De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Thai Nguyen

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN : TOÁN

(Dành cho thí sinh chuyên Toán) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai số thực a b, thỏa mãn ab2.Chứng minh :

   ^{ }

9 9 4 4 5 5

16

a b  a b a b  ab

Câu 2. (1,5 điểm) Giải phương trình: 16x²  1 2 4x 1 4x 1 2

Câu 3. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a3b5c2020. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 15 5

3 3 5 5

ab bc ca

P a b  b c  c a

  

Câu 4. (1,0 điểm) Cho số nguyên dương nthỏa mãn 2n1và 3n1là các số chính phương. Chứng minh 15n8là hợp số .

Câu 5. (1,0 điểm) Bạn Chi được thưởng mỗi ngày ít nhất một chiếc kẹo, nhưng trong 7 ngày liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận được không quá 10 chiếc. Chứng minh trong một số ngày liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận là 27 chiếc.

Câu 6. (2,0 điểm) Cho đường tròn

 

^{O ,từ điểm A}nằm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB AC, với đường tròn ( ,B Clà các tiếp điểm). Gọi Hlà giao điểm của AOvà BC.Vẽ đường kính CDcủa đường tròn

 

^{O .}Đường thẳng ADcắt đường tròn

 

^{O t}ại M khác D

a) Chứng minh AMB ABD

b) Gọi Nlà giao điểm của BM và AO.Chứng minh NH² NM NB.

Câu 7. (2,0 điểm) Cho đường tròn

 

^{I r; n}ội tiếp tam giác ABC._Điểm M thuộc cạnh BCvới M B M, C.Đường tròn



I r1; 1



nội tiếp tam giác AMC._Đường thẳng song song với BC,tiếp xúc với đường tròn



I r1; 1



cắt các cạnh AB AC, lần lượt tại B C', '.Gọi Nlà giao điểm của AMvới B C' ',_đường tròn



I r2, 2



nội tiếp tam giác AB N' . Chứng minh:

a) Bốn diểm A I I I, , ,_{1 2}cùng nằm trên một đường tròn b) r  r₁ r₂

ĐÁP ÁN Câu 1. Ta có:

   ^{ }

 

   

   

  

4 4 5 5

9 9 5 4 4 5

9 9 4 4

9 9 4

9 9

9 9

16 16

16 16

16 16 ( 2)

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab

a b a b Do ab

a b

   

     

     

 

      

     

 

Câu 2. ĐK: 1

x 4. Ta có:

  

 

  

16 2 1 2 4 1 4 1 2

4 1 4 1 2 4 1 4 1 2 0

4 1 4 1 2 4 1 2 0

4 1 1 4 1 2 0

4 1 2 0( 4 1 1 0)

4 1 4 5( )

4

x x x

x x x x

x x x

x x

x Do x

x x tm

     

        

       

     

      

    

Vậy phương trình có 1 nghiệm 5 x4 Câu 3.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương avà 3bta có:

3 2

3 2 3

3 3 4 .

a b

ab a b

a b a b

  

  

 

 

 

Chứng minh tương tự ta có: 15 3 5 5 5

3 5 4 ;5 4

bc b c ca c a

b c c a

 

 

 

Từđó suy ra ²



^{3 5}



4 1010

a b c

P  

 

Vậy

2020 3

2020 2020

1010 3 5

3 9

404 3 a

Max P a b c b

c

 



      

 



Câu 4.

Đặt ^{2 1} ₂²



^{, *}



3 1

n a

a b

n b

  

 

  



Khi đó ta có:

      

2 2

9a b 9 2n 1 3n 1 3ab 3ab 15n8 Vì a b,  *suy ra 3a b 1. Ta cần chứng minh 3a b 1 Hay 3 2n 1 3n  1 1 3 2n  1 1 3n1

 

9 2n 1 3n 2 2 3n 1 15n 7 12n 4

          (luôn đúng)

Vậy 15n8là hợp số Câu 5.

Xét 28 ngày liên tiếp từ ngày thứ nhất đến ngày thứ 28 mà Chi nhận được kẹo Gọi ^{T n}

 

là tổng số kẹo Chi nhận được đến ngày thứ n.Vì tổng số kẹo Chi nhận được trong 7 ngày liên tiếp không vượt quá 10chiếc nên ta có:

     

1T 1 T 2 ...T 28 40

Xét 28 số nguyên dương phân biệt ^T

   

^{1 ,T 2 ,...,T}

 

^{28 .}Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số ^{T a}

 

^{T b}

 

^{mod 27}



^với 1  a b 28hay ^_^{T b}

   

^{T a }_ ²⁷

Mặt khác ta có: ^{1T b}

   

^{T a 39suy ra T b}

   

^{T a 27}

Vậy từ ngày thứ a1đến ngày thứ bthì Chi nhận được đúng 27chiếc kẹo.

Câu 6.

a) Xét tam giác AMBvà tam giác ABD có:

ABM ADB

   (cùng chắn cung BM); Achung ( . )

AMB ABD g g

  

b) Xét ABOvuông tại B, đường cao BHcó: ^{AB2  AH AO.}

 

¹

Mặt khác ^{AMB ABD cmt( ) AB AM AB2 AD AM.}

 

²

AD AB

     

Từ (1) và (2) suy ra AH AO. AM AD.  AMH AODMHN MDC Mặt khác, MDC MBC(cùng chắn cung MC) MHN MBH

N

M

D

H

C B

O

A

Xét hai tam giác NHM và NBHcó:

; ( . )

MHN MBH MNH chung NHM NBH g g

2 .

NH NM

NH NB NM NB NH

   

Câu 7.

a) Ta có:

0

0 0 0

2 2 1

' ' 180 ' '

180 180 90

2 2 2

ANB B AN AB N AB N

AI N  AI I        

Mà ' '/ / ' 2 1 90⁰

 

1

2 B C BC AB N  ABC AI I   ABC

Tương tự ta có : 1 90⁰

 

2 2 AIC AII   ABC

Từ (1) và (2) suy ra AI I_{2 1} AII₁ do đó 4 điểm A I I I, ₂, , ₁cùng nằm trên một đường tròn.

b) Xét tam giác AI I_{2 1}và AICcó:

2 1 ; 2 1

2

I AI IAC  BAC AI I  AIC 2 1 I I^{2 1} AI¹

 

* AI I AIC

IC AC

    

Xét ANI₁và AI C₁ có: NAI₁ CAI AI N₁; ₁  ACI₁ ANI₁ AI C g g₁ ( . )

 

1 1

1

I N AI **

CI AC

  . Từ (*) và (**) suy ra

1 2 1 1 1

1 1 2

I I I N CI I N

IC  CI  CI  I I ^{1 1} _{1 2} ^{1 1 1 1}

1 2 2 2 1 2 1 2

r r I N r I N r

r r r do

r r r I N r I I r r

 

            Vậy r  r₁ r₂