De Thi Vao 10 Toan Chuyen 2020 2021 Tinh Quang Tri

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 21 tháng 7 năm 2020

Môn thi : TOÁN

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (2,0 điểm)

1. Giải hệphương trình

2 2

2 3

2 3

x y y x

  



 



2. Giải phương trình:^{x2  3}



^x3



^{x2  3 2}



^{x 1}



⁰

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Cho các parabol

 

P1 :y mx²,

 

P2 :ynx²



mn



. Lấy các điểm A B, thuộc

 

P1 và C D, thuộc

 

P2 sao cho ABCDlà hình vuông nhận Oylàm trục đối xứng. Tính diện tích hình vuông ABCD

2. Cho a b c, , là ba số thực phân biệt thỏa mãn ³ 1 ³ 1 ³ 1

a b c .

a b c

  

  Chứng

minh rằng abc 1 0 Câu 3. (1,0 điểm)

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn 3a² 3b² 8c² 32.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pab bc ca

Câu 4. (2,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên nđể n² 2020là số chính phương

2. Chứng minh rằng có thể chọn 3số a a a1, 2, 3,trong 7 số nguyên tố phân biệt bất kỳ sao cho P



a1a2



a1a3



a2a3



chia hết cho 216.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn

 

^{O .G}ọi M _{là điể}m chính giữa cung ABkhông chứa C và I là điểm trên đoạn MCsao cho MI MA

1) Chứng minh I_{là tâm đườ}ng tròn nội tiếp tam giác ABC

2) Vẽ đường tròn

 

^O' tiếp xúc với

 

^O tại D và tiếp xúc với AB AC, _{lần lượt} tại E F, .

a) Chứng minh ba điểm M E D, , thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác DIFCnội tiếp

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) Hệ^{x2  y2 2}



^yx

 

^{ x y}



^{x y 2}



^0

 

2

2

*) 2 3 0 1

3

*) 2 2 2 3 1

x y

x y x x

x y

y x x x x y

  

        

            Vậy hệ có 2 nghiệm



^{ 1; 1 ; 3;3}

  

2) Đặt ^{t x2 3}



^{t 0}



, Ta được :

 

2

2

2

3 2 2 0 2

1

*) 2 3 2 1

*) 1 3 1 1 1

1 t x t x t

t x

t x x

t x x x x x

x

 

        

      

  

           Vậy x 1

Câu 2.

1) Gọi ^{A a ma}



^{, 2}



^{.Khi đó do Oylà trục đối xứng củ}a hình vuông nên



^{; 2}



B a ma . Do DA/ /BC / /Oynên ^C



^{a na, 2}

 

^{,D a na, 2}



2 2

2 ; ;

AB a AD m n a AB AD a

m n

     

 Diện tích hình vuông ABCDlà

 

2

2

S AB 16

m n

 

 2) Đặt

3 3 3

1 1 1

a b c .

a b c m

      Ta có:

3 3 3

1 0 1 0 1 0 a ma

b mb c mc

   

   

   



nên a b c, , là 3 nghiệm

của đa thức ^{f x}

 

^{x3mx 1 0}

Do ^{f x}

 

^{có 3 nghi}ệm a b c, , nên ^{f x}

  

^{ xa}



^xb



^xc



Từđó suy ra ^{x3 mx 1}



^xa



^xb



^xc



^{, x}

Đồng nhất hệ số 2 vế ta được: abc 1 abc 1 0(dfcm)

Câu 3. Ta có:

2 2 2 2 2 2

4 4

; ;

2 4 4

a b b c a c

ab  bc  ca  Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:



^{2 2 2}



1 3 3 8 8

ab bc ca 4 a  b  c  Dấu " " xảy ra khi a b 2c2 Vậy Max P   8 a b 2,c1 Câu 4.

1) Gọi mlà sốnguyên dương sao cho m² n² 2020 Khi đó



^{mn m}



^n



^{2 .5.1012}

Ta có:



^mn

 

^{ mn}



^{2mvà m  n m nnên}

202 106

10 96

1010 506

2 504

m n m

m n n

m n m

m n n

    

 

    

  

    

    

 

 

Vậy n² 2020là sốchính phương khi n96hoặc n504

2) Trong 7 số nguyên tố phân biệt, có ít nhất 5 số lớn hơn 3. Chọn 5 số lớn hơn 3 đó, các số trong 5 số này chia cho 3 có số dư là 1 hoặc 2. Như thế có ít nhất 3 số khi chia cho 3 có cùng số dư. Chọn ra 3 số a a a1, 2, 3

Khi đó các hiệu a_i a_j 6.Vậy P 216

Câu 5.

1) Ta có: MA MI nên MAI  MIA

Mặt khác MAI  MAB BAI;MIA MCA IAC Mà MAB MCAnên BAI  IAC

Suy ra AI CI, là các phân giác trong tam giác ABCnên I là tâm đường tròn nội tiếp 2) a) Ta có: D O O, , 'thẳng hàng và OM / / 'O Evì cùng vuông góc ABnên

' MOD EO D

  

Do đó 2ODM  2 ODE ODM  ODEM E D, , là 3 điểm thẳng hàng.

b) Từ đó suy ra EIM  MIN NIF  MDN  MIN 180 .⁰ Do đó, E I F, , thẳng hàng.

Khi đó, 1 1

2 2 '

ICD MOD EO D EFD IFD Suy ra tứ giác IFCDnội tiếp.