Đề cương ôn tập toán lóp 11 kì 2 VIP

1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2010 - 2011

A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số (u_n) có giới hạn 0.

Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0 - Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim1 0

n , lim 1 0

n ^{ , lim3 0} 1

n ^{ , lim 0}

qn  với |q| < 1 2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.

Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:

+) Nếu limu_n = + thì lim 1 0 un 

- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:

+) Nếu

 

0

lim

x x f x

  thì

 

0

lim 1 0

x^x f x 

- Chú ý khi gặp các dạng vô định: ; ;⁰ ; 0.

0

    

 ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho CSN (u_n) lùi vô hạn (với q 1), ta có :

1 1 1 ¹

1

n u

S u u q u q

 q

    

 4/ Xét tính liên tục của hàm số

Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x₀: limun limvn = L lim(unvn)

 L >0 

 L < 0 _

 L >0 _

 L < 0 

limun=L limvn Dấu của

v_n lim ⁿ

n

u v L >0

0

+ 

L > 0 - 

L < 0 + _

L < 0 - 

) ( lim

0

x f

xx lim ( )

0

x g

xx lim ( ). ( )

0

x g x f

xx

+ ∞ L > 0 + ∞

- ∞ - ∞

+ ∞ L < 0 - ∞

- ∞ + ∞

) ( lim

0

x

x f

x lim ( )

0

x

x g

x Dấu của

g(x) ( )

) lim (

0 g x

x f

xx

L > 0

0

+ + ∞

- - ∞

L < 0 + - ∞

- + ∞

2 +) Tính f(x0)

+) Tìm

 

0

limx x f x

 (nếu có) - Nếu

 

0

lim

x x f x

 không tồn tại f(x) gián đoạn tại x0.

- Nếu

   

0

lim 0

x x f x L f x

    f(x) gián đoạn tại x0

- Nếu

   

0

lim 0

x x f x L f x

    f(x) liên tục tại x0.

5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.

Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1/ Tìm đạo hàm của hàm số

Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm +) Các quy tắc tính đạo hàm:

'

2 '

2

( ) ' ' '

( . ) ' '. '.

( . ) ' . '

'. '.

1 '

u v u v

u v u v v u k u k u

u u v v u

v v

v

v v

  

 



   

  

   

  

 

 

 

1

' 2

' 0 ; ' 1

' .

1 1

' 1 2

n n

c x

x n x

x x

x x



 



   

  



 

 

1

' 2

' . . '

1 '

' ' 2

n n

u n u u

u

u u

u u

u

 

   

  



+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu y f u x[ ( )] thì

y

^'_x

 f u

_u^'

.

^'_x

+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:

 

 

 

₂

2

sin ' cos

cos ' sin

tan ' 1 cos (cot ) ' 1

sin

x x

x x

x x

x x



 



 

 

 

 

₂

2

sin ' '.cos cos ' '.sin tan ' '

cos (cot ) ' '

sin

u u u

u u u

u u

u u u

u



 



 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x₀ có dạng:

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

3/ Vi phân

- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df x( )₀  f x'( ).₀ x

- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f x( ₀  x) f x( )₀  f x'( )₀ x - Vi phân của hàm số: df x( ) f x dx'( ) hay dy y dx'

4/ Đạo hàm cấp cao:

- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.

- Đạo hàm cấp n của hàm số: f⁽ⁿ⁾ = [f^(n-1)]’.

3 II. BÀI TẬP

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:

 

2

) 1

2 1

n

a un

n

 



sin 2

) ⁿ 1

b u n

 n

 ²

cos 3

) _n n n

c u n n

 



) cos

n 1 d u n

n n



 

1

) 1

3

n

n n

e u _

 2

) 3 1

n

n n

f u 



 

1 1

1 1

) 3 5

n

n n n

g u _{ }

  h u) _n  n 1 n Bài 2: Tìm các giới hạn sau:

3

3 2

2 3 1

) lim n n

a n n

 



3 2

3 2

) lim

2 1

n n

b n

 

 ) lim ₃ ^{3 2}

2 1

c n

n n

 

 

5

3 2

1 2 3

) lim

( 2) (5 1)

n n

d n n

 

 

4 2 1

) lim

1 2

n n

e n

 



3 2.5

) lim

3.5 4

n n

n n

f 

 3 4 1

) lim

2.4 2

n n

n n

g  



2 2

4 1 9 2

) lim

2

n n

h n

  

 ) lim _n

i u với

 

1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ... 1

un

    n n



ĐS: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1

Bài 3 : Tính các giới hạn sau:

) lim(3 2 1)

a n  n b) lim( 2 n⁴n² n 3) ^{c) lim 3}



^{n2nsin 2n}



^{d) lim 3n2  n 1}

 

) lim 2.3ⁿ 5.4ⁿ

e  f) lim 3n² 1 2n g) lim n² 1 n ^h)lim



^{n2 n n}





²



) lim 3 6 1 7

i n  n  n ^{k) lim n}



^{n 1 n}



^{l) lim}



^n23nn



^{m) lim}



^{3 n3n2 n}



ĐS: a) + b) -  c) + d) + e) -  f) -  g) 0 h) + i) - k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3 Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a)

1 1 1 1 1

1, , , ,..., ,...

2 4 8 2

 n

   

  b)

1 1 1 1 1

1, , , ,..., ,...

3 9 27 3

 n

   ĐS: a) 2/3 b) 3/2

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 

):

a)

3

3 2

5 1

lim 2 3 1

x

x x

x x



  

  b)

3 3 2

lim 2 1

x

x

 x

 

 c)

3 2

2

5 1

lim 3

x

x x

x x



 



d)

5 3

2 3

2 4

lim 1 3 2

x

x x x

x x



 

 

2

3 2

5 1

) lim

2 3 1

x

e x

x x





  f)

2 2

2 4 1

lim 2 5

x

x x x

 x

  



ĐS: a) -1/2 b) - c) -  d) - e) 0 f) -1/5

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):

a) lim ( 2 ^{3 2} 3 1)

x x x x

     b) lim ( ^{4 3} 5 3)

x x x x

     c) lim 4 ² 2

x x x

  

d) lim ² 3 2

x x x

   e)x^lim



³x² x ²x



   f)x^lim



²x² x x



  

ĐS: a) + b) -  c) +  d) + e) -  f) + 

Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):

4 a)

3

lim 1 3

x

x

 x





 b)

 

²

4

lim 1

x 4

x

 x



 c)

3

2 1

lim 3

x

x

 x





 d)

2

2 1

lim 2

x

x

 x



 

 e) ₂

0

lim 2

x

x x

x x





 f)

1

3 1

lim 1

x

x

 x





 ĐS: a) -  b) -  c) + d) + e) 1 f) +

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ⁰ 0):

a/

2 3

lim 9 3

x

x

 x



 b/

2 1

3 2

lim^x 1

x x

 x

 

 c) ₂

3

lim 3

2 3

x

x

x x





  d)

3 1 2

lim 1 1

x

x

 x



 e)

2 1 2

2 3

lim^x 2 1

x x

x x



 

  f)

2

lim 2

7 3

x

x

 x



  g)

2 3

lim 9

1 2

x

x

 x



  h)

4

2 1 3

lim

2

x

x

 x

 

 i)

1

lim 2 1

5 2

x

x

 x

 

  k)

2 2

3 2

lim 2

x

x x

 x



 

 ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):

a)

0

1 1

lim 1

1

x^ x x

  

  

  b)

 

₂

1

2 3

lim 1

1

x

x x

 x



 

 c) ²

3

2 1

lim 9.

3

x

x x

 x



 

 d/ lim2



³ 8



2

2

x

x x

 x

 

 ĐS: a) -1 b) 0 c) + d) 0

Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):

a) x^lim



x^{2 1} x



   b) x^lim



x^{2 2}x x^{2 1}



    c)x^lim



⁴x² x ²x



   d)x^lim



x² x x^{2 1}



   

ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2

Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng

0

limsin 1

x

x

 x  ) a)

0

sin 3 lim

x

x

 x b) ₂

0

sin sin 2 lim^x 3

x x

 x c)

2 0

1 cos lim^x sin

x

x x



 d)

0

sin .sin 2 ....sin

lim _n

x

x x nx

 x ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!

Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a)

2 4

-2

( ) 2

4 -2

x khi x

f x x

khi x

  

 

  



tại x0 = -2 b)

2 4 3

khi x<3

( ) 3

5 khi 3

x x

f x x

x

  

 

 



tại x0 = 3

c)

2 2 3 5

1

( ) 1

7 1

x x

khi x

f x x

khi x

   

 

 



tại x₀ = 1 d)

2 1

3

( ) 3

3 3

x khi x

f x x

khi x

   

  

 



tại x₀ = 3

e/

2 2

2

( ) 2

2 2 2

x khi x

f x x

khi x

 

 

 

 



tại x₀ = 2 f)

2 2

( ) 1 1

3 4 2

x khi x

f x x

x khi x

  

  

  



tại x₀ = 2 ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

a)

2 3 2

2

( ) 2

1 2

x x

khi x

f x x

khi x

   

 

 



b)

 

²

1 2

( ) 2

3 2

x khi x

f x x

khi x

  

  

 

 c)

 

2 2

x 2

2

5 x 2

x x f x x khi

x khi

   

 

  



d)

 

²

2

0 0 1

2 1 1

x khi x

f x x khi x

x x khi x

 

  

   



5

ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2.

c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.

Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x₀. a)

 

2 2

1 1

1 x x

khi x

f x x

a khi x

    

 

  



với x0 = -1 b)

2 1

( ) 2 3 1

x khi x f x ax khi x

 

    với x0 = 1

c)

7 3

2

( ) 2

1 2

x khi x

f x x

a khi x

   

  

  



với x0 = 2 d)

3 2 1 1 ( ) 2 1 1

x khi x

f x a khi x

  

    với x0 = 1 ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2

Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:

a) x⁴5x 2 0 có ít nhất một nghiệm.

b) x⁵3x 7 0 có ít nhất một nghiệm.

c) 2x³3x² 5 0 có ít nhất một nghiệm d)2x³10x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm.

e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3) f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

g) x³3x² 1 0 có 3 nghiệm phân biệt.

h)



^1m2

 

^x1



^{3x2  x 3 0} luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.

i) ^{m x}



^1



³



^{x2 4}



^{x4 3 0} luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.

CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM

Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:

a) yx³ b)y3x²1 c) y x1 d) ¹ y 1

 x

 Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1)  ³  ²  5

3 2

x x

y x

2) 3

2 ⁵  2 

 x

x

y

3)  2 4₂  5₃  6₄

y 7

x x x x

4) y5x²(3x1) 5) y = (x³ – 3x )(x⁴ + x² – 1) 6)y(x² 5)³

7)y(x² 1)(53x²) 8)yx(2x1)(3x2) 9)y(x1)(x2)²(x3)³ 10) ^y_^{2 3}_x^{ x}_



^{x 1}



^{11)y 2x3 12)y = ( 5x3 + x2 – 4 )5}

13)y 3x⁴x² 14) ^y



^2x21

 

^{x2 3}



^x7



^{15) 2 2 5}

2 y x

x

 



16) ₂ ¹

2 3 5

y x x

  17)

3 2

2 1

x x

y x x

 

  18)   

 

2 2

7 5

3

x x

y x x 19)y x² 6x7 20)y x1 x2 21)y(x1) x²  x1

22) 2 1

3

2 2





  x

x

y x 23) y 1 x

1 x

 

 24)^y



^{2x23 x1}



³

6

25) ^y



^{x2 x}



^{3 x32x 26) y = x(x2- x}+1) 27)

3

2 2 3

2

y x x x

x

 

      Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x³) 3) y = x.cotx 4)y(1cotx)² 5)ycosx.sin² x 6) cos ¹cos³

y x3 x 7)

sin⁴ 2x

y 8)

x x

x y x

cos sin

cos sin



 

9)y cot (2x³ ) 4

  10) ysin (cos 3 )² x 11) y cot 1 x ³  ² 12) y3sin² x.sin3x 13) y 2 tan x ² 14) y ^cosx₃ ⁴cot x

3sin x 3

   15)ysin(2sin )x 16) y= sin⁴ p- 3x

17) _{2 2}

) 2 sin 1 (

1 y x

  18) _y ^{xsin x} 1 tan x

  19) _y ^{sin x x}

x sin x

  20) y 1 2tanx

Bài 4: Cho hai hàm số : f x( )sin⁴ xcos⁴ x và ( ) ¹cos 4 g x  4 x Chứng minh rằng: f x'( )g x'( ) ( x ).

Bài 5: Cho yx³3x²2 . Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3 ĐS: a) 0

2 x x

 

  b) 1 2  x 1 2 Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = 3sinxcosxx c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 1

Bài 7: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)  Bài 8: a) Cho hàm số:

2 2

2 2 

 x x

y . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’² b) Cho hàm số y = _x^x ₄³



 . Chứng minh rằng: 2(y’)² =(y -1)y’’

c) Cho hàm số y 2x x ²

.

Chứng minh rằng

:

y y" 1 0³   Bài 9: Chứng minh rằng f x'( )0  x , biết:

a/ ( ) ^{2 9 6} 2 ³ 3 ² 6 1

f x 3x x  x  x  x b/ f x( )2xsinx Bài 10: Cho hàm số

2

2

x x

y x

 

 (C) a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.

Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 2x² (C)

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.

Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : yx³5x²2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) a) Tại M (0;2).

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.

7 c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =¹

7x – 4.

Bài 13: Cho đường cong (C):

2 2 y x

x

 



. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) Tại điểm có hoành độ bằng 1

b) Tại điểm có tung độ bằng

1 3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4 Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:

a) yx³ 2x1 b)

sin⁴ 2x

y c) y x² 6x7 d) ycosx.sin² x e) y(1cotx)² Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

1) ¹

2 y x

x

 

 2) ₂^{2 1} 2 y x

x x

 

  3) ₂ 1 y x

 x

 4) yx x²1 5) yx²sinx 6) y (1 x²) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x ĐS: 1)

 

³

'' 6

2 y

x

  2)

 

3 2

2 3

4 10 30 14

''

2

x x x

y

x x

  

   3)

 

 

2 2 3

2 3

''

1 y x x

x

 

 4)

 

3

2 2

2 3

''

1 1

x x

y

x x

 

 

5) ^y''



^2x2



^{sinx4 cosx x 6) y''4 sinx x(x23) cosx} 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) ¹

y 1

 x

 b) y = sinx

ĐS: a) ^{ }

 

 

¹

1 !

1

n n

n

y n

x ^

   b) ^{ } sin

2 yn  xn 

 

8

B. HÌNH HỌC I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

 Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng

90

⁰.

 Phương pháp 2:

a   b u v .  0

(

u v ,

lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).

 Phương pháp 3: Chứng minh

a  ( )   b

hoặc

b  ( )   a

 Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a  b a b' với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).

 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).

 Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P)

 Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)

 Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q).

 Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P).

 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.

 Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q).

 Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q).

 Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q).

 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.

 Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’).

 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).

 Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là  +) Nếu d  (P) thì  = 90⁰.

+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đó:  = (d,d’)

 Dạng 6: Tính góc  giữa hai mp (P) và (Q).

 Phương pháp 1:

- Xác định a  (P), b  (Q).

- Tính góc  = (a,b)

 Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d - Tìm (R)  d

- Xác định a = (R)  (P) - Xác định b = (R)  (Q) - Tính góc  = (a,b).

 Dạng 7: Tính khoảng cách.

 Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:

Phương pháp:

d M a ( , )  MH

(với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).

 Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):

Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).

-

d

(M, (P)) = AH

 Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó:

d

(, (P))

= d

(M, (P)) (M là điểm thuộc ).

 Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:

+) Phương pháp 1: Nếu a  b :

9 - Dựng (P)  a và (P)  b

- Xác định A = (P)  b

- Dựng hình chiếu H của A lên b

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2:

- Dựng (P)  a và (P) // b.

- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H - Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.

+) Phương pháp 2:

- Dựng đt (P)  a tại I cắt b tại O

- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).

- Kẻ IK  b’ tại K.

- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.

- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.

II. BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC).

a) Chứng minh: BC  (SAB).

b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA  (ABCD). Chứng minh rằng:

a) BC  (SAB).

b) SD  DC.

c) SC  BD.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: BC  AD.

b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH  (BCD).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2. a) Chứng minh SO  (ABCD).

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:

a) H là trực tâm BCD.

b) AC  BD.

Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA  (ABCD).

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).

c) Tính góc giữa SC và (ABCD).

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.

10 BAD 60 0

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).

b) Chứng minh SC  (AHK).

c) Chứng minh HK  (SAC).

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC).

Gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh BC  (SAI).

b) Tính SI.

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC) và SA = a, AC = 2a.

a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB).

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.

Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.

1. CMR: BC(OAI).

2. CMR: (OAI)(OHK).

3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS:a / 3 5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS:cos  6 / 3 6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS: tan  2 7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai đường ấy. ĐS: a / 2 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a 2 . 1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. CMR: mp (SAC)mp(SBD) .

3. Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB). ĐS:  45 , 30⁰   ⁰ 4. Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS: tan 2 5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).

ĐS: a 6 / 3 6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: a / 2 7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI. ĐS: SI a Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2   và . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.

1. CMR: BD(SAC) và SH (ABCD) . 2. CMR: ADSB.

3. CMR: (SAC)(SBD).

4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC. ĐS: SH a 15 / 6 và SC = a 7 / 2 5. Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc giữa SC và (SBD).

ĐS: sin  3 / 3 và cos 3 / 14.

6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD). ĐS: a 10 / 12 7. Tính góc giữa(SAD)và (ABCD). ĐS: tan  5 8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: a 3 / 3

11

ADC 45 0

9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI. ĐS: 3 15a / 20 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và

.

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . 1. CMR: BC mp(SAB).

2. CMR: CDSC.

3. Tính góc  giữa SC và (ABCD), góc  giữa SC và (SAB), góc  giữa SD và (SAC).

ĐS:  45 , 30 , tan⁰   ⁰   2 / 2

4. Tính tang của góc  giữa mp(SBC) và mp(ABCD). ĐS: tan  2 5. Tính khoảng cách giữa SA và BD. ĐS: 2a / 5 6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). ĐS: 2a / 7 7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.

Từ đó tính MS và NS. ĐS: MS a , NS a 6 / 2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

1. CMR: BD(ACC'A') và A’C(BDC'). 2. CMR: A'C AB' .

3. CMR: (BDC’) (ACC’A’) và (MNC’)(ACC’A’).

4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’). ĐS: a / 3 5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’). ĐS: 3a / 17

6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’). ĐS:tan 2 2 / 3 7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD). ĐS:tan  2 8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’). ĐS:cos 7 / 51 9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’. ĐS: a 3 / 3