x ≠ ⁰⁾ cotα ^{= x hoành độ}

y tung độ

 

 

  ^(y ≠ ⁰⁾

Chú ý: – Nếu α tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα ^{< 0.}

– tanα chỉ xác định khi α≠ ^{900, cot}α chỉ xác định khi α≠ ^{00 và} α≠ ^1800. 2. Tính chất

•••• Gĩc phụ nhau •••• Gĩc bù nhau

0 0 0 0

sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan

α α

α α

α α

α α

− =

− =

− =

− =

0 0 0 0

sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot

α α

α α

α α

α α

− =

− = −

− = −

− = − 3. Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt

4. Các hệ thức cơ bản

tan sin (cos 0) coscos

cot (sin 0)

tan .cotsin 1 (sin .cos 0)

α α α

αα

α α

α αα α α

= ≠

= ≠

= ≠

2 2

2

2 2

2

sin cos 1

1 tan 1 (cos 0)

cos1

1 cot (sin 0)

sin

α α

α α

α

α α

α

+ =

+ = ≠

+ = ≠

Chú ý: 0 sin≤ α ≤ − ≤1; 1 cosα ≤1.

CHƯƠNG II

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ

ĐẾN

0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 180⁰

sinαααα 0 ¹

2 2

2

3

2 1 0

cosαααα 1 ³

2

2 2

1

2 0 –1

tanαααα 0 ³

3 1 _{3 ||} 0

cotαααα _{|| 3} 1 ³

3 0 _||

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) asin 0⁰+bcos0⁰+csin 90⁰ b) acos90⁰+bsin 90⁰+csin180⁰ c) a²sin 90⁰+b²cos90⁰+c²cos180⁰ d) 3 sin 90− ^{2 0}+2 cos 60^{2 0}−3tan 45^{2 0} e) 4 sin 45a^{2 2 0}−3( tan 45 )a ^{0 2}+(2 cos45 )a ^{0 2}

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sinx+cosx khi x bằng 0⁰; 45⁰; 60⁰. b) 2sinx+cos2x khi x bằng 45⁰; 30⁰. Bài 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một gĩc, tính các giá trị lượng giác cịn lại:

a) sin ¹

β = 4, β nhọn. b) cos ¹

α = −3 c) tanx=2 2 Bài 4. Biết sin15⁰ 6 2

4

= − . Tinh cos15 , tan15 , cot15^{0 0 0}.

Bài 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một gĩc, tính giá trị của một biểu thức:

a) sinx 1, 90⁰ x 180⁰

=3 < < . Tính A ^{x x}

x x

tan 3cot 1 tan cot

+ +

= + .

b) tanα = 2. Tính B ₃ sin ₃cos

sin 3cos 2sin

α α

α α α

= −

+ +

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sinx+cos )x ² = +1 2sin .cosx x b) sin⁴x+cos⁴x= −1 2sin .cos²x ²x c) tan²x−sin²x=tan .sin²x ²x d) sin⁶x+cos⁶x= −1 3sin .cos²x ²x e) sin .cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin .cosx x + x + x = + x x

Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau:

a) cosy+sin .tany y b) 1 cos . 1 cos+ b − b c) sin 1 tana + ²a

d) ^x x x

x

2 2

1 cos tan .cot 1 sin

− +

− e) ^{x x}

x x

2 2

2

1 4sin .cos (sin cos )

−

+

f) sin(90⁰− +x) cos(180⁰− +x) sin (1 tan ) tan²x + ²x − ²x Bài 8. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) cos 12^{2 0}+cos 78^{2 0}+cos 1^{2 0}+cos 89^{2 0} b) sin 3^{2 0}+sin 15^{2 0}+sin 75^{2 0}+sin 87^{2 0} Bài 9.

a)

II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

O A

B a

b a

b

1. Gĩc giữa hai vectơ Cho a b, ≠0

. Từ một điểm O bất kì vẽ OA=a OB,=b . Khi đĩ

( )

với 0⁰≤

AOB ≤ 180⁰. Chú ý:

+

( )

= 90⁰⇔ ^a ⊥^b

+

( )

( )

= 180⁰⇔ ^{a b,} ngược hướng +

( ) ( )

2. Tích vơ hướng của hai vectơ

•Định nghĩa: ^{a b.}= ^{a b . .cos ,}

( )

.

• Tính chất: Với a b c, ,

bất kì và _∀k∈^{R, ta cĩ:}

+ a b.=b a.

; a b c

(

)

; ( )ka b .=k a b

( )

( )

; a² ≥0;a²= ⇔ =0 a 0 . +

(

)

;

(

)

; a²−b² =

(

)(

)

. + a b.

> 0 ⇔

( )

< 0 ⇔

( )

a b.

= 0 ⇔

( )

vuông.

3. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng

• Cho a

= (a₁, a₂), b

= (b₁, b₂). Khi đĩ: a b.=a b_{1 1}+a b_{2 2} .

• a = a₁²+a₂²

; a b a b

a b

a a b b

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos( , )

.

= +

+ +

; a⊥ ⇔b a b_{1 1}+a b_{2 2} =0

• Cho A x( ; ), ( ; )_A y_A B x y_{B B} . Khi đĩ: AB= (x_B−x_A)²+(y_B−y_A)² .

Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vơ hướng:

a) AB AC. b) AC CB. c) AB BC. Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vơ hướng:

a) AB AC. b) AC CB. c) AB BC. Bài 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.

a) Chứng minh: DA BC DB CA DC AB. + . + . =0.

b) Từ đĩ suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

Bài 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:

BC AD CA BE. + . +AB CF. =0.

Bài 5. Cho hai điểm M, N nắm trên đường trịn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.

a) Chứng minh: AM AI. =AB AI BN BI . , . =BA BI. . b) Tính AM AI. +BN BI. theo R.

Bài 6. Cho tam giác ABC cĩ AB = 5, BC = 7, AC = 8.

b) Tính CA CB. .

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD CB. .

Bài 7. Cho hình vuơng ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) AB AC. b) (AB AD BD BC+ )( +)

c) (AC AB−)(2AD AB−) d) AB BD. e) (AB AC++AD DA DB DC)( ++)

HD: a) a² b) a² c) 2a² d) −a² e) 0 Bài 8. Cho tam giác ABC cĩ AB = 2, BC = 4, CA = 3.

a) Tính AB AC. , rồi suy ra cosA.

b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính AG BC. .

c) Tính giá trị biểu thức S = GA GB GB GC GC GA. + . + . . d) Gọi AD là phân giác trong của gĩc

BAC (D ∈ BC). Tính AD

theo AB AC, , suy ra AD.

HD: a) AB AC. 3

= −2, cosA 1

= −4 b) AG BC. 5

=3 c) S 29

= − 6 d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB ^AB DC

AC. =

⇒ _AD ³_AB ²_AC

5 5

= +

, AD 54

= 5 Bài 9. Cho tam giác ABC cĩ AB = 2, AC = 3, A = 60⁰. M là trung điểm của BC.

a) Tính BC, AM.

b) Tính IJ, trong đĩ I, J được xác định bởi: 2IA IB+=0, JB=2JC . HD: a) BC = 19, AM = 7

2 b) IJ = 2 133 3 Bài 10. Cho tứ giác ABCD.

a) Chứng minh AB²−BC²+CD²−DA²=2AC DB. .

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc là:

AB²+CD² =BC²+DA².

Bài 11. Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:

MH MA. 1BC²

= 4 .

Bài 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:

a) MA²+MC² =MB²+MD² b) MA MC. =MB MD. c) MA²+MB MD. =2MA MO. (O là tâm của hình chữ nhật).

Bài 13. Cho tam giác ABC cĩ A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ điểm M biết CM=2AB−3AC .

c) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 14. Cho tam giác ABC cĩ A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tính AB AC. . Chứng minh tam giác ABC vuơng tại A.

b) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tìm toạđộ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.

f) Tìm toạđộđiểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.

g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.

h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.

i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA+2TB−3TC=0

k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.

l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC.

Bài 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MA² =2MA MB. b) (MA MB−)(2MB MC−) 0= c) (MA MB MB MC+ )( +) 0=

d) 2MA²+MA MB. =MA MC.

Bài 16. Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MA MC MB MD. + . =a² b) MA MB MC MD. + . =5a²

c) MA²+MB²+MC² =3MD² d) (MA MB MC MC MB++ )( −) 3= a²

Bài 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: MA MB MC MD. . 1IJ²

+ =2 .

Bài 18.

a)

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A

B H C

M O

A B

C

D T

R – độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m_a, m_b, m_c – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc

– bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S 1. Định lí cơsin

a² =b²+ −c² 2 .cosbc A; b² =c²+a²−2 .cosca B; c²=a²+b²−2 .cosab C 2. Định lí sin

a b c

A B C 2R

sin =sin =sin = 3. Độ dài trung tuyến

a

b c a

m

2 2 2

2 2( )

4

+ −

= ; _b a c b

m

2 2 2

2 2( )

4

+ −

= ; _c a b c

m

2 2 2

2 2( )

4

+ −

= 4. Diện tích tam giác

S = 1ah_a 1bh_b 1ch_c

2 =2 =2

= 1bcsinA 1casinB 1absinC

2 = 2 =2

= ^abc 4R = pr

= p p a p b p c( − )( − )( − ) (cơng thức Hê–rơng)

Giải tam giác là tính các cạnh và các gĩc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng (nhắc lại) Cho ∆ABC vuơng tại A, AH là đường cao.

• BC² =AB²+AC² (định lí Pi–ta–go)

• AB² =BC BH. , AC²=BC CH.

• AH² =BH CH. ,

AH² AB² AC²

1 = 1 + 1

• AH BC. =AB AC.

• b=a.sinB=a.cosC=ctanB=ccotC; c=a.sinC=a.cosB=btanC=bcotC 6. Hệ thức lượng trong đường trịn (bổ sung)

Cho đường trịn (O; R) và điểm M cốđịnh.

• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.

PM/(O) = MA MB. =MC MD. =MO²−R²

• Nếu M ở ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT.

PM/(O) = MT²=MO²−R²

Bài 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta cĩ;

a) a=b.cosC c+ .cosB b) sinA=sin cosB C+sin cosC B c) h_a =2 sin sinR B C d) m_a² m_b² m_c² 3(a² b² c²)

+ + = 4 + +

e) S _ABC 1 AB AC². ²

(

)

∆ =2 −

Bài 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu b + c = 2a thì

a b c

h h h

2 = 1 + 1 b) Nếu bc = a² thì sin sinB C=sin²A h h, _{b c} =h_a² c) A vuơng ⇔ m_b²+m_c² =5m_a²

Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là gĩc hợp bởi hai đường chép AC và BD.

a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi cơng thức: S 1AC BD. .sin

2 α

= .

b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc.

Bài 4. Cho ∆ABC vuơng ở A, BC = a, đường cao AH.

a) Chứng minh AH =a.sin .cos ,B B BH =a.cos ,²B CH =a.sin²B. b) Từ đĩ suy ra AB² =BC BH AH. , ² =BH HC. .

Bài 5. Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH =α. a) Tính các cạnh của ∆OAK theo a và α.

b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và α. c) Từ đĩ tính sin 2 , cos2 , tan 2α α α theo sin , cos , tanα α α . Bài 6. Giải tam giác ABC, biết:

a)

c=14; A=60 ;⁰ B=40⁰ b) b=4,5; A=30 ;⁰ C=75⁰

c)

c=35; A=40 ;⁰ C=120⁰ d)

a=137,5;B=83 ;⁰ C=57⁰ Bài 7. Giải tam giác ABC, biết:

a)

a=6,3;b=6,3;C=54⁰ b) b=32;c=45; A=87⁰

c)

a=7;b=23;C=130⁰ d)

b=14;c=10; A=145⁰ Bài 8. Giải tam giác ABC, biết:

a) a=14;b=18;c=20 b) a=6;b=7,3;c=4,8

c) a=4; b=5;c=7 d) a=2 3;b=2 2; c= 6− 2 Bài 9.

a)

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ^{x x}

x x x

sin 1 cos 2

1 cos sin sin

+ + =

+ b) x x

x x

x x

3 3

sin cos 1 sin .cos sin cos

+ = −

+

c) ^x

x x x

2 2

2 2

tan 1 1 1

2 tan 4sin .cos

 −  − = −

 

  d) ^{x x} x

x x x

2 2

2

4 4 2

cos sin 1 tan

sin cos sin

− = +

+ −

e) ^{x x} x x

x x x x

2 2

sin cos sin cos

cos (1 tan ) sin (1 cot )− = −

+ +

f) x ^x x ^x

x x x x

cos sin 1

tan . cot

1 sin 1 cos sin .cos

   

+ + =

   

+ +

   

g) cos (cos²x ²x+2sin²x+sin²xtan ) 1²x = Bài 2. Biết sin18⁰ 5 1

4

= − . Tính cos18⁰, sin72⁰, sin162⁰, cos162⁰, sin108⁰, cos108⁰, tan72⁰. Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = cos⁴x−cos²x+sin²x b) B = sin⁴x−sin²x+cos²x Bài 4. Cho các vectơ a b,

.

a) Tính gĩc

( )

và hai vectơ u= +a 2 ,b v =5a−4b

vuơng gĩc.

b) Tính a b+

, biết a =11, b =23, a b− = 30 .

c) Tính gĩc

( )

, biết a =3, b =2, ( , ) 120a b = ⁰ . e) Tính a , b

, biết a b+ = 2, a b− = 4, (2a b+) (⊥ +a 3 )b . Bài 5. Cho tam giác ABC cĩ AB = 3, AC = 4, BC = 6.

a) Tính AB AC. và cosA.

b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM 2AB AN, 3AC

3 4

= =

. Tính MN.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD cĩ AB = 3, AD = 1,

BAD=60⁰. a) Tính AB AD BA BC. , .

.

b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính ^cos

(

)

Bài 7. Cho tam giác ABC cĩ gĩc A nhọn. Về phía ngồi tam giác vẽ các tam giác vuơng cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI _⊥ DE.

Bài 8. Cho tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh HK _⊥ IJ.

Bài 9. Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo AC lấy điểm N sao cho AN 3AC

= 4

. a) Chứng minh DN vuơng gĩc với MN.

b) Tính tổng DN NC MN CB. + . .

Bài 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) AB AM. −AC AM. =0 b) AB AM. +AC AM. =0 c) (MA MB MA MC+ )( +) 0=

d) (MA MB++2MC MA)( +2MB MC+) 0= Bài 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta cĩ:

a) b²−c²=a b( .cosC c− .cos )B b) (b²−c²)cosA=a c( .cosC b− .cos )B b) sinA=sin .cosB C+sin .cosC B=sin(B C+ )

Bài 12. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu (a b c b c a+ + )( + − =) 3bc thì

A=60⁰. b) Nếu b c a

b c a a

3 3 3

+ − = 2

+ − thì

A=60⁰. c) Nếu cos(A C+ ) 3cos+ B=1 thì

B=60⁰. d) Nếu b b( ²−a²)=c a( ²−c²) thì

A=60⁰. Bài 13. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu b a

b A a B

c

2 2

cos cos

2

− = − thì ∆ABC cân đỉnh C.

b) Nếu ^B A

C

sin 2 cos

sin = thì ∆ABC cân đỉnh B.

c) Nếu a=2 .cosb C thì ∆ABC cân đỉnh A.

d) Nếu ^{b c a}

B C B C

cos +cos =sin .sin thì ∆ABC vuơng tại A.

e) Nếu S=2R²sin .sinB C thì ∆ABC vuơng tại A.

Bài 14. Cho ∆ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuơng gĩc với nhau là: b²+c² =5a².

Bài 15. Cho ∆ABC.

a) Cĩ a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM

= 2, BK = 2. Tính MK.

b) Cĩ cosA 5

=9, điểm D thuộc cạnh BC sao cho

ABC=DAC, DA = 6, BD 16

= 3 . Tính chu vi tam giác ABC.

HD: a) MK = 8 30

15 b) AC = 5, BC = ²⁵

3 , AB = 10 Bài 16. Cho một tam giác cĩ độ dài các cạnh là: x²+ +x 1; 2x+1; x²−1.

a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.

b) Khi đĩ chứng minh tam giác ấy cĩ một gĩc bằng 120⁰. Bài 17. Cho ∆ABC cĩ

B<90⁰, AQ và CP là các đường cao, S_∆ABC =9S_∆BPQ. a) Tính cosB.

b) Cho PQ = 2 2. Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp _∆ABC.

HD: a) cosB 1

=3 b) R 9

=2 Bài 18. Cho _∆ABC.

a) Cĩ

B=60⁰, R = 2, I là tâm đường trịn nội tiếp. Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp _∆ACI.

b) Cĩ

A=90⁰, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BCM.

c) Cĩ a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp ∆BCM.

HD: a) R = 2 b) R 5 13

= 6 c) R 8 23

=3 30

Bài 19. Cho hai đường trịn (O , R) và (O , r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng

A và N). Đặt AO C₁ =α, AO D₂ =β. a) Tính AC theo R và α; AD theo r và β.

b) Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp ∆ACD.

HD: a) AC = 2 sinR 2

α , AD = 2 sinr 2

β b) Rr.

Bài 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường trịn đường kính AC, BD = a, CAB=α , CAD=β .

a) Tính AC. b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, _α, _β.

HD: a) AC = a

sin(α β+ ) b) S ^a

2cos( ) 2sin( )

β α α β

= −

+ . Bài 21. Cho ∆ABC cân đỉnh A,

A=α, AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC = 3BD.

a) Tính BC, AD.

b) Chứng tỏ rằng đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cosα để bán kính của chúng bằng ¹

2 bán kính R của đường trịn ngoại tiếp ∆ABC.

HD: a) BC = 2 sinm 2

α , AD = ^m 5 4 cos

3 + α b) cos ¹¹

α = −16 . Bài 22.

a)