Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Thanh Sơn 2020-2021

(1)

UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề có 03 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2020-2021

Môn : Toán

(Thời gian 150 phút không kể giao đề)

I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Câu 1.Biểu thức 1

2 3  a b 3

 . Giá trị a² b²là :

.1 .3 .5 .7

A B C D

Câu 2. Rút gọn biểu thức 2 1 3 2

x : y

A x y x y y x x y

  

   

 

 

 

  ^{(với ,}^{x y} ^^0,^x ^ ^y⁾

Được kết quả là :

. . . .3

2 2 2 2

y y

x x

A B C D

y y y y

   

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của 6 34 3

x x

Q x

 

  ^{là :}

.34 .10 .8 .4

A 3 B C D

Câu 4.Tập nghiệm của phương trình 4x²20x25 2 x5là :

     

. / 2,5 . 2,5 . / 2,5 .

A S  x x B S  C S  x x D S  

Câu 5.Cho ^x ¹^ ^y² ^ ^y ¹^^x² ^^{1 ,}



^{x y}^⁰



. Giá trị của biểu thức x y là :

.1 . 2 .2 .2 2

A B C D

Câu 6.Cho ^{f x}

 

^



^x³ ^⁶^x^⁷



²⁰¹⁷^{. Biết}^a ^ ³³^ ¹⁷ ^ ³ ³^ ¹⁷ thì giá trị của ^{f a}

 

là : .1A B.0 C.3 D. 1

Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 2x² 4x5là :

.2 3 .1 3 .3 3 .2 3

A  B  C  D 

Câu 8.Biểu thức

2

5 3 6

x x x



  có nghĩa khi nào ?

5 3 5

. 3 2 . 2 . . 3

2

3 3

A x B x C x D x

x

  

         

Câu 9.Cho tam giác ABCcân tại A, đường cao AH BK, . Ta có :

(2)

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

. .

2

1 1 1 1 1 1

. .

4 3

A B

BK BC AH BK BC AH

C D

BK BC AH BK BC AH

   

Câu 10.Cho hình thang ^{ABCD AB CD}



^{/ /}



, có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Biết BD12cm AB CD,  16 .cm Diện tích của hình thang ABCDlà :

2 2 2 2

.6 7 .12 7 .24 7 .48 7

A cm B cm C cm D cm

Câu 11. Cho tam giác ABCvuông tại A, phân giác ^{AD D BC}



^



^,^có^AB^¹⁰^cm^,

15 .

AC  cm Qua Dkẻ đường thẳng song song với ABcắt ACtại E. Độ dài đoạn CElà

.10 .12 .15 .9

A cm B cm C cm D cm

Câu 12.Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Giả sử AB6cm BH, 4cm. Khi đó cạnh BCbằng :

.9 .10 .10,5 .8 2

A cm B cm C cm D cm

Câu 13.Cho tam giác ABCvuông tại A đường cao AH.Kẻ HEvuông góc với ABtại E, kẻ HFvuông góc với ACtại F. Khi đó, hệ thức đúng là :

3 3 3 3

3 3

. . . 1 . 1

. . . .

AB CF AB BE AH AH

A B C D

AC  BE AC CF HE BC HF  HE AC HF 

Câu 14.Cho tam giác ABCcó AB4cm AC, 6cm,đường phân giác AD.Gọi O chia trong ADtheo tỉ số AO OD: 2 :1.Gọi K là giao điểm của BOvà AC. Tỉ số AK KC: là

1 2 3 4

. . . .

2 3 4 5

A B C D

Câu 15.Hình thang cân ABCDcó đáy CD10cm,đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Độ dài đường cao của hình thang là :

.5 2 . 5 .2 5 .3 5

A cm B cm C cm D cm

Câu 16.Nam chôn một cây cọc xuống đất để đo chiều cao của một cái cây trước nhà, cọc cao 2m và đặt cách một cây khoảng 15m. Từ chỗ cái cọc Nam lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây nằm trên một đường thẳng. Biết khoảng cách từ chân đến mắt của Nam là 1,6m. Chiều cao của cái cây đó là

.10,85 .10,25 .9,5 .9,25

A m B m C m D m

II. Phần tự luận (12,0 điểm) Bài 1. (3,0 điểm)

a) Chứng minh với mọi số nguyên nthì ^{A n n}^



^^{1 2}



ⁿ^^{1 6}



^⋮

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x² 3xy17x4y 5 0 Bài 2. (4,0 điểm)

a) Cho ba số a b c, , thỏa mãn ab bc ca  2020. Tính giá trị của biểu thức :

(3)

2 2 2

2 2020 2 2020 2 2020

a bc b ca c ab

A a b c

  

  

  

b) Giải phương trình : 5x11 6 x 5x² 14x60 0 Bài 3. (4,0 điểm)

1. Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Gọi D E, lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB AC,

a) Chứng minh AD AB AE AC.  . b) Chứng minh DE³  BC BD CE. .

2. Cho hình vuông ABCD M, là một điểm tùy ý trên đường chéo BD.Kẻ ME AB và ^MF ^ ^{AD E AB F}



^ ^, ^^AD



a) Chứng minh DECFvà ba đường thẳng DE BF CM, , đồng quy.

b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMFlớn nhất.

Bài 4. (1,0 điểm) Cho , ,x y zlà ba số dương thỏa mãn x y z  3.Chứng minh rằng

3 3 3 1

x y z

x x yz  y y zx  z z xy 

     

(4)

ĐÁP ÁN I.PHẦN TRẮC NGHIỆM

1C 2B 3B 4A 5B 6D 7D 8D 9C 10C 11D 12A 13B 14D 15 16C

II.PHẦN TỰ LUẬN Bài 1.

           

   

 

) 1 2 1 1 2 2 3 1 1 3 1

1 1 6

3 1 6 6

a A n n n n n n n n n n n

n n n n n A

           

 

 

 



⋮

     

  

2 2

)6 3 17 4 5 0

6 8 3 4 9 12 7

2 3 4 3 4 3 3 4 7

3 4 2 3 7

b x xy x y x x xy y x

x x y x x

x x y

    

      

      

    

Lập bảng , ta có nghiệm



^{x y}^;

 

^{  }



^{1; 6 ; 1;4}

   

Bài 2.

a) Từ ab bc ca  2020, suy ra ^a² ^²⁰²⁰^^a²^ ^{ab bc ca}^ ^ ^



^{a b a c}^



^



Tương tự có, ^b²^ ²⁰²⁰^



^{b c b a c}^



^



^, ² ^²⁰²⁰^



^{c a c b}^



^



        

           

   

2 2 2

a bc b ca c ab

A a b a c b c b a c a c b a bc b c b ca c a c ab a b

a b b c c a

  

   

     

       

   

Khai triển và làm gọn biểu thức trên tử được kết quả là 0 Vậy A0

b) ĐK: 11 5 x 6.

   Ta có :

(5)

5x11 6 x 5x2 14x60 0

      

    

 

5 11 6 6 1 5 5 11 0

5 5 5

5 5 11 0

5 11 6 6 1

5 1

5 5 11 0

5 11 6 1

5 1

5 5 11 0

5 11 6 1

x x x x

x x

         

 

     

   

 

         

 

          

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x5 Bài 3.

1)

a) Ta có AD AB AE AC^.  ^.



 AH²



2 2

4 2 2

3

) . , .

. . . .

. .

b BH BD AB CH CE AC

AH BH CH AB AC BD CE AH BC BD CE AH BC BD CE

 

   

 

Chứng minh tứ giác ADHElà hình chữ nhật DE AH

3 . .

DE BC BD CE

 

E

D

H A

B

C

(6)

2)

a) Chứng minh AE AF ,chứng minh AED DFC , ,

DE BF CM là ba đường cao của EFCdfcm b) Đặt a AB ME MF a  (không đổi)

 

² ²

. 4 4

AEMF

ME MF a

S ME MF 

    (không đổi)

SAEMF

 lớn nhất  ME MF (tứ giác AEMFlà hình vuông)

M là trung điểm của BD Bài 4.

Từ



^x^ ^yz



² ^{ }⁰ ^x² ^ ^yz^²^{x yz}

 

^* . Dấu " " xảy ra  x²  yz Chỉ ra ³^{x yz} 



x y z x yz x 



  ² yz x y z







²x yz x y z







Suy ra ³^{x yz}^ ^ ²^{x yz x y z}^



^



^ ^x



^y ^ ^z



(áp dụng (*))

F

E

C A B

D

M

(7)

     

3 1

3

x x

x x yz x x y z

x x yz x y z

      

   

Tương tự :

 

^{2 ;}

 

³

3 3

y y z z

y y xz  x y z z z xy  x y z

       

Từ (1), (2), (3) 1

3 3 3

x y z

x x yz y y xz z z xy

   

     

Dấu " " xảy ra khi x y z  1