De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Ha Nam 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2020 – 2021

Môn :TOÁN (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức 3 2 1 1 0

: 1

2 1 1 1

x x x x x

P x x x x x x

        

             1. Rút gọn biểu thức P

2. Tìm x_để 1 1 8 1 x P

   Câu 2. (2,0 điểm)

1. Cho phương trình x⁴ 2mx² 2m 6 0.Tìm giá trị của m_đểphương trình có bốn nghiệm phân biệt x x x x₁, ₂, ₃, ₄sao cho x₁x₂ x₃ x₄và

4 2 3 2 2 1 0

x  x  x  x

2. Giải hệphương trình ^{2 4 2 8}



²



3 3 2 1

xy y x x

x y y

    



   

Câu 3. (4,0 điểm) 

Cho tam giác nhọn ^{ABC AB}



^{ AC}



ⁿội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH. Gọi Ilà tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.Đường thẳng AI cắt đường tròn

 

^O tại điểm thứ hai M.Gọi A'là điểm đối xứng với Aqua O. Đường thẳng MA'cắt các đường thẳng AH BC, theo thứ tự tại Nvà K.Gọi L là giao điểm của MAvà BC.Đường thẳng A I' cắt đường tròn

 

^{O t}ại điểm thứ hai là D._{Hai đườ}ng thẳng ADvà BCcắt nhau tại điểm S

1) Chứng minh tam giác ANA'là tam giác cân và MA MK'. ML MA. 2) Chứng minh MI² ML MA. và tứ giác NHIKlà tứ giác nội tiếp

3) Gọi T là trung điểm của cạnh SA,chứng mnh ba điểm T I K, , thẳng hàng 4) Chứng minh nếu ABAC 2BCthì Ilà trọng tâm của tam giác AKS Câu 4.(1,0 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương

 

^{x y; thỏa mãn 2x y2 4y61 0}

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc8.Chứng minh :



^{2 2 2}



1

4 4 4 16

a b c

a b c

ca  ab bc   

  

ĐÁP ÁN Câu 1.

  

    

     

     

 

 

 

²

1 2 . 1 1 1

1) :

2 1 1 1 1 1

1 1

1 2 1 1

: .

1 1 1 1 1 2 2

1 1 2 1

2) 1 1 0

8 1 8

16 2 1 8 8

0

8 1

6 9 0( 8 1 0 0; 1)

6 9 0 3 0 3 0 9(

x x x x x x

P

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x x x x

x x x

P x

x x x x

x

x x do x x x

x x x x x t

       

 

 

       

 

 

   

    

    

 

 

     



    

 



        

            m) Vậy x9

Câu 2.

2.1

Phương trình ^{x4 2mx2 2m 6 0 1}

 

Đặt ^tx2



^{t 0}



^{, ta có: t2 2mt2m 6 0}

 

²

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ^{ pt}

 

² có hai nghiệm dương phân biệt t t₁, ₂

2

 

' 0

2 6 0

2 6 0 3

2 0 0

m m

P m

S m m

 

   

       

Với điều kiện

 

^{3 ,}phương trình

 

² có hai nghiệm dương 0  t₁ t₂ phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt :

1 2 2 1 3 1 4 2

x   t x   t  x t x  t _{. Theo đề} bài ta cũng có:

 

4 2 3 2 2 1 0 4 1 2 3 2

x  x  x   x x  x x x  t2 2 t1  t2 4t1

 

4 Theo định lý Vi-et, ta có: ^{1 2}

 

1 2

2 5

2 6

t t m

t t m

  

  



Từ (4) và (5) ta có: 5t₁2mvà 4t₁² 2m 6 16m² 50m1500

15( ) 8

5( )

m ktm

m tm

  



 

Vậy m5thỏa mãn bài toán.

2.2.

Giải hệphương trình ^{2 4 2 8}



²



⁽¹⁾

3 3 2 1 (2)

xy y x x

x y y

    



   



Điều kiện 1

2 1 0

y   y 2

Phương trình

    

²



2

1 4 2 0 4

2 x y x x

x y

  

         Thế x 4vào phương trình thứ2 ta được:

 

²

 

1

1 3 2 1 10 3 10

1 9 2 1

y

y y y

y y

 

      

  



Với x y² 2,thay vào

 

² ta được y²  y 5 3 2y1 (3) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

       

2 2

5 1 2 1 5 2 1 5 2 5 2 1 3 2 1

y   y y   y y   y   y  y Do đó phương trình (3) vô nghiệm

Vậy x 4;y103 10

Câu 3.

1) Chứng minh tam giác ANA'là tam giác cân và MA MK'. ML MA.

Ta có A AC' 90⁰ AA C' 90⁰ ABCBAHmà AI là phân giác của góc BACnên AIlà phân giác góc NAA'AM MA' ANA'cân tại A

2) Chứng minh MI² ML MA. và tứ giác NHIKlà tứ giác nội tiếp

2 2

2 0

( . ) . .

. '. . ( . ) 90

MIC MAC ACI MCB BCI MCI MI MC MCL MAC g g ML MA MC ML MA MI

MN MK MA MK ML MA MI IMN KIN g g NIK

      

     

       

900

NIK NHK  Tứ giác NHIKnội tiếp

3) Gọi T là trung điểm của cạnh SA,chứng mnh ba điểm T I K, , thẳng hàng Tứ giác NHIKnội tiếp suy ra IHKINK IA M' IAD

Suy ra AIHSlà tứ giác nội tiếp, do đó AIS AHS 90⁰ TIA TAI INK

, TIA MIK

  suy ra ba điểm T I K, , thẳng hàng

4) Chứng minh nếu ABAC 2BCthì Ilà trọng tâm của tam giác AKS

T

S

D

L

K N

A' M

I

H

O A

B C

Ta có: 2 AI AB AC AB AC BC 2

IL BL CL BL CL BC

     



Kẻ ^{LE/ /SA E}



^TK



^{.Ta có: 1 1}

2 2

LE IL LE

AT  IA  ST  Suy ra Llà trung điểm của SKmà AI 2

IL  nên Ilà trọng tâm của tam giác ASK Câu 4.

Ta có:

 

^{1 2x65}



^y2



²

Vì 65 chia hết cho 5 và 2^xkhông chia hết cho 5 với mọi xnguyên dương nên nếu cặp số nguyên dương

 

^{x y; th}ỏa mãn phương trình

 

^{1 thì y2là s}ố nguyên không chia hết cho 5. Suy ra



^y2



^{2  1 mod5}

 

Do đó ^{2x  1 mod 5 ,}

 

^{suy ra x2 ,k k }

Thay vào phương trình đề ta được:

 

²

  

22^k 65 y2 65 y 2 2^k y 2 2^k (2)

Vì k y; nguyên dương nên y 2 2^k 0,từ (2) suy ra y 2 2^k 0và 2 2^k 2 2^k

y    y _{. Do đó:}

2 2 65 5 10

2 2 1 35 35

2 4

2 2 13

11 11

2 2 5

k k

k k

y k x

y y y

k x

y

y y

y

       

       

  

       

  

       



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương là



^10;35



^và



^4;11

 I

E T

L A

S K

Câu 5.

Vì a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc8nên tồn tại các số thực dương x y z, , sao

cho 2 2 2

; ;

x y z

a b c

y z x

  

Bất đẳng thức trở thành

2 2 2

2 2 2

2 2 2

x y z x y z

y  z  x  y z  z x  x y

  

 

 

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 3 2

. . . 3

x y z x y z x y z

y z x y z x y z x

x y z x y z

y z x y z x

x y z x y y z z x x y z

y z x y z z x x y z x y

     

       

     

   

 

     

       

Từ (2) và (3) ta có:

2 2 2

2 2 2

2 x y z x y z x y z

y z x y z x z x y

 

       

 

 

Lại có:

1 1 1 1 1 1

4 4 4

x y z x y z

x y z

y z x z x y y z x z x y

x y z

y z z x x y

     

              

  

  

Ta có bất đẳng thức đềđược chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 2