De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Hai Phong

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2020 – 2021

ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 2 1

: 1 1

1 1

x x

P x x x x x x

   

           

Rút gọn .P Tìm tất cả các giá trị của xđể 1 P 7

b) Cho phương trình ẩn xlà ^{x2  px q 0 1}

 

^(với ,p qlà các số nguyên tố). Tìm tất cả các giá trị của pvà qbiết phương trình

 

^{1 có nghi}ệm là các số nguyên dương Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình



^x1



^{ x2 2x  6 3 2x}

b) Giải hệ phương trình

2 2 2

2

3 1

2 x y xy x y

  

  

 Bài 3. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại ^{A AB}



^{ AC M}



^, là trung điểm cạnh BC P. là một điểm di động trên đoạn AM (P khác A và M). Đường tròn đi qua P,tiếp xúc với đường thẳng ABtại A, cắt đường thẳng BPtại K K( khác ).P Đường tròn đi qua P,tiếp xúc với đường thẳng ACtại A, cắt đường thẳng CPtại L (L khác P)

a) Chứng minh BP BK. CP CL. BC²

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PKCluôn đi qua hai điểm cốđịnh c) Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PKCvà Elà giao điểm thứ hai

của đường ngoại tiếp tam giác PLBvà Flà giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AB.Chứng minh EF / /IJ

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho ba sốdương x y z, , thỏa mãn xy yzzx5.Chứng minh :

 

2 2 2

3 2 6

5 5 6 5 3

x y z

x y z

  

   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào Bài 5. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên x y² xy2x²5x4

b) Giả sử rằng Alà tập con của tập hợp



1;2;3;....;1023 sao cho



Akhông chứa hai số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi Acó thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

ĐÁP ÁN Bài 1.

   

   

 

  

2 1 1 0

) :

1 1 1

1 1

2 1 1 1

. 1 1

1 1

1 1 1

7 7 1 1 0, 0

7 1 7

6 8 0 2 4 0 2 4 4 16

x x x x

a P x x x x x

x x x x

x x P x x

x x

P x x x x do x x x

x x

x x x x x x

       

 

          

   

  

   

 

                

 

             

b)Điều kiện đểphương trình

 

^{1 có nghi}ệm là ^{  p24q0 *}

 

Áp dụng định lý Vi – et ta có : ^{1 2} _{1 2}

1 2

x x p, , x x q x x

  

 

 

 Vì qlà số nguyên tố nên ¹

2

1 1 x x

 

 

Nếu x₁  1 1 x₂  pvà x₂là các số nguyên tố liên tiếp  x₂là số nguyên tố chẵn

2 2, 3

x q p

    . Tương tự x₂    1 x₁ q 2,p3

Ta thấy q2,p3thỏa mãn điều kiện

 

* là các giá trị cần tìm.

Bài 2.

a) Đặt a x 1;b  x² 2x6,b0

Ta được: ₂ ³₂ ²

 

^{2 1 1}

4 7 1

ab x b a

a b

b a

a b x

   

 

   

      



2

2

2

2

0 1 13

*) 1 2 6

3 0 2

2 1 5

*) 1 2 6 2

1 0 2

b a x x x x x

x x

b a x x x x x

x x

  

          

  



    

          

  



Vậy 1 5 1 13

2 ; 2

x   

 

 

b) Với điều kiện ,x y0thì hệphương trình trở thành :

2 2 2

2 2

2 2

2 2 0

3 2

x y xy

x xy y xy y xy

  

    

  



  

2 2

2 2 3

2 2 3

2 2 0 2 0

2

1 1

*) , 0

2 1

2 5

2 2

*) 2 5

4 4 5

4 4

x y

x xy xy y x y x y

x y

x y x x

x y do x y

x y y

x x x

x y x

x y x y

y

y y y

y

  

           

   

  

           

  

 

   

       

Vậy hệphương trình có nghiệm

  

^{; 1; 1 ;}



^{5 5;}

x y   2 4

 

 

Bài 3.

a) BAlà tiếp tuyến của đường tròn



^APK



^{nên BA2 BP BK.}

 

¹

CAlà tiếp tuyến của đường tròn



^APL



^{nên CA2 CP CL.}

 

²

Từ (1) và (2) suy ra BP BK. CP CL. BA² CA² BC² b) Gọi AHlà đường cao của tam giác ^{ABCBA2 BH BC.}

 

³

Từ (1) và (3) BP BK. BH BC. tứ giác HPKCnội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PKCđi qua hai điểm cố định C và H

c) Theo câu b) đường tròn

 

^J đi qua H. Chứng mnh tương tự

 

^{I đi qua H}

H

G E

J F

L I

K

M A

B

C

P

 

^{I và}

 

^{J cắt nhau tại H P, nên IJ HP (4)}

Tứ giác HPECnội tiếp AEPPHC (5) Tứ giác HPFBnội tiếp ^{ AFPPHC}

 

⁶

Từ (5) và (6) suy ra tứ giác APEFnội tiếp nên EPF EAF 90⁰ PEPF Gọi Glà giao điểm của HPvà EF.Do các tứ giác HPECvà APEFnội tiếp nên

GPEHCEMCAMACPAEPFE

 

900 7

GPE GEP PFE GEP PG EF hay HP EF

           

Từ (4) , (7) suy ra IJ / /EF Bài 4.

        

 

3 6

2 3 3 2 3 1 1

. . .

6 6 6

1 2 3 3 2 3 3 1 2 6

2 3 3

2 6 2 6 3

x y z

P

x y x z y z y x z x z y

x y z

x y x z y z y z z x z y

x x y y z z

x y x z y z y x z x z y

  

     

  

     

 

                

Đẳng thức xảy ra khi ₂

2 3 3

2 2

1; 2

5 5

5

z x y

x y y z z x x y z

xy yz zx x

     

        

 

 

   

 Bài 5.

a) Phương trình ban đầu tương đương với



¹



^{2 2 5 4 ( 1) 2x2 5x 4 2 5 4}



⁰



xy x x x y x x x

x x

 

          

Vì ^{x y,}      ^x



^{1; 2; 4}



Sau khi thử các giá trị của y thỏa mãn nguyên dương ta có

   

^{x y;  2;1}

b) Chia các số từ 1 đến 1023 thành các tập con A0 

 

1 ;A1 

 

2,3 ,A2 



4,5,6,7



       

3 8;9;...;15 ; 4 16;17;...;31 ; 5 32,33,....,63 , 6 64,65,....,127

A  A  A  A 

     

7 128;129;....;255 ; 8 256;257;....;511 ; 9 512;513;....;1023

A  A  A 

Dễ thấy số phần tử của tập A_klà 2 ,^k k0,1,2,....,9 Nhận thấy nA_k 2nA_k1

Xét A A₉ A₇ A₅ A₃ A₁ A 512 128 32 8 2    682,rõ ràng A không chứa nào nào gấp đôi số khác.

Ta chỉ ra rằng không thể chọn tập con có nhiều hơn 682số thỏa mãn bài ra

Thật vậy, Giả sử tập A thỏa mãn yêu cầu bài toán và chứa a_kphần tử thuộc A_k, 0,1,....9

k

Xét các tập hợp A_kvà A_k1.Với mA_ktùy ý, ta có 2mA_k1.Số các cặp



^{m m, 2}



như vậy là 2^kvà trong mỗi cặp như vậy có nhiều nhất 1 số thuộc A

Ngoài ra tập ^A_k1còn chứa 2^ksố lẻ, tức là có nhiều nhất 2^k 2^k 2^k1số thuộc Ađược lấy từ ^A_kvà A_k1.

Suy ra a₀  a₁ 2 ,¹ a₂ a₃ 2 ,³ a₄ a₅ 2 ,⁵ a₆ a₇ 2 ,⁷ a₈ a₉ 2 .⁹ Cộng các bất đẳng thức ta được a₀  a₁ a₂ ...a₉ 682.Vậy số phần tử lớn nhất của Alà 682