De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Phu Yen

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (3,0 điểm) Thực hiện phép tính:

2020 2020 2020 2020

2020 2020 : 2020 2020

x x x x

P x x x x

       

           Câu 2. (4,5 điểm)

Cho hệ phương trình

2 2

5 5 x y mxy y x mxy

   



  

 ^với mlà tham số a) Giải hệphương trình với m1

b) Xác định m_để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Câu 3. (3,5 điểm)

Cho đường tròn



^{O R;}



^{, l}ấy điểm Anằm ngoài đường tròn sao cho OA2 .R Từ Akẻ hai tiếp tuyến AM AN M N, ( , là các tiếp điểm) và cát tuyến ABC



^{AB AC}



^{. G}ọi Ilà trung điểm của BC T, là giao của NI với

 

^{O T N}



a) Chứng minh rằng tam giác AMNdều b) Chứng minh rằng MT / /AC

c) Tiếp tuyến của

 

^{O t}ại B C, cắt nhau ở K. Chứng minh K M N, , thẳng hàng Câu 4. (3,0 điểm)

a) Tìm cặp

 

^{x y; th}ỏa mãn phương trình x²  y² 8x y 2xy 3 0sao cho y_đạt giá trị lớn nhất

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:



^{x2 3}



^{x2 7}



^{x2 15}



^{x2 19}



^{ 351}

Câu 5. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E F, lần lượt là trung điểm của ,

CD ADvà G là giao điểm của AEvà BF a) Chứng minh rằng : FEDFGD

b) Gọi H_{là điểm đố}i xứng với Fqua G, Ilà giao điểm của BDvà EF.Đường thẳng qua D,song song với BFcắt HItại K. Chứng minh rằng Klà trực tâm của tam giác GDE

Câu 6. (3,00 điểm) Cho x0,y0và xy4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

3 3

4 2 4 2

x y

Q y  x

 

ĐÁP ÁN Câu 1.

Điều kiện:

2020 0

2020 2020 2020

2020 0 0

2020 2020

2020 2020

x x x x

x x

x x

x x

  

 

   

  

   

  

 

  



. Đặt 2020 2020 ,

x t x

 

 ta có:

2 2

1 1 1 2020 2020

: 1 : 1

1 2020 2020

2020 2020 2020 2020 2020

2020 : 2020

t x x

P t t

t t t x x

x x x x

x x x

  

       

                

     

 

 

Câu 2.

a) Với m1thì hệ phương trình là ²

 

2

5 1 5 x y xy y x xy

   



  



Lấy (1) trừ (2) ta được:

 

¹



⁰

1 x y x y x y

y x

 

        

 

     

2 2

2 2

*) 1 5 5

*) 1 1 1 1 2 0

1 2

2 1

x y x x x x y

y x x x x x x x

x y

x y

         

              

   

     

Vậy hệ có 3 nghiệm



 5; 5 ; 1; 2 ;

 



 

2;1



b) Vì vai trò x y, _{bình đẳ}ng nên khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất

  

x y;  x y0, 0



thì x₀  y₀. Thế vào hệta được

   

2 2 2

0 0 0 5 1 0 0 5 0 3

x x mx   m x x  

Để (3) có nghiệm duy nhất thì

 

1 1

1 20 1 0 21

20 m m

m m

 

  

      

 

*) Với m1theo câu a hệ có 3 nghiệm nên không có nghiệm duy nhất

*)Với 21

m 20hệ có dạng

 

 

2

2

21 5 4 20

21 5 5 20

x y xy y x xy

   



   



Lấy (4) trừ (5) ta được:

 

¹



⁰

1 x y x y x y

y x

 

        

 

^{2 21 2 2}

) 4 5 20 100 0 10

x y x x 20x x x x

             

Suy ra hệ có nghiệm



^{10; 10}



-)Thay ^{y   x 1}

 

^{1  2}



¹



²¹



¹



^{5 41 2 41 80 0}

x  x  20x    x x  x 

41 19 41 41 19 41

82 82

41 19 41 41 19 41

82 82

x y

x y

       

 

 

 

       

 

 

Trường hợp 20

m 21hệ có 3 nghiệm nên hệ không có nghiệm duy nhất Vậy không có m_{nào để} hệ có nghiệm duy nhất

Câu 3.

a) Chứng minh MT / /AC. Tứ giác ANIOnội tiếp (vì AIO ANO90 )⁰

H K

T I

B

M N A

O

C

1

AIN AON 2sd MN

     . Lại có :

1 / /

MTN  2sd MN AIN MTN MT AC b) Chứng minh rằng AMNđều

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau thì MN  AO Gọi H là giao điểm của MN và AO

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ANO OA OH: . ON²

2

1 0

cos 30

2 2 2

R R OH

OH NOH NOH

R ON

         MAN 2NAH 60⁰ Kết hợp với AM  AN  AMNđều

c) Chứng minh K M N, , thẳng hàng

Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ANO KCO,

2 2 2 2

. ; . . .

OAOH ON R OI OK OC R OAOH OI OK

( ) 900

OIA OHK c g c I H KH AO

          

Vì MN  AOtại H và KH AOK M N, , thẳng hàng.

Câu 4.

a) Viết phương trình đề theo ẩn x_{ta đượ}c: ^x22



^y4



^{x y2   y 3 0 2}

 

Để tồn tại

 

^{x y; thì (2) ph}ải có nghiệm, nghĩa là :

   

 

2 2

max

' 4 3 0 13

9

13 4 13 23

2 4

9 1 9 9

y y y y

y x y

        

 

      

Vậy

 

^{; 23 13;}

9 9

x y   ^thỏa man yêu cầu bài toán

b) Vì 351là số âm và tích của 4 thừa số x² 3;x² 7;x² 15;x² 19nên trong 4 thừa số đó phải có 1 hoặc 3 thừa số âm

Ta thấy x² 19x²15x²  7 x² 3nên xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 3 thừa số âm:

2 2 2 2

7 0 3 3 7 4 2 495 351( )

x   x   x  x     x VT     ktm Trường hợp 1 thừa số âm:x² 19 0 x² 15

2 2

15 x 19 x 16 x 4 VT 351(tm)

          

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên x4;x 4

Câu 5.

a) ADE BAF c g c( . . )FAGDAEFBA Xét FAGvà FBAcó: FAGFBA(cmt); Fchung

( . ) 900

FAG FBA g g AGF BAF

     

DEGFcó FGEFDE90⁰nên là tứ giác nội tiếp FEDFGD

b) Gọi J là tâm hình vuông. Khi đó ^{1 1 3}

 

¹

2 4 4

DI  DJ  DBBI  BD Áp dụng hệ thức lượng vào AFBvuông tại A, đường cao AGta có:

2

 

2

1 3

4 4 2

GH GF AF BH

GB  GB  AB   BG 

Từ (1) và (2) suy ra HK / /DGkết hợp với giả thiết ^{DK / /GH}

 

^{3 DKHGlà}

hình bình hành nên ^{DK HGGF}

 

⁴

Từ (3) và (4) suy ra DKGFcũng là hình bình hành, do đó GK/ /FD Kết hợp DK / /GHvà ^{FB AE do AGF}



^{ 900}



^{DK GE}

 

⁵

Kết hợp GK / /FDvà FDDE do ABCD( là hình vuông) nên ^{GK DE}

 

⁶

Từ (5) và (6) suy ra Klà trực tâm của tam giác GDE

J K

I G H F

E C

B A

D

Câu 6.

Ta có:

   

      

 

4 4 2 2

3 2 3 2 2

4 2 2 4 2 4

x y x y x xy y

x x y y

Q x y x y xy

    

  

 

      

Và ^{x4  y4 2x y2 2}

 

^{2 ;x2 xyy2 xy}

 

³

Dấu " " trong

 

^{2 và}

 

^{3 x}ảy ra khi ^{x y 2}



^{do xy4}



Do đó

 

 

2 2

2 2

4 2 4

x y x y xy

Q x y xy

 

     ^,

Cũng do

 

 

32 8 4

4 1 1

4 2 8 4

x y x y

xy Q Q

x y x y

   

      

   

 

  .

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y 2 Vậy minQ   1 x y 2