De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Quang Ngai

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Ngày thi:18/07/2020 Môn thi: Toán (hệ chuyên) Thời gian: 150 phút (Không kểphát đề) Bài 1. (1,5 điểm)

1. Rút gọn biểu thức 1 0

1

2 2 1 1

a a a a a a

A a a a a

      

        

2. Cho hàm số ymx m 1, với mlà tham số. Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

Bài 2. (1,5 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho n²  n 5là sốchính phương 2. Ta nhận thấy số 2025 thỏa mãn tính chất rất đẹp : ²⁰²⁵^



²⁰^^{25 .}



² ^{Tìm t}ất

cả các số tự nhiên có 4 chữ số abcdcũng thỏa mãn tính chất trên, nghĩa là

 

²

abcd  abcd Bài 3. (2,5 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ₂2 1 P x

 x

 2. Giải phương trình 3x 1 x 3 4

3. Cho biểu thức ^{f x}

 

^^x³^^ax² ^^bx^^c^,^với a b c, , là các số thực. Biết

 

¹ ^2,

f  ^f

 

² ^^3.Tính giá trị của ^Q^ ^f

 

⁵ ^⁶^f

 

³ ^²⁰²⁰

Bài 4. (3,5 điểm)

1. Cho tam giác ABCvuông tại A, có đường cao AH.Tia phân giác của

HACcắt HCtại D. Gọi Klà hình chiếu vuông góc của Dtrên AC.Tính ,

AB biết BC25cm DK, 6cm

2. Cho tam giác nhọn ABCcó AB AC,nội tiếp đường tròn

 

^O ^{. G}ọi Hlà trực tâm của tam giác ABC.Đường thẳng AH_cắtBCtại D và cắt đường tròn

 

^O ^tại điểm thứ hai là K.Gọi L là giao điểm của hai đường thẳng CH và AB S, là giao điểm của hai đường thẳng BHvà AC

a) Chứng minh tứ giác BCSLnội tiếp và BC là đường trung trực của đoạn thẳng HK

b) Gọi M là trung điểm của BC,_đường thẳng OM cắt các đường thẳng ,

AB AClần lượt tại P Q, .Gọi Nlà trung điểm PQ.Chứng minh hai

đường thẳng HMvà ANcắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn

 

^O ^.

Bài 5. (1,0 điểm) Cho 16 số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2021, đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 16 số trên có ít nhất một số là số nguyên tố.

ĐÁP ÁN

(2)

Bài 1.

1. Ta có:

1 .

2 2 1 1

1 2 2

. 1

2

1 4

. 2

2 1

a a a a a

A a a a

a a a a a a a a a

a a

a a a

     

     

 

   

     

 

    



2. Xét điểm A x y



0, 0



trên mặt phẳng tọa độ

Khi đó, A_{là điể}m cố định khi và chỉ khi A dths y mx m 1với mọi m

   

 

0 0

1

1 1 0

1 1; 1

1 y mx m

x m y m

x A

y

   

     

  

     

Vậy đồ thị hàm số ymx m 1luôn đi qua một điểm cố định ^A



^{ }^{1; 1}



^với mọi m

Bài 2.

1. Số n²  n 5chính phương ^⁴ⁿ² ^⁴ⁿ^²⁰^^k²



^k^





²ⁿ ¹



² ^k² ²¹



²ⁿ ^k ^{1 2}



ⁿ ^k ¹



²¹

         

Vì



²ⁿ^{  }^k ¹

 

²ⁿ^{  }^k ¹



⁰nên có các trường hợp sau :

2 1 21 2 1 7 3

2 1 1 2 1 3 6

n k n k n

n k hoac n k n

      

  

         

2. Giả sử abcdlà số thỏa tính chất trên , ^abcd ^



^ab^^cd



²

Đặt x ab y, cd, ta có :10 x 99,0 y 99,_{khi đó}

100. 100

abcd  abcd  x y

Do đó ta có: ¹⁰⁰^x^{ }^y



^x^ ^y



² ^¹⁰^{  }^x ^y ¹⁰⁰

  

²

   

99x x y x y x y x y 1

        

Vì vế phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp có 2 chữ số nên 99xphải được phân tích ở dạng đó

Ta biết các bội của 11có hai chữ số gồm



11,22,33,44,55,...88,99



bội của 9 có hai chữ số gồm



18;27;36;45;54;63;72;81;90;99



Như vậy xchỉ có thể là các số sau



^98;20;30



Kiểm tra trực tiếp ta thấy các số 9801,2025,3025thỏa tính chất của đề bài Bài 3.

(3)

1. Ta có biểu thức xác định với mọi x . Do đó

 

2 2

2 2 0 *

1

P x Px x P

 x    



 

²

) 0 0

) 0 * ' 1 0 1 1

P x

P co nghiem P P

   

            Vậy MinP 1và MaxP1

2. Giải phương trình : 3x 1 x 3 4 Điều kiện 1

x 3

  

       

²

2

3 1 3 4 3 1 3 2 3 1 3 16

3 1 3 6 2 3 1 3 6 2

34 33 0 1

33

x x x x x x

x x x

x

           

         

 

       Thử lại, chọn x1

3. Đặt ^{P x}

 

^ ^{f x}

  

^ ^x^¹



Do đó ^P

 

¹ ^^0,^P

 

² ^⁰^hay^x^^1,^x^²là hai nghiệm của phương trình ^{P x}

 

^⁰

Mà ^{P x}

 

là đa thức bậc 3 nên ta có ^{P x}

  

^ ^x^¹



^x^²



^x^^m



. Khi đó

     

   

5 5 6 4.3. 5 6

3 3 4 2.1.(3 ) 4

f P m

    

Do vậy, ^Q^ ^f^{(5) 6}^ ^f

 

³ ^^{2020 12 5}^



^^m



^^{12 3}



^^m



^{ }^{18 2020}^²⁰²⁶

Bài 4.

1. Ta có :^HAD KAD ADchung A



^; ¹ A³



HDKD⁶cm

Ta lại có   A₁ C(cùng phụ B BAD),     A₁ A₃; ADB   C A₂

K

H D A

B

C

(4)

Mà   A₁ A₂,    A₃ C BAD ADB ABDcân tại B nên BABD Đặt BA x BD x BH  x 6

ABCvuông tại A, có đường cao AHnên AB² BH BC.

 

¹

2

6 .25 15

10 x x x

x

 

     

Vậy AB10cmhoặc AB15cm 2.

a) Ta có H là trực tâm nên BH  AC CH,  ABBSC CLB90⁰

BCSLlà tứ giác nội tiếp

Ta có : BKA BCA(cùng chắn cung AB)

Mặt khác , BKA AHS(cùng phụ với HAS)và AHS  BHK

Do đó, BKH  BHK BKHlà tam giác cân tại B.Mà BDHKnên BC là đường trung trực của HK

b) Gọi AI _{là đườ}ng kính của

 

^O

Khi đó, CH / /BI (cùng ^ ^{AB CI}^), ^{/ /}^BH



^ ^AC



I E

N

Q P

M L S

K D

H O A

B

C

(5)

Suy ra BHCIlà hình bình hành nên H M I, , thẳng hàng Gọi E là giao điểm của ^{HM AN}^, ^{ }^E

 

^O

Ta có HCB LSB(cùng chắn cung BI của đường tròn



^BCSL



⁾

LSB LAH

   (cùng chắn cung LHcủa đường tròn



^ALHS



⁾



^{/ /}



LAH APQ doOM AH HCB APQ

      

Tương tự ta có HBC  SLC HAS  AQP Từ đó suy ra APQ HCB

Mà Nlà trung điểm PQ M, là trung điểm CB nên ANQ HMB Do đó, BHM  NAQmà BHM  EHS(đối đỉnh)

Suy ra EHS  NAQAEHSlà tứ giác nội tiếp Mà ASH 90⁰nên ^^AEH ^⁹⁰⁰ ^{ }^E

 

^O

Bài 5.

Giả sử 16sốđã cho gồm a a₁, ₂,...,a₁₆và tất cả chúng đều là hợp số Gọi p_ilà ước nguyên tố nhỏ nhất của số a ii



^1,...,16



Vì 16 số đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau nên 16 số p_ilà phân biệt

Gọi

 

1,....16 ,

k i

k

p Max p

  _{khi đó} p_k 51vì nhỏ hơn 51 chỉ có 15 số nguyên tố



2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47



Mà p_klà ước số nguyên tố nhỏ nhất của a_knên a_k  p p_i; _k 51² 2601mâu thuẫn với a_k 2021

Vậy trong số các sốđã cho phải có ít nhất 1 số nguyên tố.