De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Ha Tinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (1,5 điểm) Giả sử a b c, , là các số thực khác 0 sao cho hệ phương trình ax by c

bx cy a cx ay b

 

  

  



có nghiệm

 

^{x y; .}Chứng minh rằng a² b² c² 3 bc ca ab  Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải hệphương trình

4 2

2 2

2 1

2 2 2

x x y

x y y

  



  



b) Giải phương trình: ²



^x2



^{x   2 x2 3x3}

Câu 3. (2,5 điểm)

a) Tồn tại hay không số nguyên dương nsao cho 2n2021và 3n2020 _đều là các số chính phương

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương

 

^{x y; sao cho 2 2}

2 x xy



 có giá trị là số nguyên Câu 4. (2,5 điểm) Cho hai đường tròn

 

^{O và}

 

^{O' c}ắt nhau tại Avà Bsao cho hai tâm O và O'nằm khác phía đối với đường thẳng AB._Đường thẳng dthay đổi đi qua B cắt các đường tròn

 

^{O và}

 

^{O' l}ần lượt tại C và D (d không trùng với đường thẳng AB)

a) Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD_{có độ} dài lớn nhất b) Gọi M _{là điể}m di chuyển từđiểm A,_ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn

 

^{O N;} là điểm di chuyển từ điểm A,cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn

 

^O'

sao cho AOMluôn bằng AO N' . Chứng minh đường trung trực của MNluôn đi qua một điểm cố định

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z^{2 2}  y z^{2 2}  1 3z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     

2

2 2 2

1 8 4

1 3 1 2

P z

x y z

  

  

ĐÁP ÁN Câu 1.

Ta cần chứng minh ^{a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 3abc}

 

^*

bc ca ab      Từ hệphương trình ta có



^{a b c}



^{x  y 1}



⁰

Th1: ^a      ^{b c 0 a}



^{b c}



^a3   ^{b3 3bc b}



^c



^c3 ^a3^b3 ^c3 ^3abc Th2: x     y 1 0 x 1 ythay vào phương trình axbycđược ^{y a}



^b



^{ a c}

-Xét a b   0 a bthay vào phương trình bxcya_được ^cyb



^1x



^by

Nếu ^{y 0}

 

^{1  a c, n}ếu y  0 c b_{. Do đó} a b c tm( (*))

Xét 0 a c c b

a b y x

a b a b

 

     

  thay vào phương trình bxcyata có:

   

       

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0

2 2 2 2 2 2 0

0 0

b c b c a c

a a b c ab bc ca

a b a b

a b c ab bc ca

a b b c c a ktm do a b

 

        

 

      

        

Vậy khi hệ phương trình có các nghiệm

 

^{x y; thì a  b c 0hoặc a b cthỏa mãn}

 

^*

Câu 2.

a) Cộng vế theo vếcác phương trình của hệ được x⁴ 2x y² 2x²  y² 2y3

 

^{2 2}

4 2 2 2 2

2

1 2 2 2 4 1 4 1 2

1 2

x y

x y x y x y x y

x y

   

            

   



Xét x²    y 1 2 x²  y 1thế vào phương trình 2x² y² 2y2được

2 0 0

y   y x²    1 x 1thỏa mãn phương trình x⁴ 2x y² 1

Xét x²     y 1 2 x²  y 1 thế vào phương trình 2x² y² 2y2_được

2 4 2

y    y

2 4 2 2

2 1 1( 2 1)

2 3( )

y x x ktm x x y

y x ktm

        

     



Vậy

  

^{x y;  }



^{1;0 ; 1;0}

   

b) ĐKXĐ:x 2. Ta có phương trình ²



^x2



^{x 2 x2 3x 3 0}



^{x 2}



^{2 2}



^{x 2}



^{x 2 x 2 9}

       



^{2 2}



^{2 9 2 2 3}

2 2 3

x x

x x

x x

    

      

    



 

 

2

1 2

2

2

1 2

2

2 5

*) 2 2 3 2 5

2 5 11 29

( )

2 5 2

11 23 0 11 29

( ) 2

2 1

*) 2 2 3 2 1

2 1

1 5

( )

2 1 2

1 0 1 5

( ) 2

x

x x x x

x x

x ktm

x

x x

x tm

x

x x x x

x x

x ktm

x x x

x tm

  

         

  



  

   

 

      

   

           

  



  

    

 

 

    

  

Vậy phương trình có nghiệm 11 29 1 5

2 ; 2

x  x  Câu 3.

a) Giả sử 2n2021và 3n2020_đều là số chính phương .

Đặt

 

 

2 2

2 2021 2 1 3 2020 2

n a

n b

   



 

 ^với a b, là các số nguyên.

Ta có: ^3n



^{4b22020 4}



^{3 4n n 4}

Mặt khác ^2n2021



^2a1



^{2 20204a a}



^{ 1}



^{2 8n (vô lý).}

Vậy không tồn tại nthỏa mãn.

b) Giả sử ² 2 2 x xy



 là số nguyên, ta có:



^{x2 2}

 

^xy2



^{ y x}



^{2 2}

 

^xy2





²

 

²

 

²



²

  

²



x xy x y xy x y xy

        

Do đó tồn tại sốnguyên dương ksao cho ²



^{x y}

 

^{k xy2 *}

 

Nếu k2thì từ

 

^{* ta có: x y xy 2}



^x1



^{y  1}



^{1 0,mâu thu}ẫn Do vậy k 1.Từ

 

^{* ta có: 2}



^{x y}



^{xy 2}



^x2



^y2



^2

Do x    1 x 2 1và y    1 y 1 1nên ta có các trường hợp sau:

2 1 3 2 2 4

1: 2 :

2 2 4 2 1 3

x x x x

TH TH

y y y y

     

   

         

   

Kiểm tra lại ta có x4,y3thỏa đề Câu 4.

a) Ta có AB_{là đườ}ng trung trực của OO'

H

K

D B

O O'

A

C

M

N

Do đó 1 ' 2

AOO  AOB ACBvà 1

' '

AO O 2AO B ADB

' ( . )

' ' . '

AOO ACD g g

AO OO AO AC OO

AC CD AD CD AO

  

    

CDlớn nhất khi AClớn nhất, khi đó AC_{là đườ}ng kính của đường tròn (O) và ADlà đường kính của đường tròn

 

^O'

b) Vẽ hình bình hành AOKO'. Ta có:

' ' '

MOK MOAAOK NO AAO K NO K

Và MO OA KO OK';  AO' NO' MOK KO N' MK NK Vì A O O, , 'cố định nên K cố định.

Vậy đường trung trực của MNluôn đi qua điểm K cố định Câu 5.

Từ giả thiết ta có :

2 2 2 2 2 2 1 2 2 1

6 2 2 2 2 2 1 2 2 1

4 4

z  x z  y z   x z   y z    xz yz

2 2 1

2 3 xz yz

z

 

  (bất đẳng thức Cô si).

Áp dụng bất đẳng thức 2 2

 

²

2 a b

a b 

  ta có:

       

2

2 2 2 2

2 2

2 2

1 4 4 4

1 3 3 1 2

1 1 2 1 2 2

2 1 3 2 3 1 2

1 1 2 2 2 1 1 4 1

4 1 3 3 1 2 4 1 3 1 1

2 P z

x y y z

z

x y y z

z

x y y z x y

z

   

   

   

           

 

 

 

                 

 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng ta có:

 

²

2 2

1 2 1

1 64 64

. 1

4 1 3 21 1 2 22 1 5 8

P x y xz yz

z z

 

 

 

              

Vậy 1

1 1;

MinP   x y z  2