De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Hung Yen

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1.

Cho biểu thức

3

2 1 1 4 0

: 1 1; 9

1 1

1

x x x

M x x x x x x



      

             1) Rút gọn biểu thức M

2) Tìm giá trị nguyên của x_để biểu thức M nhận giá trịnguyên dương Câu 2.

1) Tìm hàm số bậc nhất có đồ thịlà đường thẳng với hệ số góc dương, đi qua điểm (2;1)

A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 2

2) Tìm các giá trị của mđểphương trình ^{2x2 }



^m5



^{x  m 2 0(mlà tham s}ố) có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂thỏa mãn ₁² ₂² 17

x x  4 Câu 3.

1) Giải phương trình: ^{5x2 2x 3}



^2x1



^{5x2 2x 1 0}

2) Giải hệ phương trình:



²



²



²



2

2 4 2

2 0

x x x y x y

x y

     



  



Câu 4.

1) Cho hình vuông ABCDtâm O,cạnh a M. là điểm di động trên đoạn OB



^{M O M, B}



. Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BCtại B, vẽ đường tròn tâm Iđi qua M và tiếp xúc với BCtại B, vẽ đường tròn tâm J _{đi qua}

M và tiếp xúc với CDtại D.Đường tròn

 

^I và đường tròn

 

^{J c}ắt nhau tại điểm thứ hai là N

a) Chứng minh rằng 5 điểm A N B C D, , , , cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh 3 điểm C M N, , thẳng hàng

2) Cho tam giác MNPvuông cân tại M, MN a.Lấy điểm Dthuộc cạnh MN, điểm Ethuộc cạnh NPsao cho chu vi tam giá c NDEbằng 2 .aTìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác NDE

Câu 5.

Cho a b, là các số dương thỏa mãn điều kiện



^ab



^{3 4ab12.}

Chứng minh rằng 1 1

2020 2021

1 1 ab

a b 

 

ĐÁP ÁN Câu 1.

     

     

3

2 1 1 4 0

1) : 1

1; 9 1 1

2 1 1 1 4

: 1

1 1 1 1

2 1 1 3 1

: .

1 3 3

1 1 1 1

x x x

M x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x



      

           

        

 

 

         

 

       

  

   

     

   

3 3 3

2) 1

3 3 3

3

3 3 1;3 16;36

1 3

3

x x

M x x x

M x x x

x



     

  

 

 

      

  

 Câu 2.

1) Hàm số bậc nhất có dạng ^{yaxb a}



^0



Do đồ thị hàm số đi qua điểm ^A

 

^{2;1 2a b 1}

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm

 

^{0;b và c}ắt trục hoành tại điểm b;0 a

 

 

 ^{tạo với} hai trục tọa độ tam giác vuông có diện tích bằng 1

2nên ta có:

2 2

1 1 : 1

1 1

. 2 1 0 1 1 1 1

2 2 :

2 4 4 2

b a ham so y x

b b b a b b

a b a ham so y x

      



        

      



2) Ta có :  m² 10m25 8 m16m²2m  9 0 m Theo hệ thức Vi – et ta có: ^{1 2}

5 2 2 x x m

m

   

 

 

. Theo bài ra ta có:

 

²

2 2

1 2 1 2 1 2

2

2

2

17 17

4 2 4

5 2 17

2. 10 25 4 8 17

2 2 4

6 0 0

6

x x x x x x

m m

m m m

m m m

m

     

 

 

         

 

      

Vậy m0;m 6là các giá trị cần tìm.

Câu 3.

1) Cho phương trình : ^{5x2 2x 3}



^2x1



^{5x2 2x 1 0 (1)}

ĐKXĐ: 5x² 2x 1 0. Đặt ^{5x2 2x 1 a a}



^{0 , 2}



^{x 1 b}

Phương trình (1) trở thành: ^{a2 2b 4 ab 0}



^a2



^{a b 2}



^0

 

2 2

2 2 2

2( 0)

2 5 2 1 2 1 2 5 2 1 2 1

1 1 3( )

2 2 2 0

1 3( )

5 2 1 2 1

a ktm do a

a b x x x x x x

x x tm

x x

x ktm

x x x

  

 

            



     

      

  

     



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1 3

2) Cho hệ phương trình

     

 

2 2 2

2

2 4 2 1

2 0 2

x x x y x y

x y

     



  



Ta có :

 

¹



^{2 2}



^{2 2 2 2 4 0}



^{2 2}

 

²



^{0 2}

2

x x x y y x x x y x

x x

  

             

  

       

2

*) 2 4 ; 2;4 ; 2;4

0 2

*) 2 2 2 0

1 3

x y x y

x y

y x x x

x y

      

  

            

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm

 

x y^;  

 

^{2;4 ;}

 

2;4 ; 0;2 ;

   

1;3

 

Câu 4.

1)

a) Xét đường tròn

 

^{I có BNM  MBC450}

Xét đường tròn

 

^{J có DNM  MDC 450}

0 0 0

45 45 90

DNB BNM DNM

      

Xét tứ giác DNBCcó DNBDCB90⁰ 90⁰ 180⁰

Mà DNBvà DCBlà hai góc đối nhau nên DNBClà tứ giác nội tiếp

Mà ABCDlà tứ giác nội tiếp 5điểm A N B C D, , , , cùng thuộc một đường tròn b) Do 5 điểm A N B C D, , , , cùng thuộc một đường tròn nên BNCDNC(hai

góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)NClà tia phân giác của BND Theo ý a,ta có NM là tia phân giác của BNDC M N, , thẳng hàng

N

M O

C D

A B

I

J

2)

Đặt DN x NE,  y Kẻ EF MNta có:

0

0

2 2

2 2

.sin .sin 45 2 2 .cos .cos 45 2

2

2 2 2

2 2 2 2

EF NE N y y

NF NE N y y

DF y x DE y y x x xy y

  

  

   

           

   

Do chu vi tam giác là 2anên x y x²  2xy y² 2a

1 1 2 2

. .

2 2 2 4

SNDE  ND EF  x y xy Ta có: x y 2 xy x; ²  y² 2xy

 

2 2

2 2 2 2 2 2 2

x y x xy y xy xy xy xy

          

2 2

2 2 2

2 2 2 ^NDE 4 2 2 2

a a

xy   S  

          

F N

P

M

E

D

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2

2 2 2

x  y a

  Câu 5.

Từ giả thiết



^ab



^{34ab1212}



^ab



^{3 4abvà a b 2 abnên:}

 

³

12 2 ab 4ab(Dấu " " xảy ra khi ab)

   

   

  

3 2

8 4 12 0 2 3 0

2 2 1 0 2 1 1 0

1 2 1 1 0

1 2 3 3 0

ab ab ab ab ab ab

ab ab ab ab ab

ab ab ab ab

ab ab ab

       

 

          

 

       

    

Do a b, 0nên 2ab3 ab  3 0 ab  1 0 ab1 Dấu " " xảy ra khi 1

1 a b

a b ab

 

  

 

 . Ta chứng minh được:

   

    

2

1 1 2 1

1 1 1 1 1 1 0

a b ab

a b ab a b ab

 

   

      (luôn đúng vì a b, 0,ab1)

1 1 2

2020 2020

1 1 ab 1 ab

a b ab

    

  

Đặt ^abt



^{0 t 1}



^{. Ta cần chứng minh : 2 2020 2 2021}

1 t

t  



^{t 1 2020}

 

^{t2 4040t 2019}



⁰ 

     (luôn đúng)

Dấu " " xảy ra khi t 1hay a b 1